Hàm theta và áp dụng của nó đối với bài toán phân tích số nguyền thành tổng các bình phương

Nguyễn Văn Hào, khóaluận tốt nghiệp "Hàm Theta và áp dụng của nó đối với bài toánphân tích số nguyên thành tổng các bình phương" được hoàn thànhtheo quan điểm riêng của cá nhân tôi.. Tro

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổ Giảitích và các bạn sinh viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS NguyễnVăn Hào đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luậntốt nghiệp

Lần đầu được thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên đề tài khôngtránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Em xin chân thành cảm ơn những

ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Tác giả

Đỗ Thị Út Lộc

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, khóaluận tốt nghiệp "Hàm Theta và áp dụng của nó đối với bài toánphân tích số nguyên thành tổng các bình phương" được hoàn thànhtheo quan điểm riêng của cá nhân tôi

Trong quá trình làm đề tài, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhàkhoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2011

Tác giả

Đỗ Thị Út Lộc

Mục lục

1.1 Số phức và mặt phẳng phức 4

1.1.1 Các tính chất cơ bản 4

1.1.2 Sự hội tụ của dãy số phức 5

1.2 Hàm biến phức 5

1.2.1 Hàm liên tục 5

1.2.2 Hàm chỉnh hình 6

1.2.3 Chuỗi lũy thừa 11

1.2.4 Không điểm và cực điểm 12

Chương 2 HÀM THETA 16 2.1 Công thức tích đối với hàm Theta Jacobi 16

2.2 Luật biến đổi 24

2.3 Hàm sinh 28

Chương 3 HÀM THETA ĐỐI VỚI CÁC ĐỊNH LÝ VỀ TỔNG BÌNH PHƯƠNG 32 3.1 Định lý tổng hai bình phương 33

3.2 Định lý bốn bình phương 41

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Bài toán biểu diễn một số nguyên n thành tổng bình phương của các

số nguyên cho trước là một trong những vấn đề nổi tiếng nhất trong bộmôn lý thuyết số Lịch sử của nó được ẩn chứa trong các công trình củaDiophantus Thế nhưng, nó thực sự xuất hiện từ các định lý của Girard

và của Fecmat, nói rằng một số nguyên dạng 4m + 1 là tổng của hai bìnhphương Hầu hết các nhà số học đã chú ý tới vấn đề trên đây kể từ khiFecmat đưa ra lời giải của bài toán và cho đến nay nó vẫn còn chứa đựngnhiều điều thú vị xung quanh vấn đề này

Trở lại đôi chút về lịnh sử của bài toán ai là người đầu tiên pháthiện ra điều này và khi nào? Vào dịp Noel năm 1640 (trong thư đề ngày25.12.1640), nhà toán học vĩ đại Pier Fermat (1601-1665) đã gửi thông báocho Mersenne, bạn thân của Descartes và là “liên lạc viên” chính của cácnhà bác học đương thời rằng “Mọi số nguyên tố có số dư trong phép chiacho 4 bằng 1 đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tổng củahai bình phương”

Thời đó chưa có các tạp chí toán học, tin tức được trao đổi qua các

lá thư và các kết quả thông thường chỉ được thông báo mà không kèmtheo chứng minh Gần 20 năm sau, trong bức thư gửi cho Carcavi vàokhoảng tháng 8 năm 1659, Fermat đã tiết lộ ý tưởng của phép chứng minhđịnh lý trên Ông viết rằng ý tưởng chính của phép chứng minh là dùngphương pháp xuống thang, cho phép từ giả thiết rằng định lý không đúngvới p = 4k + 1, suy ra nó không đúng với một số nhỏ hơn và cuối cùng ta

sẽ đi đến số 5, mà khi đó rõ ràng là mâu thuẫn vì 5 = 12 + 22

Những cách chứng minh đầu tiên được Euler (1707-1783) tìm ra trongkhoảng trong những năm 1742 − 1747 Hơn nữa, để tỏ lòng kính trọng

đối với Fecmat, Euler đã tìm ra phép chứng minh dựa theo đúng ý tưởngtrên đây của Fecmat Vì vậy, người ta gọi định lý này là định lý Fecmat −Euler.

Vấn đề của tổng hai bình phương và bốn bình phương không giải quyếtđược từ trước thế kỷ thứ 3 trước công nguyên cho đến khoảng những năm

1500 Nó chỉ được giải quyết đầy đủ nhờ có lý thuyết của hàm Theta cobi Trong toán học, hàm Theta là một hàm biến phức đặc biệt đóng vaitrò hết sức quan trọng trong nhiều lĩnh vực bao gồm như: lý thuyết số; lýthuyết của đa tạp Abel; không gian modul và các dạng toàn phương; .Bởi tầm quan trọng của hàm Theta và được sự hướng dẫn của TS.Nguyễn Văn Hào, em đã chọn đề tài: “Hàm Theta và áp dụng của nóđối với bài toán phân tích số nguyên thành tổng các bình phương”

Ja-để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp ngành Toán

Khóa luận được bố cục thành ba chương

Chương 1 Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thứccăn bản về số phức và mặt phẳng phức, hàm chỉnh hình, hàm liên tục,chuỗi lũy thừa, không điểm và cực điểm

Chương 2 Chương này dành cho việc trình bày một số kiến thứcquan trọng về hàm Theta Phần đầu chương, chúng tôi đưa ra công thứctích của hàm Theta Jacobi cùng một số luật biến đổi của nó Tiếp theo,chúng tôi xây dựng nên dãy hàm sinh nhằm mục đích phục vụ cho việctrình bày các ứng dụng của hàm Theta trong chương 3

Chương 3 Chúng tôi trình bày ứng dụng của hàm Theta đối với cácđịnh lý về tổng hai bình phương, tổng bốn bình phương

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các vấn đề cơ bản của hàm Theta Jacobi: định nghĩa,tính chất của nó

- Nghiên cứu ứng dụng của hàm Theta trong các định lý về tổng haibình phương, tổng bốn bình phương

3 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu về hàm Theta

- Nghiên cứu một số ứng dụng của hàm Theta

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc sách, phân tích, so sánh, tổng hợp

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Số phức và mặt phẳng phức

1.1.1 Các tính chất cơ bản

Số phức là số có dạng z = x + iy; với x, y ∈ R và i là đơn vị ảo mà

i2 = −1 Ta gọi x là phần thực và y là phần ảo, ta kí hiệu tương ứng bởi

Một cách tự nhiên, người ta gọi Ox là trục thực, Oy là trục ảo

Phép cộng và phép nhân các số phức được thực hiện một cách thông thườngnhư các phép toán trên tập hợp số thực với lưu ý rằng i2 = −1 Ta có

z1 + z2 = (x1+ x2) + i (y1 + y2)và

z1.z2 = (x1+ iy1) (x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + iy1x2+ i2y1y2

= (x1x2 − y1y2) + i (x1y2 + y1x2) Với mỗi số phức z = x + iy ta xác định modul của số phức z là

|z|2 = z.¯z;1

z =

¯z

|z|2 với z 6= 0

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực z = r.eiθ với r > 0, θ ∈ Rđược gọi là argument của số phức z(argument của số phức z được xác địnhmột cách duy nhất với sự sai khác một bội của 2π) và eiθ = cos θ + i sin θ.Bởi vì eiθ

= 1 nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox

và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z Cuối cùng, talưu ý rằng nếu z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì z.w = r.s.ei(θ+ϕ)

1.1.2 Sự hội tụ của dãy số phức

Dãy số phức {zn} được gọi là hội tụ đến số phức w ∈ C và được viết là

n→∞Rezn = Rewlim

n→∞Imzn = ImwDãy số phức {zn} được gọi là dãy Cauchy nếu

|f (z) − f (z0)| < ε

ii) Với mọi dãy {zn} ⊂ Ω mà lim

n→∞zn = z0 thì lim

n→∞f (zn) = f (z0) Hàm f(z) được gọi là liên tục trên Ω nếu nó liên tục tại mọi điểm của Ω.Tổng và tích của các hàm liên tục cũng là hàm liên tục Nếu hàm f(z) làliên tục thì hàm được xác định bởi z 7→ |f (z)| cũng liên tục Điều đó đượcsuy ra từ bất đẳng thức tam giác

||f (z)| − |f (z0)|| ≤ |f (z) − f (z0)|

Ta nói rằng hàm f(z) đạt giá trị cực đại tại z0 ∈ Ω nếu |f (z)| ≤ |f (z0)|,với mọi z ∈ Ω Hàm f(z) đạt cực tiểu tại z0 ∈ Ω nếu |f (z)| ≥ |f (z0)|, vớimọi z ∈ Ω

Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f(z) là chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu và chỉnếu tồn tại hằng số a sao cho

f (z0 + h) − f (z0) − a.h = h.ψ (h) , (1.2)

với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim

h→0ψ (h) = 0 Dĩ nhiên, ta

có a = f0(z)

Từ công thức (1.2) ta cũng thấy hàm f chỉnh hình thì f là liên tục

Bây giờ chúng ta làm sáng tỏ mối quan hệ giữa đạo hàm thực và phức.Thực tế, ví dụ 1.3 đã cho ta thấy sự khác biệt đáng kể giữa khái niệm khả

vi phức và khái niệm khả vi thực của một hàm hai biến số Thực vậy, dướidạng biến thực hàm f (z) = ¯z tương ứng ánh xạ F : (x, y) → (x, −y) khả

vi theo nghĩa thực Đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tínhđược cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận 2 × 2 các đạo hàm riêngcủa các hàm tọa độ

Nhớ lại rằng hàm F (x, y) = (u (x, y) , v (x, y)) được gọi là khả vi tại mộtđiểm P (x0, y0) nếu tồn tại phép biến đổi tuyến tính J : R2 → R2 sao cho

|F (P0 + H) − F (P0) − J (H)|

2 (1.3)

Một cách tương đương, ta có thể viết

F (P0 + H) − F (P0) = J (H) + |H| ψ (H) ,với |ψ (H)| → 0 khi |H| → 0

Phép biến đổi tuyến tính J là duy nhất và gọi là đạo hàm của F tại P0.Nếu F khả vi thì đạo hàm riêng u và v tồn tại và

• Nếu h = h1+ih2 mà h2 = 0, (hi ∈ R) thì ta viết z = x+iy, z0 = x0+iy0

và f (z) = f (x, y) Khi đó, ta thấy rằng

∂f

∂y.Viết f = u + iv, tách phần thực và phần ảo đồng thời sử dụng đẳng thức1

i = −i ta nhận được

∂f

∂x =

1i

tử vi phân

∂

∂z =

12

 ∂

∂x +

1i

 ∂

∂x −

1i

∂

∂y

.Mệnh đề 1.1 Nếu f chỉnh hình tại z0 thì

det JF(x0, y0) = |f0(z0)|2.Chứng minh Ta có

∂f

∂ ¯z =

12

 ∂f

∂x −

1i

∂f

∂y



= 12

∂x +

1i

 ∂f

∂z +

1i

∂f

∂y



= 12

 ∂u

∂x +

1i

∂u

∂y

+ i ∂v

∂x +

1i

∂v

∂y



= 12

 ∂u

∂x +

1i

∂u

∂y

+ ∂u

∂x +

1i

∂u

∂y



u(x, y) và v(x, y) là R2− khả vi, hay ta có thể viết

= f0(z0) h + θ (H) với

mà ta có thể viết

F (P0 + H) − F (P0) = JF (H) + θ (H) ,

∂z

2

= |f0(z0)|2.1.2.3 Chuỗi lũy thừa

Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng

Định lý 1.1 (Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa P∞

n=0

anzn Khi đó tồn tại

số 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho

i) Nếu |z| < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối

ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ

Hơn nữa, nếu ta sử dụng quy ước 1/0 = ∞ và 1/∞ = 0, thì số R đượctính bởi công thức

Chứng minh i) Đặt L = 1

R, với R được xác định như công thức phát biểutrong định lý Giả sử L 6= 0, +∞ Nếu |z| < R, thì chọn ε > 0 đủ nhỏ saocho (L + ε) |z| = r < 1 (|z| < R → 1

cosz = e

iz + e−iz

2 và sinz = eiz − e−iz

1.2.4 Không điểm và cực điểm

Điểm kỳ dị của một hàm f là một số phức z0 sao cho f xác định tronglân cận của điểm z0 nhưng không xác định tại chính điểm đó Chúng tacũng gọi những điểm đó là điểm kỳ dị cô lập Ví dụ, hàm f chỉ xác định trênmặt phẳng thủng bởi f(z) = z thì gốc là điểm kỳ dị Dĩ nhiên, trong trườnghợp này hàm f có thể xác định ngay cả tại 0 bằng cách đặt f(0) = 0, vìvậy thác triển nhận được là hàm liên tục và thực tế là hàm nguyên (nhữngđiểm như vậy gọi là các điểm kỳ dị bỏ được) Điều thú vị hơn là trườnghợp của hàm g(z) = 1/z được xác định trong mặt phẳng thủng Rõ ràng gkhông thể xác định như một hàm liên tục tại 0, kém hơn nhiều so với hàmchỉnh hình Trong thực tế, hàm g(z) tiến đến vô cùng khi z dần đến 0 vàchúng ta nói 0 là một cực điểm Cuối cùng là trường hợp hàm h(z) = e1/z

trong mặt phẳng thủng cho thấy rằng điểm kỳ dị và cực điểm không nóilên điều gì Thực vậy, hàm h(z) tiến tới vô cực khi z dần đến 0 trên trụcthực dương, trong khi h(z) tiến đến 0 khi z dần đến 0 trên trục thực âm.Cuối cùng, hàm h(z) dao động rất nhanh, nhưng vẫn bị chặn, khi z dầnđến 0 trên trục ảo.

Vì kỳ dị thường xuất hiện bởi mẫu số của phân số triệt tiêu, chúng ta bắtđầu với một nghiên cứu địa phương của các không điểm của hàm chỉnhhình

Số phức z0 được gọi là không điểm của hàm chỉnh hình f nếu f(z0) = 0.Đặc biệt, thác triển giải tích cho thấy rằng không điểm của hàm chỉnh hìnhkhông tầm thường là cô lập Nói cách khác, nếu f là chỉnh hình trong Ω

và f(z0) = 0 với z0 ∈ Ω nào đó, thì tồn tại một lân cận mở U của z0 saocho f(z0) 6= 0 với mọi z ∈ U \ {z0}, trừ khi f đồng nhất 0 Chúng ta bắtđầu việc mô tả tính chất địa phương của hàm chỉnh hình gần một khôngđiểm

Định lý 1.2 Giả sử f là một hàm chỉnh hình trong một tập con mở liênthông Ω, có một không điểm tại z0 ∈ Ω và không đồng nhất bằng khôngtrong Ω Thế thì, tồn tại một lân cận U ⊂ Ω của z0, một hàm chỉnh hình

g không đồng nhất triệt tiêu trên U và một số nguyên dương duy nhất nsao cho

f (z) = (z − z0)ng(z) với mọi z ∈ U

Chứng minh Vì Ω liên thông và f không đồng nhất 0, chúng ta khẳngđịnh rằng f không đồng nhất 0 trong một lân cận của z0 Trong đĩa đủnhỏ tâm tại z0 hàm f có khai triển chuỗi luỹ thừa

ở đó g được xác định bởi chuỗi luỹ thừa trong ngoặc và do đó chỉnh hìnhkhông đâu triệt tiêu với tất cả z gần z0 (vì an 6= 0) Để chứng tỏ tính duynhất của số nguyên n, giả sử rằng chúng ta còn có thể viết

Trong trường hợp của định lý trên ta nói f có không điểm bậc n (hoặcbội n) tại z0 Nếu không điểm là bậc một, chúng ta nói rằng nó là khôngđiểm đơn Chúng ta nhận xét rằng về mặt định lượng bậc không điểm mô

tả mức độ mà tại đó hàm triệt tiêu

Điều quan trọng của định lý trước đến từ sự kiện rằng bây giờ chúng ta cóthể mô tả chính xác loại kỳ dị qua hàm 1

f (z) tại điểm z0.Với mục đích đó, để tiện lợi chúng ta định nghĩa lân cận thủng của điểm

z0 là đĩa mở tâm tại z0 trừ ra chính điểm đó, đó là tập hợp

{z : 0 < |z − z0| < r} ,với r > 0 nào đó Thế thì, ta có thể nói rằng một hàm f xác định tronglân cận thủng của điểm z0 có một cực điểm tại đó nếu hàm 1

f, xác địnhkhông điểm tại z0, là chỉnh hình trong một lân cận đầy của z0

Định lý 1.3 Nếu f có một cực điểm tại z ∈ Ω, thì trong một lân cận củađiểm đó tồn tại hàm chỉnh hình h không triệt tiêu và số nguyên dương nduy nhất sao cho

ở đó g chỉnh hình và không đồng nhất triệt tiêu trong một lân cận của z0,

do vậy kết quả nhận được với h(z) = 1/g(z)

Số nguyên dương n trong định lý được gọi là bậc (hoặc bội) của cực điểm

và nó mô tả tốc độ tăng của hàm gần z0 Nếu cực điểm là bậc 1 thì nóđược gọi là cực điểm đơn

Chương 2 HÀM THETA

Trong chương này, chúng tôi trình bày về lý thuyết của hàm Theta vàmột số ứng dụng của nó trong lĩnh vực Giải tích số Trước hết, hàm Thetađược cho bởi chuỗi

hội tụ với mọi z ∈ C và τ thuộc nửa mặt phẳng trên

Một điểm đáng chú ý của hàm Theta là vấn đề đối ngẫu tự nhiên của nó.Khi xét như một hàm của biến z, nó có dạng như một hàm Elliptic, vì Θ

là hàm tuần hoàn với chu kỳ là 1 và tựa tuần hoàn với chu kỳ τ Khi xét Θnhư một hàm của biến τ nó cho thấy tính chất modul tự nhiên liên quanmật thiết với hàm phân hoạch và vấn đề biểu diễn các số nguyên dưới dạngtổng các bình phương

Hai công cụ chính cho phép chúng ta khai thác những mối liên kết này làtích hỗn tạp của Θ với luật biến đổi

2.1 Công thức tích đối với hàm Theta Jacobi

Định nghĩa 2.1 Hàm f được gọi là tựa tuần hoàn với tựa chu kỳ ω nếuvới các hằng số a, b tùy ý, f thỏa mãn phương trình hàm

f (z + ω) = e(az+b)f (z)

Ví dụ 2.1 Hàm Theta Jacobi được cho bởi phương trình hàm

ϑ (z + τ ; τ ) = e−2πiz−πiτϑ (z; τ ) Với mỗi τ cố định thì hàm đó là tựa tuần hoàn với tựa chu kỳ là τ

Ví dụ 2.2 Hàm ℘ Weierstrass là tựa tuần hoàn với hai tựa chu kỳ độclập, các tựa chu kỳ tương ứng của hàm ℘ Weierstrass được cho bởi phươngtrình hàm

cố định

Mệnh đề 2.1 Hàm Θ thỏa mãn các tính chất sau

i) Θ nguyên trong z ∈ C và chỉnh hình trong τ ∈ H

kỳ 1 và tựa tuần hoàn với chu kỳ τ.

Để thiết lập được tính chất cuối cùng, nó là đủ khi ta chứng minh được

Θ 12 + τ2 |τ
= 0 Một lần nữa, lặp lại phương pháp trên, ta có

Để thấy rằng tổng cuối cùng đồng nhất bằng 0, nó là đủ kiểm tra với

−n − 1 khi n ≥ 0, và nhận xét rằng chúng có bậc đối nhau Thật vậy, từđẳng thức (−n − 1)2 + (−n − 1) = n2 + n thay n + 1 bởi −n − 1 ta được

Định lý 2.1 Hàm Q (z | τ) thỏa mãn các tính chất sau đây

(i) Q (z|τ ) là hàm nguyên trong với mọi z ∈ C và chỉnh hình với mọi

τ ∈ H

(ii) Q (z + 1|τ ) = Q (z|τ )

(iii) Q (z + τ |τ ) = Q (z|τ ) e−πiτe−2πiz

(iv) Q (z|τ ) = 0 khi z = 1/2 + τ/2 + n + mτ và n, m ∈ Z Thêm nữa,những điểm này là không điểm đơn của Q (· | τ ) và hàm Q (· | τ ) không

có không điểm nào khác

Chứng minh Giả sử Im (τ) = t > t0 > 0 và z = x + iy, thì |q| 6 e−πt0 < 1

Do đó

1 − q2n
1 + q2n−1e2πiz
1 + q2n−1e−2πiz
= 1 + O|q|2n−1e2π|z|.Bởi vì chuỗi P |q|2n−1 hội tụ nên từ kết quả của hàm tích vô hạn, đảmbảo rằng hàm Q (z | τ) là một hàm nguyên của z với τ ∈ H cố định và làmột hàm chỉnh hình theo τ ∈ H Cũng vậy, từ định nghĩa Q (z | τ) là tuầnhoàn với chu kỳ 1 theo biến τ

Để chứng minh được tính chất (iii), trước hết ta có nhận xét rằng với

−1e−2πiz

1 + qe2πiz



Từ đó, ta nhận được (iii) vì (1 + x)/(1 + x−1) = x, khi x 6= −1 Cuối cùng,

để tìm các không điểm của Q (z | τ) chúng ta nhớ lại rằng một tích chỉhội tụ tới 0 nếu ít nhất một trong các thừa số của nó bằng 0 Rõ ràng,

thừa số (1 − qn) không bao giờ triệt tiêu khi |q| < 1 Thừa số thứ hai

và m ∈ Z Tương tự, thừa số thứ ba triệt tiêu nếu

(2n − 1) τ − 2z = 1 (mod2) ,tức là

z = −1/2 − τ /2 + nτ (mod1)

= 1/2 + τ /2 + n0τ (mod1) với n0 ≥ 0

Những điểm đó vét hết số không điểm của hàm Q (·|τ) Cuối cùng, cáckhông điểm này là không điểm đơn, vì hàm eω triệt tiêu tại gốc với bậc 1.Tầm quan trọng của tích Q nhận được từ định lý sau đây và nó được gọi

là công thức tích của hàm Theta Thực tế rằng Θ (z|τ) và Q (z | τ) thỏamãn những tính chất đơn giản gợi ý đến một mối liên hệ mật thiết giữahai hàm trên

Định lý 2.2 (Công thức tích) Cho z ∈ C và τ ∈ H, chúng ta có đồngnhất thức sau

Tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng c(τ) = 1 với mọi τ và điểm chính là thiếtlập c(τ) = c(4τ) Nếu đặt z = 1

2 trong (2.2) sao cho e2πiz = e−2πiz = −1,

Q∞ n=1(1 − qn) (1 − q2n−1). (2.3)Tiếp theo ta đặt z = 1

4 trong (2.2) sao cho e2πiz = i Mặt khác, ta có

Q∞ n=1(1 − q4n) (1 − q8n−2) (2.4)

Chương HÀM THETA< /h3>

Trong chương này, chúng tơi trình bày lý thuyết hàm Theta vàmột số ứng dụng lĩnh vực Giải tích số Trước hết, hàm Theta? ?ược cho chuỗi

hội tụ với z ∈ C τ... thiết với hàm phân hoạch vấn đề biểu diễn số nguyên dạngtổng bình phương

Hai cơng cụ cho phép khai thác mối liên kết l? ?tích hỗn tạp Θ với luật biến đổi

2.1 Cơng thức tích hàm Theta. ..

Một điểm đáng ý hàm Theta vấn đề đối ngẫu tự nhiên nó. Khi xét hàm biến z, có dạng hàm Elliptic, Θ

là hàm tuần hoàn với chu kỳ tựa tuần hoàn với chu kỳ τ Khi xét Θnhư hàm biến τ cho thấy