Luật mạnh số lớn đối với dãy phần tử ngẫu nhiên trên không gian tuyến tính định chuẩn

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học VinhNguyễn Thị Quỳnh Trang Luật mạnh số lớn đối với dãy phần tử ngẫu nhiên trên không gian tuyến tính định chuẩn Luận văn thạc sĩ toán học Nghệ An -

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Nguyễn Thị Quỳnh Trang

Luật mạnh số lớn đối với dãy phần tử

ngẫu nhiên trên không gian

tuyến tính định chuẩn

Luận văn thạc sĩ toán học

Nghệ An - 2014

Bộ Giáo Dục và Đào tạoTrường Đại Học Vinh

Nguyễn Thị Quỳnh Trang

Luật mạnh số lớn đối với dãy phần tử

ngẫu nhiên trên không gian

Mục lục

1.1 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 3

1.1.1 Biến ngẫu nhiên 3

1.1.2 Phân phối xác suất 4

1.1.3 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên 5

1.1.4 Các bất đẳng thức moment 7

1.1.5 Các biến ngẫu nhiên độc lập 9

1.2 Một số định lý giới hạn 10

1.2.1 Các dạng hội tụ 10

1.2.2 Một số bất đẳng thức cơ bản 13

1.2.3 Các luật số lớn 13

2 Luật số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian tuyến tính định chuẩn 17 2.1 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian metric 17

2.1.1 Các định nghĩa và tính chất cơ bản 17

2.1.2 Các dạng hội tụ 21

2.1.3 Các phần tử ngẫu nhiên độc lập 27

2.2 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian định chuẩn 28

2.2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản 28

2.2.2 Kỳ vọng và phương sai của phần tử ngẫu nhiên 30

2.3 Các luật mạnh số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên độc lập 33

2.3.1 Luật mạnh số lớn đối với phần tử ngẫu nhiên độc lập 33

2.3.2 Luật mạnh số lớn đối với dãy tổng có trọng số các phần tử

ngẫu nhiên độc lập 37Kết luận 41

Mở đầuTrong lý thuyết xác suất, luật số lớn đóng vai trò rất quan trọng Luật sốlớn được Bernoulli phát hiện đầu tiên vào năm 1713 và được Kolmogorov pháttriển, hoàn thiện vào những năm 30 của thế kỉ XX Ngày nay luật số lớn vẫn đang

là vấn đề có tính thời sự, được nhiều nhà khoa học quan tâm và có ảnh hưởng tolớn đến sự phát triển của lý thuyết xác suất, thống kê toán học và các ứng dụngcủa chúng Một hướng mở rộng của lý thuyết xác suất là nghiên cứu các vấn đềcơ bản của nó trên các không gian trừu tượng: Không gian Banach, không gianmetric, v.v Đi theo hướng đó, chúng tôi quyết định chọn đề tài của luận văn là:''Luật số lớn đối với phần tử ngẫu nhiên trên không gian tuyến tính địnhchuẩn"

Mục đích của luận văn là nghiên cứu một số tính chất của luật số lớn đốivới phần tử ngấu nhiên trên không gian tuyến tính định chuẩn Với mục đích

đó, luận văn chia thành 2 chương Trong chương 1, chúng tôi trình bày một sốkiến thức cơ sở của lý thuyết xác suất, cần thiết cho việc trình bày các vấn đề củachương 2

Chương 2 là nội dung chính của luận văn Trong chương này, trước hếtchúng tôi trình bày về Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian metric.Tiếp theo, chúng tôi trình bày về các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên khônggian định chuẩn Các luật mạnh số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên độclập sẽ được trình bày ở mục cuối cùng

Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của

GS TS Nguyễn Văn Quảng Nhân dịp này, học viên xin bày tỏ lòng biết ơn tớiThầy

Mặc dù đã cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và trình độ của học viênnên luận văn sẽ không tránh khỏi được những thiếu sót Học viên rất mong nhận

được sự góp ý của quý thầy cô và đồng nghiệp để học viên hiểu sâu sắc hơn về

néi dung kiÕn thøc vµ luËn v¨n ®­îc hoµn thiÖn h¬n.

NghÖ An, ngµy th¸ng n¨m 2014

Häc viªn

Chương 1

Các kiến thức chuẩn bị

1.1 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

1.1.1 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất, G là σ-đại số concủa σ-đại số F Khi đó ánh xạ X : Ω → R được gọi là biến ngẫu nhiên G-đo

được nếu với mọi B ∈ B(R) thì X−1(B) ∈ G

Chú ý Trong trường hợp đặc biệt, khi X là biến ngẫu nhiên F-đo được thì X

được gọi một cách đơn giản làbiến ngẫu nhiên (hay đại lượng ngẫu nhiên) Nếubiến ngẫu nhiên X chỉ nhận hữu hạn giá trị thì nó được gọi là biến ngẫu nhiên

Định lý 1.1.2 Giả sử X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên(Ω, F , P), f : Rn → R là hàm đo được (tức f là B(Rn

)/B(R) đo được) Khi

đó

Y = f (X1, , Xn) : Ω → R

ω 7→ f (X1(ω), , Xn(ω))

là biến ngẫu nhiên

Hệ quả 1.1.3 Giả sử X, Y là các biến ngẫu nhiên cùng xác định trên (Ω, F, P ),

f : R → R là hàm liên tục a ∈ R Khi đó

aX, X±Y, XY, |X|, f (X), X+ = max(X, 0), X− = max(−X, 0), X/Y (Y 6= 0)

đều là các biến ngẫu nhiên

Định lý 1.1.4 Giả sử {Xn, n > 1} là dãy biến ngẫu nhiên cùng xác định trên(Ω, F , P) Khi đó, nếu inf

n→∞Xn (nếu tồn tại) đều là biến ngẫu nhiên

Định lý 1.1.5 Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì tồn tại dãy biến ngẫunhiên đơn giản, không âm {Xn, n > 1} sao cho Xn ↑ X khi n → ∞

Định nghĩa 1.1.8 Giả sử (Ω, F, P) là một không gian xác suất, X : Ω → R

là biến ngẫu nhiên Khi đó, hàm số FX(x) = P(X < x) = P(ω : X(ω) < x)

được gọi là hàm phân phối của X

x↑a F (x) = F (a) và lim

x↓a F (x) = P(X 6 a) Do đó F (x) liên tục tráitại mọi điểm, F (x) liên tục tại a khi và chỉ khi P(a) = 0

Chú ý.Để thuận tiện, người ta thường dùng ký hiệu

F (+∞) = lim

x→+∞F (x), F (−∞) = lim

x→−∞F (x)

Lúc đó (3) có thể viết: F (+∞) = 1 và F (−∞) = 0

1.1.3 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1.10 Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B(R)) là biến ngẫu nhiên Khi

đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là kỳ vọngcủa X và ký hiệu là EX

EX =

ZΩXdP

Nếu tồn tại E|X|p < ∞ (p > 0) thì ta nói X khả tích bậc p Đặc biệt,nếu E|X| < ∞ thì X được gọi là biến ngẫu nhiên khả tích

Mệnh đề 1.1.11 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên có các tính chất sau:

1 Nếu X > 0 thì EX > 0

2 Nếu X = C thì EX = C

3 Nếu tồn tại EX thì với mọi C ∈ R, ta có E(CX) = CEX

4 Nếu tồn tại EX và EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY

8 (Bổ đề Fatou) Nếu Xn > Y với mọi n > 1 và EY > −∞ thì

ElimXn 6 limEXn.Nếu Xn 6 Y với mọi n > 1 và EY < +∞ thì

ElimXn > limEXn.Nếu |Xn| 6 Y với mọi n > 1 và EY < ∞ thì

ElimXn 6 limEXn 6 limEXn 6 ElimXn

9 (Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn) Nếu |Xn| 6 Y với mọi n > 1,

Định nghĩa 1.1.12 Giả sử X là biến ngẫu nhiên Khi đó, số DX := E(X −EX)2 (nếu tồn tại) được gọi là phương sai của X.

Phương sai của biến ngẫu nhiênX còn được ký hiệu là Var(X)

Chú ý 1.1.13 Từ định nghĩa trên và từ tính chất của kỳ vọng, suy ra rằngphương sai của biến ngẫu nhiên X có thể tồn tại hoặc không tồn tại và nếu tồntại thì có thể được tính theo công thức

5 (Bất đẳng thức Chebyshev) Giả sử X là biến ngẫu nhiên bất kỳ Khi

đó nếu tồn tại DX thì với mọi ε > 0, ta có

Nó được gọi là chuẩn bậc p của X

Trong lý thuyết xác suất, ngoài bất đẳng thức Markov và bất đẳng thứcChebyshev, các bất đẳng thức sau cũng thường được sử dụng

Định lý 1.1.15 (Bất đẳng thức Cauchy- Bunhiakowski) Giả sử X, Y ∈ L2 Khi

Định lý 1.1.18 (Bất đẳng thức Cr) Giả sử X, Y ∈ Lr, r > 0 Khi đó

E|X + Y |r 6 cr(E|X|r + E|Y |r), (1.4)trong đó cr = max(1, 2r−1) chỉ phụ thuộc vào r

Định lý 1.1.19 (Bất đẳng thức Jensen) Giả sử ϕ : R → R là hàm lồi, X vàϕ(X) là các biến ngẫu nhiên khả tích Khi đó

Eϕ(X) > ϕ(EX) (1.5)

Định lý 1.1.20 (Bất đẳng thức Liapunov) Đối với biến ngẫu nhiên X ∈ Lt bất

kỳ và 0 < s < t, ta có

1.1.5 Các biến ngẫu nhiên độc lập

Định nghĩa 1.1.21 Hai biến cố A và B được gọi là hai biến cố độc lập nếu

P(AB) = P(A)P(B)

Họ biến cố {Ai, i ∈ I} được gọi làhọ độc lập đôi một nếu hai biến cố bất kỳcủa họ đều độc lập

Họ biến cố {Ai, i ∈ I} được gọi là họ độc lập toàn cục (gọi vắn tắt là

họ độc lập) nếu đối với mọi họ hữu hạn các biến cố Ai 1, Ai2, , Ain của họ

đó, ta đều có

P(Ai1Ai2 Ain) = P(Ai1)P(Ai2) P(Ain)

Định nghĩa 1.1.22 Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất Họ các lớp biến

cố {Ci : i ∈ I, Ci ⊂ F } được gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu với mọi

Trong đó Fn(x) và F (x) tương ứng là hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên

Xn và X, C(F ) là tập hợp các điểm mà tại đó F (x) liên tục

Định lý 1.2.2 Xn

h c c

−−−→ X khi và chỉ khi với mọi ε > 0,

limn→∞P(sup

Định lý sau đây sẽ chỉ ra điều kiện để chiều ngược của Hệ quả 1.2.3 đúng

Định lý 1.2.5 Nếu {Xn, n > 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập và Xn

h c c

−−−→ Cthì Xn

c

−

→ C

Định nghĩa 1.2.9 Ta nói dãy biến ngẫu nhiên {Xn, n > 1} là dãy cơ bản

• Hầu chắc chắn (h c c) nếu P( lim

Từ hai định lý trên, suy ra ngay hệ quả sau đây

Hệ quả 1.2.14 Nếu dãy {Xn, n > 1} hội tụ theo xác suất thì tồn tại dãy con{Xnk, k > 1} ⊂ {Xn, n > 1} sao cho {Xn k, k > 1} hội tụ hầu chắc chắn

Định lý 1.2.15 Với p > 1, dãy {Xn, n > 1} hội tụ theo trung bình cấp p khi

và chỉ khi {Xn, n > 1} cơ bản theo trung bình cấp p

1.2.2 Một số bất đẳng thức cơ bản

Trong lý thuyết xác suất, để thiết lập các định lý giới hạn, ta thường cầndùng các bất đẳng thức Dưới đây là một số trong các bất đẳng thức đối với cácbiến ngẫu nhiên độc lập

Định lý 1.2.16 Giả sử X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên độclập, EXi = 0, DXi = σ2i với mọi i = 1, 2, , n Đặt Sk = X1 + + Xk với

1 6 k 6 n Khi đó, với mọi ε > 0, ta có

(i) P(max16k6n|Sk| > ε) 6 1

ε2

nPi=1

σi2.(ii) Nếu P(max16k6n|Xk| 6 c) = 1 thì

P( max16k6n|Sk| > ε) > 1 − (ε + c)

2

Pn i=1σi2.

Hệ quả 1.2.17 Giả sử {Xn, n > 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, khả tíchbậc 2 Khi đó với mọi ε > 0, ta có

(i) P max

n6m6k|Sm− Sn| > ε
6 1

ε2

kXm=n+1

kXi=1

Xi

2

6 2

nXi=1

``luật số lớn'' được dùng đầu tiên bởi S D Poisson.

Định nghĩa 1.2.19 Giả sử {Xn, n > 1} là dãy biến ngẫu nhiên có kỳ vọng

Định lý 1.2.20 (Luật yếu số lớn Markov) Nếu {Xn, n > 1} là dãy biến ngẫunhiên độc lập đôi một và thỏa mãn điều kiện

1

n2

nXi=1

DXi → 0 khi n → ∞

thì {Xn, n > 1} tuân theo luật yếu số lớn

Định lý sau đây thiết lập luật mạnh số lớn Kolmogorov cho trường hợp dãybiến ngẫu nhiên độc lập không cùng phân phối.

Định lý 1.2.21 (Luật mạnh số lớn Kolmogorov) Giả sử {Xn, n > 1} là dãybiến ngẫu nhiên độc lập, 0 < bn ↑ ∞ Khi đó, nếu P∞

n=1

DXn

b2 n

< ∞ thì

1

bn

nXk=1(Xk− EXk) → 0 h c c

Hệ quả 1.2.22 Nếu {Xn, n > 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập và supnDXn =

C < +∞ thì

1n

nXi=1(Xi − EXi) → 0 h c c (n → ∞)

Định lý 1.2.23 (Etemadi) Giả sử {Xn, n > 1} là dãy biến ngẫu nhiên độc lập

đôi một, cùng phân phối Khi đó, nếu E|X1| < ∞ thì

1n

nXi=1

Hệ quả 1.2.24 (Luật số lớn Chebyshev-Khinchin) Giả sử {Xn, n > 1} là dãybiến ngẫu nhiên độc lập đôi một, cùng phân phối thỏa mãn E|Xn| < ∞ và

EXn = a (hữu hạn) với mọi n ∈ N Khi đó {Xn, n > 1} tuân theo luật số lớn

Hệ quả 1.2.25 (Bernoulli) Tần suất fn của một biến cố hội tụ hầu chắc chắn(do đó, hội tụ theo xác suất) về xác suất của biến cố đó khi n → ∞.

Chương 2

Luật số lớn đối với dãy các

phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian tuyến

tính định chuẩn

2.1 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không

gian metric

2.1.1 Các định nghĩa và tính chất cơ bản

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày các định nghĩa và tính chất của phần

tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian metric Các kết quả được đưa ra ở đâyvẫn đúng cho các không gian đặc biệt hơn (không gian tuyến tính định chuẩn,không gian Banach )

Ký hiệu (Ω, F , P) là không gian xác suất; (M, d) là không gian metric,

vớid là metric xác định trên tập M; B(M)là σ-đại số Borel của M(σ-đại số bénhất chứa tất cả các tập con mở của M).

Định nghĩa 2.1.1 Một ánh xạ V : Ω → M được gọi là phần tử ngẫu nhiênnhận giá trị trên M nếu {ω ∈ Ω : V (ω) ∈ B} ∈ F với mọi B ∈ B(M)

Nói cách khác, V : Ω → M được gọi là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trịtrên M nếu nó là ánh xạ F/B(M)-đo được

Phần tử ngẫu nhiên V : Ω → M được gọi là phần tử ngẫu nhiên rời rạcnếu |V (Ω)| không quá đếm được Đặc biệt, nếu |V (Ω)| hữu hạn thì V đượcgọi là phần tử ngẫu nhiên đơn giản (trong đó |V (Ω)| là lực lượng của tập hợp

V (Ω))

Định lý 2.1.2 Giả sử V là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên M và

T : M → M1 là một ánh xạ từ không gian metric M vào M1 đo được theo các

σ-đại số Borel Khi đó T (V ) là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên M1

Định lý 2.1.2 được suy ra từ tính chất: hợp của hai ánh xạ đo được là ánhxạ đo được

Định lý 2.1.3 Giả sử {En, n > 1} ⊂ F là dãy các biến cố đôi một xung khắcsao cho ∪∞

Định lý 2.1.4 Giả sử {Vn, n > 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giátrị trên M sao cho Vn(ω) → V (ω) với mọi ω ∈ Ω Khi đó, V là phần tử ngẫunhiên

Chứng minh Chúng ta chỉ cần chứng minh V−1(C) ∈ F với mọi tập con đóng

C của M Với mỗi số nguyên dương k lấy Ck = ∪x∈CN (x, 1k), trong đó

∞[n=1

∞

\m=n

Chứng minh Từ Định lý 2.1.4 suy ra rằng nếu tồn tại dãy các phần tử ngẫunhiên rời rạc hội tụ đều đến V , thì V là phần tử ngẫu nhiên

Ngược lại, Giả sử V : Ω → M là phần tử ngẫu nhiên và {xn, n > 1} làdãy trù mật trong M

Với mỗi n > 1, đặt

L1 = S(x1; 1/n);

L2 = S(x2; 1/n)L1;

Lm = S(xm; 1/n)

m−1[k=1

Lk;

.Khi đó Li ∩ Lj = ∅ (i 6= j),

Lm ∈ B(M)

Do {xn, n > 1} trù mật nên M =

∞Sm=1

Lm Gọi J = {m : Lm 6= ∅} Vớimỗi m ∈ J, ta lấy cố định ym ∈ Lm và lập ánh xạ Tn : M → M

Tn = Xm∈J

Vậy Vnlà phần tử ngẫu nhiên rời rạc Hơn nữa, với ω ∈ Ω thì V (ω) ∈ M,nên tồn tại m để V (ω) ∈ Lm Khi đó

d(Vn(ω), V (ω)) = d(Tn(V (ω)), V (ω)) < 2

n.Suy ra

supω∈Ω

d(Vn(ω), X(ω)) < 2

n → 0khi n → ∞ Định lý được chứng minh

Định lý 2.1.6 Giả sử (M, d) là không giam metric khả ly, U, V là các phần tửngẫu nhiên nhận giá trị trên M Khi đó d(U, V ) là biến ngẫu nhiên

Chứng minh Lấy B(M) ì B(M) là σ-đại số sinh bởi các tập có dạng E ì Fvới E, F ∈ B(M) Khi đó ta có B(M ì M) = B(M) ì B(M) Do đó, ánh xạ(U, V ) : Ω → M ì Mxác định bởi (U, V )(ω) = (U(ω), V (ω)) với mọi ω ∈ Ω

là phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên M ì M Vì d : M ì M → R là ánh xạliên tục, áp dụng Định lý 2.1.2 suy ra d(U, V ) là phần tử ngẫu nhiên nhận giátrị trên R Điều đó có nghĩa là d(U, V ) là một biến ngẫu nhiên

2.1.2 Các dạng hội tụ

Định nghĩa 2.1.7 Giả sử {Vn, n > 1} là dãy các phần tử ngẫu nhiên nhận giátrị trên không gian metric khả ly M Khi đó, dãy {Vn, n > 1} được gọi là hội

tụ đến phần tử ngẫu nhiên V

(i) với xác suất một hay hầu chắc chắn, nếu

P

hlimn→∞d(Vn, V ) = 0

i

= P

h

ω : limn→∞d(Vn(ω), V (ω)) = 0

cấp r) đến 0 khi n → ∞ Do đó, bằng cách sử dụng các tính chất tương ứngcủa dãy biến ngẫu nhiên thực, ta có ngay các tính chất sau đây của dãy phần

tử ngẫu nhiên

1 Vn → V h c c (n → ∞) khi và chỉ khi với mọi ε > 0,

limn→∞P sup

m>nd(Vn, V ) > ε
= 0

Định lý 2.1.8 Giả sử {Vn, n > 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trênkhông gian metric khả lý M Nếu với r > 0 và phần tử ngẫu nhiên V nhận giátrị trên M thỏa mãn

∞Xn=1

E [d(Vn, V )r] < ∞thì Vn c

−

→ V khi n → ∞

Chứng minh Ta có với mọi ε > 0 thì

∞Xn=1

P [d(Vn, V ) > ε] 6 1

εr

∞Xn=1

E [d(Vn, V )r] < ∞

Từ đó suy ra kết luận của Định lý

Định nghĩa 2.1.9 Ta nói dãy phần tử ngẫu nhiên {Vn, n > 1} là dãy cơ bản:

• hầu chắc chắn nếu P( lim

Định lý 2.1.10 Nếu {Vn, n > 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trênkhông gian metric đầy đủ, khả ly (M, d) thì {Vn, n > 1} cơ bản hầu chắc chắnkhi và chỉ khi dãy {Vn, n > 1} hội tụ hầu chắc chắn.

Chứng minh Ta có

d(Vl, Vk) 6 d(Vl, Vn) + d(Vn, Vk)suy ra

2)

Do đó, (i) tương đương với (ii) Ta sẽ chứng minh dãy {Vn, n > 1} cơ bản hầuchắc chắn khi và chỉ khi điều kiện (i) thoả mãn Đặt

∆n(ε) =

∞[k,l=n(d(Vk, Vl) > ε) =

supk,l>nd(Vk, Vl) > ε

.Khi đó, (∆n(ε)) là dãy giảm và ta có

( limk,l→∞d(Vk, Vl) = 0) =

∞

\m=1

∞[n=1

∆n( 1

m)suy ra {Vn, n > 1} cơ bản h c c

⇔ P(

∞

\m=1

∞[n=1

4n(1/m)) = 1

⇔ P(

∞[m=1

∞

\n=1

4n(1/m)) = 0 ⇔ P(

∞

\n=1

4n(1/m)) = 0

⇔ limn→∞P(4n(1/m)) = 0 (∀m) ⇔ lim

n→∞P(4n(ε)) = 0với mọi ε > 0 Đó là điều cần chứng minh

Định lý 2.1.12 Nếu {Vn, n > 1} là dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trênkhông gian metric khả ly (M, d) và {Vn, n > 1} cơ bản theo xác suất thì tồntại dãy con {Vnk, k > 1} ⊂ {Vn, n > 1} sao cho {Vnk, k > 1} hội tụ hầu chắcchắn

Chứng minh Vì {Vn, n > 1} cơ bản theo xác suất nên với mọi ε > 0,

limm,n→∞P(d(Vm, Vn) > ε) = 0

22, tồn tại n2 > n1 sao cho với mọi m, n > n2,

P(d(Vm, Vn) > 1

22) < 1

22

Luật số lớn dãy các

phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian tuyến< /h2>

tính định chuẩn< /h2>

2.1 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không< /h3>... ∈ F với B ∈ B(M)

Nói cách khác, V : Ω → M gọi phần tử ngẫu nhiên nhận giá tr? ?trên M ánh xạ F/B(M)-đo

Phần tử ngẫu nhiên V : Ω → M gọi phần tử ngẫu nhiên rời rạcnếu |V (Ω)| không. .. minh Từ Định lý 2.1.4 suy tồn dãy phần tử ngẫunhiên rời rạc hội tụ đến V , V phần tử ngẫu nhiên

Ngược lại, Giả sử V : Ω → M phần tử ngẫu nhiên {xn, n > 1} l? ?dãy trù mật