Nghiên cứu phương pháp lặp phi tuyến tìm nghiệm bài toán đặt không chỉnh tuyến tính trong không gian banach

KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNGNGUYỄN THỊ KIM OANH NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP LẶP PHI TUYẾN TÌM NGHIỆM BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 6

KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

NGUYỄN THỊ KIM OANH

NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP LẶP PHI TUYẾN TÌM NGHIỆM BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH TUYẾN TÍNH TRONG

KHÔNG GIAN BANACH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS TS NGUYỄN VĂN KÍNH

2 Thư ký: TS ĐẶNG VĂN VINH

3 Phản biện 1: TS NGUYỄN BÁ THI

4 Phản biện 2: PGS TS TÔ ANH DŨNG

5 Ủy viên: TS LÊ XUÂN ĐẠI

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyênngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG

PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY PGS TS HUỲNH QUANG LINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - Tự do - Hạnh Phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên: NGUYỄN THỊ KIM OANH Mã số học viên: 1570246

Ngày, tháng, năm sinh: 12/12/1991 Nơi sinh: Đắc Lắc

Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112

I TÊN ĐỀ TÀI: Nghiên cứu phương pháp lặp phi tuyến tìm nghiệm

bài toán đặt không chỉnh tuyến tính trong không gian Banach

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

- Đọc hiểu và trình bày lại có hệ thống phần kiến thức cơ sở liên quan đến

luận văn

- Nghiên cứu phương pháp lặp phi tuyến tìm nghiệm bài toán đặt không

chỉnh trong không gian Banach

- Đưa ra ví dụ số minh họa

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 04/07/2016

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 19/06/2017

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS NGUYỄN VĂN KÍNH

Tp HCM, Ngày tháng năm CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

(Họ tên và chữ ký) (Họ tên và chữ ký)

PGS TS NGUYỄN VĂN KÍNH PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY

TRƯỞNG KHOA(Họ tên và chữ ký)

PGS TS HUỲNH QUANG LINH

Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới Thầy hướngdẫn PGS TS Nguyễn Văn Kính – Trưởng khoa Khoa học Cơ bản - TrườngĐại học Công nghiệp Thực phẩm Tp Hồ Chí Minh, người đã luôn tận tụy,nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy, quan tâm giúp đỡ, truyền đạt kiến thức vàtạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn.

Tôi xin gửi lời cảm ơn Quý Thầy, Cô trong Bộ môn Toán Ứng Dụng, khoaKhoa học ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa, Đại học Quốc gia thành phố

Hồ Chí Minh đã hết lòng giảng dạy, truyền thụ kiến thức và tạo mọi điều kiệntốt nhất để tôi hoàn thành luận văn của mình

Tôi xin cảm ơn các anh chị, các bạn lớp Cao học ngành Toán Ứng Dụngkhóa 2015 đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học và quá trình thựchiện luận văn này

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè của mình, những người đãluôn ở bên cạnh động viên, tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi suốt thời gianhọc tập

Cuối cùng, trong quá trình thực hiện luận văn khó tránh khỏi những thiếusót, rất mong nhận được sự góp ý của quý Thầy, Cô và bạn đọc để bổ sung vàhoàn thiện đề tài tốt hơn

Tp Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Kim Oanh

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu những vấn đề sau:

1 Trình bày cơ sở lý thuyết của bài toán đặt không chỉnh tuyến tính vàphương pháp lặp phi tuyến

2 Nghiên cứu phương pháp lặp phi tuyến tìm nghiệm cho bài toán đặtkhông chỉnh trong không gian Banach, đánh giá tốc độ hội tụ

3 Đưa ra bài toán cụ thể, phân tích kết quả đạt được

4 Phương pháp giải số

5 Mô hình bài toán

Tôi tên là Nguyễn Thị Kim Oanh, mã học viên: 1570246, học viên cao họcchuyên ngành Toán Ứng Dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ ChíMinh khóa 2015 - 2017 Tôi xin cam đoan rằng ngoại trừ các kết quả thamkhảo từ các công trình khác như đã ghi rõ trong luận văn, các công việc trìnhbày trong luận văn này là do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.

TS Nguyễn Văn Kính và tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm tính trung thực về

đề tài nghiên cứu này

Tp Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2017

Học viên thực hiện

Nguyễn Thị Kim Oanh

Ký hiệu Ý nghĩa

C[a,b] Không gian các hàm liên tục trên [a, b]

L2[a,b] Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b] o(.) Đại lượng vô cùng bé bậc cao

O(.) Đại lương vô cùng bé cùng bậc

lim Giới hạn trên

Rl×q Vành các ma trận thực, cỡ l × q

L(X) Tập hợp tất cả toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X

Pn(T ) Đa thức của T hội tụ trong L(X)

1 Lý do chọn đề tài

Trong lĩnh vực khoa học - kĩ thuật, đặc biệt là trong toán học có rất nhiềubài toán đặt không chỉnh theo nghĩa của Hadamard Đối với các bài toánnày không thể dùng các phương pháp tính thông thường để tìm nghiệmgần đúng của chúng mà phải sử dụng các phương pháp biến phân đặc biệt.Trong những năm gần đây người ta đưa ra một số phương pháp lặp điềuchỉnh để tìm nghiệm gần đúng của bài toán đặt không chỉnh tuyến tính,trong đó có phương pháp lặp phi tuyến

Đề tài: “Nghiên cứu phương pháp lặp phi tuyến tìm nghiệm bàitoán đặt không chỉnh tuyến tính trong không gian Banach” sẽtập trung nghiên cứu phương pháp lặp phi tuyến tìm nghiệm gần đúngcủa bài toán đặt không chỉnh tuyến tính và ứng dụng của nó vào thực tế

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Tìm hiểu phương pháp lặp phi tuyến tìm nghiệm có chuẩn cực tiểu (nghiệmbình phương bé nhất) của phương trình toán tử Ax = y trong không gianBanach X, Y với A là toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Phươngpháp lặp là phi tuyến vì nó được xây dựng phụ thuộc vào các ánh xạ đốingẫu của các không gian X và Y là phi tuyến; đánh giá tốc độ hội tụ củanghiệm; đồng thời đưa ra các ví dụ minh họa, chạy mô phỏng trên phầnmềm Mathlab

3 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp tham khảo tài liệu: tìm hiểu cơ sở lý thuyết và thực tiễnthông qua các tài liệu, luận văn liên quan

- Phương pháp mô hình hóa: xây dựng thuật toán và giải thuật tính toán

- Phương pháp thống kê: để phân tích và xử lý số liệu trong đánh giáphương pháp sử dụng.

- Phương pháp so sánh: so sánh kết quả trong bài nghiên cứu với kết quảthực nghiệm và của một số phương pháp khác

Bố cục của luận văn được trình bày như sau: Danh mục chữ viết tắt và kíhiệu, lời mở đầu, nội dung chính của luận văn (gồm 3 chương), kết luận, tàiliệu tham khảo

Nội dung chính của luận văn gồm 3 chương:

- Chương 1: Các kiến thức cơ sở

Gồm Phổ của toán tử tuyến tính liên tục, Đạo hàm Fréchet, Toán tử ngượcMoore-Penrose, Bài toán đặt chỉnh và bài toán đặt không chỉnh, Một số tínhchất hình học của không gian Banach, Toán tử đối ngẫu của không gian Banach,Nghiệm bình phương tối tiểu, Khoảng cách Bregman và Phương pháp điềuchỉnh tổng quát, phương pháp điều chỉnh Tikhonov

- Chương 2: Các phương pháp lặp phi tuyến tìm nghiệm bài toán đặtkhông chỉnh trong không gian Banach

Chương này trình bày phương pháp lặp phi tuyến để tìm nghiệm bài toán đặtkhông chỉnh trong không gian Banach bao gồm Phương pháp lặp Landweber

và Phương pháp lặp phi tuyến đối với trường hợp dữ liệu chính xác và dữ liệugần đúng cũng như Nguyên tắc sai số đối với quy luật dừng

- Chương 3: Các ví dụ số và một số ứng dụng

Chương này trình bày hai ví dụ áp dụng Phương pháp lặp phi tuyến tìmnghiệm xấp xỉ cho bài toán đặt không chỉnh đối với trường hợp dữ liệu chínhxác và dữ liệu gần đúng

Mục lục

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU iv

1.1 Phổ của toán tử tuyến tính liên tục 1

1.1.1 Toán tử liên hợp 1

1.1.2 Toán tử tự liên hợp 2

1.1.3 Toán tử chiếu 2

1.1.4 Phổ của toán tử tuyến tính liên tục 3

1.1.5 Phổ của toán tử tự liên hợp 4

1.1.6 Hàm của toán tử tự liên hợp 5

1.2 Đạo hàm Fréchet 7

1.3 Toán tử ngược Moore-Penrose 7

1.4 Bài toán đặt chỉnh, bài toán đặt không chỉnh 11

1.5 Một số tính chất hình học của không gian Banach 12

1.5.1 Hệ số lồi (Modulus of convexity) 12

1.5.2 Hệ số trơn (Modulus of smoothness) 16

1.6 Toán tử đối ngẫu của không gian Banach 17

1.7 Nghiệm bình phương tối tiểu 20

1.9 Phương pháp điều chỉnh tổng quát, phương pháp điều chỉnh Tikhonov 24Chương 2 Các phương pháp lặp phi tuyến tìm nghiệm bài toán

đặt không chỉnh trong không gian banach 342.1 Phương pháp lặp Landweber 342.2 Phương pháp lặp phi tuyến 422.2.1 Phương pháp lặp phi tuyến đối với trường hợp dữ liệu chính

xác 432.2.2 Phương pháp lặp phi tuyến đối với trường hợp dữ liệu gần

đúng 482.2.3 Dùng nguyên tắc sai số đối với quy luật dừng 53Chương 3 Các ví dụ số và ứng dụng 54KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 60

hT∗y, xi = hy, T xi , ∀y ∈ Y.

Nhận xét 1.1.1

• Tương tự như trên ta định nghĩa toán tử liên hợp của T∗, kí hiệu là T∗∗= (T∗)∗ Nếu X, Y là các không gian Hilbert và T : X −→ Y là toán tử tuyếntính liên tục thì T∗∗= T

• Cho X, Y là các không gian Hilbert và T : X −→ Y là toán tử tuyến tínhliên tục, ta kí hiệu

N (T ) = KerT = T−1(0) = {x ∈ X : T x = 0} ,

R (T ) = ImT = T (X) = {y ∈ Y : y = T x, ∀x ∈ X}.

Khi đó N (T ) là không gian đóng của X và R(T ) là không gian con của Y.Định lý 1.1.1 [2] Cho X, Y là hai không gian Hilbert, T : X −→ Y là toán tửtuyến tính liên tục Khi đó

kT k = sup {|hT x, xi| : kxk ≤ 1} = sup{|hT x, xi| : kxk = 1}

Định lý 1.1.3 [2] Giả sử T là toán tử tuyến tính liên tục trong không gianHilbert phức X Khi đó, T tự liên hợp khi và chỉ khi hT x, xi là số thực, với mọi

Định lý 1.1.4 [2] Giả sử P là toán tử tuyến tính liên tục trong không gianHilbert X Khi đó ta có

Khi đó, P là toán tử chiếu lên không gian con đóng M = R(P )

1.1.4 Phổ của toán tử tuyến tính liên tục

Định nghĩa 1.1.4 [2] Cho T là toán tử tuyến tính liên tục trong không gianđịnh chuẩn X và I là toán tử đồng nhất trên X Số λ được gọi là phổ của T

hay giá trị phổ của toán tử T nếu toán tử (T − λI) : X −→ X không có toán tửngược liên tục

Tập tất cả các giá trị phổ của toán tử T được gọi là phổ của T và kí hiệu là

σ(T ) Số µ / ∈ σ(T ) được gọi là một giá trị chính quy của T Tập tất cả các giátrị chính quy của T gọi là tập giải của T, kí hiệu ρ(T )

Từ Định lý 1.1.5 dễ dàng suy ra các Hệ quả sau

Hệ quả 1.1.1 [2] Giả sử X là không gian Banach và T ∈ L(X) Nếu λ ∈ K

thỏa mãn |λ| > kT k thì λ ∈ ρ (T )

Hệ quả 1.1.2 [2] Giả sử X là không gian Banach và T ∈ L(X) Nếu λ ∈ K

thỏa kT k < 1 thì tồn tại toán tử ngược liên tục (T + I)−1 được xác định bởi

Hệ quả 1.1.3 [2] Giả sử X là không gian Banach và T ∈ L(X) Khi đó

sup |σ (T )| := sup{|λ| : λ ∈ σ (T ) ≤ lim

n→∞

n

p

||T n ||

Định nghĩa 1.1.5 [2] Cho X là không gian Hilbert và T ∈ L (X) T được gọi

là toán tử dương nếu hT x, xi ≥ 0, ∀x ∈ X, kí hiệu T ≥ 0

Định lý 1.1.6 [2] Cho X là không gian Hilbert và A ∈ L (X) , A ≥ 0 Khi đó,tồn tại duy nhất B ≥ 0 sao cho B2 = A Khi đó, toán tử B gọi là căn bậc haidương của toán tử A và kí hiệu là A12

1.1.5 Phổ của toán tử tự liên hợp

Định nghĩa 1.1.6 [5] Họ {Eλ}λ∈R các phép chiếu trực giao xác định trênkhông gian Hilbert X được gọi là họ phổ xác định trên X nếu nó thỏa mãn cácđiều kiện sau

i) EλE µ = Emin{λ,µ} , λ, µ ∈ R.

ii) E−∞= 0, E+∞= I, trong đó E±∞x = limλ→±∞Eλx, ∀x ∈ X

iii) Eλ−0 = Eλ, trong đó Eλ−0 = limε→0+ Eλ−εx, ∀x ∈ X

Định lý 1.1.7 [4] Giả sử T ∈ L(X) là toán tử tự liên hợp trong không gianHilbert X Với mỗi λ ∈ R, xét Eλ là phép chiếu trực giao lên không gian conđóng N (Tλ+) Khi đó, {Eλ}λ∈R là họ phổ xác định trên X

Định nghĩa 1.1.7 [4] Họ {Eλ}λ∈R xác định trong Định lý 1.1.7 được gọi làphổ sinh bởi toán tử tự liên hợp T

Hệ quả 1.1.4 [4] Mọi giá trị riêng λ của một toán tử tự liên hợp T đều làgiá trị thực

Định lý 1.1.8 [5] Giả sử T ∈ L (X) là toán tử tự liên hợp Đặt

mT = inf

x∈X {hT x, xi | kxk = 1} ,

1.1.6 Hàm của toán tử tự liên hợp

Định nghĩa 1.1.8 [5] Cho X là không gian Hilbert và T ∈ K (X) , f ∈ C[a,b],trong đó a ≤ mT ≤ MT < b Khi đó tồn tại dãy đa thức {Pn} sao cho Pn → f

theo k.k∞ trong C[a,b] Toán tử f (T ) được định nghĩa

f (T ) = lim

n→∞ Pn(T )

Định nghĩa 1.1.9 [5] Giả sửf là hàm số liên tục trên R, {Eλ}λ∈R là họ phổxác định trên không gian Hilbert X Gọi σn là phép phân hoạch đoạn [a, b], vớicác điểm chia λ i sao cho

f (λ) dEλx.

Định lý 1.1.9 [4] Cho T là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert

X vào không gian Hilbert Y Khi đó với f ∈ C[a,b] ta có

f (T∗T ) T∗ = T∗f (T T∗) (1.1.1)Định lý 1.1.10 [4] Cho T là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert X

f (λ) dEλ(x), ∀x ∈ X,

và

kf (T )k ≤ kf k∞, với kf k∞ = max

t∈[a,b] |f (t)|

Định lý 1.1.11 [4] Giả sử T là toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert

X với họ phổ {Eλ}λ∈R Với mọi x ∈ X, gọi M 0 là tập tất cả các hàm đo đượcvới độ đo tương ứng dkEλxk2 Khi đó, với mọi f ∈ M0 ta có

Z +∞

−∞

f (λ) dEλx =

Z kT k20

f (λ) dEλx = lim

ε→0

Z kT k2+ε 0

f (λ) dEλx.

Định lý 1.1.12 [5] (Bất đẳng thức nội suy) Cho T là toán tử tuyến tính liêntục từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đó, với q > r ≥ 0 vàvới mọi x ∈ X, ta có

(T∗T )rx ≤ (T∗T )qx

r

q kxk1−rq (1.1.2)Định lý 1.1.13 [5] Giả sử T là toán tử tuyến tính liên tục từ không gianHilbert X vào không gian Hilbert Y Khi đóm với q > r ≥ 0 và với mọi x ∈ X,

1.2 Đạo hàm Fréchet

Định nghĩa 1.2.1 [4] Cho X, Y là hai không gian định chuẩn trên trường số

K, D ⊂ X là tập mở khác rỗng Ánh xạ f : D → Y được gọi là khả vi Fréchettại x0 ∈ D nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính bị chặn f0(x0) ∈ L (X, Y ) sao cho

lim

h→0

kf (x0+ h) − f (x0) − f0(x0) hk

f0(x0) được gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x0

Nhận xét 1.2.1 Nếu f là hàm khả vi Fréchet tại x0 ∈ D thì f0(x0) được xácđịnh duy nhất

Bổ đề 1.2.1 [4] Giả sử X là không gian Hilbert thực và F : X → R, với

F (u) = kuk2 Khi đó, ta có

F0(u) (v) = 2 hv, ui

Bổ đề 1.2.2 [4] Giả sử X là không gian Hilbert thực và F : X → R, với

F (u) = kuk2, T là toán tử tuyến tính liên tục Khi đó, ta có

i) Nếu F (u) = kT uk2 thì F0(u) (v) = 2 hT∗T u, vi

ii) Nếu F (u) = kT u − yk2 thì F0(u) (v) = 2 hT∗T u − T∗y, vi

iii) Nếu F (u) = kT u − yk2+ αkuk2 thì F0(u) (v) = 2 hT∗T u − T∗y + αu, vi

1.3 Toán tử ngược Moore-Penrose

Cho X, Y là hai không gian Hilbert, y ∈ Y, F là toán tử tuyến tính liên tục

Vì F là song ánh tuyến tính liên tục từ N (F )⊥ lên R(F ) nên tồn tại toán tửngược F−1: R (F ) → N (F )⊥.

Định nghĩa 1.3.1 [5] Toán tử ngược Moore - Penrose của F ∈ L(X, Y ), kíhiệu là F+, là mở rộng tuyến tính duy nhất của F−1 trên

Vì Qy ∈ R(F ) nên F−1Qy ∈ N (F )⊥ và

F F+y = F F−1Qy = F F−1Qy.

Suy ra được điều cần chứng minh F F+= Q|D(F+ )

ii) Với mọi x ∈ X, x = P x + (I − P ) x, P là phép chiếu trực giao từ X lên

N (F ) nên (I − P ) x ∈ N (F )⊥ và

F (I − P ) x = F (I − P ) x.

Ngoài ra, P x ∈ N (F ) nên F P x = 0, suy ra F−1F P x = 0

Do đó: F+F x = F−1F x = F−1F P x + F−1F (I − P ) x = F−1F (I − P ) x = (I − P ) x

ii) x ∈ X được gọi là nghiệm xấp xỉ tốt nhất của phương trình (1.3.1) nếux lànghiệm bình phương tối tiểu của phương trình (1.3.1) và kxk = inf{kzk : z

là nghiệm bình phương tối tiểu của (1.3.1)}

Định lý 1.3.2 [4] Giả sử X, Y là các không gian Hilbert, F : X −→ Y là toán

tử tuyến tính liên tục Khi đó, ∀x ∈ X các mệnh đề sau tương đương

i) F x = Qy, với Q là phép chiếu trực giao của Y lên R(F )

Tập hợp tất cả các nghiệm bình phương tối tiểu là x++ N (F )

Chứng minh Nếuy ∈ D F+
thì phương trình (1.3.1) có duy nhất một nghiệmxấp xỉ tốt nhất x+ := F+y trong N (F )⊥ Thật vậy, giả sử x1, x2 là hai nghiệmbình phương tối tiểu thì ta có

[F x1 = Qy, F x2 = Qy, F (x1− x2) = 0 hay (x1− x2) ∈ N (F )

Suy ra x1 = x2 Do đó, nghiệm bình phương tối tiểu là nghiệm xấp xỉ tốtnhất x+ := F+y trong N (F )⊥

Ta chứng minh nếu y ∈ D(F+), thì F+y là nghiệm xấp xỉ tốt nhất củaphương trình (1.3.1) trong N (F )⊥

Giả sửF+y / ∈ N (F )⊥, khi đó tồn tạiz ∈ N (F )sao chokzk = 1và F+y, z6= 0

Chứng minh Ta có xlà nghiệm bình phương tối tiểu của phương trình F x = y

khi và chỉ khi F x là phần tử gần y nhất trong R(F ), nghĩa là

(F x − y) ∈ R(F )⊥= N (F∗)

Điều này tương đương với F∗(F x − y) = 0

Do đó, ta có điều cần chứng minh

1.4 Bài toán đặt chỉnh, bài toán đặt không chỉnh

Định nghĩa 1.4.1 Cho X và Y là các không gian định chuẩn và F : X −→ Y

là toán tử tuyến tính hoặc phi tuyến Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiệncho tương ứng y ∈ Y sao cho

F x = y,

được gọi là đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard nếu nó thỏa mãn ba điều kiện sau

i) Với mỗi y ∈ Y, tồn tại x ∈ X sao cho F x = y.

ii) Với mỗi y ∈ Y, có duy nhất x ∈ X sao cho F x = y

iii) Bài toán ổn định trên cặp không gian (X, Y ), nghĩa là F tồn tại toán tửngược F−1: Y −→ X liên tục trên Y

Nếu có ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn thì ta nói bàitoán tìm nghiệm của phương trình trên được gọi là đặt không chỉnh, còn nếuchỉ điều kiện (iii) không thỏa mãn thì bài toán tìm nghiệm của phương trìnhtrên gọi là không ổn định

Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh Xét bài toán cực tiểu hàm F (y) = y trênđoạn thẳng y = a 0 x + b 0 chứa góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy và

a 0 , b 0 là các số cho trước

Giả sử a0 = 0, thay cho a0 ta có aδ : |aδ− a0| < δ Xét 2 trường hợp:

Nếu aδ > 0, xét đường thẳng d1 : y = aδx + b0 thay cho đường thẳng y = b0.Giá trị cực tiểu của hàm f (y) = y trên một phần của d1 nằm trong vùng

{x ≥ 0, y ≥ 0} đạt được tại điểm (0, b0), nghĩa là khi x = 0 thì f (0) = b0

Nếu aδ < 0, xét đường thẳng d2 : y = aδx + b0 thay cho đường thẳng y = b0.Giá trị cực tiểu của hàm f (y) = y trên một phần của d2 nằm trong vùng

{x ≥ 0, y ≥ 0} đạt được tại điểm (x 2 (δ) , 0)(vớix 2 (δ) là hoành độ giao điểm của

d2 và trục hoành), nghĩa là khi δ −→ 0, aδ −→ 0 thì x2(δ) −→ ∞ Do đó, bàitoán trên không ổn định

1.5 Một số tính chất hình học của không gian Banach

1.5.1 Hệ số lồi (Modulus of convexity)

Định nghĩa 1.5.1 [8] Một không gian gian định chuẩn X được gọi là lồiđều nếu với mọi ε ∈ (0, 2] tồn tại một δ = δ (ε) > 0 sao cho nếu x, y ∈ X với

kxk ≤ 1, kyk ≤ 1 và kx − yk ≥ ε thì 12(x + y) ≤ 1 − δ

Ví dụ 1.5.1

a) Mọi không gian con Hilbert H là không gian lồi đều.

b) Cho X = Lp(µ) là không gian của các hàm đo được f với |f |p khả tích, cóchuẩn

Khi đó, với 1 < p < ∞, không gian L p (µ) là không gian lồi đều

c) Cho 1 < p < ∞, không gian lp của tất cả các chuỗi số

∞

P

i=1

xi (thực hoặcphức) sao cho P∞

i=1 |xi|p < +∞ là không gian lồi đều

Định nghĩa 1.5.2 [8] Một không gian định chuẩn X được gọi là lồi ngặt nếuvới mọi x, y ∈ X, x 6= y, kxk = kyk = 1, ta có kλx + (1 − λ) yk < 1, ∀λ ∈ (0, 1).Định lý 1.5.1 Mọi không gian lồi đều thì lồi ngặt

Chứng minh Cho không gian lồi đều X và x, y ∈ X, x 6= y, kxk = kyk = 1 Cho

Điều phải chứng minh

Một hàm thực f được gọi là lồi nếu nó thỏa bất phương trình sau

f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y), ∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ D(f )

Bổ đề 1.5.1 [8] Mọi hàm lồi f trong tập lồi trong R là liên tục

Định nghĩa 1.5.3 [8] Cho X là một không gian định chuẩn với dimX ≥ 2

Hệ số lồi (Modulus of convexity) của X là hàm δX : (0, 2] → [0, 1] định nghĩabởi

Với mỗi không gian Hilbert H, ta có δH () = 1 −

q

1 − 2
2

Bổ đề 1.5.2 [8] Với mỗi không gian định chuẩn X, hàm δX (ε)

ε là một hàmkhông giảm trong (0, 2]

Chứng minh Cố định0 < η ≤ ε vớiη ≤ ε và x, y trong X sao cho kxk = 1 = kyk

ku − vk =

1 η

ku + vk =

x+y kx+yk − u+v2

ku + vk

=

x+y kx+yk − x+y2

Bằng cách lấy giá trị nhỏ nhất có thể của x, y với ε = kx + ykvà kxk = kyk =

1, ta được δX (η)

η ≤ δX (ε)

ε Định lý 1.5.2 [8] Một không gian định chuẩn X là lồi đều nếu và chỉ nếu

δX(ε)> 0 với mọi ε > (0, 2]

Chứng minh NếuX là lồi đều, với mọiε > 0tồn tạiδ > 0sao cho δ ≤ 1− x+y2

với mọi x và y sao cho kxk = kyk = 1 và ε ≤ kx − yk Do đó δX(ε) > 0

Ngược lại giả sử 0 < δX(ε) với mọi ε ∈ (0, 2] Chọn một ε ∈ (0, 2] và lấy x, y

với kxk = kyk = 1 và ε ≤ kx − yk Khi đó

a ∨ b = max {a, b} , a ∧ b = min{a, b}.

Định lý 1.5.3 [8] Nếu X là lồi đều thì với mọi x, y, ∈ X

kx − ykp≥ kxkp− p hjp(x) , yi + σp(x, y), (1.5.1)với

σp(x, y) = pKp

Z 1 0

(kx − tykWkxk)p



t kyk 2(kx − tykWkxk)



dt (1.5.2)và

3 − 1)q), 1 − (1 + (2 − √

3)q)1−p}.

(1.5.3)

1.5.2 Hệ số trơn (Modulus of smoothness)

Một không gian Banach được gọi là trơn nếu với mọi x ∈ X với kxk = 1,tốn tại duy nhất một x∗ ∈ X∗ sao cho kx∗k = hx, x∗i = 1

Định nghĩa 1.5.4 [8] Cho X là một không gian định chuẩn với 2 ≤ dimX

Hệ số trơn (Modulus of smoothness) của X là hàm ρX : [0, ∞) → [0, ∞) đượcđịnh nghĩa bởi

ρX(τ ) = 1

2sup {kx + yk + kx − yk − 2 : kxk = 1, kyk ≤ τ }

Định lý 1.5.4 [8] Một không gian định chuẩn X là trơn, lồi đều nếu và chỉnếu lim τ →0ρXτ(τ ) = 0

Chú ý 1.5.1 Tính chất trơn cũng liên quan tới tính khả vi của chuẩn:

i) X là trơn nếu chuẩn khả vi Gâteaux trong X\{0}

ii) X là trơn, lồi đều nếu chuẩn là khả vi Fréchet đều trong quả cầu đơn vị.Định lý 1.5.5 [8]

i) X là trơn, lồi đều khi và chỉ khi X∗ là lồi đều

ii) X là lồi đều khi và chỉ khi X∗ là trơn, lồi đều

Hệ quả 1.5.1 Mọi không gian trơn, lồi đều là không gian phản xạ

Định lý 1.5.6 [8] Một không gian định chuẩn X được gọi là phản xạ nếu nóthõa các điều kiện tương đương sau:

i) X là lồi đều (trơn, lồi đều) nếu X∗ là trơn, lồi đều

ii) Nếu X là lồi đều thì X là phản xạ và lồi ngặt

iii) Nếu X là trơn đều thì X là phản xạ và trơn

iv) Cho X là phản xạ Khi đó X là lồi ngặt (trơn) nếu X∗ là trơn (lồi ngặt)

1.6 Toán tử đối ngẫu của không gian Banach

Trong không gian Hilbert cho trước H, với mọi x∗ trong H∗, theo Định lýRiesz, tồn tại duy nhất x ∈ H sao cho

kxk = kx∗k và hy, x∗i = hy, xi , ∀y ∈ H.

Trong trường hợp y = x, ta có hx, x∗i = hx, xi = kxk kx∗k Theo Định lýHahn-Banach, vớix cho trước trong không gian BanachX, tồn tại ít nhất một

x∗ trong X∗ sao cho

hx, x∗i = kxk kx∗k

Định nghĩa 1.6.1 [8] Một hàm liên tục và tăng ngặt p : R+ →R sao cho

p (s) ds,

khi đó ψ là một hàm lồi trong R+

Định nghĩa 1.6.2 [8] Cho một hàm Gauge p, ánh xạ Jp : X → 2X∗ được địnhnghĩa

Jp(x) := {x∗ ∈ X∗: hx∗, xi = kxk kx∗k , kx∗k = p(kxk)},được gọi là ánh xạ đối ngẫu với hàm Gauge p trong không gian định chuẩn

X

Trong trường hợp cụ thể p (t) = t, ánh xạ đối ngẫu J = Jp được gọi là ánh

xạ đối ngẫu thông thường (nomalized duality map)

Cụ thể trong luận văn này ta định nghĩa ánh xạ Jp : X → 2X∗

a) Với một không gian Hilbert, J2 là ánh xạ đồng nhất.

b) Trong không gian Lr, chúng ta có

i) X là lồi ngặt nếu với mỗi ánh xạ đối ngầuJp củaX là đơn điệu ngặt, nghĩa

là hx∗− y∗, x − yi > 0 với mọi x, y ∈ X với x 6= y và x∗ ∈ Jp(x) , y∗ ∈ Jp(y).ii) X là trơn nếu mọi ánh xạ đối ngẫu Jp của X là đơn trị (single valued).iii) Nếu X là phản xạ , lồi ngặt và trơn thì J p là duy nhất, chuẩn liên tục yếu

và song ánh Nghịch đảo Jp−1 : X∗ → X được cho bởi Jp−1 = Jq∗ với Jq∗ làánh xạ đối ngẫu của X∗ với hàm Gauge t 7−→ tq−1

iv) Cho M 6= ∅ là tập con đóng của X Nếu X là lồi đều thì tồn tại duy nhất

e

σp(x, y) = pGp

Z 1 0

c = 4 √τ0

1+τ 2

Q∞ j=1 1 + 215j+2 τ0
với τ0 =

√ 339−18

30 Chú ý 1.6.1

i) Cho p = 2 trong không gian thực Hilbert, ta có

kx − yk2= kxk2− 2 hx, yi + kyk2.

ii) Trong thực tế đẳng thức phía trên là tính chất của không gian Banach trơn,lồi đều

1.7 Nghiệm bình phương tối tiểu

Cho X và Y là không gian Banach và

i) Tồn tại nghiệm x chuẩn nhỏ nhất của phương trình (1.7.1) và Jp(x) ∈ R(A ∗ ).

ii) Nếu x ∈ X là nghiệm chuẩn nhỏ nhất của (1.7.1) và x ∈ X ˜ thõa Jp(˜ x) ∈ R(A ∗ ) và x − ˜ x ∈ N (A) thì x = x ˜

Chứng minh Tập M := {z ∈ X : Az = y}là tập con lồi, đóng, khác rỗng của X

vì y ∈ R(A) và A là một toán tử tuyến tính liên tục

Từ Định lý 1.6.2 (iv) chứng minh được sự tồn tại của nghiệm có chuẩn nhỏnhất x của phương trình (1.7.1)

Với z là một phần tử đại số của N (A) Khi đó (x ± z) ∈ M và từ Định lý1.6.2(iv) ta có

hJ p (x) , xi ≤ hJ p (x) , x ± zi = hJ p (x) , xi ± hJ p (x) , zi

Theo đó hJp(x) , zi = 0 và vì thế Jp(x) ∈ (N (A))⊥= R(A ∗ ), chúng ta chứngminh được phần còn lại của (i)

Nếu x ∈ X ˜ giống như trong (ii) khi đó từ (i) ta có thể tìm được một chuỗi

un ∈ Y∗ sao cho Jp(x) − Jp(˜ x) = limn→∞A∗un Khi đó

Định lý 1.8.1 [8] Cho X trơn và lồi đều Khi đó với mọi x, y ∈ X và dãy

(xn)n trong X ta có như sau:

d) (xn)n là dãy Cauchy nếu nó bị chặn và với mọi  > 0 tồn tại một số n0 ∈N

sao cho ∆p(xk, x1) <  với mọi k, l ≥ n0

Chứng minh Phương trình (1.8.2) và (1.6.1) thõa

∆p(x, y) ≥ 1

p kykp+1

q kxkp− p hJp(x) , yi ≥ σp(x, x − y)

Chứng minh được phần (a) và (b) (c) và chiều suy ra (i) =⇒ (ii) trong (d)

là một Hệ quả của Định lý 1.5.7(b) và 1.6.2(c) Ta có (ii) =⇒ (iii) trực tiếp

từ định nghĩa của ∆p (1.8.1) Chứng minh (iii)⇒ (i), thay x − y bằng y trongĐịnh lý 1.5.3, ta được

(kx − t (x − y)k ∨ kxk)p



t kx − yk 2(kx − t(x − y)k ∨ kxk)

tp−1δX



t kx − yk 2(kxk + kx − yk

tp−1δX



t kx − yk 2(kxk + kx − yk)



1 p

sử supn→∞kxn− xk > 0 Khi đó ta có thể tìm thấy một số  > 0 và dãy con

(xnk)k của dãy(xn)n sao chokxnk− xk ≥ với mọi k ∈N Vì thế, bằng tính đơn

điệu của δX và lồi đều của X (Định lý 1.5.2)

∆p(xnk, x) ≥ CpδX

 R



> 0.

Mâu thuẫn với limk→∞∆p(xnk, x) = 0 Chứng minh tương tự (e) và mộtphần của (a) như trên.

1.9 Phương pháp điều chỉnh tổng quát, phương pháp điều

ổn định để giải các bài toán đặt không chỉnh, thông thường người ta sử dụngphương pháp điều chỉnh Tikhonov

Định nghĩa 1.9.1 [5] Cho X, Y là các không gian Hilbert, F : X → Y là toán

tử tuyến tính liên tục, α0 ∈ (0, +∞] Với mỗi α ∈ (0, α0), ta xét Rα : Y → X là

họ các toán tử liên tục

Họ {Rα} được gọi là một chiến lược điều chỉnh đối với toán tử F+ nếu vớimỗi y ∈ D(F+), tồn tại một quy tắc chọn tham số điều chỉnh α = α δ, yδ
saocho

lim

δ→0 Rα(δ,yδ ) yδ− F+y : yδ ∈ Y, yδ− y ≤ δ

= 0, (1.9.2)trong đó α : (0, +∞) × Y −→ (0, α0) thỏa mãn điều kiện

lim

δ→0



α δ, yδ
: yδ ∈ Y, yδ− y ≤ δ = 0. (1.9.3)Giả sửy ∈ D F+
, khi đó(Rα, α)được gọi là một phương pháp điều chỉnh hội

tụ của phương trình (1.7.1) nếu (1.9.2) và (1.9.3) thỏa mãn Lúc đó,xδα = Rαyδ

gọi là nghiệm điều chỉnh của bài toán trên

Định nghĩa 1.9.2 [5] Giả sử α là quy tắc chọn tham số của phương phápđiều chỉnh được nêu ở định nghĩa trên Nếu α chỉ phụ thuộc vào δ mà khôngphụ thuộc vào yδ thì α được gọi là một quy tắc chọn trước tham số Các trườnghợp khác, α được gọi là quy tắc chọn sau tham số

Định lý 1.9.1 [5] Giả sử {Rα} là một chiến lược điều chỉnh đối với F+ Vớimỗi y ∈ D(F+), xét α : R+ → R+ là một quy tắc chọn trước tham số Khi đó,

(Rα, α) là một chiến lược điều chỉnh hội tụ của phương trình (1.7.1) khi và chỉkhi:

limδ→0α (δ) = 0 và limδ→0 Rα(δ) = 0.Định lý 1.9.2 [5] Giả sử với mỗi α > 0, R α là toán tử liên tục từ Y vào X.Khi đó, họ {Rα} là chiến lược điều chỉnh đối với F+ nếu với y ∈ D F+
Khi

đó ta có

Hơn nữa, với mỗi y ∈ D(F+), tồn tại một quy tắc chọn trước tham số

α = α(δ) sao cho (Rα, α) là một chiến lược điều chỉnh hội tụ của phương trình(1.7.1)

Định lý 1.9.3 [5] Giả sử với mỗi α > 0 ta có {R α } là một chiến lược điềuchỉnh đối với F+

Định lý 1.9.5 [5] Giả sử yδ là dữ liệu nhiễu của y với mức nhiễu δ, tức là

y − yδ ≤ δ, tham số điều chỉnh α (δ) → 0 và α(δ)δ2 → 0 khi δ → 0

Khi đó, nếu xδα là các cực tiểu của phiếm hàm (1.9.1) với yδ thế chỗ y thì

lim

δ→0 xδα = x+ = F+y

Do đó, phương pháp điều chỉnh Tikhonov nói trên là hội tụ và xδα sẽ hội tụ

về nghiệm xấp xỉ tốt nhất x+ khi tham số điều chỉnh α được chọn thích hợp.Xét chiến lược chọn trước tham số của phương pháp điều chỉnh tuyến tínhdựa trên Định lý về phổ của toán tử tuyến tính liên hợp như sau

Cho {Eλ} là họ phổ của F∗F Nếu F∗F khả nghịch liên tục thì