KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH ppt

E đợc gọi là một không gian tuyến tính trên K nếu thoả mãn 3 yêu cầu sau: i Có một phép hợp thành, gọi là phép cộng, ứng hai phần tử x,y∈E với một phần tử xác định z=x+y∈E.. iii Hai phép

Chơng 3 Không gian tuyến tính

3.1 Khái niệm về không gian tuyến tính

A Tóm tắt lý thuyết

1 Định nghĩa : Cho một tập E ≠∅ và một trờng K E đợc gọi là một không gian tuyến tính trên K nếu thoả mãn 3 yêu cầu sau: (i) Có một phép hợp thành, gọi là phép cộng, ứng hai phần tử x,y∈E với một phần tử xác định z=x+y∈E

(ii) Một phép hợp thành, gọi là phép nhân một phần tử với một

số, ứng một phần tử x∈E và một số λ∈K với một phần tử xác

định u=λ.x∈E

(iii) Hai phép toán trên thoả mãn 8 tiên đề sau:

Chú ý: Một tập E với hai phép hợp thành không phải là không

gian tuyến tính nếu:

1 Hoặc thực hiện hai phép toán không cho phần tử của E

2 Hoặc một trong 8 tiên đề không thoả mãn

2 Các tính chất

Trong mỗi không gian tuyến tính E:

1 Phần tử trung hoà θ là duy nhất

2 Với mỗi x phần tử đối -x là duy nhất

3 Với mọi x đều có: 0.x=θ

4 Với mọi x thì (-1).x là phần tử đối của x

3 Hệ quả

1 Từ tính chất 4 ta gọi hiệu x và y là phần tử: z=x-y=x+(-y)

2 Quy tắc chuyển vế: Nếu x+y=z thì x=z-y

3 Quy tắc giản ớc: Từ x+z=y+z suy ra x=y

4 Từ t.x=θ suy ra hoặc t=0, hoặc x=θ

B Bài tập

1 Kiểm tra các tập sau là không gian tuyến tính

a Tập các ma trận cấp mxn: E={A=(aij)m ì n}với hai phép toán: A+B=(aij+bij)m ì n

t.A=(t.aij)m ì n

b Tập Rn với hai phép toán

x+y=(x1+y1,x2+y2, ,xn+yn) t.x=(tx1,tx2, ,txn)

c Trên tập các đa thức với các hệ số thực bậc tuỳ ý

P(t)={x(t)=a0+a1t+ +amtm}Với hai phép toán:

x+y=(a0+b0)+(a1+b1)t+…

k.x=ka0+ka1t+…

d Xét tập các đa thức với các hệ số thực bậc không quá n

Pn(t)={x(t)=a0+a1t+ +antn}Với hai phép toán:

x+y=(a0+b0)+(a1+b1)t+ +(a… n+bn)tn

k.x=ka0+ka1t+ +ka… ntn

e Tập L[a,b] các hàm f(x) liên tục trên [a,b]⊂R, với các phép toán

tx=(tx1,tx2,,txn)

2 Chứng tỏ các tập sau không là không gian tuyến tính

a Tập E ={x=(x1,x2, ,xn)∈Rn : x1+x2+ +xn=1} với hai phép toán: x+y=(x1+y1,x2+y2, ,xn+yn)

tx=(tx1,tx2, ,txn)

b R3 với các phép toán

c Cho E={A,B,C,O} với các phép hợp thành nh sau:

A+B=B+A=C, B+C=C+B=A, C+A=A+C=B

A+A=B+B=C+C=O+O=O

A+O=O+A=A, B+O=O+B=B, C+O=O+C=C

t.A=A, t.B=B, t.C=C, t.O=O t≠0

0.A=0.B=0.C=0.O=O

3 Với các phép toán cộng hai phần tử và nhân một phần tử với

một số trong Kn chứng tỏ các tập sau là không gian tuyến tính

b E là tập các hàm xác định trên [a,b] sao cho f(a)=f(b)=0

c E là tập các hàm xác định trên [a,b] sao cho f(a)+f(b)=0

d E là tập các hàm xác định trên [a,b] sao cho f(a).f(b)=0

Các hàm sau không là không gian tuyến tính, vì sao?

e E là tập các hàm đơn điệu trên [a,b]

f E là tập các hàm đơn điệu tăng trên [a,b]

g E là tập các hàm f(x) không âm trên [a,b]

h E là tập các hàm xác định trên [a,b] sao cho f(a)=f(b)=1

i E là tập các hàm xác định trên [a,b] sao cho f(a)+f(b)=1

k E là tập các hàm xác định trên [a,b] sao cho f(a).f(b)=1

6 Với phép cộng hai ma trận và phép nhân một số với một ma

trận chứng tỏ các tập sau là không gian tuyến tính

9 Ta gọi chuỗi luỹ thừa là biểu thức có dạng

các chuỗi luỹ thừa là một không gian tuyến tính.

10 Ta gọi chuỗi lợng giác là biểu thức có dạng

a

a n nx b n nx n

=

∞

các chuỗi lợng giác là một không gian tuyến tính

11 Chứng tỏ rằng tập các số ảo Ri={z=ib} với phép cộng hai

số phức là không gian tuyến tính trên trờng số thực R nhng không là không gian tuyến tính trên trờng số phức

12 Chứng tỏ rằng tập các đa thức có bậc không vợt quá n với

phép nhân hai đa thức và phép nhân một đa thức với một số không phải là không gian tuyến tính

C Lời giải, đáp số hoặc hớng dẫn

1 a Trên E={A=(aij)m ì n} các phép toán

A+B=(aij+bij)m ì n và t.A=(t.aij)m ì n

đều đóng trên E Kiểm tra 8 tiên đề:

1 Do tính giao hoán của phép cộng hai ma trận

8 λ(A+B)=λ(aij+bij)m ì n=λ(aij)m ì n+λ(bij)m ì n=λA+λB

Vậy 8 tiên đề đều thoả mãn, hay E là không gian tuyến tính

b Hiển nhiên hai phép toán:

x+y=(x1+y1,x2+y2, ,xn+yn) t.x=(tx1,tx2, ,txn)

đóng trên Rn, phần tử trung hoà θ=(0,0, ,0) và phần tử đối của x=(x1,x2, ,xn) là -x=(-x1,-x2, ,-xn) và thoả mãn 8 tiên đề , vậy

nó là một không gian tuyến tính

c Hiển nhiên hai phép toán:

x(t)+y(t)=(a0+b0)+(a1+b1)t+ +(ai+bi)ti+

λx(t)=λa0+λa1t+ +λamtm

đóng trên p(t) Với phần tử θ là đa thức đồng nhất không, phần

tử đối của x(t) là -x(t), dễ dàng kiểm tra 8 tiên đề thoả mãn

d Xét tập các đa thức với các hệ số thực bậc không quá n

Pn(t)={x(t)=a0+a1t+ +antn} Vì tổng của hai đa thức bậc không quá n và tích của một số với một đa thức bậc không quá n là một đa thức bậc không quá n nên Pn(t) là không gian tuyến tính

e Hiển nhiên hai phép toán:

(f+g)(x)=f(x)+g(x) (λf)(x)=λ.f(x)

toán đóng trên L([a,b]) Với phần tử θ là hàm đồng nhất không, phần tử đối của f(x) là f(x), dễ dàng kiểm tra 8 tiên đề thoả mãn, vậy L([a,b]) là không gian tuyến tính

f Với t∈R, hiển nhiên hai phép toán:

u+v=(a+c)+(b+d)it(a+bi)=(ta)+(tb)i

đóng trên C Dễ dàng kiểm tra 8 tiên đề thoả mãn nên C là không gian tuyến tính trên trờng R

Nh vậy hai phép toán đóng trên E Dễ dàng kiềm tra 8 tiên đề

đều thoả mãn Nên E là một không gian tuyến tính

Vậy E không phải là không gian tuyến tính

3 Dễ dàng kiểm tra theo định nghĩa.

và y2=x là hai hàm đơn điệu nhng y1-y2 không đơn điệu

f Cả hai phép toán cộng và nhân đều không đóng trên E

g Phép nhân không đóng h Phép cộng không đóng

i Phép cộng không đóng k Phép nhân không đóng

6 f Cả hai phép toán đều không đóng trên E.

g Cả hai phép toán đều không đóng trên E

7 a Tiên đề 3 không thoả mãn (x,y,z)+(0,0,0)≠(x+1,0,0)

b Tiên đề 1 không thoả mãn

(x,y,z)+(x’,y’,z’)≠(x’,y’,z’)+(x,y,z)

c Tiên đề 5 không thoả mãn 1(x,y,z)≠(x,y,z)

8 Dễ dàng kiểm tra theo định nghĩa với:

n n n n n n

+∞

→ +∞

→ +∞

lim

n n n

+∞

→ +∞

9 Dễ dàng kiểm tra theo định nghĩa.

10 Dễ dàng kiểm tra theo định nghĩa.

11 Ri không là không gian tuyến tính trên C vì tích của hai số

1 Hệ độc lập tuyến tính và hệ phụ thuộc tuyến tính

Cho E là một không gian tuyến tính trên trờng K

Định nghĩa : Véc tơ x đợc gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ

n véc tơ {a1,a2, ,an} nếu tồn tại các số t1,t2, ,tn∈K để

2 Điều kiện phụ thuộc tuyến tính

Định lý : Hệ {a1, ,an} phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véc tơ của hệ là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ còn lại

Hệ quả

1 Hệ có hệ con phụ thuộc tuyến tính thì phụ thuộc tuyến tính

2 Mọi hệ chứa véc tơ θ đều phụ thuộc tuyến tính

3 Hệ có hai phần tử tỷ lệ thì phụ thuộc tuyến tính

4 Hệ con của hệ độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính

3 Hệ con độc lập tuyến tính cực đại và hạng

Định nghĩa : Cho U={u1,u2, ,un} là hệ gồm n véc tơ của E Nếu hệ con V={uj1, ,ujr}⊂ U độc lập tuyến tính, và thêm bất

kỳ véc tơ uk∈ U vào hệ con đó đều đợc một hệ phụ thuộc tuyến tính thì V đợc gọi là hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U

Hệ quả : Nếu V={uj1, ,ujr}là một hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ U={u1,u2, ,un} thì mọi x∈U đều biểu diễn tuyến tính duy nhất qua hệ con đó.

Định lý : Với hệ hữu hạn các véc tơ U={u1,u2, ,un} thì số phần tử của mọi hệ con độc lập tuyến tính cực đại của U đều bằng nhau và số đó gọi là hạng của hệ U, ký hiệu r(U)

4 Cơ sở của không gian tuyến tính

Định nghĩa :

1 Một hệ véc tơ trong E đợc gọi là một hệ sinh nếu mọi véc tơ của E đều biểu diễn tuyến tính đợc qua hệ đó

Nếu {u1, ,un} là một hệ sinh của E, ký hiệu: E=L{u1, ,un}

2 Một hệ sinh độc lập tuyến tính trên E gọi là cơ sở của E

Nh vậy muốn chứng tỏ một hệ là cơ sở ta phải chứng minh:

a Hệ là hệ sinh

b Hệ độc lập tuyến tính

5 Chiều của một không gian tuyến tính

Định nghĩa : Cho E là không gian tuyến tính trên trờng K

1 Nếu E có cơ sở gồm hữu hạn n phần tử thì E là không gian hữu hạn chiều, và n gọi là số chiều của E, ký hiệu dim(E)=n Nếu E={θ} thì dim(E)=0

2 Nếu với mọi số tự nhiên n trong không gian tuyến tính E

đều có một hệ n véc tơ độc lập tuyến tính, nhng hệ đó không phải là hệ sinh thì E là không gian tuyến tính vô hạn chiều Chúng ta chỉ xét các không gian tuyến tính hữu hạn chiều

x n

1 2

xi là chiếu của x trên ei (i=1,2, ,n).

Nh vậy toạ độ của x trên I là một phần tử của Kn

7 Biểu thức các phép toán qua toạ độ

tx n

1 2

a n

12 22

p p

np

1 2

đơn vị gọi là hệ cơ sở chính tắc

9 Biểu thức của tổ hợp tuyến tính dới dạng toạ độ

Cho hệ p véc tơ A={a1,a2, ,ap} với ma trận A và véc tơ b:

b n

1 2

a n

12 22

p p

np

1 2

t p

1 2

2 Trong không gian tuyến tính n chiều E, A là ma trận của hệ

n véc tơ {a1,a2, ,an}, khi đó nếu r(A)=n hay det(A)≠0 thì hệ là một cơ sở của E

10 Bổ sung hệ độc lập tuyến tính thành cơ sở

Hệ quả : Nếu A={ a1,a2, ,ap } là một hệ độc lập tuyến tính và I={ e1, e2, , en } là cơ sở của E Khi đó luôn bổ sung đợc n-p véc tơ từ cơ sở I vào A để hệ mới nhận đợc là một cơ sở của E

Cách bổ sung: Tìm một họ các véc tơ hàng cơ sở của ma trận của hệ { a1,a2, ,ap }, bổ sung n-p véc tơ của hệ {e1, ,en } có chỉ

x n

''

'

1 2

x n

''

'

1 2

x n

1 2

13

, hay tìm biểu diễn tuyến tính của A 2 và A 3 qua

A và ma trận đơn vị cùng cấp E Biểu diễn ấy có duy nhất không.

1.Trên không gian các đa thức bậc ba các hệ sau đây độc lập hay phụ thuộc tuyến tính

a3=

411

3 Trong không gian tuyến tính E trên trờng K cho hệ

{a1,a2 ,an} Hệ độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính nếu

a Véc tơ không θ∈{a1,a2 ,an}

b Trong hệ có hai véc tơ bằng nhau

c a1=b1,a2=b1+b2, ,an=b1+ +bn và hệ {b1,b2 ,bn} độc lập tuyến tính

d a1=b1, , an-1=bn-1,an=bn-1+tbn với t∈K và hệ {b1,b2 ,bn} độc lập tuyến tính

4 Trong R3 chứng tỏ rằng x=(6,2,7) là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ: a=(2,1,-3); b=(3,2,-5); c=(1,-1,1)

5 Trong R4 chứng tỏ rằng x=(7,14,-1,2) là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ

a=(1,2,-1,-2) b=(2,3,0,-1) c=(1,2,1,3) d=(1,3,-1,1)

6 Với bộ ba các véc tơ sau, xác định xem trong trờng hợp nào

chúng phụ thuộc tuyến tính, trong trờng hợp nào chúng độc lập tuyến tính

a a=(1,2,1) b=(2,0,-3) c=(1,-1,0) trên R3

b a=4-3i b=-1-i c=2+i trên không gian các véc tơ phức

c a= ex, b=cosx, c=sinx trên không gian các hàm liên tục

d a=x-1, b=x2+1, c= x2-2x+1 trên không gian các đa thức

e. a=0 −1

21

b=−1 1

01

c=1 2

10

trên không gian các ma trận vuông cấp hai

7 Trong không gian các hàm số thực trên R các hàm sau đây

độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

a {f1(t)=3t, f2(t)=5+t, f3(t)=4t2}

b {f1(t)=1, f2(t)=et, f3(t)=e-t}

d {f1(t)=1, f2(t)=sin(t), f3(t)=cos(t)}

8 Tìm một cơ sở của không gian M2x3 các ma trận cấp 2x3

9 Gọi M2x2 là không gian các ma trận vuông cấp 2:

f a.Tìm một cơ sở của M2x2

g b.Tìm toạ độ của A=0 −1

12

trên cơ sở đó

12 Gọi D2x2 là không gian các ma trận đối xứng cấp 2

l a.Tìm một cơ sở của D2x2.

m b.Tìm toạ độ của A=3 −1

32

gian tuyến tính, tìm cơ sở và chiều của E

17 Tìm một cơ sở và chiều của các không gian sau:

p a Tập M3x3 các ma trận vuông cấp 3.

q b Tập U3x3 các ma trận tam giác trên cấp 3

r c Tập L3x3 các ma trận tam giác dới cấp 3

0

i ii

chỉ số k để xk≠0 thì hệ W={e1, ,ek-1,a,ek+1, , en} cũng là một cơ

02 c=0 −2

13

b=1 1 

02 c=2 2

03

b=1 1

12 c=1 4

13

a Chứng tỏ hệ là một cơ sở

b. Tìm toạ độ của d=2 −1

23

b=1 −1

12

c=−1 2

13

2 tìm toạ độ của d trên cơ sở chính tắc

25 Trong kh«ng gian P3(t)= {x(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3} t×m ma trËn cña hÖ

a3=

411

d Tìm ma trận của hệ I*={ e2,e3,e1 } trên I, tìm toạ độ của x trên I*.

29.Tìm ma trận chuyển cơ sở từ W={ξ1,ξ2,ξ3} sang V={τ1,τ2,τ3} với:

ξ1=

213

V={ b1=(0,1,1),b2=(3,2,0),b3=(1,0,1)}

a Chứng tỏ rằng W và V là cơ sở của R3

b Tìm ma trận chuyển cơ sở từ W sang V và từ V sang W

c Tìm toạ độ của x trong cơ sở W và V

d Gọi ma trận chuyển từ W sang V là T, chứng tỏ rằng:

T= W-1V; V=WT và W= VT-1

33 Trên cơ sở chính tắc của R4 cho véc tơ x=(1,2,1,2) và: W={a1=(1,1,1,1), a2=(1,1,-1,-1), a3=(1,-1,1,-1), a4=(1,-1,-1,1)} V={b1=(1,1,0,1), b2=(2,1,3,1), b3=(1,1,0,0), b4=(0,1,-1,-1)}

a Chứng tỏ rằng W và V là cơ sở của R4

b.Tìm ma trận chuyển cơ sở từ W sang V và từ V sang W

c Tìm toạ độ của x trong các cơ sở đó

34 Tìm ma trận của các hệ véc tơ sau trên P3(t)

a a=2-t+t2+2t3 b=2t+t2-t3 c=1+2t-t2-t3 d=1-t2+t3

b a=1-t+t2 b=t-t2+2t3 c=2t+t3 d=-1+t-t2+t3

các hệ đó có là cơ sở của P3(t) không? Nếu không bổ sung vào

hệ con độc lập tuyến tính cực đại của hệ để đợc hệ cơ sở

38 Cho I,W,V là các cơ sở của E T là ma trận chuyển từ I

sang W, Q là ma trận chuyển từ W sang V Chứng tỏ ma trận chuyển từ I sang V là TQ

39 Trong E cho n cơ sở I1,I2, ,In, và ma trận chuyển từ Ik sang

Ik+1 đều là T Chứng tỏ ma trận chuyển từ I1 sang In là Tn-1

C Lời giải đáp số hoặc hớng dẫn

a 2 } là một hệ con độc lập tuyến tính cực đại và hạng của hệ r(U)=2.

3 a Phụ thuộc tuyến tính b Phụ thuộc tuyến tính.

χ c t1a1+ +tnan=(t1+ +tn)b1+ +tnbn=θ⇒t1= =tn=0 nên hệ

độc lập tuyến tính

d t1a1+ +tn-1an-1+tnan=t1b1+ +(tn-1+tn)bn1+ttnbn=θ⇒t1= =tn=0 chỉ khi t≠0 hay t≠0 hệ độc lập tuyến tính, t=0 hệ phụ thuộc tuyến tính,

10

00

00

b A=2e 1 +e 2 +0e 3 -e 4 nên A có toạ độ: A=

01

10

00

01

00

00

12 a Một cơ sở của D2x2 là:

10

00

b.Vì A=2e 1 +3e 2 -e 3 nên A có toạ độ: A=

10

01

10

00

101 en-1=

001

Từ biểu thức: t1e1+ t2 e2+ + tn-1 en-1=θ ta có : (t1+t2+ +tn-1,-t2, ,-tn-1)=(0,0, ,0)

011+t2

101+ +tn-1

001

=+

−

0

0

z y x

z y x

Ta có x=-z, y=0 hay a=(x,0,-x) Dễ dàng kiểm tra E là không gian tuyến tính Xét e =(1,0,-1) hiển nhiên hệ một véc tơ {e}

độc lập tuyến tính, và mọi a=(x,0,-x) ta có

a=(x,0,-x)=x(1,0,-1)=x.e Chứng tỏ mọi véc tơ thuộc E đều biểu diễn qua e

Nh vậy E là không gian tuyến tính một chiều và e=(1,0,-1) là một cơ sở của E

17 a,b,c,d,e lµ më réng cña c¸c bµi :9,10,11,12.

001

010

000

100

100

000

000

010

000

100

001

000

100

000

000

000

000

000

000

010

000

100

001

000

100

000

000

000

000

010

001

010

000

00

0

0

10

0

0

00

0

0

01

0

0

00

1

1 1 1

n

k k k

x

x x x x

cã det(T)= xk≠0 nªn W lµ c¬ së

20 dim(C)=2, mét c¬ së lµ e1=1=(1,0),e2=i=(0,1)

21 Ta cã a=e1+2e2+e3, b=2e1+0e2+e3, c=3e1-e2+2e3 nªn hÖ cã

102

321

211

321

v× r(A)=2 vµ dim(L2x2)=3 nªn hÖ kh«ng ph¶i lµ mét c¬ së

112

321

, do det(A)=-8 vµ dim(D2x2)=3 nªn hÖ lµ mét c¬ së

3, vậy toạ độ của d trên cơ sở trên

112

321

112

321

x x

112

321

Chú ý: Ta có thể biến đổi trực tiếp

D=2a+b-c=22 −1

21

+1 −1

12

-−1 2

13

=6 −1

61