Một số nhóm cơ bản và ứng dụng

Ta xét một ví dụ đơn giản, các nhóm của tất cả các số nguyên dưới phép cộng, phép nhân nhóm được thực hiện như phép cộng thông thường.. Trong nhóm này, phần tử đơn vị I được thay thế bằn

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu học tập ở giảng đường đại học đến nay, em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình

và bạn bè Với lòng biết ơn sâu sắc nhất em xin gửi đến quý thầy cô ở Khoa Vật

Lý Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã cùng với tri thức và tâm huyết của mình để truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho chúng em trong suốt thời gian học tập tại trường

Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Giảng viên TS Hà Thanh Hùng, người đã trực tiếp hướng dẫn và nhiệt tình giúp đỡ em để hoàn thành tốt khóa luận này

Trong quá trình làm khóa luận với kiến thức, trình độ và thời gian có hạn nên khó tránh khỏi sai sót, rất mong các thầy cô bỏ qua Đồng thời do trình độ lí luận cũng như kinh nghiệm thực tiễn còn hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô để

em học thêm được nhiều kinh nghiệm giúp em hoàn thành khóa luận được tốt hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Trần Thị Tuyết

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của giảng viên TS

Hà Thanh Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân em Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Trần Thị Tuyết

MỤC LỤC

M Đ U 1

Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đ ch nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương ph p nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG : CÁC ĐỊNH NGHĨA CỦA NHÓM 3

Định nghĩa về nhóm 3

1.2 Các ví dụ về nhóm 5

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ NHÓM CƠ BẢN 10

2.1 Nhóm hữu hạn 10

2.2.Nhóm không Abel 11

2.3 Nhóm hoán vị 13

2.4 Nhóm thương 16

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP 21

KẾT LUẬN 31

TÀI LIỆU THAM KHẢO 32

- Tính chất đối xứng của các cấu trúc vật chất như tinh thể, phân tử, các hạt cơ bản dẫn đến phương ph p phân loại các mức (mức năng lượng, mức

“khối lượng”), hay một số đại lượng khác

Tính chất đối xứng của c c đối tượng tự nhiên có thể “t nh to n” bằng một bộ môn toán học trừu tượng gọi là lý thuyết nhóm Đặc biệt, lý thuyết nhóm

đã cung cấp cho vật lý học một phương ph p gọn, chính xác, bổ sung cho các phương ph p kh c Trong một số bài to n đặc biệt, có thể nói rằng một số mặt của vấn đề chỉ có thể giải quyết bằng công cụ lý thuyết nhóm

Do đó, với sự phát triển hiện nay của vật lý học, phương ph p lý thuyết nhóm dần dần trở thành một phương ph p kh thông dụng, nói chung không thể thiếu được

Vì vậy em đã chọn đề tài “Một số nhóm cơ bản và ứng dụng” làm đề tài

khóa luận tốt nghiệp của mình

Em hi vọng đề tài này có thể là tài liệu tham khảo cho những bạn bước đầu làm quen với bộ môn lý thuyết nhóm

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đưa ra cơ sở lý thuyết của một số nhóm cơ bản

- Giới thiệu một số bài tập về các nhóm cùng cách giải các bài tập đó

5 Phương ph p nghiên cứu

- Đọc, tra cứu tài liệu

- Phương ph p vật lý lý thuyết và vật lý toán

6 Cấu trúc khóa luận

Chương 1: C c ịnh nghĩa của nhóm

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CÁC ĐỊNH NGHĨA CỦA NHÓM 1.1 Định nghĩa v nhóm

 Định nghĩa nhóm

Một tập hợp Ga b c, ,  được gọi là một nhóm nếu có một toán tử, được gọi là phép nhân nhóm, mà toán tử này cùng với các phần tử của nhóm Gthỏa mãn các tính chất sau:

(i) Tính kín: Nếu a b, G thì a bG

(ii) Tính kết hợp: Với mọi a b c G, ,  thì  a b c a b c. 

(iii) Tồn tại phần tử đơn vị trong số các phần tử của G, có một phần tử đơn vị e sao cho: a e  a với a G 

(iv) Tồn tại phần tử nghịch đảo: Với mỗi aGcó một phần tử nghịch đảo a 1G

.,., 1

1

với aG

Ta xét một ví dụ đơn giản, các nhóm của tất cả các số nguyên dưới phép cộng, phép nhân nhóm được thực hiện như phép cộng thông thường Trong nhóm này, phần tử đơn vị I được thay thế bằng số 0, và nghịch đảo của một số nguyên a là  a Khi đó điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn bởi các số nguyên dưới phép cộng là hiển nhiên Một nhóm đơn giản thứ hai, với phép nhân thông thường, được hình thành bởi 1 và - ; trong nhóm này, t nh k n được thỏa mãn, 1

là phần tử đơn vị và mỗi phần tử là nghịch đảo của chính nó

 C c ịnh nghĩa kh c

Nhóm Abel: Một số nhóm G được gọi là nhóm Abel nếu phép nhân

nhóm là giao hoán: a.b b.avới  a , b  G

Nhóm tuần hoàn: Là một nhóm có thể sinh ra từ một tập hợp sinh chỉ

gồm một phần tử a Nếu nhóm được viết theo lối nhân thì mỗi phần tử của nhóm là một lũy thừa của a, và khi nhóm được viết theo lối cộng thì mỗi phần

tử của nhóm là một bội số của a

Hạng của nhóm (hay còn gọi là cấp của nhóm): là số phần tử của nhóm

Nhóm con bất biến: Nhóm con H của G được gọi là nhóm con bất biến

nếu H đồng nhất với tất cả các nhóm con liên hợp của nó

1

aHa H với a G

Đẳng thức trên có thể viết dưới dạng sau:

aH Ha

tức là các lớp kề trái và phải theo một nhóm con bất biến là như nhau

Theo định nghĩa, ta thấy ngay rằng nhóm con bất biến khi đã chứa phần tử nào đó, sẽ chứa mọi phần tử liên hợp với phần tử đó hay nói c ch kh c, nếu đã chứa một phần tử của lớp   a thì phải chứa toàn thể lớp   a

Nhóm con bất biến tầm thường: e và bản thân G

Tất cả nhóm con của nhóm giao ho n đều bất biến

Tính bất biến của nhóm con không phải là một tính bắc cầu: nhóm con bất biến T của một nhóm con bất biến H của G không nhất thiết là một nhóm con bất biến của G

Các phần tử liên h p: Một phần tử bG đƣợc gọi là liên hợp với

G

a nếu tồn tại một phần tử khác pG sao cho b  pap1 Ta sẽ biểu thị mối quan hệ này bằng kí hiệu “~”

Tính chất:

(i) Mỗi phần tử liên hợp với chính nó a ~ a (quan hệ phản xạ)

(ii) Nếu a ~ thì b b ~ a (quan hệ đối xứng)

(iii) Nếu a ~ b và b ~ c thì a ~ c (quan hệ bắc cầu)

Lớp liên h p: Các phần tử của một nhóm liên hợp với nhau thì hình

tất cả những điều kiện là một nhóm đều thỏa mãn Số 1 với phép nhân thông thường tạo thành một nhóm mà ta biểu thị bằng C1

Ví dụ 2: Nhóm đơn giản tiếp theo có hai phần tử, trong đó có một phần tử

đơn vị Ta biểu thị nhóm này bởi   e, a Tùy theo tính chất của e, ta phải có

Bảng 1.1: Bảng nhân nhóm của C2

1e i  ei  với quy tắc nhân thông thường

(ii) Toán tử đối xứng cho tam gi c đều  trong mặt phẳng quay những góc 0,2/3,4 /3

Ví dụ 4: Nhóm không tuần hoàn đơn giản nhất là hạng 4 Nó thường được

gọi là nhóm 4 hay nhóm nhị diện và được kí hiệu bởi D2 Nếu ta biểu thị bốn phần tử này là {e,a,b,c}, bảng nhân được đưa ra ở bảng 1.3 Bốn phần tử này

tương ứng với các phép biến đổi đối xứng trong hình 1.1:

(i) Giữ hình không đổi

(ii) Phép chiếu lên trục thẳng đứng (1,3)

(iii) Phép chiếu lên trục nằm ngang (2,4)

(iv) Phép quay quanh tâm một góc  trong mặt phẳng

Ví dụ 5: Nhóm không Abel nhỏ nhất là hạng 6 Nó được tạo ra từ các

phép biến đổi đối xứng dạng hình học như hình 2

2

4

3

1

Hình 1.2: Dạng đối xứng D3 Đây là nhóm nhị diện D3 bao gồm:

(i) Phép biến đổi đơn vị

(ii) Phép chiếu xuống các trục ( , ’), (2,2’), (3,3’)

(iii) Phép quay các tâm với các góc 2 / 3 và 4 / 3

Các phép chiếu làm đổi chỗ hai điểm, chiếu thêm lần lƣợt ta sẽ trở lại hình ban đầu Do đó ta biểu thị ba toán tử này là (12), (23), (31) Các phép quay (theo chiều kim đồng hồ) với góc 2/ 3 và 4/3 dẫn tới hoán vị tuần hoàn của

Bảng 1.4: Bảng nhân của nhóm D3(hay S3)

     e,a, e,b và e,c Bình phương của a trong hai trường hợp này bằng e Do

đó  e, a trùng với nhóm C2 và hai tập còn lại cũng vậy

Ví dụ 7: Tập hợp các ma trận khả nghịch nn bất kì bao gồm ma trận đơn vị và những ma trận có t nh k n dưới phép nhân ma trận, hình thành một nhóm ma trận Một số nhóm quan trọng thường dùng sau:

(i) Nhóm tuyến tính phổ biến GL n bao gồm tất cả những ma trận n  n

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ NHÓM CƠ BẢN 2.1 Nhóm hữu hạn

Ta xét một tập hợp S gồm bốn phần tử:

1,3,5, 7

S  với phép nhân nhóm (phép đồng dư của 8)

Để tìm t ch (phép đồng dư của 8) của hai phần tử trong S, ta nhân chúng với nhau theo c ch thông thường, rồi lấy kết quả phép nhân đó chia cho 8 ta được phần dư, phần dư này ch nh là t ch mà ta cần tìm Ví dụ, 5 7 35, 35 chia 8 ta được phần dư là 3 Rõ ràng còn thỏa mãn tính giao hoán a b  b a,

Ta thấy rằng, tập hợp S thỏa mãn tính kín 1 chính là phần tử đơn vị, tức

là 1 a a với a S Hơn nữa, đối với phần tử a S có một phần tử b (trong trường hợp này ba) thì a b 1, tức là mỗi một phần tử đều có một phần tử nghịch đảo Như vậy tập hợp S là một nhóm Abel bậc 4

Từ ví dụ trên, ta đưa ra được các tính chất như sau:

(i) Mỗi một phần tử xuất hiện một và chỉ một lần trong mỗi hàng hoặc mỗi cột của bảng nhân nhóm

(ii) Phần tử nghịch đảo của phần tử a có thể x c định bằng cách tìm dọc theo hàng, trong đó a xuất hiện trong cột bên trái (hàng thứ a) và khi đó phần

tử b tương ứng sẽ xuất hiện ở đầu cột (cột thứ b), trong đó phần tử đơn vị nằm trên đường chéo chính

Ta rút ra được hệ quả: Khi phần tử đơn vị xuất hiện trên đường chéo chính thì các phần tử tương ứng là bậc 2

(iii) Đối với nhóm Abel thì bảng nhân nhóm là đối xứng qua đường chéo chính

Tổng quát: Xét một tập hợp S gồm bốn phần tử:

 , , , 

S I A B C với phép nhân nhóm (phép đồng dư của N)

ta luôn lập được bảng nhân nhóm như sau:

2 / 3 và 4 / 3 , quay qua một trục vuông góc với mặt phẳng của tam giác), và

ba phép quay phản xạ trong mặt phẳng trung trực vuông góc của ba cạnh Ta biểu thị các phép quay này bằng các kí hiệu sau:

(i) I là toán tử rỗng

(ii) R và R’ là phép xoay 2 / 3 và 4 / 3 (theo chiều ngược chiều kim đồng hồ)

(iii) K, L, M là các phép quay phản xạ

Một số phép nhân của a b có thể dễ dàng t nh to n được:

', R'.R' R, R R' I R'.RK.K L.L M.M I

Từ bảng nhân nhóm trên, ta nhận thấy:

(i) Các phần tử không đối xứng qua đường chéo chính, một số kết cặp của các phần tử trong nhóm không giao hoán

(ii) Có một số nhóm đối xứng có cấu trúc 3 3 tạo thành một bảng nhân nhóm gồm bốn khối là hình vuông Điều này xảy ra bởi vì chúng ta đã đưa vào các toán tử tương tự với tổ hợp các toán tử kh c khi t c động lên các phần tử của nhóm Ví dụ, để biến đổi phần tử ở hàng thành cột liền kề, ta có hai cách sau: cách thứ nhất, dùng hai phép quay (hoặc ba nếu như nó được xem như là một phép quay góc 0 / 3 ); cách thứ hai, dùng ba phép phản xạ

Như vậy nhóm không Abel là một nhóm nếu nhóm đó không có t nh giao hoán

Mà p 1pe

do đó ebec hay b c(đpcm) Kết quả này có nghĩa là: Nếu bvà c là những phần tử khác nhau của G thì pb và pc cũng kh c nhau Bởi vậy nếu tất cả các phần tử của G được sắp

xếp theo một trật tự và đều nhân trái với cùng một phần tử p thì kết quả cũng

đúng với thứ tự sắp xếp ban đầu Tất nhiên kết quả cũng giống như vậy nếu ta áp dụng phép nhân phải

Xét trường hợp với nhóm hữu hạn hạng n Ta biểu thị các phần tử của nhóm là g1,g2, ,g n Nhân mỗi phần tử này với một phần tử không đổi h thì kết quả là {hg ,hg , ,hg n} g h ,g h , ,g h n

2 1 2

1  ở đây h1,h2, ,h n là một hoán vị của các số ( ,2,…,n) được x c định bởi h Từ đó ta tìm được bản chất mối quan

hệ giữa phần tử hG và một hoán vị được đặc trưng bởi h1,h2, ,h n

Một hoán vị tùy ý của n đối tượng sẽ được biểu thị bởi

p p

n p





3 2 1

3 2 1

ở đây mỗi phần tử trong hàng đầu tiên được thay thế bởi một phần tử tương ứng

ở hàng thứ hai Tập hợp n ! hoán vị của n đối tượng hình thành một nhóm S , n

gọi là nhóm hoán vị hay nhóm đối xứng

Không khó để nhận thấy rằng kết quả thứ hai của sự đổi chỗ sẽ dẫn tới một hoán vị Điều này định nghĩa phép nhân nhóm Phần tử đơn vị tương ứng việc không có sự đổi chỗ, tức là:



 2 1

2 1

p



 2

1

2 1 1

Một kí hiệu thích hợp và ngắn gọn hơn cho phép ho n vị là cơ sở trong cấu trúc tuần hoàn có thể được giải thích rõ ràng nhất trong ví dụ sau: Xét hoán

6 5 4 3 2 1

p

Vì được thay thế bởi 3, 3 được thay thế bởi 4, 4 được thay thế bởi 1 nên

ba đối tượng này hình thành một chu kì-3 và được kí hiệu là ( 34) Tương tự, 2

và 5 hình thành một chu kì-2, được kí hiệu là (25) Số 6 không bị xáo trộn, nó có dạng chu kì- , được kí hiệu là (6) Các kí hiệu tuần hoàn ( 34)(25)(6) đã x c định rõ phép hoán vị

Với kí hiệu này phần tử bao gồm n chu kì-1 và nghịch đảo của

 p1, p2,  , pm là những số giống như vậy trong cấp nghịch đảo, tức là

) , ,

,

( pm pm1  p1 Rõ ràng rằng vị trí tuyệt đối của một số trong chu kì là không

quan trọng, chỉ cần kể đến bậc tuần hoàn

Phép ẳng cấu: Hai nhóm G và G’ được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một

và chỉ một sự tương ứng giữa các phần tử của chúng Các phần tử này đều tuân theo luật nhân nhóm Nói cách khác, nếu g iGg i ' G ' và g1g2  g3 trong

Định lí Cayley: Mọi nhóm G hạng n đẳng cấu với một nhóm con của

a

n p

2 1

b

n b

b b

n

n n

b a

a a

a

n

b b

b

n a

a a

b b

b

b b

b

n a

a a

n p

2 1

21

21

212

1

2 1

2 1

2 1 2

1

Nhưng theo (2.3.2) thì

i i

Ta kết luận rằng vế phải của phương trình trên là đúng

c

n p





2 1

21

Vậy abc trong G dẫn tới p a p b  p c trong Sn , nói cách khác ánh xạ

a a

a

n p





2 1

21

với mọi aG hình thành một nhóm con của S n mà nhóm con này đẳng cấu với G

Ví dụ: Nhóm nhị diện {D2 :e,a ,c} đẳng cấu với nhóm con của S4 bao gồm các phần tử e, 12           34 , 13 24 , 14 23 

Hơn nữa, các kí hiệu tuần hoàn xuất hiện trong một hoán vị bất kì kết hợp với một phần tử cho trước của nhóm phải có cùng k ch thước Điều này rõ ràng đúng trong v dụ trên Kết quả này đưa ra một hệ quả đó là: Nếu hạng n của nhóm là một số nguyên tố thì nhóm con tương ứng của Sn chỉ gồm các chu kì-

Các lớp kề của H không phải là các nhóm con vì chúng không chứa phần

tử đơn vị Số các phần tử của mỗi lớp kề chính là hạng của nhóm con H Điều này như một hệ quả của bổ đề sắp xếp

Bổ : Hai lớp kề trái của một nhóm con H hoặc là trùng nhau hoàn

toàn, hoặc là không có phần tử nào chung

Suy ra pH  qH Tuy nhiên, nếu không tồn tại h , i h j

thỏa mãn ph i qh jthì pH và qH phải được định nghĩa kh c nhau

Với một nhóm con H cho trước hạng n H, các lớp kề trái riêng biệt của H chia các phần tử của nhóm lớn G thành tập hợp các nhóm con hạng n H

Định lí Lagrange: Hạng của một nhóm hữu hạn phải bằng một số

nguyên lần hạng của nhóm con bất kì của nó

theo các lớp kề và lớp trong hình 1.3