Khoá luận tốt nghiệp một số nhóm cơ bản và ứng dụng

Do đó, với sự phát triển hiện nay của vật lý học, phương pháp lý thuyết nhóm dần dần trở thành một phương pháp khá thông dụng, nói chung không thế thiếu được.. Ta xét một ví dụ đơn giản,

TRƯ Ờ NG ĐẠI HỌC s ư PH ẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

TRẦN THỊ TUYÉT

MỘT SỐ NHÓM C ơ BẢN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

K HÓA LUẬN TỐT N GHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS HÀ THANH HÙNG

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt thời gian từ khi bắt đầu học tập ở giảng đường đại học đến nay, em đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của quý thầy cô, gia đình

và bạn bè Với lòng biết ơn sâu sắc nhất em xin gửi đến quý thầy cô ở Khoa Vật

Lý Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã cùng với tri thức và tâm huyết của mình để truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho chúng em trong suốt thời gian học tập tại trường

Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến Giảng viên TS Hà Thanh Hùng, người đã trực tiếp hướng dẫn và nhiệt tình giúp đỡ em để hoàn thành tốt khóa luận này

Trong quá trình làm khóa luận với kiến thức, trình độ và thời gian có hạn nên khó tránh khỏi sai sót, rất mong các thầy cô bỏ qua Đồng thời do trình độ lí luận cũng như kinh nghiệm thực tiễn còn hạn chế nên khóa luận không thế tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô đế

em học thêm được nhiều kinh nghiệm giúp em hoàn thành khóa luận được tốt hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Trần Thị Tuyết

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của giảng viên TS

Hà Thanh Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân em Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, em có tham khảo tài liệu của một số tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của các tác giả khác

Neu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 05 năm 2015

Sinh viên thực hiện

Trần Thị Tuyết

M ỤC LỤC

MỞ Đ Ầ U 1

1 Lý do chọn đề tà i 1

2 Mục đích nghiên c ứ u 1

3 Đối tượng nghiên c ứ u 1

4 Nhiệm vụ nghiên c ứ u 2

5 Phương pháp nghiên c ứ u 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

NỘI D U N G 3

CH Ư Ơ N G 1: CÁC ĐỊNH N G H ĨA CỦA N H Ó M 3

1.1 Định nghĩa về n h ó m 3

1.2 Các ví dụ về n h ó m 5

C HƯƠNG 2: M ỘT SỐ N HÓM c ơ B Ả N 10

2.1 Nhóm hữu h ạ n 10

2.2.Nhóm không A b e l 11

2.3 Nhóm hoán v ị 13

2.4 Nhóm th ư ơ n g 16

C HƯƠNG 3: ỨNG D ỤNG GIẢI M Ộ T SỐ BÀI T Ậ P 21

KẾT L U Ậ N 31

TÀI LIỆU THAM K H Ả O 32

- Tính chất đối xứng của các cấu trúc vật chất như tinh thể, phân tử, các hạt cơ bản dẫn đến phương pháp phân loại các mức (mức năng lượng, mức

“khối lượng”), hay một số đại lượng khác

Tính chất đối xứng của các đối tượng tự nhiên có thể “tính toán” bằng một bộ môn toán học trừu tượng gọi là lý thuyết nhóm Đặc biệt, lý thuyết nhóm

đã cung cấp cho vật lý học một phương pháp gọn, chính xác, bổ sung cho cácphương pháp khác Trong một số bài toán đặc biệt, có thế nói rằng một số mặt của vấn đề chỉ có thế giải quyết bằng công cụ lý thuyết nhóm

Do đó, với sự phát triển hiện nay của vật lý học, phương pháp lý thuyết nhóm dần dần trở thành một phương pháp khá thông dụng, nói chung không thế thiếu được

Vì vậy em đã chọn đề tài “Một số nhóm cơ bản và ứng dụ ng” làm đề tài

khóa luận tốt nghiệp của mình

Em hi vọng đề tài này có thể là tài liệu tham khảo cho những bạn bước đầu làm quen với bộ môn lý thuyết nhóm

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đưa ra cơ sở lý thuyết của một số nhóm cơ bản

- Giới thiệu một số bài tập về các nhóm cùng cách giải các bài tập đó

5 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc, tra cứu tài liệu

- Phương pháp vật lý lý thuyết và vật lý toán

6 Cấu trúc khóa luận

Chương 1: Các định nghĩa của nhóm

(i) Tính kín: Nếu Vứ,Z?eG thì a b ^ G

(ii) Tính kết hợp: Với mọi \/a,b,c g G thì

(iii) Tồn tại phần tử đơn vị trong số các phần tử của G, có một phần tử

đơn vị e sao cho: a.e = a với V ứ ẽ G

(iv) Tồn tại phần tử nghịch đảo: Với mỗi a & G có một phần tử nghịch đảo a~x e ơ s a o cho: a.a~x = e.

Từ các tiên đề trong định nghĩa nhóm, ta có thể rút ra được các hệ quảsau:

e~] = e, a~' a = e, e.a = a với V a e G

Ta xét một ví dụ đơn giản, các nhóm của tất cả các số nguyên dưới phép cộng, phép nhân nhóm được thực hiện như phép cộng thông thường Trong nhóm này, phần tử đơn vị I được thay thế bằng số 0 , và nghịch đảo của một số

nguyên a là —ã Khi đó điều kiện (i) và (ii) được thỏa mãn bởi các số nguyên

dưới phép cộng là hiển nhiên M ột nhóm đơn giản thứ hai, với phép nhân thông thường, được hình thành bởi 1 và - 1; trong nhóm này, tính kín được thỏa mãn, 1

là phần tử đơn vị và mỗi phần tử là nghịch đảo của chính nó

❖ Các định nghĩa khác.

Nhóm Abel: Một số nhóm G được gọi là nhóm Abel nếu phép nhân

nhóm là giao hoán: a.b = b.a với V ữ , b e G

Nhóm tuần hoàn: Là một nhóm có thế sinh ra từ một tập hợp sinh chỉ

gồm một phần tử ũ Neu nhóm được viết theo lối nhân thì mỗi phần tử của nhóm là một lũy thừa của ũ , và khi nhóm được viết theo lối cộng thì mỗi phần

tử của nhóm là một bội số của a

Hạng của nhóm (hay còn gọi là cấp của nhóm): là số phần tử của nhóm

Nhóm con bất biến: Nhóm con H của G được gọi là nhóm con bất biến

nếu H đồng nhất với tất cả các nhóm con liên hợp của nó

aHa~x = H với V ữ e G

Đẳng thức trên có thể viết dưới dạng sau:

ciH = Ha

tức là các lớp kề trái và phải theo một nhóm con bất biến là như nhau

Theo định nghĩa, ta thấy ngay rằng nhóm con bất biến khi đã chứa phần tử nào đó, sẽ chứa mọi phần tử liên hợp với phần tử đó hay nói cách khác, nếu đãchứa một phần tử của lớp [ß ] thì phải chứa toàn thể lớp [ ß ]

Nhóm con bất biến tầm thường: e và bản thân G

Tất cả nhóm con của nhóm giao hoán đều bất biến.

Tính bất biến của nhóm con không phải là một tính bắc cầu: nhóm con bất biến T của một nhóm con bất biến H của G không nhất thiết là một nhóm con bất biến của G

C ác p h ầ n tử liên h ọ p : Một phần tử b G G được gọi là liên hợp với

f l e G nếu tồn tại một phần tử khác p e G sao cho b = p a p ~x Ta sẽ biểu thị

mối quan hệ này bằng kí hiệu

Tính chất:

(i) Mỗi phần tử liên hợp với chính nó ũ ~ a (quan hệ phản xạ).

(ii) Neu a ~ b thì b ~ a (quan hệ đối xứng).

(iii) Neu a ~ b và b ~ с thì а ~ с (quan hệ bắc cầu).

LÓ’P liên h ợ p : Các phần tử của một nhóm liên hợp với nhau thì hình thành một lớp

Mỗi phần tử của một nhóm chỉ thuộc một lớp Phần tử đơn vị hình thành một lớp với chính nó

Tích tr ự c tiếp: Gọi Hi và H 2 là các nhóm con của G với các tính chấtsau:

(i) Mọi phần tử của H] giao hoán với mọi phần tử của H 2, tức là:

/z,/^ = /^/Z], V/г, е Я , , / ^ G H 2 (ii) Mọi phần tử g & G có thể viết được duy nhất dưới dạng g =h\h2, ở đây hị е Я р /ỉ, G H 2

Trong trường hợp này, G được gọi là tích trực tiếp của Hị và H2, kí hiệu là

G = H x ® H 2.

1.2 Các ví dụ về nhóm

Ví dụ 1 : N hóm đơn giản nhất chỉ gồm một phần tử, phần tử đơn vị e Phần tử nghịch đảo của e chính là e và quy tắc nhân nhóm là e.e = e Dễ thấy

tất cả những điều kiện là một nhóm đều thỏa mãn s ố 1 với phép nhân thông thường tạo thành một nhóm mà ta biếu thị bằng C ị.

Ví dụ 2: Nhóm đơn giản tiếp theo có hai phần tử, trong đó có một phần tử

đơn vị Ta biểu thị nhóm này bởi Tùy theo tính chất của e , ta phải có e.e = e và e.a = a.e = a Vậy chỉ còn a a cần được xác định Hoặc a a = e hoặc a a = a Khả năng thứ hai là khả năng không thể vì nếu nhân cả hai vế với

a 1 thì dẫn tới ữ = e

Luật nhân nhóm được tóm tắt ngắn gọn qua bảng 1.1 Nhóm này được kí

hiệu là C 2 Rõ ràng các số + K e) và — l(ữ )hình thành nhóm này cùng với phép

nhân thông thường

(i) Các số ị l , e i27r/3 , e ~i2ĩr/3) với quy tắc nhân thông thường.

(ii) Toán tử đối xứng cho tam giác đều A trong mặt phang quay những góc 0 ,2 ;r/3 ,4 /r/3

Ví dụ 4: Nhóm không tuần hoàn đơn giản nhất là hạng 4 Nó thường được gọi là nhóm 4 hay nhóm nhị diện và được kí hiệu bởi D 2 Neu ta biểu thị bốn phần tử này là { e , a , b , c } , bảng nhân được đưa ra ở bảng 1.3 Bốn phần tử này

tương ứng với các phép biến đổi đối xứng trong hình 1 1:

(i) Giữ hình không đối

(ii) Phép chiếu lên trục thắng đứng (1,3)

(iii) Phép chiếu lên trục nằm ngang (2,4)

(iv) Phép quay quanh tâm một góc 7t trong mặt phang.

Ví dụ 5: Nhóm không Abel nhỏ nhất là hạng 6 Nó được tạo ra từ các

phép biến đối đối xứng dạng hình học như hình 1.2

Hình 1.2: Dạng đối xứng D3

Đây là nhóm nhị diện D3 bao gồm:

(i) Phép biến đổi đơn vị

(ii) Phép chiếu xuống các trục (1,1 ’), (2,2’), (3,3’)

(iii) Phép quay các tâm với các góc 7.71 / 3 và 47Г/3

Các phép chiếu làm đối chỗ hai điếm, chiếu thêm lần lượt ta sẽ trở lại hình ban đầu Do đó ta biểu thị ba toán tử này là (12), (23), (31) Các phép quay (theo chiều kim đồng hồ) với góc 2я73 và 4 ; r / 3 dẫn tới hoán vị tuần hoàn của

cả ba điểm, sẽ được biểu thị lần lượt là (321) và (123)

Ta nhận thấy 1'ằng có một và chỉ một sự tương ứng giữa các phép biến đổi

đối xứng và các hoán vị của ba điểm này hình thành nhóm hoán vị s 3 Có thể dễ

dàng kiếm tra rằng nếu thực hiện các phép biến đối (12) và (123) liên tiếp thì tùy thuộc vào thứ tự áp dụng sẽ cho kết quả là (31) hoặc (23) Điều đó chứng tỏ đây

là nhóm không Abel

Bảng 1.4: Bảng nhân của nhóm D3(haỵ s 3).

Ví dụ 6: Nhóm D 2 có ba nhóm con riêng biệt bao gồm các phần tử

\e,a\, { e, b\v à\ e,c \ Bình phương của a trong hai trường hợp này bằng e Do

đó {e,a\ trùng với nhóm C2 và hai tập còn lại cũng vậy.

(iv)Nhóm trực giao o ị n ) b a o gồm các ma trận trực giao hoặc các ma trận

n x n thỏa mãn: 0 0 T =1 ( 0 T là ma trận trực giao của ma trận O) Rõ ràng su(n) và 0 ( n ) là các nhóm con của u(n); và u ( n ) lại là nhóm con của G l ị n )

C H Ư Ơ N G 2: M Ộ T SỐ N HÓM c ơ BẢN 2.1 Nhóm hữu hạn

Ta xét một tập hợp s gồm bốn phần tử:

s - {1,3,5,7} với phép nhân nhóm (phép đồng dư của 8)

Đe tìm tích (phép đồng dư của 8 ) của hai phần tử trong s , ta nhân chúng với nhau theo cách thông thường, rồi lấy kết quả phép nhân đó chia cho 8 ta được phần dư, phần dư này chính là tích mà ta cần tìm Ví dụ, 5 x 7 = 3 5 , 35

chia 8 ta được phần dư là 3 Rõ ràng còn thỏa mãn tính giao hoán a x b = b x a ,

Ta thấy 1'ằng, tập hợp s thỏa mãn tính kín 1 chính là phần tử đơn vị, tức

là 1X a = a với Va e s Hơn nữa, đối với phần tử a G s có một phần tử b (trong

trường hợp này b = a ) thì a x b = \, tức là mỗi một phần tử đều có một phần tửnghịch đảo N hư vậy tập hợp s là một nhóm Abel bậc 4

Ta có bảng nhân nhóm như sau:

Từ ví dụ trên, ta đưa ra được các tính chất như sau:

(i) Mỗi một phần tử xuất hiện một và chỉ một lần trong mỗi hàng hoặc mỗi cột của bảng nhân nhóm

(ii) Phần tử nghịch đảo của phần tử a có thế xác định bằng cách tìm dọc

theo hàng, trong đó ữ xuất hiện trong cột bên trái (hàng thứ a) và khi đó phần

tử b tương ứng sẽ xuất hiện ở đầu cột (cột thứ b), trong đó phần tử đơn vị nằm

trên đường chéo chính

Ta rút ra được hệ quả: Khi phần tử đơn vị xuất hiện trên đường chéo chính thì các phần tử tương ứng là bậc 2

(iii) Đối với nhóm Abel thì bảng nhân nhóm là đối xứng qua đường chéo chính

Tống quát: Xét một tập hợp s gồm bốn phần tử:

s = ụ , A , B , C } v ở i phép nhân nhóm (phép đồng dư của N)

ta luôn lập được bảng nhân nhóm như sau:

2 ; r / 3 và 47 ĩ / 3 , quay qua một trục vuông góc với mặt phang của tam giác), và

ba phép quay phản xạ trong mặt phang trung trực vuông góc của ba cạnh Ta biểu thị các phép quay này bằng các kí hiệu sau:

(i) I là toán tử rỗng

(ii) R và R ’ là phép xoay 2 / r / 3 v à 4 ^ / 3 (theo chiều ngược chiều kim đồng hồ).

(iii) K, L, M là các phép quay phản xạ

Một số phép nhân của a b có thể dễ dàng tính toán được:

R.R = R \ R'.R' = R, R R ' = I = R'.R

K.K = L.L = M M = IBiểu diễn các tích còn lại thông qua các phép quay trong tam giác đều tađược:

Từ bảng nhân nhóm trên, ta nhận thấy:

(i) Các phần tử không đối xứng qua đường chéo chính, một số kết cặp của các phần tử trong nhóm không giao hoán

(ii) Có một số nhóm đối xứng có cấu trúc 3 x 3 tạo thành một bảng nhân nhóm gồm bốn khối là hình vuông Điều này xảy ra bởi vì chúng ta đã đưa vào các toán tử tương tự với tổ hợp các toán tử khác khi tác động lên các phần tử của nhóm Ví dụ, để biến đổi phần tử ở hàng thành cột liền kề, ta có hai cách sau: cách thứ nhất, dùng hai phép quay (hoặc ba nếu như nó được xem như là một phép quay góc 0 ; r / 3 ); cách thứ hai, dùng ba phép phản xạ

Như vậy nhóm không Abel là một nhóm nếu nhóm đó không có tính giaohoán.

đúng với thứ tự sắp xếp ban đầu Tất nhiên kết quả cũng giống như vậy nếu ta áp dụng phép nhân phải

Xét trường hợp với nhóm hữu hạn hạng n Ta biểu thị các phần tử của nhóm là { g i ,g 2’•••’£«}• Nhân mỗi phần tử này với một phần tử không đổi h thì kết quả là {hgl,h g 2, ,hgn} = {gki, g hỉ, ,ghJ ở đây {h\,h2, ,hn) là một hoán vị của các số (l,2 , ,n ) được xác định bởi h Từ đó ta tìm được bản chất mối quan

hệ giữa phần tử h e G và một hoán vị được đặc trưng bởi (hị,h2, ,hn).

Một hoán vị tùy ý của ĩĩ đối tượng sẽ được biểu thị bởi

p =

[ p I Pi Рг ••• Pn