ðường cao trong tam giác : là đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác và vuơng gĩc với cạnh đối diện.. ðường trung tuyến trong tam giác : là đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác và trung đ
Trang 11 Vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương
a) Vectơ pháp tuyến Vectơ n
được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ( )∆ nếu nĩ cĩ phương vuơng gĩc với ( )∆
b) Vectơ chỉ phương Vectơ u
được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ( )∆ nếu nĩ cĩ phương song song hoặc trùng với ( )∆
Chú ý : ● Một đường thẳng cĩ vơ số vetơ pháp tuyến và vơ số vectơ chỉ phương
● Nếu vectơ pháp tuyến n =( )a,b suy ra vectơ chỉ phương u= −( b,a)
Nếu vectơ chỉ phương u =( )a,b suy ra vectơ pháp tuyến n= −( b,a)
2 Phương trình tổng quát của đường thẳng
ðường thẳng ( )∆ cĩ ( )
( )
0 0
di qua M x ; y vtpt n A,B
Phương trình tổng quát của ( )∆ : A x( −x0) (+B y−y0)=0
⇔ + + − − = ðặt : −Ax0−By0 =C
3 Phương trình tham số của đường thẳng
ðường thẳng ( )∆ cĩ ( )
( )
0 0
di qua M x ; y vtcp u a,b
Phương trình tham số của ( )∆ : 0
0
x x at
= +
= +
4 Phương trình chính tắc của đường thẳng
ðường thẳng ( )∆ cĩ ( )
( )
0 0
di qua M x ; y vtcp u a,b
Phương trình chính tắc của ( )∆ : x x0 y y0
− = − Chú ý : ðể tồn tại phương trình tham số thì điều kiện : a≠0 và b≠0
5 Gĩc giữa hai đường thẳng
Cho đường thẳng ( )∆1 cĩ ( )
( )
1 1 1
1 1 1
di qua M x ; y vtcp u a ,b
( )
2 2 2
2 2 2
di qua M x ; y vtcp u a ,b
Khi đĩ gĩc giữa hai
đường thẳng ( )∆1 và ( )∆2 là : () 1 2
1 2
1 2
u u cos ,
u u
∆ ∆ =
CHUYÊN ĐỀ 1 ĐƯỜNG THẲNG
Trang 26 Vị trí tương ñối của hai ñường thẳng
Cho hai ñường thẳng ( )∆1 : A x1 +B y C1 + 1=0 và ( )∆2 : A x2 +B y C2 + 2 =0
a) ( ) ( ) 1 1 1
b) ( ) ( ) 1 1 1
c) ( )∆1 cắt ( ) 1 1
2
2 2
Chú ý : Hai ñường thẳng song song với nhau thì có cùng vectơ chỉ phương và cùng vectơ pháp tuyến Hai ñường thẳng vuông góc với nhau thì vectơ pháp tuyến của ñường này trở thành vectơ chỉ phương của ñường kia
7 Khoảng cách
a) Khoảng cách từ ñiểm M∉ ∆( ) ñến ñường thẳng ( )∆
Cho ñiểm ñường thẳng ( )∆ : Ax+By C+ =0 và M x ; y( 0 0) ( )∉ ∆ Khi ñó khoảng cách từ M ñến ñường thảng ( )∆ là : ( ( ) ) 0 0
2 2
d M,
+ +
∆ =
+
b) Khoảng cách giứa hai ñường thẳng song song
Cho hai ñường thẳng ( )∆1 : A x1 +B y C1 + 1=0 và ( )∆2 : A x2 +B y C2 + 2 =0 song song với nhau Khi ñó khoảng cách từ ( )∆1 ñến ( )∆2 bằng khoảng cách từ ñiểm M∈ ∆( )1 ñến ( )∆2 , hoặc bằng khoảng cách từ ñiểm N∈ ∆( )2 ñến ( )∆1
8 Vị trí của hai ñiểm A và B ñối với một ñường thẳng
Cho ñường thẳng ( )∆ : Ax+By C+ =0 và hai ñiểm A x ; y( A A) (, B x ; yB B) ( )∉ ∆
a) Nếu A và B cùng phía ñối với ( )∆ ⇔ Ax( A+ByA+C Ax) ( B+ByB+C)>0
b) Nếu A và B khác phía ñối với ( )∆ ⇔ Ax( A +ByA+C Ax) ( B+ByB+C)<0
9 Phương trình ñường phân giác của hai góc tạo bởi hai ñường thẳng
Cho hai ñường thẳng ( )∆1 : A x1 +B y C1 + 1=0 và ( )∆2 : A x2 +B y C2 + 2 =0 Khi ñó phương trình ñường phân giác của hai góc tạo bởi hai ñường thẳng ( )∆1 và ( )∆2 là :
=
10 Tọa ñộ giao ñiểm của hai ñường thẳng
Gọi M x, y là tọa ñộ giao ñiểm của ( ) ( )∆1 : A x1 +B y C1 + 1=0 và ( )∆2 : A x2 +B y C2 + 2 =0 Khi
ñó M x, y là nghiệm của hệ : ( ) 1 1 1
+ + =
Trang 3A – HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC
1 ðường cao trong tam giác : là đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác và vuơng gĩc với cạnh đối
diện
- Ba đường cao trong tam giác đồng quy tại một điểm, điểm đĩ gọi là trực tâm
- Gọi H là trực tâm giác ABC, khi đĩ : HA.BC =HB.AC =HC.AB =0
2 ðường trung tuyến trong tam giác : là đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác và trung điểm của cạnh đối diện
- Ba đường trung tuyến trong tam giác đồng quy tại một điểm, điểm đĩ gọi là trọng tâm
- Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đĩ :
A B C G
A B C G
x
3
y
3
+ +
=
+ +
và GA GB GC++=0
3 ðường trực của đoạn thẳng AB : là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và
vuơng gĩc với AB
- Ba đường trung trực của 3 cạnh trong tam giác đồng quy tại một điểm, điểm đĩ gọi là tâm
đường trịn ngoại tiếp tam giác
- Gọi I và R lần lượt là tâm và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, khi đĩ :
IA=IA=IC
Mối liên hệ giữa trực tâm H, trọng tâm G, tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác I là chúng thẳng hàng ( đường thẳng Ơle ) và thỏa mãn : IH=3.IG
4 ðường phân giác của gĩc trong tam giác : là đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác và chia gĩc
đĩ thành hai phần bằng nhau
- Ba đường phân giác trong của tam giác đồng quy tại một điểm, điểm đĩ gọi là tâm đường trịn nội tiếp tam giác
- Gọi J và r lần lượt là tâm và bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC, khi đĩ :
( )
d J, AB =d J, BC =d J, CA =r
- ðường phân giác luơn nằm giữa đường cao và đường trung tuyến
5 ðường trung bình trong tam giác : là đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh trong tam giác
- ðường trung bình song song và bằng 1
2 cạnh thứ ba trong tam giác
DẠNG 1 ðƯỜNG CAO VÀ TRỰC TÂM TAM GIÁC
Bài 1 Cho tam giác ABC cĩ B(− 4;5) và hai đường cao cĩ phương trình ( )d : x1 −2y 16+ =0,
( )d2 : x+ + =y 2 0 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
Bài 2 Cho tam giác ABC cĩ phương trình cạnh AB: x+ − =y 9 0, đường cao qua đỉnh A và B lần
lượt là ( )d : x1 +2y 13− =0, d : 7x 5y 49( )2 + − =0 Viết phương trình tổng quát hai cạnh
AC, BC và đường cao thứ ba
Bài 3 Cho tam giác ABC cĩ A thuộc ( )d : x−4y 2− =0, cạnh BC song song với đường thẳng
( )d , phương trình đường cao BH : x+ + =y 3 0 và trung điểm cạnh AC là M 1;1 Tìm ( )
tọa độ A, B, C
Trang 4Bài 4 Phương trình hai cạnh của tam giác ABC là : 5x−2y 6+ =0 và 4x+7y 21− =0 Viết
phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm của nó trùng với O 0, 0 ( )
Bài 5* Cho tam giác ABC có M 1; 0
2
−
là trung ñiểm của AB, ñường cao CH với H(−1 ;1)
ñường cao BK với K 1;3 Biết B có hoành ñộ dương Viết phương trình cạnh AB và tìm ( )
toạ ñộ A, B, C
Bài 6*. Lập phương trình 3 cạnh của tam giác ABC biết ñỉnh A 2 ;1 , trực tâm ( ) H(−6 ;3) và
trung ñiểm của BC là D 2; 2 ( )
Bài 7. Tìm tọa ñộ trực tâm của tam giác ABC biết ba cạnh của nó lần lượt có phương trình :
( )AB : 3x− + =y 4 0; BC : 2x( ) − + =y 1 0; AC : x( ) −2y=0
DẠNG 2 ðƯỜNG TRUNG TUYẾN VÀ TRỌNG TÂM TAM GIÁC
Bài 1. Cho tam giác ABC biết A 1,3 và hai ñường trung tuyến là : x( ) −2y 1+ =0 và y 1− =0
Lập phương trình các cạnh của tam giác
Bài 2. Cho tam giác ABC biết phương trình của ñường thẳng AB là x−2y 7+ =0 Hai trung
tuyến ñi qua A và B lần lượt có phương trình : x+ − =y 5 0 và 2x+ − =y 11 0 Viết phương trình hai cạnh AB và AC
Bài 3. Cho tam giác ABC biết phương trình của ñường thẳng AB là 3x−2y 1+ =0, phương trình
của ñường thẳng AC là x− + =y 1 0 ðường trung tuyến ñi qua C có phương trình 2x− − =y 1 0 Viết phương trình ñường thẳng BC
Bài 4*. Cho tam giác ABC vuông cân tại A Biết M 1; 1( − ) là trung ñiểm của BC và G 2; 0
3
là trọng tâm tam giác ABC Tìm toạ ñộ các ñỉnh A, B, C
Bài 5* Cho tam giác ñều ABC có ñỉnh A 3 ; 5( − ) và trọng tâm G 1 ;1 Viết phương trình các ( )
cạnh tam giác ABC
Bài 6 Cho tam giác ABC có các ñỉnh A(−1; 0 , B 4; 0 , C 0; m) ( ) ( ) với m≠0 Tìm tọa ñộ trọng
tâm G của tam giác ABC theo m Xác ñịnh m ñể tam giác GAB vuông tại G
Bài 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho ñiểm A 2;3 và hai ñường thẳng ( )
( )d : x1 + + =y 5 0, ( )d2 : x+2y 7− =0 Tìm tọa ñộ các ñiểm B∈d1 và C∈d2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G 2; 0 ( )
Bài 8* Cho tam giác ABC với AB= 5, C(− −1; 1) ðường thẳng AB: x+2y 3− =0, và trọng
tâm G của tam giác thuộc ñường thẳng x+ − =y 2 0 Hãy tìm toạ ñộ các ñiểm A và B
Bài 9 Cho tam giác ABC, M(−1;1) là trung ñiểm của BC Hai cạnh AB, AC thứ tự nằm trên hai
ñường thẳng x+ − =y 2 0 và 2x+6y 3+ =0 Xác ñịnh tọa ñộ A, B, C
Bài 10 Cho tam giác ABC có các cạnh AB : 2x 5y 11 0, AC : 2x− + = + − =y 7 0 Trung ñiểm của
BC là M 1; 0
2
Viết phương trình tổng quát cạnh BC
Bài 11 Cho tam giác ABC có trọng tâm G 1;1 và các cạnh AB và AC lần lượt có phương trình ( )
2x−5y 11+ =0 và 2x+ − =y 7 0 Viết phương trình tổng quát cạnh BC
Trang 5DẠNG 3 ðƯỜNG PHÂN GIÁC
Bài 1 Cho tam giác ABC có A 2; 1( − ) và hai ñường phân giác trong của góc B và C có phương
trình lần lượt là ( )d : x1 −2y 1+ =0 và ( )d2 : x+ − =y 3 0 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
Bài 2. Cho tam giác ABC có phương trình cạnh BC : 2x− + =y 3 0 và hai ñường phân giác trong
của B, C có phương trình lần lượt ( )d : x1 −2y 1+ =0, d( )2 : x+ − =y 3 0 Viết phương trình tổng quát các cạnh AB, AC
Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A 1;5 ; B( ) (− −4; 5 ; C 4; 1 ) ( − ) Tìm toạ ñộ
chân ñường phân giác trong và phân giác ngoài của góc A
DẠNG 4 ðƯỜNG TRUNG TRỰC
Bài 1. Viết phương trình các ñường trung trực của tam giác ABC biết trung ñiểm của các cạnh là
( ) ( ) ( )
M − −1; 1 , N 1;9 , P 9;1
Bài 2. Tam giác ABC có ñỉnh A(− −1; 3), ñường trung trực của cạnh AB là 3x+2y− =4 0 và
trọng tâm G 4; 2 ( − ) Tìm tọa ñộ các ñỉnh B, C của tam giác
DẠNG 5 ðƯỜNG TRUNG BÌNH.
Bài 1. Tam giác ABC có các ñường trung bình nằm trên các ñường thẳng có phương trình
2x− + =y 1 0; x+4y 13− =0; x−2y 1− =0 Viết phương trình các ñường thẳng chứa các cạnh của tam giác ñó
Bài 2. Tam giác ABC có 2 ñường trung bình kẻ từ trung ñiểm M của BA nằm trên các ñường
thẳng có phương trình là : x−4y 7+ =0; 3x−2y 9− =0, và tọa ñộ ñiểm B 7;1 Viết ( )
phương trình các ñường thẳng chứa các cạnh của tam giác ñó
Bài 3. Cho các ñiểm P 2;3 , Q 4; 1 , R( ) ( − ) (−3;5) là trung ñiểm các cạnh của tam giác ABC Lập
phương trình các dường thẳng chứa các cạnh của tam giác ñó
DẠNG 6 ðƯỜNG CAO VÀ ðƯỜNG TRUNG TUYẾN
Bài 1 Cho tam giác ABC có C 4; 1( − ) ñường cao và trung tuyến kẻ từ một ñỉnh có phương trình
lần lượt là ( )d : 2x 3y 121 − + =0, d( )2 : 2x+3y=0 Viết phương trình tổng quát các cạnh của tam giác ABC
Bài 2. Cho tam giác ABC có ñỉnh A 2; 1 , ñường cao qua ñỉnh B có phương trình là ( )
x 3y 7− − =0 và ñường trung tuyến qua ñỉnh C có phương trình là x+ + =y 1 0 Xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh B và C của tam giác
Bài 3. Cho tam giác ABC có M 2; 0 là trung ñiểm của cạnh AB ðường trung tuyến và ñường ( )
cao qua ñỉnh A lần lượt có phương trình là : 7x−2y 3− =0 và 6x− − =y 4 0 Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
Bài 4. Cho tam giác ABC có A(−3; 6), trực tâm H 2;1 , trọng tâm ( ) G 4 7;
3 3
Xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh còn lại của tam giác
Trang 6DẠNG 7 ðƯỜNG CAO VÀ ðƯỜNG PHÂN GIÁC
Bài 1 Cho tam giác ABC có B 2;1( ), ñường cao và ñường phân giác trong qua hai ñỉnh A và C
lần lượt là : 2x+ − =y 1 0 và x− − =y 3 0 Viết phương trình tổng quát các cạnh của tam giác ABC
Bài 2* Cho tam giác ABC có hình chiếu vuông góc của ñỉnh C lên trên ñường thẳng AB là ñiểm
H − −1; 1 ðường phân giác trong của góc A có phương trình : x− + =y 2 0 và ñường cao kẻ từ B có phương trình : 4x 3y 1 0+ − = Hãy xác ñịnh toạ ñộ ñỉnh C của tam giác ABC
Bài 3*. Cho tam giác ABC có ñường cao kẻ từ B và ñường phân giác trong của góc A lần lượt có
phương trình : 3x+4y 10+ =0 và x− + =y 1 0 ðiểm M 0; 2 thuộc ñường thẳng AB ñồng ( )
thời cách ñiểm C một khoảng bằng 2 Tìm toạ ñộ các ñỉnh của tam giác ABC
Bài 4. Cho tam giác ABC có ñường phân giác trong AD : x− =y 0, ñường cao
CH : 2x+ + =y 3 0 Cạnh AC qua M 0 ; 1( − ), AB=2AM Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
DẠNG 8 ðƯỜNG TRUNG TUYẾN VÀ PHÂN GIÁC
Bài 1. Cho tam giác ABC có C(−4;1) Phương trình ñường trung tuyến AA ' , ñường phân giác
BB' lần lượt là 2x− + =y 3 0 và x+ − =y 6 0 Lập phương trình các cạnh của tam giác
Bài 2. Cho tam giác ABC có C 4;3 , ñường phân giác trong và trung tuyến kẻ từ một ñỉnh của ( )
tam giác có phương trình lần lượt là : x+2y 5− =0 và 4x 13y 10+ − =0 Lập phương trình các cạnh của tam giác
DẠNG 9 ðƯỜNG TRUNG TRỰC VÀ TRUNG TUYẾN
Bài 1**. Cho tam giác ABC có A 5; 2 , phương trình ñường trung trực cạnh BC, ñường trung tuyến ( )
CC' lần lượt là : ( )d : x1 + − =y 6 0 và d : 2x( )2 − + =y 3 0 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC
Bài 2. Cho tam giác ABC có A(− −1; 3) ðường trung trực của AB là 3x+2y 4− =0 và tọa ñộ
trọng tâm của tam giác là G 4; 2 ( − ) Xác ñịnh tọa ñộ B, C
DẠNG 10 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN DIỆN TÍCH TRONG TAM GIÁC
Bài 1* Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có A 2; 3 , B 3; 2( − ) ( − ) và diện tích tam
giác ABC bằng 3
2 Biết trọng tâm G của tam giác ABC thuộc ñường thẳng : 3x− − =y 8 0 Tìm tọa ñộ ñiểm C
Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có ñỉnh A(−1; 4) và các
ñỉnh B, C thuộc ñường thẳng x− − =y 4 0 Xác ñịnh tọa ñộ các ñiểm B, C Biết diện tích tam giác ABC bằng 18
Bài 3 Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A có ñỉnh C(−4 ;1), phân giác
trong của góc A có phương trình x+ − =y 5 0 Viết phương trình ñường thẳng BC Biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và ñỉnh A có hoành ñộ dương
Trang 7Bài 4 Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy, cho A 8; 6 Lập phương trình ñường thẳng qua A và tạo với ( )
hai trục tọa ñộ một tam giác có diện tích bằng 12
Bài 5 Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy, cho tam giác ABC biết A(−1; 2 , B 2; 0 , C) ( ) (−3;1 ) Tìm M
thuộc ñường thẳng BC sao cho diện tích tam giác ABM bằng 1
3 diện tích tam giác ABC
DẠNG 11 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ðẾN TÂM ðƯỜNG TRÒN TRONG TAM GIÁC
Bài 1 Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho hai ñiểm A 0; 2 và ( ) B(− 3; 1− ) Tìm tọa ñộ tâm ñường
tròn ngoại tiếp của tam giác OAB
Bài 2** Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có A(−2;1), tâm ñường tròn ngoại tiếp
I −1;3 và ñiểm M 5;3 thuộc cạnh BC Lập phương trình các cạnh tam giác nếu biết ñộ ( )
dài cạnh BC bằng 8
Bài 3* Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có A 3; 7( − ), trực tâm H 3; 1( − ), tâm
ñường tròn ngoại tiếp là I(−2 ; 0 ) Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm C biết C có hoành ñộ dương
Bài 4 Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có góc 0 ( )
A=90 , B 2; 1− và tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I 3 5;
2 2
Biết AC=2AB Tìm tọa ñộ ñiểm A và C
-*** -Bài 5 Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có phương trình cạnh BC :
3x− −y 3=0 Các ñỉnh A và B thuộc trục hoành Bán kính ñường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2 Xác ñịnh toạ ñộ trọng tâm G của tam giác ABC
Bài 6 Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A với B(−3; 0 , C 7; 0) ( ) và bán
kính ñường tròn nội tiếp là r=2 101 5− Tìm toạ ñộ tâm J của ñường tròn nội tiếp tam giác ABC, biết J có tung ñộ dương
Bài 7 Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có A(−1;5) và phương trình ñường thẳng
BC: x−2y 5− =0 với xB <xC, biết I 0;1 là tâm ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( )
Tìm tọa ñộ J là tâm ñường tròn nội tiếp tam giác ABC
Trang 8B – KHOẢNG CÁCH
Bài 1 Viết phương trình đường thẳng đi qua A 1;1 và cách ( ) B 3; 6 một khoảng bằng 2 ( )
Bài 2* Lập phương trình đường thẳng cách điểm A 1;1 một khoảng bằng 2 và cách điểm ( ) B 2;3 ( )
một khoảng bằng 4
Bài 3 Viết phương trình các đường thẳng song song với ( )d : 3x−4y 1+ =0 và cĩ khoảng cách
đến d bằng 1
Bài 4 Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với dường thẳng ( )d : x+2y 1− =0 và cách d
một đoạn 13 và nằm trong nữa mặt phẳng bờ d cĩ chứa điểm gốc O
Bài 5 Cho M 3;0( ) và hai đường thẳng ( )d : 2x1 − − =y 2 0, ( )d : x2 + + =y 3 0 Viết phương
trình đường thẳng ( )∆ đi qua M, cắt ( )d ở A, cắt 1 ( )d2 ở B sao cho MA=MB
Bài 6 Cho M(−1; 2) và hai đường thẳng ( )d : x1 +2y 1+ =0, d( )2 : 2x+ + =y 2 0 Viết phương
trình đường thẳng ( )∆ qua M và cắt ( )d tại A , cắt 1 ( )d2 tại B sao cho MA=2MB
Bài 7 Cho hai đường thẳng cĩ phương trình ( )d : x1 + + =y 1 0, d( )2 : 2x− − =y 1 0 Lập phương
trình đường thẳng đi qua điểm M 1;1 và cắt ( ) ( ) ( )d , d1 2 tương ứng tại A và B sao cho 2MA+MB=O
Bài 8 Cho ba điểm A 3; 2 , B( − ) (−5; 4 , C 10; 6 ) ( − ) Viết phương trình đường thẳng đi qua C và
cách đều hai điểm A và B
Bài 9 Cho hai điểm A(−2; 4 , B 3;5 ) ( ) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua
điểm I 0;1 sao cho khoảng cách từ A đến đường thẳng ( ) ∆ gấp hai lần khoảng cách từ B đến ∆
Bài 10 Cho các đường thẳng : ( )d : x1 + + =y 3 0, d : x( )2 − − =y 4 0, d( )3 : x−2y=0 Tìm điểm
( )3
M∈ d sao cho khoảng các từ M đến ( )d bằng 2 lần khoảng cách đến 1 ( )d2
Bài 11 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A 2; 0 và đường thẳng ( ) ( )d : x−2y 2+ =0 Tìm
trên ( )d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuơng ở B và AB=2BC
Bài 12 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A 1;1 , B 4; 3( ) ( − ) Tìm C thuộc đường thẳng
x−2y 1− =0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6
Bài 13 Viết phương trình đường thẳng ( )d2 song song với đường thẳng ( )d : 2x1 − − =y 4 0 , và
cắt hai trục toạ độ tại M và N sao cho MN=3 5
Bài 14**.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A 0; 2 và ( ) ( )∆ là đường thẳng đi qua O Gọi H là
hình chiếu vuơng gĩc của A trên ( )∆ Viết phương trình đường thẳng ( )∆ , biết khoảng cách từ H đến trục hồnh bằng AH
Bài 15 Cho hai đường thẳng ( )d : 2x1 +3y 5− =0 và ( )d2 : x−2y 8+ =0 Viết phương trình
đường thẳng ( )∆ đối xứng của ( )d qua 1 ( )d2
Bài 16* Viết phương trình đường thẳng đi qua M 3; 2 cắt tia Ox tại A ( hồnh độ dương ) và tia ( )
Oy tại B ( tung độ dương) sao cho : OA OB 12 + =
Trang 9C – BÀI TOÁN CỰC TRỊ.
Bài 1 Cho điểm A 2;1 và điểm ( ) M m 2; 2m 5( − + ) di động Tìm giá trị nhỏ nhất của AM khi m
thay đổi
Bài 2 Cho đường thẳng ( )d : x+2y 4− =0 và 2 điểm A 1; 4 , B 6; 4 ( ) ( )
a) Chứng minh rằng A và B cùng nằm một phía đối với ( )d Tìm toạ độ A ' đối xứng với
A qua ( )d
b) Tìm M thuộc ( )d sao cho MA +MB nhỏ nhất
c) Tìm M thuộc ( )d sao cho 2 2
MA +MB nhỏ nhất
d) Tìm M thuộc ( )d sao cho MA+MB nhỏ nhất
e) Tam giác ABM cĩ chu vi nhỏ nhất
f) Tìm M thuộc ( )d sao cho MA−MB lớn nhất
Bài 3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A 1; 2 , B 3; 4 Tìm trên tia Ox điểm P sao cho ( ) ( )
PA+PB nhỏ nhất
Bài 4 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho các điểm A 2;1 , B( ) (−2;1) và các đường thẳng :
( ) (d : m 1 x1 − ) (+ m 2 y− ) + − =2 m 0, d( ) (2 : 2 m x− ) (+ m 1 y 3m 5− ) + − =0
Chứng minh ( )d và 1 ( )d2 luơn cắt nhau Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng, tìm m sao cho PA+PB lớn nhất
Bài 5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A 2;1 Lấy điểm B thuộc Ox cĩ hồnh độ khơng ( )
âm và điểm C thuộc trục Oy cĩ tung độ khơng âm sao cho tam giác ABC vuơng tại A Tìm
B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất
Bài 6 Viết phương trình đường thẳng đi qua M 3; 2 cắt tia Ox tại A ( hồnh độ dương ) và tia ( )
Oy tại B ( tung độ dương ) sao cho :
a) S∆OAB đạt giá trị nhỏ nhất
b) OA OB+ nhỏ nhất
c) 12 12
OA +OB nhỏ nhất
Trang 10D - BÀI TOÁN TỔNG HỢP
Bài 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ( )d : 2x1 − + =y 1 0, và
( )d2 : x+2y 7− =0 Lập phương trình đường thẳng ( )d đi qua gốc tọa độ O và tạo với
( ) ( )d và d1 2 tam giác cân cĩ đỉnh là giao điểm A của ( )d và d 1 ( )2
Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ( )d : 3x1 −4y 5+ =0, và
( )d2 : 5x 12y 1+ − =0 Viết phương trình đường thẳng ( )∆ đi qua gốc tọa độ O và tạo với hai đường thẳng ( ) ( )d và d1 2 một tam giác cân cĩ cạnh đáy là ( )∆
Bài 3 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho A 1; 2 , B( − ) (−3;3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng
x− + =y 2 0 sao cho tam giác ABC vuơng tại C
Bài 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B, với A 1; 1 , C 3;5( − ) ( ) ðỉnh B
nằm trên đường thẳng ( )d : 2x− =y 0 Viết phương trình các đường thẳng AB, BC
Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuơng ở A Biết A(−1; 4 , B 1; 4) ( − ),
đường thẳng BC đi qua điểm K 7; 2
3
Tìm tọa độ đỉnh C
Bài 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 2; 2 và các đường thẳng ( ) ( )d : x1 + − =y 2 0 và
( )d2 : x+ − =y 8 0 Tìm toạ độ các đỉnh B và C lần lượt thuộc ( )d và d1 ( )2 sao cho tam giác ABC vuơng cân tại A
Bài 7 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC cĩ phương trình :
x−3y 1− =0 Cạnh bên AB cĩ phương trình : x− − =y 5 0 ðường thẳng chứa cạnh AC đi qua điểm M(−1; 4 ) Tìm tọa độ C
Bài 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M 3;3 , I 2;1 Viết phương trình đường ( ) ( )
thẳng đi qua I cắt các trục toạ độ tại A và B sao cho tam giác AMB vuơng tại M
Bài 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( )∆ : 3x−2y 1+ =0 Lập phương trình
đường thẳng ( )d đi qua M 1; 2 và hợp với đường thẳng ( ) ( )∆ một gĩc 0
45
Bài 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A cĩ đỉnh A 6; 6 ðường thẳng ( )
đi qua trung điểm của các cạnh AB, AC cĩ phương trình x+ − =y 4 0 Tìm toạ độ các đỉnh
B và C biết E 1; 3( − ) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho