Viết phương trình trung trực của MN 2.. Chứng tỏ rằng đường trung trực này đi qua 1 điểm cố định khi t thay đổi Bài giải: 1... Đường trung trực ∆∆∆∆ của đoạn AB cắt các đường phân giác
Trang 1Bài 1: Cho a là một hằng số, t là tham số thực Coi 3 điểm A( t + a , 0 ) , B( 0 , a – t ) và C sao cho
OC====OA++++OB
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
1 Viết phương trình tập hợp những điểm C
2 Viết phương trình đường thẳng ( )∆∆∆∆ qua C và vuông góc AB
3 CM ( )∆∆∆∆ đi qua 1 điểm cố định
Bài giải:
1.Từ OC OA OBuuur=uuur+uuur thoả C x t a x y 2a 0
y a t
= +
= −
Vậy tập hợp những điểm C là (d) : x + y – 2a = 0
2.Gọi M(x0,y0) ( )∈ ∆ thoả CM⊥AB⇔CM.AB 0uuuur uuur=
(t a)x (t a)y 4at 0
⇔ + + − − = ( )∆
3 ( ) : (x y 4a)t ax ay 0 x 2a
y 2a
=
=
Vậy ( )∆ qua điểm cố định I(2a,2a)
( ) : x cos 2∆∆∆∆ θ +θ +θ +θ +y.sin 2θ −θ −θ −θ −2 cos θ =θ =θ =θ =0
1 Tính khoảng cách M(m,θθθθ) đến ( )∆∆∆∆
2 Chứng tỏ rằng có 1 điểm M trên trục Ox mà khoảng cách đến ( )∆∆∆∆ độc lập θθθθ
Bài giải:
1
2
2
M,
m.cos 2 sin 2 2 cos
cos 2 sin 2
∆
θ + θ θ − θ
2
M,
d (m 1) cos 2 sin 2 1
∆ = − θ + θ θ −
M,
∆
∀θ độc lập θ m 1 0 M(1, 0)
0
− =
θ =
Vậy có 1 điểm M(1,0) ∈Ox thoả dM, 1
∆ =
Bài 3: Trong hệ trục Oxy cho A(a, 0);B(0, b) Lấy M(a t, 0);N(0, b t) t++++ ++++ ∈∈∈∈
1 Viết phương trình trung trực của MN
2 Chứng tỏ rằng đường trung trực này đi qua 1 điểm cố định khi t thay đổi
Bài giải:
1 I a t b t,
Gọi H(x,y) ( )∈ ∆ là đường trung trực của MN thoả HI⊥MN⇔HI.MN 0uur uuuur=
2 2
a b (a t)x (b t)y at bt 0
2 2
2 2
b a (x y a b)t ax by 0 (*)
2
−
(*) ngiệm đúng 2 2
x y a b 0
a b b a
2
− − + =
Trang 2Bài 4: Cho 2 điểm A(a, 0);B(0, b) Đường trung trực ( )∆∆∆∆ của đoạn AB cắt các đường phân giác của góc
thứ nhất và của góc thứ hai lần lượt tại P và Q
1 Viết phương trình ( )∆∆∆∆ và tính toạ độ P,Q
2 CM APBQ là một hình vuông
3 Giả sử a,b thay đổi sao cho a + b = k ( k = const ) Chứng tỏ rằng 1 trong 2 điểm P, Q cố định Tìm
tập hợp trung điểm I của đoạn AB
Bài giải:
1.Gọi I là trung điểm Ab thoả I a b,
2 2
M(x,y) ∈ trung trực ( )∆ IM AB IM.AB 0 ax by a2 b2 0
2
uuur uuur
Vì P là giao điểm của đường phân giác của góc thứ nhất : y = x nên
2 2
y x
a b a b
2
=
⇒
−
Q là giao điểm của đường phân giác của góc thứ hai Q a b b a,
2
2 2 2
2 2 2
AB PQ
APBQ
=
⊥
3 a + b = k P k k,
2 2
là điểm cố định
1
a
x
2
I
b k
2 2
=
Vậy I ( ) : x y k 0
2
Vậy quỹ tích của I là đường thẳng có phương trình : 2x + 2y – k = 0
Bài 5:
1 Cho 2 điểm A( 3cost , 0 ) ; B( 0 , 2sint ).Tìm tập hợp các điểm M(x,y) sao cho: 2AM 5MB 0uuuruuuruuuruuur++++ uuuruuuruuuruuur ==== rrrr khi t
thay đổi
2 Lập phương trình quỹ tích tâm của đường tròn tiếp xúc trục Ox và đi qua A(1,2)
Bài giải:
1.Gọi (L) là tập hợp phải tìm
M(x,y) và
x 2 cos t
y sin t 3
= −
=
uuuur uuur r
1 (Elip) 100
4 9
2.Gọi (L) là quỹ tích tâm đường tròn tiếp xúc Ox và qua A(1,2)
I(x0,y0) (L)∈ ⇔I là tâm đường tròn qua A và tiếp xúc Ox tại M
2 2
IM Ox tại M
x y 2x 4y 5 0 IM=IA
⊥
Bài 6: Cho ABC∆∆∆∆ có đỉnh A(2,2)
Trang 31 Lập phương trình các cạnh tam giác , biết 9x 3y 4−−−− − =− =− =− =0 ; x+ − =+ − =+ − =+ − =y 2 0 là đường cao kẻ từ B và C
2 Lập phương trình đường thẳng qua A và tạo với AC một góc
4
ππππ
Bài giải:
{ } { }
AC
AC
AC
1.AC BH A(2,2) AC : x 3y 8 0
AB CH A AB : x y 0
AC CH C : C( 1,3)
4
BC : 7x 5y 0
2 2
3
AB BH B : B ,
3 3
1 2.AC : x 3y 8 0 k
3
gt : (AC, d) k tan(AC,d) 1
4
x 2y C 0
Mà đườ 2x y C 0
π
−
+
⇒ + + =
C = 2
ng thẳng qua A
C = -6
x 2y 2 0 2x y 6 0
⇒
Bài 7: Cho P(3,0) và (∆∆∆∆1) : 2x− − =− − =− − =− − =y 2 0 ; (∆∆∆∆2) : x+ + =+ + =+ + =+ + =y 3 0.Gọi (d) là đường thẳng đi qua P và cắt
1 2
(∆∆∆∆ ),(∆∆∆∆ ) lần lượt tại A,B Viết ohương trình (d) biết PA = PB
Bài giải:
(d) : y = k (x – 3) , { }
{ }
1 2
A
B
2 3k (d) ( ) A x
2 k 3k 3 (d) ( ) B x
k 1
−
−
−
+
PA = PB ⇒2xP =xA+xB⇒k 8= ⇒(d) : y 8x 24= −
Bài 8: Cho hình vuông có đỉnh A(-4,5) và 1 đường chéo trên : 7x – y + 8 = 0 Lập phương trình các cạnh
và đường chéo của hình vuông
Bài giải:
BD : 7x – y + 8 = 0 ; A AC∈ ⊥BD⇒AC : x 7y 31 0+ − =
1 9
I AC BD I , C(3, 4)
2 2
Gọi ( )∆ qua A và hợp với AC một góc 450 có hệ số góc k
AC AC
AC
k k 1
−
+
Vậy phương trình qua C : 3x 4y 32 0 4x 3y 24 0− + = ∨ + − =
Trang 4Bài 9: Lập phương trình các cạnh ABC∆∆∆∆ nếu B(2,-1) , đường cao và phân giác ngoài qua A và C lần lượt
là: 3x 4y 27−−−− ++++ ====0 ; x++++2y− =− =− =− =5 0
Bài giải:
AH : 3x – 4y + 27 = 0 ; phân giác CC’: x + 2y – 5 = 0
B BC∈ ⊥AH⇒BC : 4x 3y 5 0+ − =
{ }
BC CC'∩ = C ⇒C( 1,3);( ) AC : qua C thỏa y k(x 1) 3− ∆ ≡ = + +
4
BC : 4x 3y 5 0 ; k
3 1 CC' : x 2y 5 0 ; k
2
(CA,CC’) = (CC’,CB) ⇔tan(CA,CC') tan(CC',CB)=
{ }
Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC∆∆∆∆ có đỉnh C(-2,-4) và trọnh tâm G(0,4)
1 Giả sử M(2,0) là trung điểm của cạnh BC Xác định tọa đôï các đỉnh A,B
2 Giả sử M di động trên đường thẳng (d): x + y – 2 = 0 , tìm quỹ tích điểm B Xác định M để độ dài
cạnh AB là ngắn nhất
Bài giải:
1.Vì M là trung điểm cạnh BC nên : B C M
MA 3MG=
uuuur uuuur
mà
3MG ( 6,12) A( 4,12)
MG ( 2,4);
MA (x 2, y )
uuuur uuuur
uuuur
2.M( x0,y0) (d)∈ ⇒y0 = −2 x0
0
0
Vậy quỹ tích điểm B là đường thẳng ( )∆ : x + y – 10 = 0
Vì MA 3MGuuuur= uuuur nên A(-2x0 , 8+2x0)
2 0
1
4
0
Bài 11: Cho 3 điểm A(2,4) ; B(3,1) ; C(1,4) và ( )∆∆∆∆ x – y – 1 = 0
1 Tìm M ( )∈ ∆ sao cho AM + MB nhỏ nhất
2 Tìm N∈ ∆( ) sao cho AN + CN nhỏ nhất
Bài giải:
1.t1 xA yA 1 3 2 0 t2 xB yB 1 2
⇒ A,B nằm cùng phía đối với ( )∆ và AB (1, 3)uuur= −
Trang 5⇒ AM + BM ≥ AB = 10 (1)
(1) xảy ra M ( )
M nằm trong A,B
∈ ∆
⇔
M ( )
AM cùng hướng AB
∈ ∆
⇔
uuuur uuur
2 ( ')∆ qua A và vuông góc ( )∆ thỏa ( ') : x y 6 0
I '
= ∆ ∩ ∆
7 5
I ,
2 2
I trung điểm AA’ ⇒ A’(5,1)
AN + CN = A’N + CN ≥ CA’ = 5 (2)
(2) xảy ra N ( )
CN cùng hướng CA'
∈ ∆
⇔
uuur uuuur
23 16
N , min(AN CN) 5
7 7
Bài 12:
1.Lập phương trình đường thẳng qua A(2,1) và tạo 2x + 3y + 4 = 0 một góc 450
2 Cho P(2,5) , Q(5,1) Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng
đó bằng 3
Bài giải:
1.(d) : 2x + 3y + 4 = 0 ; kd = 2
3
−
( )∆ qua A thỏa y = k (x – 2 ) + 1
( , d)∆ = 450 tan( , d) 1 k 1 k 5
5
x 5y 3 0 5x y 11 0
2 ( )∆ qua P thỏa y = k (x – 2 ) + 5
Q,
7
d 3 k ( ) : 7x 24y 134 0
24
( )∆ qua P thỏa ( ') : x 2∆ =
Q, '
d 3 x 2 0
∆ = ⇒ − = thỏa ycbt