HH hệ tọa độ oxy LTĐH có đáp án

Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật đú.. Tìm tọa độ đỉnh C.. Tỡm điểm M trờn d sao cho hai tam giỏc MAB, MCD cú diện tớch bằng nhau.. Tỡm toạ độ đỉnh C... Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam g

Cõu VI Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hỡnh chữ nhật ABCD cú tõm 1

( ;0) 2

I Đường thẳng AB cú phương trỡnh: x – 2y + 2 = 0, AB = 2AD và hoành độ điểm A õm Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của hỡnh chữ nhật đú

5

( , )

2

+) PT đường trũn ĐK BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4

+) Tọa độ A, B là nghiệm của hệ:

2 2

2

( )

( 2;0), (2; 2)

2

2 2 0

0

x y

x

y

  =







 − + = 

  = (3;0), ( 1; 2)

Cõu VI Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích bằng 3

2 và trọng tâm thuộc đờng thẳng ∆: 3x – y – 8 = 0 Tìm tọa độ đỉnh C

Ta có: AB = 2 , trung điểm M ( 5; 5

2 −2), pt (AB): x – y – 5 = 0

S ABC∆ = 1

2d(C, AB).AB =

3

2 ⇒ d(C, AB)= 3

2 Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)= 1

2

S ABC∆ = 1

2d(C, AB).AB =

3

2 ⇒ d(C, AB)= 3

2 Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)= 1

2

Mà CMuuuur=3GMuuuur⇒C = (-2; -10) hoặc C = (1; -1)

Cõu VI Trong mặt phẳng Oxy cho cỏc điểm A 1;0 , B 2;4 ,C 1;4 ,D 3;5( ) (− ) (− ) ( ) và đường thẳng

d : 3x y 5 0− − = Tỡm điểm M trờn d sao cho hai tam giỏc MAB, MCD cú diện tớch bằng nhau

Gi s ả ử M x; y( )∈ ⇔d 3x y 5 0.− − =

AB

CD

MAB MCD

AB 5,CD 17

AB 3;4 n 4;3 PT AB : 4x 3y 4 0

CD 4;1 n 1; 4 PT CD : x 4y 17 0

3x y 5 0

4x 3y 4 x 4y 17

3x y 5 0

3x 7y 21 0

− − =





− − =



⇔

uuur uuur

7

M ;2 ,M 9; 32 3

3x y 5 0

5x y 13 0











Cõu VI Cho hỡnh tam giỏc ABC cú diện tớch bằng 2 Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC nằm trờn

đường thẳng y = x Tỡm toạ độ đỉnh C

Ta cú: uuurAB= −( 1; 2)⇒AB= 5 Phương trỡnh của AB là: 2x y+ − =2 0.

I∈ d y x= ⇒ I t t I là trung điểm của AC:C(2t−1;2t)

Theo bài ra: ( , ) 2

2

1

=

=

∆ AB d C AB

S ABC ⇔ 6t−4 =4 ⇔ 





=

=

3 4

0

t t

Từ đú ta cú 2 điểm C(-1;0) hoặc C(

3

8

; 3

5 ) thoả món

Cõu VI Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1),B(−2;5), đỉnh C nằm trên đờng thẳng

0

4=

−

x , và trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng 2x−3y+6=0 Tính diện tích tam giác ABC

Ta có C=(4;y C) Khi đó tọa độ G là

3

2 3

5 1 , 1 3

4 2

G G

y y

y

x = − + = = + + = + Điểm G nằm trên đờng thẳng 0

6

3

2x− y+ = nên 2−6− y C+6=0, vậy y C =2, tức là

)

2

;

4

(

=

C Ta có AB=(−3;4), AC=(3;1), vậy AB=5, AC= 10, AB.AC =−5

Diện tích tam giác ABC là ( ) 25.10 25

2

1

2

−

=

−

2 15

Cõu VI Trong mặt phẳng oxy cho ∆ABC cú A(2;1) Đường cao qua đỉnh B cú phương trỡnh x- 3y - 7 = 0 .Đường trung tuyến qua đỉnh C cú phương trỡnh

x + y +1 = 0 Xỏc định tọa độ B và C Tớnh diện tớch ∆ ABC

Trong mặt phẳng oxy cho ∆ABC cú A(2;1) Đường cao qua đỉnh B cú phương trỡnh x- 3y - 7 = 0 Đường trung tuyến qua đỉnh C cú phương trỡnh

x + y +1 = 0 Xỏc định tọa độ B và C

M

C B

H A

+AC qua A và vuụng gúc với BH do đú cú VTPT lànr=(3;1) AC cú phương trỡnh 3x + y - 7 = 0

+ Tọa độ C là nghiệm của hệ AC

CM





 ……⇒C(4;- 5)

+ 2 ;1

; M thuộc CM ta được 2 1 1 0

+ Giải hệ

1 0

3 7 0

B B

x y







ta được B(-2 ;-3)

Tớnh diện tớch ∆ ABC

+ Tọa độ H là nghiệm của hệ

14

5

x

x y y

y

 =





… Tớnh được BH = 8 10

5 ; AC = 2 10

Diện tớch S = 1 1.2 10.8 10 16

2AC BH =2 5 = ( đvdt)

Cõu VI Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giỏc ABC biết A(5; 2) Phương trỡnh đường trung trực

cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0 Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam giỏc ABC.

Gọi C = (c; 2c+3) và I = (m; 6-m) là trung điểm của BC

Suy ra: B= (2m-c; 9-2m-2c) Vì C’ là trung điểm của AB nên: ' 2 5 11 2; 2 '

C = − + − − ∈CC

m

( ; )

6 6

I

⇒ = − Phơng trình BC: 3x – 3y + 23=0

Tọa độ của C là nghiệm của hệ: 2 3 0 14 37;

x y

C

x y

− + =

Tọa độ của B = 19 4;

3 3

Cõu VI Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường trũn hai đường trũn

( ) :C x + – 2 – 2 1 0,y x y + = 2 2

( ') :C x + y +4 – 5 0x = cựng đi qua M(1; 0) Viết phương

trỡnh đường thẳng qua M cắt hai đường trũn ( ), ( ') C C lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB

+ Gọi tõm và bỏn kớnh của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và R=1, ' 3R = , đường thẳng (d) qua M cú

phương trỡnh a x( − +1) b y( − = ⇔0) 0 ax by a+ − =0, (a2+b2 ≠0)(*)

+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.

Khi đú ta cú: MA=2MB⇔ IA2−IH2 =2 I A' 2−I H' '2 ( )2 ( )2

1 d I d( ; ) 4[9 d I d( '; ) ]

IA IH>

9

4 d I d( '; ) d I d( ; ) 35 4 a b 35

a b a b

2 2

2 2

36

a b

a b

−

+

Dễ thấy b≠0 nờn chọn 1 6

6

= −



= ⇒  =a

b

Kiểm tra điều kiện IA IH> rồi thay vào (*) ta cú hai đường thẳng thoả món

Cõu VI Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường trũn cú phương trỡnh ( ) 2 2

C x +y − y− = và

2 : 6 8 16 0

C x +y − x+ y+ = Lập phương trỡnh tiếp tuyến chung của ( )C và 1 ( )C2

( ) ( )C1 :I1 0; 2 ,R1=3;( )C2 :I2(3; 4 ,− ) R2=3

Gọi tiếp tuyến chung của ( ) ( )C1 , C2 là ∆:Ax By C+ + =0(A2+B2≠0)

∆ là tiếp tuyến chung của ( ) ( )C1 , C2

2 2

2 2

;

d I R

∆ =



Từ (1) và (2) suy ra A=2B hoặc 3 2

2

A B

C=− +

Trường hợp 1: A=2B

Chọn B= ⇒ = ⇒ = − ±1 A 2 C 2 3 5⇒ ∆: 2x y+ − ±2 3 5 0=

Trường hợp 2: 3 2

2

A B

C =− +

Thay vào (1) được

3

A− B = A +B ⇔ =A A= − B⇒ ∆ y+ = ∆ x− y− =

Câu VI Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 1 =

0, phương trình đường thẳng BD: x – 7y + 14 = 0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật

Do B là giao của AB và BD nên toạ độ của B là nghiệm của hệ:

21

;

5

x

x y

B

x y

y

 =





Lại có: Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên góc giữa AC và AB bằng góc giữa AB và BD, kí hiệu

(1; 2); (1; 7); ( ; )

n − n − n a b

uuur uuur uuur

(với a 2 + b 2 > 0) lần lượt là VTPT của các đường thẳng AB, BD, AC Khi đó ta

có: cos(nuuur uuurAB,n BD) = cos(nuuur uuurAC,n AB)

3

2

7

a b

a

= −





 = −



Với a = - b Chọn a = 1 ⇒ b = - 1 Khi đó Phương trình AC: x – y – 1 = 0,

A = AB ∩ AC nên toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: 1 0 3 (3; 2)

A

Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I = AC ∩ BD nên toạ độ I là nghiệm của hệ:

7

;

2

x

x y

I

x y

y

 =



− − =



Do I là trung điểm của AC và BD nên toạ độ ( )4;3 ; 14 12;

5 5

Với b = - 7a (loại vì AC không cắt BD)

Câu VI Tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên đường thẳng : 2x – 5y + 1 = 0, cạnh bên AB nằm trên đường

thẳng : 12x – y – 23 = 0 Viết phương trình đường thẳng AC biết rằng nó đi qua điểm (3;1)

Đường thẳng AC đi qua điểm (3 ; 1) nên có phương trình :

a(x – 3) + b( y – 1) = 0 (a2 + b2 ≠0) Góc của nó tạo với BC bằng góc của AB tạo với BC nên :

2 2a 5b2 2 2 22.12 5.12 2 2

2 5 a b 2 5 12 1

=

2a 5b2 2 29

5

a b

−

5 2a 5b 29 a b

⇔9a2 + 100ab – 96b2 = 0

a 12b 8

a b 9

= −





⇒

 =



Nghiệm a = -12b cho ta đường thẳng song song với AB ( vì điểm ( 3 ; 1) không thuộc AB) nên không phải là cạnh tam giác

Vậy còn lại : 9a = 8b hay a = 8 và b = 9

Phương trình cần tìm là : 8x + 9y – 33 = 0

Câu VI Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2+y2+2x 8y 8 0− − = Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6 Đường tròn (C) có tâm I(-1;4), bán kính R=5

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là ∆,

=> ∆ : 3x+y+c=0, c≠2 (vì // với đường thẳng 3x+y-2=0)

Vỡ đường thẳng cắt đường trũn theo một dõy cung cú độ dài bằng 6=> khoảng cỏch từ tõm I đến ∆ bằng

2 2

5 −3 =4

( , ) 3 42 4 4 10 1

c c

d I

c

− + +

+  = − − (thỏa món c≠2)

Vậy phương trỡnh đường trũn cần tỡm là: 3x y+ +4 10 1 0− = hoặc 3x y+ −4 10 1 0− =

Cõu VI Viết phương trỡnh cỏc cạnh của tam giỏc ABC biết B(2; -1), đường cao và đường phõn giỏc trong qua

đỉnh A, C lần lượt là : (d1) : 3x – 4y + 27 = 0 và (d2) : x + 2y – 5 = 0

PT cạnh BC đi qua B(2 ; -1) và nhận VTCP uuur1=( )4;3 của (d 2 ) làm VTPT

(BC) : 4( x- 2) + 3( y +1) = 0 hay 4x + 3y - 5 =0

+) Tọa độ điểm C là nghiệm của HPT :

4x 3y 5 0 x 1

C 1;3

x 2y 5 0 y 3

+) Đờng thẳng ∆ đi qua B và vuông góc với (d 2 ) có VTPT là uuur2 =(2; 1− )

∆ có PT : 2( x - 2) - ( y + 1) = 0 hay 2x - y - 5 = 0

+) Tọa độ giao điểm H của ∆ và (d 2 ) là nghiệm của HPT :

2x y 5 0 x 3 H ( )3;1

x 2y 5 0 y 1

+) Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua (d 2 ) thì B’ thuộc AC và H là trung điểm của BB’ nên :

( )

x 2x x 4

B' 4;3

y 2y y 3



+) Đờng thẳng AC đi qua C( -1 ; 3) và B’(4 ; 3) nên có PT : y - 3 = 0

+) Tọa độ điểm A là nghiệm của HPT :

y 3 0 x 5 A ( 5;3)

3x 4y 27 0 y 3

+) Đờng thẳng qua AB có VTCP ABuuur=(7; 4− ), nên có PT :

x 2 y 1

4x 7y 1 0

−

Cõu VI Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho đường trũn (C) :x2 +y2 − 4x− 2y− 1 = 0

và đường thẳng d : x+y+ 1 = 0 Tỡm những điểm M thuộc đường thẳng d sao cho từ điểm M kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến hợp với nhau gúc 900

+ (C) cú tõm I(2 , 1) và bỏn kớnh R = 6

+ A MˆB = 90 0 (A,B là cỏc tiếp điểm ) suy ra :MI = MA 2 =R 2 = 12

Vậy M thuộc đường trũn tõm I bỏn kớnh R/ = 12 và M thuộc d nờn M( x , y) cú tọa độ thỏa hệ:

( ) ( )









+

−

=

−

=

∨









−

−

=

=

↔









= +

+

=

− +

−

2 1

2 2

1

2 0

1

12 1

y

x y

x y

x

y

x

Vậy cú 2 điểm thỏa yờu cầu bài toỏn cú tọa độ nờu trờn

Cõu VI Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(1;1) và đường thẳng ∆ : 2x + 3y + 4 = 0 Tỡm tọa độ điểm B thuộc đường thẳng ∆ sao cho đường thẳng AB và ∆ hợp với nhau gúc 450

∆ cú phương trỡnh tham số 1 3

2 2

= −



 = − +

 và cú vtcp u= −( 3; 2)

ur

*A thuộc ∆ ⇒A(1 3 ; 2 2 )− t − + t

*Ta cú (AB; ∆)=450 1

os( ; )

2

⇔ uuuur ur = . 1

2

AB u

AB u

uuuurur ur

169 156 45 0

*Các điểm cần tìm là 1 2

32 4 22 32 ( ; ), ( ; )

13 13 13 13

Câu VI Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng d1:2x−y+5=0 d2: 3x +6y – 7

= 0 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2

tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2

d1 có vectơ chỉ phương a1(2;−1); d2 có vectơ chỉ phương a2(3;6)

Ta có: a1.a2 =2.3−1.6=0 nên d1 ⊥d2 và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; -1)

có phương trình: d:A(x−2)+B(y+1)=0⇔Ax+By−2A+B=0

d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I khi và chỉ khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450







−

=

=

⇔

=

−

−

⇔

=

− + +

−

⇔

A 3 B

B 3 A 0 B 3 AB 8 A 3 45 cos )

1 ( 2 B

A

B A

2 2

2 2

+ Nếu A = 3B ta có đường thẳng d: x+y−5=0

+ Nếu B = -3A ta có đường thẳng d:x− y−5=0

Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán d: x+y−5=0

0 5

y

x

:

d − − =

Cách 2: Gọi d là đường thẳng cần tìm, khi đó d song song với đường phân giác ngoài của đỉnh là giao điểm của

d1, d2 của tam giác đã cho

Các đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2 có phương trình







∆

= + +

∆

= +

−

⇔

− +

= +

−

⇔ +

− +

=

−

+

+

−

) ( 0 8 y x

) ( 0 22 y 9 x 7

y 6 x 5 y x 3 6

3

7 y x )

1

(

2

5

y

x

2

1 2

2 2

2

+) Nếu d // ∆1 thì d có phương trình x− y+c=0

Do P∈d nên 6+9+c=0⇔c=−15⇒d:x− y−5=0

+) Nếu d // ∆2 thì d có phương trình x+ y+c=0

Do P∈d nên 18−3+c=0⇔c=−15⇒d: x+y−5=0

Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán d: x+y−5=0

0 5

y

x

:

d − − =

Câu VI Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình: x2+y2+4 3x− =4 0 Tia

Oy cắt (C) tại A Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với (C) tại A

A(0;2), I(-2 3 ;0), R= 4, g i (C’) có tâm I’ọ

Pt đường th ng IAẳ : 2 3

2 2

y t

 =





= +

 , 'I ∈IA => I’( 2 3 ; 2t t+2),

1

2

AI = I A⇔ = =>t I

uur uuur

=> (C’): ( )2 ( )2

x− + −y =

Câu VI Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x – 6y + 6 = 0 và điểm M (2;4)

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua M cắt đường tròn tại 2 điểm A và B, sao cho M là trung điểm của AB

b) Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn, biết tiếp tuyến có hệ số góc k = -1

a (C) : I(1; 3), R= 2, A, B ( )∈ C , M là trung điểm AB => IM ⊥AB=> Đường thẳng d cần tìm là đg thẳng AB

d đi qua M có vectơ pháp tuyến là IMuuur=> d: x + y - 6 =0

b Đg thẳng tiếp tuyến có dạng : y = - x + m  x + y – m =0 (d’)

d’ tiếp xúc với (C)⇔d I d( ; ')= =R 2

4 2 2

4 2 2

m

m

 = +

⇔ 

= −

 Pt tiếp tuyến :

(4 2 2) 0 (4 2 2) 0

x y

x y





Câu VI Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = 0 có tâm I và đường thẳng ∆: mx + 4y = 0 Tìm m biết đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12

Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = 5

Gọi H là trung điểm của dây cung AB

Ta có IH là đường cao của tam giác IAB

IH = ( , ) | 2 4 | | 5 |2

d I

+

+ + =>

2

(5 ) 20 25

m

AH IA IH

Diện tích tam giác IAB là S∆IAB =12⇔2S∆IAH =12

3 ( , ) 12 25 | | 3( 16) 16

3

m

m

= ±





 = ±



Câu VI Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2, 0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là 4x + y + 14 = 0; 2x+ y−2=0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C

Tọa độ A là nghiệm của hệ {4x y 14 0 {x 4

2x 5y 2 0++ +− == ⇔ y 2= −= ⇒ A(–4, 2)

Vì G(–2, 0) là trọng tâm của ∆ABC nên







−

= +

−

= +

⇔







+ +

=

+ +

=

2 y y

2 x x y

y y

y

x x x

x

C B

C B C

B A

G

C B A

G

(1)

Vì B(xB, yB) ∈ AB ⇔ yB = –4xB – 14 (2)

C(xC, yC) ∈ AC ⇔ y 5xC 52

C =− + ( 3) Thế (2) và (3) vào (1) ta có







=

⇒

=

−

=

⇒

−

=

⇒









−

= +

−

−

−

−

=

+

0 y 1 x

2 y 3 x 2 5

2 5

x 14

x

2

x

x

C C

B B

C B

C

B

Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0)

Câu VI Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao CH x y: − + =1 0, phân giác trong : 2 5 0

BN x y+ + = .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC

Do AB CH⊥ nên AB: x y+ + =1 0

Giải hệ: 2 5 0

1 0

x y

x y

+ + =



 + + =

 ta có (x; y)=(-4; 3) Do đó: AB∩BN = −B( 4;3).

+ Lấy A’ đối xứng A qua BN A'∈BC

- Phương trình đường thẳng (d) qua A và Vuông góc với BN là (d): x−2y− =5 0 Gọi I =( )d ∩BN Giải hệ:

2 5 0

x y

x y

+ + =



 − − =

 Suy ra: I(-1; 3)⇒A'( 3; 4)− −

+ Phương trình BC: 7 x y+ +25 0= Giải hệ: 7 25 0

1 0

x y

x y



 − + =

 Suy ra:

13 9 ( ; )

4 4

C − −

( 4 13 / 4) (3 9 / 4)

4

BC= − + + + = , ( ; ) 7.1 1( 2) 252 2 3 2

7 1

d A BC = + − + =

Suy ra: 1 ( ; ) 1.3 2 450 45

ABC

S = d A BC BC= =

I

H 5