- Hai đa thức bằng nhau với mọi giá trị của biểu thức khi tất cả các hệ số của chúng đều tơng ứng bằng nhau - Một đa thức bằng đa thức không khi tất cả các hệ số của nó đều bằng không..
Trang 1Nhắc lại về biến đổi đồng nhất.
I.Phép nhân các đa thức:
Với A, B, C, D, E là các đơn thức thì:
A(B + C) = (B + C)A = AB + AC (A + B)(C + D - E) = AC + AD – AE + BC + BD – BE
II.Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
(A + B)2 = A2 + 2AB + b2
(A - B)2 = A2 - 2AB + b2
A2 – b2 = (a + b)(a – b)
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3ab2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3ab2 - B3
A3 – b3 = (a – b)( A2 + AB + b2) = (A - B)3 + 3ab(a – b)
A3 + b3 = (a + b)( A2 - AB + b2) = (A + B)3 - 3ab(a + b)
(A + B+c)2 = A2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
L u ý: - Khi giải các bài toán vận dụng hằng đẳng thức, chúng ta phải vận dụng các hằng đẳng thức theo cả
hai chiều khai triển và thu gọn một cách linh hoạt.
- Hai đa thức bằng nhau với mọi giá trị của biểu thức khi tất cả các hệ số của chúng đều tơng ứng bằng nhau
- Một đa thức bằng đa thức không khi tất cả các hệ số của nó đều bằng không.
III Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
1 PP đặt nhân tử chung
2 PP dùng hằng đẳng thức
3 PP nhóm nhiều hạng tử
4 PP tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
5 PP thêm bớt cùng một hạng tử
6 PP xét giá trị riêng ( Nếu đa thức A(x) có nghiệm x = a thì tồn tại đa thức B(x) sao cho
A(x) = (x- a).B(x) )
Chú ý: Khi sử dụng một trong các PP 3, 4 , 5 : sau khi nhóm, tách, thêm bớt hạng tử thì quá trình phân tích
phải tiếp tục đợc ( Sử dụng PP 1 hoặc 2 ).
IV Phân thức đại số.
1 Hai phân thức bằng nhau: A C AD BC
B= D ⇔ =
2 Nếu đa thức M khác đa thức không thì: ; :
:
AM A A M A
BM = B B M = B
3 Các phép tính:
a) Phép cộng: A B A B
+
Nếu hai phân thức khác mẫu thì cần quy đồng mẫu thức rồi thực hành cộng nh trên
Các bớc quy đồng mẫu thức: (Biến đổi các phân thức thành các phân thức mới có cùng
mẫu)
B ớc 1: Tìm mẫu thức chung (MTC) :
- MTC phải chia hết cho tất cả các mẫu cần quy đồng
Trang 2- Nếu các mẫu cần quy đồng không có nhân tử chung thì lấy MTC là tích của tất cả các mẫu đó
B ớc 2: Tìm nhân tử phụ (NTP): NTP = MTC chia cho mẫu tơng ứng
B ớc 3: Lấy cả tử và mẫu của từng phân thức nhân với NTP tơng ứng, ta đợc các phân thức có cùng mẫu thức
b) Phép trừ: A C A ( C)
c) Phép nhân: .
A C A C
B D = B D
d) Phép chia: :A C A D AD
B D = B C = BC
Một số l u ý: - Trớc khi quy đồng mẫu thức hay thực hiện các phép tính, nếu có thể thì nên rút gọn phân thức
trớc Kết quả sau khi biến đổi các biểu thức hữu tỷ cũng cần đợc rút gọn.
- Các phép tính với đa thức cũng có đầy đủ các tính chất của các số thực ( giao hoán, kết hợp, phân phối).
- Khi giải các bài toán liên quan tới giá trị của phân thức cần chú ý tìm ĐKXĐ của phân thức.
CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI.
1 Dạng của phương trỡnh: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
2 Giải và biện luận:
∆ = b 2 – 4ac ( Hoặc ∆’ = b’ 2 – ac, với b’ = b/2)
+) Nếu ∆ > 0 ( Hoặc ∆’ > 0): Phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt:
b x
a
− ± ∆
= (Hoặc x1,2 b' '
a
− ± ∆
+) Nếu ∆ = 0 ( Hoặc ∆’ = 0): Phương trỡnh cú nghiệm kộp:
b
x x
a
= = − ( Hoặc x1 x2 b'
a
+) Nếu ∆ < 0 ( Hoặc ∆’ < 0): Phương trỡnh vụ nghiệm.
3 Hệ thỳc Vi-ột:
Nếu phương trỡnh bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 cú hai nghiệm x 1 , x 2 thỡ:
Trang 31 2
1 2
b
x x
a c
x x
a
+ = −
Các dạng toán.
Dạng 1: Xác định số nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0.
1 Phơng pháp giải:
Xác định các hệ số a, b, c của phơng trình:
- Nếu a = 0: Phơng trình trở thành PT bậc nhất một ẩn: bx + c =0.
- Nếu a ≠ 0: Tính biệt thức ∆ = b 2 – 4ac ( hoặc ∆’ = b’ 2 – ac, với b’ =
2
b )
• Nếu ∆ < 0 ( Hoặc ∆’ < 0): Phơng trình vô nghiệm.
• Nếu ∆ = 0 ( Hoặc ∆’ = 0 ): Phơng trình có nghiệm kép.
• Nếu ∆ > 0 ( Hoặc ∆’ > 0 ): Phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
L u ý: - Không cần tính ra nghiệm.
- Nếu ac<0 thì phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
2 Các bài tập vận dụng:
Bài 1.1: Xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ và cho biết số nghiệm của các phơng trình bậc hai sau:
1) 3x2 – 7x + 3 = 0 2) -2x2 - 8x -7 =0
3) ( 3 1)− x2− 5x+ 3 1 0+ = 4) 2x2 + 5x + 25
8 = 0
0
x − x+ = 6) 2x2−6 2x+ =9 0
Bài 1.2: Không cần tính biệt số ∆, chứng tỏ rằng các phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt:
a) 2x2−9x−3 7 0=
b) (2− 3)x2−4x m− 2+3m− =4 0 ( m là tham số)
Bài 1.3: Hãy xác định tham số k để phơng trình vô nghiệm?
3
Bài 1.4: Hãy xác định tham số k để phơng trình sau có: hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép:
a) 20x2−4x+3k− =1 0 b) (k−1)x2−2kx k+ − =2 0
c) 3x2−4kx k− 2 =0
Bài 1.5: Cho các hệ số a, b, c thoả mãn điều kiện a > c > 0, b > a + c
Chứng minh rằng phơng trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt
Bài 1.6: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, chứng minh phơng trình c x2 2+(a2− −b2 c x b2) + 2 =0 (
x là ẩn số) vô nghiệm ( HDẫn: Sử dụng BĐT tam giác)
Dạng 2: Giải phơng trình bậc hai
Trang 41 Phơng pháp giải:
- Đa phơng trình cần giải về dạng: ax 2 + bx + c = 0.
- Xác định các hệ số a, b, c của phơng trình.
- Tính ∆ hoặc ∆’.
-áp dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn của phơng trình bậc hai để kết luận nghiệm ( Chú ý rút gọn các nghiệm nếu có thể)
2 Các bài tập vận dụng:
Bài 2.1: Giải các phơng trình sau:
a) 3x2-5x-8=0 b) 5x2 - 3x + 15 = 0
c) x2 – 4x + 1 = 0 d) 3x2 + 7x + 2 = 0
Bài 2.2: Giải các phơng trình sau:
x + x− =
0
x − x+ =
Bài 2.3: Giải các phơng trình sau:
a) (5− 2)x2−10x+ +5 2 0= b) ( 5 2)− x2−( 5 1)− x−3 5 0=
c*) x2− +x 2 0= d*) (1− 2)x2−2(1+ 2)x+ +1 3 2 0=
e) ( 2 1)+ x2− −x 2 0= f) 2x2 −(2 6 3)+ x+3 6 0=
Dạng 3: Giải và biện luận phơng trình dạng ax 2 + bx + c = 0
1 Phơng pháp giải:
* Với a = 0: Phơng trình trở thành phơng trình bậc nhất bx + c = 0.
- Nếu b ≠ 0 thì phơng trình có một nghiệm duy nhất: x c
b
= −
- Nếu b = 0 và c ≠ 0 thì phơng trình có vô nghiệm.
- Nếu b = 0 và c = 0 thì phơng trình có vô số nghiệm.
* Với a ≠ 0 : Phơng trình trở thừnh phơng trình bậc hai Ta có:
∆ = b 2 - 4ac ( hay ∆’ = b’ 2 – ac )
- Nếu ∆ < 0 thì phơng trình vô nghiệm.
- Nếu ∆ = 0 thì phơng trình có một nghiệm kép: x 1 = x 2 =
-2
b
a ( =
-'
b
a )
- Nếu ∆ > 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
a
− ± ∆
=
* Kết luận cho tất cả các trờng hợp đã biện luận.
2 Các bài tập vận dụng:
Bài 3.1: Giải và biện luận các phơng trình: ( x là ẩn)
a) (m – 2)x2 – 2(m + 1)x + m = 0
b) x2 + (1 – m)x – m = 0
Trang 5c) (m – 3)x2 - 2mx +m – 6 = 0.
d) (m – 3 )x2 – 2(3m + 1)x + 9m – 2 = 0
e) (3 – k)x2 + 2(k – 2)x – k + 2 = 0
f) (4 + 3m)x2 + 2(m + 1)x + (1
3m – 2) = 0
g) ( m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0
h) 2x2 – 2(2m + 1) x + 2m2 + m – 2 = 0
Bài 3.2: Giải và biện luận phơng trình ( ẩn x) : −2x3+ −(3 2 )m x2+2mx m+ 2− =1 0
( HDẫn: Coi m là ẩn, x là tham số )
Dạng 4: Hệ phơng trình chứa hai ẩn x và y gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai.
1 Phơng pháp giải:
- Từ phơng trình bậc nhất của hệ, tìm y theo x ( hoặc x theo y ).
- Thay biểu thức y theo x tìm đợc ở trên vào phơng trình bậc hai của hệ ta đợc phơng trình bậc hai đối với
- Giải phơng trình tìm x, sau đó thay vào biểu thức của y để tìm y.
2 Các bài tập vận dụng:
Bài 4.1: Giải hệ phơng trình: 2 2 5 0
4
x y
y x x
+ − =
Bài 4.2: Cho hệ phơng trình: x y2 26
y x a
+ =
Xác định a để:
a) Hệ vô nghiệm
b) Hệ có nghiệm duy nhất
c) Hệ có hai nghiệm phân biệt
Bài 4.3: Giải các hệ phơng trình: ) 3 4 1 0
x y a
xy x y
= + −
)
6 0
x y b
xy x y
+ + + =
Bài 4.4: Giải và biện luận hệ phơng trình: 2 2
x y m
+ =
Dạng 5: Định tham số để hai phơng trình có nghiệm chung.
1 Phơng pháp giải:
- Giả sử x 0 là nghiệm chung của hai phơng trình Thay x = x 0 vào hai phơng trình ta đợc hệ
ph-ơng trình với ẩn là các tham số.
- Giải hệ để tìm tham số.
-Thử lại với tham số vừa tìm, hai phơng trình có nghiệm chung hay không.
2 Các bài tập vận dụng:
Bài 5.1: Cho hai phơng trình : x2 + x + a = 0 và x2 + ax + 1 = 0
a) Định a để hai phơng trình trên có nghiệm chung
b) Định a để hai phơng trình tơng đơng
Trang 6Bài 5.2: Chứng minh rằng nếu hai phơng trình : x2 + ax + b = 0 và x2 + cx + d = 0, có nghiệm chung thì:
(b – d)2 + (a – c)(ad – bc) = 0
Bài 5.3: Xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: x2 + mx + 2 = 0 và x2 + 2x + m = 0 ?
Bài 5.4: Xác định m, n để hai phơng trình sau tơng đơng:
x2 – (2m + n)x – 3m = 0 và x2 – (m + 3n)x – 6 = 0
HDẫn: Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phơng trình (1); x 3 , x 4 là nghiệm của phơng trình (2) Để hai Phơng trìh tơng
đ-ơng thì x 1 = x 3 và x 2 = x 4 hoặc ngợc lại Nên S 1 = S 2 và P 1 = P 2
Bài 5.5: Tìm các giá trị của m để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
x2+ (m – 8)x + m + 3 = 0 (1)
x2 + (m – 2)x + m - 9 = 0 (2)
Bài 5.6: Tìm các giá trị của a để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
a) x2 + x + a = 0 x2 + ax + 1 = 0
b) x2 + ax + 2 = 0 x2 + 2x + a = 0
c) x2 + ax + 8 = 0 x2 + x + a = 0
Bài 5.6: Tìm các giá trị của a để phơng trình sau có bốn nghiệm phân biệt : (x2 + x + a)( x2 + ax + 1) = 0
Dạng 6: Phơng trình có hai ẩn số.
1.Phơng pháp giải:
Trong một phơng trình có hai ẩn số, ta xem một ẩn là tham số rồi giải phơng trình ấy theo ẩn còn lại PP này gọi là phơng pháp đặt tham số mới.
2 Các bài tập vận dụng:
Bài 6.1: Chứng minh rằng chỉ có một cặp số duy nhất (x, y) thoả mãn phơng trình:
x2 - 4x + y - 6 y + 13 = 0
Bài 6.2: Giải hệ phơng trình:
2
0
x y
x xy y y
Bài 6.3: Giải phơng trình: y4+4y x2 −11y2+4xy−8y+8x2−40x+52 0=
Bài 6.4: Giải hệ phơng trình:
Bài 6.5: Giải hệ phơng trình:
698 81
x y
x y xy x y
+ =
+ + − − + =
Dạng 7: Không giải phơng trình, tính tổng và tích các nghiệm số.
1.Phơng pháp giải:
- Tính ∆ và chứng tỏ ∆ ≥ 0 để phơng trình có nghiệm.
- áp dụng định lý Vi-ét : S x1 x2 b
a
a
2 Các bài tập vận dụng:
Bài 7.1: Không giải phơng trình, tính tổng và tích các nghiệm của các phơng trình sau:
a) 2x2+3x− =7 0 b) 3x2 −6x+ =8 0
Trang 7Dạng 8: Giải phơng trình bằng cách nhẩm nghiệm.
1.Phơng pháp giải:
- áp dụng địnhlý Vi-ét : x 1 + x 2 = - b
a ; x 1 .x 2 =
c a
- Nhẩm : x 1 + x 2 = m + n ; x 1 x 2 = m.n thì phơng trình có nghiệm là x 1 = m ; x 2 = n.
- Nếu a + b + c = 0 thì: x 1 = 1 ; x 2 = c
a
- Nếu a - b + c = 0 thì: x 1 = -1 ; x 2 = - c
a
2 Các bài tập vận dụng:
Bài 8.1: Dùng định lý Vi-ét để nhẩm nghiệm của các phơng trình sau:
a) x2−10x+ =16 0 b) x2−15x+50 0=
c) (m + 1)x2 + 3mx + 2m – 1 = 0 ( m ≠ -1)
d) (2m – 1)x2 – mx – m – 1 = 0 ( m ≠ 1
2)
Bài 8.2: Phơng trình 3x2 + 7x + m = 0 có một trong các nghiệm bằng 1 Xác định số m và nghiệm còn lại ?
Bài 8.3: a) Phơng trình 0,1x2 - x + k = 0 có một trong các nghiệm bằng -1 Xác định số k và nghiệm còn lại ?
b) Phơng trình 15x2 + bx - 1 = 0 có một trong các nghiệm bằng 1
3 Xác định số b và nghiệm còn lại ?
Dạng 9: Phân tích ax 2 + bx + c thành nhân tử.
Phơng pháp giải:
Nếu phơng trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x 1 , x 2 thì ax 2 + bx + c = a( x – x 1 )(x – x 2 )
Dạng 10: Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó.
1.Phơng pháp giải:
- Tính tổng hai nghiêm : S = +x1 x2 và tích hai nghiệm : P x x= 1 2
- Phơng trình nhận x 1 , x 2 làm nghiệm là: X 2 – SX + P = 0.
2 Các bài tập vận dụng:
Bài 10.1: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm là các cặp số sau:
Bài 10.2: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm là : 1
10− 72 và
1
10 6 2+
Bài 10.3: Lập phơng trình bậc hai có nghiệm là :
a) 4+ 15 và 4− 15 b) 9 2 5− và 9 2 5+
c) 2 5 4 3+ và 2 5 4 3− d) 5 3
+
− và 5
3
− +
Bài 10.4: Gọi m, n là các nghiệm của phơng trình : x2− +(1 2)x+ 2 0= (m<n) Lập phơng trình bậc
hai có các nghiệm là: 1
2
m+ và
1
1 n− .
Trang 8Bài 10.5: Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên và có một nghiệm là : 5 3
+
−
Bài 10.6: Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên và có một nghiệm là : 5 3
− +
Dạng 11: Dấu nghiệm số của phơng trình bậc hai.
1.Phơng pháp giải:
Cho phơng trình bậc hai : ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ) :
* Phơng trình có hai nghiệm trái dấu ⇔P < 0.
* Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu ⇔ 0
0
P
∆ ≥
>
* Phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt ⇔
0 0 0
S P
∆ >
>
>
* Phơng trình có hai nghiệm âm phân biệt ⇔
0 0 0
S P
∆ >
<
>
2 Các bài tập vận dụng:
Bài 11.1: Cho phơng trình : x2 – 2(m – 1)x + m + 1 = 0 (1)
Định m để phơng trình: a) Có hai nghiệm trái dấu
b) Có hao nghiệm dơng phân biệt
c) Có đúng một nghiệm dơng
Bài 11.2: Cho phơng trình : (m – 4)x2 - 2(m – 2)x + m – 1 = 0 Định m để phơng trình :
a) Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dơng?
b) Có hai nghiệm cùng dấu?
Bài 11.3: Cho phơng trình : x2 + 2(m – 2)x – 2m + 1 = 0 Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng ? hai nghiệm trái dấu ?
Bài 11.4: Cho phơng trình x2 – mx + m2 – 3 = 0
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt ?
b) Tìm m để phơng trình chỉ có một nghiệm dơng ?
Bài 11.5: Tìm giá trị của m để phơng trình sau có hai nghiệm cùng dấu ? Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?
a) x2 – 2mx + (5m – 4) = 0 b)mx2 + mx + 3 = 0
Bài 11.6: Cho phơng trình : mx2 – 2(m + 1)x + m + 2 = 0
a) Định m để phơng trình có nghiệm
b) Định m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu
Dạng 12: Xác định tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm thoả điều kiện cho trớc.
1.Phơng pháp giải:
* Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm : ∆ ≥ 0
* Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét giải hệ đối với nghiệm x 1 , x 2 rồi thay vào phơng trình thứ
ba của hệ để tìm tham số.
Trang 9* Kiểm tra lại m có thoả mãn điều kiện có nghiệm không rồi kết luận.
2 Các bài tập vận dụng:
Bài 12.1: Xác định m để phơng trình x2 + 2x + m = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 3x1 + 2x2 = 1?
Bài 12.2: Cho phơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0
a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: 3x1 - 4x2 = 11.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm đều âm.
c) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m
Bài 12.3: Xác định k để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 = 2x2:
a) x2 + 6x + k = 0 b) x2 + kx + 8 = 0
Bài 12.4: Xác định k để phơng trình x2 + 2x + k = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) x1 - x2 = 12 ; b) x1 + x2 = 1
Bài 12.5: Cho phơng trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 3m – 1 = 0
a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: x1 + x2 = 12
b) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m
Bài 12.6: Cho phơng trình (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m – 2 = 0
a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2 ; tính nghiệm kia.
c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:
4
x + x = d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x1 + 2x2 + x1 x2
Bài 12.7: Cho phơng trình : x2 - 2(m + 1)x + 2m + 1 = 0 (1)
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm
b) Cho biểu thức: A = x1 + x2 + 6x1 x2 Tìm m sao cho A đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó?
Bài 12.8: Cho phơng trình (m - 1)x2 - 2m x + m + 2 = 0
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Khi đó hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2
không phụ thuộc vào m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức : 1 2
6 0
x x
x + x + =
Bài 12.9: Cho phơng trình : x2 - 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0 ( m là tham số)
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 và -x1 - x2 + 2006 đạt giá trị lớn nhất
Dạng 13: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai.
1.Phơng pháp giải:
* Biểu thức giữa x 1 , x 2 gọi là đối xứng nếu ta thay x 1 bởi x 2 và x 2 bởi x 1 thì biểu thức không đổi.
* Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P ( tổng và tích các nghiệm số).
Chẳng hạn:
x 1 + x 2 = (x 1 + x 2 ) 2 - 2 x 1 x 2 = S 2 – 2P.
x 1 + x 2 = (x 1 + x 2 ) 3 - 3 x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) = S 3 – 3PS.
2
;
2.Các bài tập vận dụng:
Bài 13.1: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 + mx + 1 = 0 Tính giá trị của các biểu thức sau;
Trang 10a) x1 + x2 b) 12 22
x x
x + x
Bài 13.2: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 + 2mx + 4 = 0 Xác định m sao cho x1 + x2 ≤ 32
Dạng 14: Tìm hệ thức giữa các nghiệm x 1 , x 2 của phơng trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số.
1.Phơng pháp giải:
* Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm: ∆ ≥ 0.
* Từ hệ thức Vi-ét tìm S, P theo tham số m.
* Khử tham số m từ S, P để có hệ thức giữa S, P ( tức là hệ thức giữa x 1 , x 2 ) không phụ thuộc vào m
2.Các bài tập vận dụng:
Bài 14.1: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 – 2(m – 1)x + m2 - 1 = 0 Tìm hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m?
Bài 14.2: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phơng trình: x2 – (m – 3)x + 2m + 1 = 0 Tìm hệ thức giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m?
Bài 14.3: Cho phơng trình : x2−(2m+3)x m+ 2+3m+ =2 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m ;
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau ;
c) Tìm một hệ thức giữa x 1 , x 2 độc lập với m ?
Bài 14.4: Cho phơng trình : (m−2)x2−2(m−4)x+(m−4)(m+ =2) 0 (m≠2)
a) Với giá trị nào của m thì phơng trình có nghiệm kép :
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1, x2 Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập với m ;
c) Tính theo m biểu thức
A
d) Tìm m để A = 2
Bài 14.4: Cho phơng trình : x2−mx− =4 0
a) Chứng minh rằng phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m ;
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2
2(x x ) 7
A
x x
=
+
c) Tìm giá trị của m sao cho hai nghiệm của phơng trình đều là số nguyên.
HDẫn: b) Theo hệ thức Vi-ét ta có x 1 + x 2 = m ; x 1 x 2 = -4.
Ta có 2 2 7
8
m A
m
+
= + xác định với mọi m và
2 2
8
m
m
+
• Với A = 0 thì m = 3,5
• Với A ≠ 0, ta coi (*) là PT bậc hai ẩn là m và có nghiệm nên ∆ ≥ 0 1 1
8
A
⇔ − ≤ ≤
8
MaxA
⇒ = Khi đó PT (*) có nghiệm kép m = 8