tài liệu ôn thi ĐH

NGUYÊN HÀM : Định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp TÍCH PHÂN : Công thức Niu-tơn – Lai-bơ-nít.. Diện tích hình phẳng, thể tích vật tròn xoay CHỦ ĐỀ 3 : ĐẠI SỐ TỔ HỢP..

ĐÈ CƯƠNG ÔN THI TỐT NGHIỆP - LỚP 12A6.

( Phần Giải tích )

CHỦ ĐỀ 1 : HÀM SỐ

Sự đồng biến, nghịch biến

Cực đại, cực tiểu Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Tính lồi , lõm, điểm uốn

Khảo sát, đồ thị

Tương giao, tiếp tuyến Tiếp tuyến tại một điểm

Tiếp tuyến đi qua 1 điểm Thoả mãn điều kiện cho trước

CHỦ ĐỀ 2 : NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG.

NGUYÊN HÀM : Định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp

TÍCH PHÂN : Công thức Niu-tơn – Lai-bơ-nít

Tính chất

Phương pháp tính tích phân Đổi biến

Từng phần

Diện tích hình phẳng, thể tích vật tròn xoay

CHỦ ĐỀ 3 : ĐẠI SỐ TỔ HỢP.

Hoán vị, Chỉnh hợp, tổ hợp Khái niệm

Công thức tính số hoán vị, số chỉnh hợp, tổ hợp Giải PT, BPT, HPT sử dụng công thức

Bài toán đố

Chứng minh đẳng thức

Tính hệ số của một luỹ thừa trong khai triển

* CHI TIẾT

CHỦ ĐỀ 1 : HÀM SỐ

1, Sự biến thiên của hàm số :

Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trong khoảng (a,b)

• y = f x( ) đồng biến trên (a,b) ⇔ f x'( ) ≥0, ∀ ∈x ( )a b,

• y = f x( ) nghịch biến trên (a,b) ⇔ f x'( ) ≤0, ∀ ∈x ( )a b,

• y = f x( ) là hàm hằng trên (a,b) ⇔ f x'( ) =0, ∀ ∈x ( )a b,

- Điểm tới hạn : Cho hàm số y = f x( ) xác định trên khoảng (a,b) và x0∈( )a b, Điểm x0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f’(x) không xác định hoặc bằng 0

Bài tập :

Bài 1: Xét sự biến thiên của hàm số : a y x, = 3 −3x+2 b, y x= 4 −2x2 +1

2

, d, e, f,

Bài 2 : Xét sự biến thiên của các hàm số sau :

3 2

2

4 2

, 2 -3 5 4 b, c, d,

e, 2 3 5 f, g, h,

Bài 3 : Tìm các khoảng đồng biến ( tăng ), nghịch biến ( giảm) của các hàm số sau :

2

2 , 4 1 b, -3 2 c, 4 d,

2

e, f, g, h,

1

x

x

− +

−

+

Bài 4 : Cho hàm số : 2 2 3 2 (1)

2

y

=

−

Xác định m để hàm số (1) có hai khoảng đồng biến trên (1;+∞)

2, Cực đại, cực tiểu :

Cho hàm số y= f x( ) xác định trên khoảng (a,b); x0∈( )a b,

Ta nói : * f nhận giá trị cực đại f(x0) tại x0 ⇔ ∀ ∈x ( ) ( )a b f x, , ≤ f x( )0

* f nhận giá trị cực tiểu f(x0) tại x0 ⇔ ∀ ∈x ( ) ( )a b f x, , ≥ f x( )0

Định lý ( Fermat) : Nếu hàm số y = f x( ) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm

đó thì f’(x0) = 0

Hệ quả : Mọi điểm cực trị của hàm số y= f x( ) đều là điểm tới hạn của hàm số đó

Dấu hiệu I : Nếu hàm số y = f x( ) có đạo hàm trong khoảng (a,b); Đạo hàm triệt tiêu và đổi dấu tại x0∈( )a b, thì hàm số có cực trị tại x0

Phương pháp : Để tìm cực trị của hàm số y= f x( ) ta làm như sau :

+ Bước 1 : Tìm miền xác định D của hàm số

+ Bước 2 : Tính đạo hàm f’(x)

+ Bước 3 : Tìm nghiệm thuộc D của PT f(x) = 0.

+ Bước 4 : Xét dấu f’(x) trên D ( lập bảng biến thiên ) + Bước 5 : Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

Dấu hiệu II : Giả sử hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục tới cấp hai tại x0 và

f’(x0) = 0, f’’(x0) ≠ 0 thì x0 là điểm cực trị của hàm số, và hơn nữa :

1, f x'( )0 =0, ''f ( )x0 >0 thì x0 là điểm cực tiểu

2, f x'( )0 =0, ''f ( )x0 <0 thì x0 là điểm cực đại

* Chú ý :* Một số tên gọi : + x0 : điểm cực trị của hàm số y = f x( )

+ f(x0) : giá trị cực trị của hàm số y= f x( )

* Đối với hàm hữu tỷ : y f x( ) u x( ) ( )

v x

x0 là một điểm cực trị của hàm số ( x0 là một nghiệm của f x'( ) =0 ) thì khi đó nếu v x'( )0 ≠0 thì giá trị cực trị của hàm số ( ) ( ) ( )0

0

' '

u x

v x

Bài tập : Bài 1 : Tìm các điểm cực trị của hàm số sau :

2

2 2 , 2 3 12 5 b, 4 5 c, 3 d,

e, f, g, h,

1

x

x

−

+

Bài 2 : Cho hàm số y = f x( ) = − −x3 (2m−1) x2+(m−5) x+1

Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = 1

2 2 2 3 2 1 3

x

Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = -2

Bài 4 : Cho hàm số : ( ) 1 3 ( ) 2 ( ) 1

a, Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu

b, Tìm m để hoành độ x1; x2 của các điểm cực trị thoả mãn : x1 + 2x2 = 1

Bài 5 : Cho hàm số y f x( ) x2 2m x m21 2

x

+ Tìm m để hàm số có cực trị.

Bài 6 : cho hàm số : ( ) 1

1

m

x

− Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu?

Bài 7 : Cho hàm số : y f x( ) x2 mx 5 m

x m

a, Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu

b, Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu.

Bài 8 : Tìm m để hàm số y f x( ) mx2 3mx1 2m 1

x

− có cực đại và cực tiểu Hai

điểm cực trị đó của đồ thị hàm số nằm về hai phía đối với trục Ox ( hai giá trị cực trị trái dấu nhau )

* KHẢO SÁT

I Khảo sát hàm số :

Sơ đồ khảo sát hàm số :

1, Tìm TXĐ của hàm số ( Xét tính chẵn lẻ, tuần hoàn nếu có )

2, Khảo sat sự biến thiên của hàm số

a, Xét sự biến thiên của hàm số

b, Tìm cực trị

c, Tìm giới hạn, tiệm cận ( nếu có )

d, Xét tính lồi, lõm và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số

e, lập bảng biến thiên

3, Vẽ đồ thị

1, Hàm bậc ba : y = f x( ) =ax3+bx2 + +cx d (a≠0)

Bài 1: Cho (Cm) y = f x( ) =x3+3x2 −9x m+

a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 6

b, Tìm m để phương trình f x( ) =0 có ba nghiệm phân biệt ĐS -27<m<5

Bài 2: a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) y= f x( ) = x3−3x2 +2

b, Biện luận theo m số nghiệm của PT :

2

3 2 2 m

m

Bài 3 : a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) : ( ) ( ) (2 )

1 2

b, Biện luận số nghiệm của PT : ( ) (2 ) ( ) (2 )

x+ −x = m+ −m Bài 4 : Cho (Cm) : y= f x( ) =x3 −3x2 +3mx+3m+4

a, Khảo sát với m = 4

b, Tìm m để (Cm) nhận I(1,2) làm điểm uốn

c, Tìm m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành

Bài 5: Tìm M trên đường y = -4 sao cho có thể kẻ được 3 TT đến (C) y x= 3 −12x2+12 Bài 6 : Tìm m để (Cm) : y = f x( ) (= m+2)x3 +3x2 +mx−5 có cực đại , cực tiểu

Bài 7 : Tìm m để (Cm) : y = f x( ) (= −x 1) ( x2 +mx m+ ) tiếp xúc với Ox

Bài 8 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) y= f x( ) =x3−3x+5 khi biết

a, Hoành độ của tiếp điểm là x1 = -1; x2 = 2; x3 = 3

b, Tung độ của tiếp điểm là : y1 = 5; y2 = 3; y3 = 7

Bài 8 : Cho (C) y = f x( ) =2x3−3x2 +9x−4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại các giao điểm của (C) với các đồ thị sau :

a, Đường thẳng (d) : y = 7x + 4 b, Parabol (P) : y = − +x2 8x−3

c, Đường cong (C’) : y x= 3−4x2 +6x−7

A CHỦ ĐỀ 2

1, Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng.

- Yêu cầu : + Học sinh nắm chắc và nhớ bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản

+ Học sinh nắm được các phương pháp tính tích phân xác định: sử dụng thành thạo công thức Niutơn – Laipnit Phương pháp đổi biến số dạng I và II;

Phương pháp tính tích phân từng phần

+ Học sinh nắm được công thức tính diện tích hình phẳng, công thức tính thể tích vật thể tròn xoay

- Các dạng toán :

+ Tính tích phân xác định ( sử dụng các phương pháp trên ) + Một vài bài toán tính tích phân xác định của hàm hữu tỷ

+ Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể tròn xoay

2, Đại số tổ hợp:

- Yêu cầu : + Học sinh nắm được quy tắc cộng, quy tắc nhân, bài toán tổ hợp, chỉnh hợp công thức tính số chỉnh hợp, tổ hợp

+ Học sinh nhớ, sử dụng được công thức khai triển nhị thức niu tơn

- Các dạng toán :

+ Bài toán đố (sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, số chỉnh hợp, tổ hợp )

+ PT, BPT, HPT sử dụng công thức tính số chỉnh hợp, tổ hợp + Sử dụng công thức khai triển nhị thức niutơn, tìm hệ số

B, HÌNH HỌC :

1, Tích có hướng, ứng dụng :

- Yêu cầu : Học sinh nắm được công thức tính tích có hướng, công thức tính thể tích hình hộp, hình chóp, từ đó tính dường cao của hình chóp

- Dạng toán : - Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng, tính thể tích hình chóp, tính đường cao của hình chóp

2, Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, vị trí tương đối của các đường thẳng

và mặt phẳng

3, khoảng cách, góc

4, Mặt cầu.

CHI TIẾT.

A ĐẠI SỐ:

I, Nguyên hàm – Tích phân - Ứng dụng.

a, Công thức Niu tơn – Laipnit

( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

∫

Trong đó f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b]

b, Các phương pháp tính tích phân.

1, Phương pháp đổi biến số

+ Dạng I : - Đặt x = u(t) sao cho u(t) liên tục trên [α,β]; f(u(t)) xác định trên [α,β]

và u(α) = a; u(β) = b

- Biến đổi f(x)dx = f(u(t)).u’(t)dt = g(t)dt

- Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t)

- Tính ( ) ( ( ) ) '( ) ( ) ( )

b

a

β α

+ Dạng II : - Đặt t = v(x); v(x) là hàm có đạo hàm liên tục

- Biến đổi f(x)dx theo t và dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt

- Tính ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( )

v b b

v b

v a

f x dx= g t dt G t=

2, Phương pháp tính tích phân từng phần :

b a

b a

udv u v= − vdu

3, Ứng dụng.

+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = a, x = b và đồ thị của hai hàm số y1 = f1(x) và y2 = f2(x) liên tục trên [a,b] được tính bởi công thức :

1 2 (*)

b

a

S =∫ f x − f x dx

Để tính (*) ta làm như sau :

- Tìm nghiệm thuộc [a,b] của PT f x1( ) − f x2( ) =0 Giả sử đó là α , β với a<α< β<b Khi đó

( 1 2 ) + ( 1( ) 2( ) ) + ( 1( ) 2( ) )

b

β α

β

+ Thể tích vật thể tròn xoay :

- Vật thể quay quanh trục Ox : Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x),

x = a, x = b, y = 0 khi quay quanh trục Ox tạo thành vật thể T có thể tích V với

( )

V =π∫y dx =π∫ f x dx

- Vật thể quay quanh trục Oy : Hình phẳng giới hạn bởi các đường

x = g(y), y = a, y = b và x = 0 khi quay quanh trục Oy tạo thành vật thể có thể tích V với 2 2( )

V =π∫x dy=π∫g y dy

II, Đại số tổ hợp.

- Hoán vị : Cho tập A gồm n phần tử (n≥1) mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

- Số hoán vị P n =n n( −1 ) (n−2 3.2.1) =n!

- Chỉnh hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi bộ gồm k (1 k n≤ ≤ ) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A

- Số chỉnh hợp ( 1 ) ( 1) ( )!

!

k n

n

n k

−

- Tổ hợp : Cho tập A gồm n phần tử mỗi tập con gồm k (0 k n≤ ≤ ) phần tử của tập hợp A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó

- Sổ tổ hợp : !( ! )!

k n

n

k n k

−

- Tính chất : 1, A Pk n= k.Ck n

2, C Ck n= n k n−

3, Ck n−−11+Ck n−1=Ck n

- Công thức khai triển nhị thức Niutơn :

0

k

=

- Số hạng thứ k+1 trong khai triển : T k 1 Ck n k k n a b− (k 0,1, ,n)

BÀI TẬP :

Bài 1 : Tính các tích phân sau :

a, 2

1

ln

e

2

2

1 ;

4 3

x

−

2 1

ln

x

2

0

1 sin

π

−

2 0

sin 2

1 os

x dx

π

+

1

2ln 1

e

x dx x

+

4

cos ln sin

π

π

=∫

h, 6( )

0

sin sin 2x x 6 dx

π

−

3 1

3x 2 e xdx x

−

+ +

0

1

∫ m, 1( 2 ) 2

0

1 x

∫

n, 2

0

cosx 1 sinxdx

π

+

0

os

x

e c xdx

π

−

1

ln

e x

e

dx

∫

Bài 2 : Tính các tích phân sau :

a, 2( )

sin

0

os cos

x

π

+

2

2

dx

x−

2 0

sin 2

4 sin

x dx x

π

−

0

sin 2x x cosxdx

π

+

∫

e,

2

2 2

0

sin 2

1 os

x

dx

π

+

1

0

1

2 1

3 2

dx

−

2

0

1

x x− dx

∫

i,

1

2

0

3

4

xdx

x +

0

sin xcos xdx

π

2

0

1 cos2xdx

π

−

∫ m,

1

ln 2 ln

dx x

+

∫

0

os cos2 x

π

−

+

∫

Bài 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :

a, (P) : y = -2x2 ; (d) : y = x b, (C) : y = x3 – 3x2 và tiếp tuyến của

(C) tại điểm có hoành độ x = 2

c, (C) : y = x3 - 6x2 + 9x và (P) y = -6x2 + 10x d, (C) : y = 2x3 – 6x2 + 8 và trục hoành

e, y = x2 – x + 2 và y = x + 2; f, y = x3 – 3x2 + 1 và y = 1

g, y = x3 – 3x +2 và y = 0, x = 0, x = 1; h, y = x3 - 6x2 + 9x và y = 0, x = 1, x=2

i, y = -x4 + 2x2 – 1 và y = 0 j, y = 2x2 – x4 và y = 0

k, y = x2 – 2x và y = 0, x = 1 m, y = x4 – 2x2 + 1và y = 1

n, 2 1

2

x

y

x

+

=

+ và y = 0, x = 0, x = 1 p,

2 1 2

x y x

+

=

− và y = 0, x = 0, x = -2

q,

1

x

y

x

=

− và y = 0, x = 2, x = 4 l,

4 1

3

y x

x

= − +

− và x = 0, x = 2

- Học sinh làm thêm các bài tập 2/T53; 3/T57; 4/T59; 5/60; 6/T61 – Sách ôn thi TN

Bài 4 : Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra bao nhiêu

B HÌNH HỌC :

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz A x y z , ( A; ;A A) B x y z và ( B; ;B B) M x( M;y z M; M )

- Véc tơ uuurAB=(x B−x y A; B − y z A; B −z A)

- Khoảng cách : ( ) (2 ) (2 )2

AB= uuurAB = x −x + y −y + z −z

- Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ⇔MA k MBuuur= uuur (k ≠1)

1 1 1

M

M

x

k

k

z

k

−

−



+ Đặc biệt nếu k = -1 thì M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi đó

1, Tích vô hướng, có hướng, ứng dụng

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz : ar=(x y z1; ;1 1) ,br=( x y z2; ;2 2), cr=(x y z3; ;3 3)

- Tích vô hướng : a b x xurr = 1 2 + y y1 2 +z z1 2

+Bình phương vô hướng : 2 2 2 2

ar =x + y +z

+ Độ dài véc tơ : ar = x12 + y12 +z12

- Góc giữa hai véc tơ : Với ,a br r r≠0 Gọi φ là góc giữa hai véc tơ khi đó :

os

c

r r

r r

- Tích có hướng : 1 1 1 1 1 1

a b

r r

+ ,a br r cùng phương ⇔ a br r, =0r

+ ,a br r⊥ar; ,a br r⊥br

+ a br r,  = a br r sinϕ trong đó φ là góc giữa hai véc tơ ,a br r

+ Diện tích tam giác ABC là 1 ,

2

S = AB AC

uuur uuur + Thể tích hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là V ABCD A B C D ' ' ' ' = AB AD AA,  '

uuur uuur uuur

+ Thể tích tứ diện ABCD là 1 ,

6

ABCD

V = AB AC AD

uuur uuur uuur

+ Điều kiện cần và đủ để ba véc tơ đồng phẳng là : ⇔a b cr r r,  =0

+ Góc giữa hai đường thẳng AB và CD là góc nhọn - bằng hoặc bù với góc giữa hai véc tơ uuur uuurAB CD; ( Gọi góc giữa hai đường thẳng AB và CD là α ) khi đó :

os os ,

AB CD

AB CD

uuuruuur uuur uuur

uuur uuur

2 Phương trình mặt phẳng, đường thẳng

a, Mặt phẳng

- Véc tơ pháp tuyến của mp(P) là nr r≠0 và nr⊥( )P

- Cặp véc tơ chỉ phương : ar=(x y z1; ;1 1),br=(x y z2; ;2 2) được gọi là cặp VTCP của mp(P) nếu ,a br r không cùng phương và cùng nằm trên mp(P) hoặc hai đường thẳng song song với mp(P) Khi đó VTPT nr=  a br r, 

- PTTQ của mặt phẳng : Ax + By + Cz + D = 0 : VTPT của mp là :

nr= A B C A +B +C ≠

+ PTTQ của mp(P) đi qua M x y z và có VTPT 0( 0; ;0 0) nr=( A B C; ; )là :

A x x− +B y y− +C z z− =

+ PT mặt phẳng theo đoạn chắn : mặt phẳng đi qua A(a,0,0); B(0,b,0) và C(0,0,c) với a,b,c ≠ 0 có dạng : x y z 1

a + + =b c

- Vị trí tương đối của hai mặt phẳng, chùm mặt phẳng

Cho mp(P): Ax + By +Cz + D = 0 và mp(Q) : A’x + B’y + C’z + D’ = 0

+ (P) và (Q) cắt nhau ⇔ A B C: : ≠ A B C': ': ' + (P) // (Q)

+ (P) và (Q) trùng nhau

- Chùm mặt phẳng : Giả sử hai mp (P) và (Q) cắt nhau Mọi mặt phẳng đi qua giao tuyến của (P) và (Q) đều có dạng : α(Ax + By +Cz + D) + β(A’x + B’y + C’z + D’) = 0 với (α2 + β2 ≠ 0 )

b, Đường thẳng :

Ax By Cz D

A x B y C z D



 (đthẳng d là giao tuyến của 2 mp (P) và (Q) )

+ VTCP :