Luận văn thạc sĩ toán lí thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân

Sự ổn định của hệ tuyến tính với hệ số hằng Phương pháp thứ 2 của Liapunov Phép phân tích không gian pha On định bởi xấp xỉ tuyến tính Một loài với hai lớp tuổi Mô hình chu kì kinh doanh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hùng, người

đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 06 năm 201Ậ Tác giả

Bùi Thị NgaLời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hùng, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Lí thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả.

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 06 năm 201Ậ Tác giả

Bùi Thị Nga

Nghiên cứu trường hợp loài bọ bột cánh cứng

Mục lục

Sự ổn định của hệ tuyến tính với hệ số phụ thuộc n.

Sự ổn định của hệ tuyến tính với hệ số hằng

Phương pháp thứ 2 của Liapunov

Phép phân tích không gian pha

On định bởi xấp xỉ tuyến tính

Một loài với hai lớp tuổi

Mô hình chu kì kinh doanh

Chương 3.

3.1.

3.2.

68

Bên cạnh đó, lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính phương trình sai phân Nó được ứng dụng ngày càng nhiều ở các lĩnh vực khác nhau, nhất là trong kinh tế và khoa học kĩ thuật, trong sinh thái và môi trường Vì thế nó đang được phát triển mạnh mẽ theo cả lý thuyết và ứng dụng.

Với những lý do đó, tôi chọn đề tài "Lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân" để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ của mình.

2 Mục đích nghiền cứu

- Luận văn nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính, phương pháp giải một số

hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp một.

- Luận văn nghiên cứu lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân và một số ứng dụng của nó.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã nêu, những nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:

- Nghiên cứu các tài liệu khoa học về phương trình và hệ phương trình sai phân;

- Trình bày lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân và một số ứng dụng.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Hệ phương trình sai phân, lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân và ứng dụng.

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu của phương trình, hệ phương trình vi phân, phương

trình sai phân, sự ổn định của hệ phương trình vi phân.

6 Đóng góp mới của luận văn

Trình bày sự ổn định của hệ phương trình sai phân và các ứng dụng.

Chương 1 Phương trình và hệ phương trình

sai phân

Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình và hệ phương trình sai phân Các kiến thức này chủ yếu dựa vào [ỊỈj từ trang 57 đến trang 153.

71— 1

x(fc)) = x{n).

4

2 A và E là các toán tử tuyến tính

A[ax(n) + byin )] = aAx(n) + bAy(n )

E[ax(n ) + by(n )] = aEx(n ) + bEy(n )

3.

n— 1

yì Aa;(fc) = x(n) - x(n 0 ),

(1.1.3) (1.1.4)

5

Một trong những hàm thú vị nhất của tính toán sai phân đó là đa thức giai

thừa x ^ k \ Với iễR

^ = x ( x — 1 ) ( x — k + 1), k & z+.

Định nghĩa 1.2.1 Phương trình sai phẫn

tuyến tính không thuần nhất cấp k có

Chon = 0 ta có y(k) = -p 1

(0)y(k-l)-p 2 {0)y{k-2) - p k (0)y(0)+g(0) Cho n = 1 ta có y(k+l) = -p 1 (l)y(k)-

p 2 {l)y{k-l) - p k (l)y(l)+g(l).

Bằng cách lặp lại quá trình trên, ta có thể

tính được giá trị của tất cả các y i n ) với n

> k

8

1.2.2 Nghiệm của phương trình sai phân

tuyến tính

Phương trình sai phân tuyến tính với điều

kiện ban đầu

y(n + k) +Pi(n)y(n + k- 1) H -

\-Pk{n)y{n) = g(n), -(1.2.3)

y ( n 0 ) = a ữ , y ( n 0 + 1) = a u , y ( n ữ

+ k - 1 ) = a fc _i,

với FLJ Ễ 1 có nghiệm duy nhất y ( n )

Trong phần này ta sẽ nghiên cứu

phương trình sai phân tuyến tính thuần

nhất cấp k có dạng

x(n + k) + Pi(n)x(n + k — !) + •••+

p k (n)x(n ) = 0.

Định nghĩa 1.2.2 Một hệ gồm k

nghiệm độc lập tuyến tính của

(1.2.4) được gọi là hệ nghiệm cơ

Định thức Wronski của các nghiệm 1,

(—3) n ,2 n của phương trình trên là

\ (-3) n 2 n x

w ( n + 1 ) = det (1.2.7)

Vậy

□

1 0

C h ứ n g m i n h Ta sẽ chứng minh bổ

đề cho k — 3 Trường hợp tổng quát

chứng minh tương tự Gọi Xi(n), x2(n),

x3(n) là 3 nghiệm độc lập tuyến tính của (1.2.4) Ta có

(i) x(n ) = Xị (n) + a^ 2 (n) cũng là nghiệm của (1.2.4);

(iỉ) x(n ) = axi(n ) với a là hằng số bất kì cũng là nghiệm của (1.2.4).

Định nghĩa 1.2.4 Cho {xi(n),x 2 (n), ■ ■ ■ ,Xk(n)} là hệ nghiệm cơ bản của

(1.2.4) Khi đó nghiệm tổng quát của (1.2.4) là:

k

x n E aịXị{rì) với a,ị là hằng số i= 1

Ta xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1 Giả sử Ai, À 2 , • • • , Ajfc đôi một khác nhau Ta sẽ chỉ ra {À", À 2 , • •

• , A£} là một hệ nghiệm cơ bản của (1.3.1) Thật vậy, ta sẽ chỉ

W (0) = n

l<i< j < k

Rõ ràng 0) 7^ 0 do X j Ỷ \ v<3i i 7^ j - Như vậy {À”, À2 , • • • , A£} là một

AỊ " 1 (k-l)X k r - 2 J

Ta chú ý rằng nếu ' t p i ị n ) , I p 2 { n ) , ■ ■ ■ { n ) là nghiệm của

(E - A i) m i x{n) = 0

thì cũng là nghiệm của (1.3.2) Thật vậy, giả sử i f s ( n ) là nghiệm của

(1.3.3) thì ( E — \ ị ) m i i p s ( n ) = 0 Giả sử ta có thể tìm được một hệ nghiệm cơ bản

của (|1.3.3|) với mỗi i, 1 < ỉ < r , khi đó hợp của r hệ nghiệm cơ bản đó là hệ nghiệm cơ bản của (1.3.2) Thật vậy, xét bổ đề sau

-n = x"+ m >- r A m i C r

n = 0 , theo (ỊTÕỊ).

Xét W(0) :

□

Định lý 1.3.1 G =IX ;1 Gi là một hệ nghiệm cơ bản của (Ị1.3.2Ị).

C h ứ n g m i n h Theo bổ đề trên, ta có các hàm của G là nghiệm của (1.3.2)

X

+ a l k x k (n) + a 2 k x k (n )

Nếu n ữ — 0 thì nghiệm trong công thức (1.4.2) có thể viết là x ( n , n 0 ) hoặc đơn giản

là x ( n ) Không làm mất tính tổng quát chúng ta có thể giả sử 77,0 = 0.

Đặt y ( n — n ữ) = x ( n ) , khi đó hệ (Ị1.4.1Ị) trở thành:

y(n + 1) = Ay(n)]

y 0 = x(n 0 ) và y(n) = A n y 0

Như vậy bài toán giải giải hệ phương trình sai phân (1.4.3) được đưa về

bài toán tính ma trận A n Xét phương trình đặc trưng của hệ (1.4.3)

det(A — AI) = 0 ^ À k + aiÀ k_1 + • • • + ak-iA + ak = 0 (1-4-4) Giả sử phương trình (1.4.4) có các nghiệm là Ai, , Ajfc Đặt

k P( X) = JỊ(a - Xị).

(1.4.10)

—

ỉ /20

Thuật toán Putzer tìm ma trận A n

Định lý 1.4.2 Cho A là một ma trận thực cấp к , có cấc giá trị riêng Ai, A2, , Khi đó

V — sin n e o / V cos ncư

ở đây CƯ = tan 1 (—) Nghiệm tổng quát cc yi(n)\ / Ci cos 716Ư + c 2 sin 716Ư

< 2/2 ( n ) J \—Ci sin Ĩ I L Ú + c2 cos ncư Cho điều kiện ban đầu 2/1 (0) = 2/105 2 / 2 (0) = 7/20 ta được C ị = 2 / 10 , c 2 ta có:

(1.4.12) vá

y i { n ) = |Ai|n(yio cos n u ) + 7 / 2 0 sin no;) y 2 { n ) = |Ai|

n (— 7/10 sin no; + 7/20 cosno;).

Hình 2.2:

Hình 2.3:

• Nếu I Ai I > 1, ta có điểm trung tâm là không ổn định;

• Nếu |Ai| = 1, ta thu được một điểm trung tâm có quĩ đạo là đường tròn bán kính r 0 =

y ị 0 + y ị ữ nên nó ổn định.

Để tìm chân dung của không gian pha của hệ đã cho, đặt x(n) = Py(n) Ta sẽ xác

trong hệ yi — y 2 tương ứng với p I I = I I trong hệ Xị — x 2 ;

trong hệ У1 — y 2 tương ứng với p I I = I I trong hệ X\ — x 2

Trục y i xoay bởi góc ỚI = tan-1 (0.5) so với trục X ị

Trục y 2 xoay bởi góc Ớ 2 = tan -1 (—0.5) so với trục x 2

Ngoài ra điểm ban đầu I ^ 10 I = I I tương ứng với điểm ban đầu.

\ V 2 ữ W

|Л| = I

Các giá trị riêng của Ả là Ai = 1 + y / s i và x 2 = 1 — V s i Véctơ riêng tương

Hình 2.7

2 3

mô tả quĩ đạo của (—, 0 ), với nghiệm

-Hình 2^8 mô tả quĩ đạo tương ứng của hệ đã cho có điểm ban đầu

H ì n

h 2.

8 :

minh rằng, nếu X q £ B ( x * , ỏ ) thì

x ( n ) £ B ( x * , e ) , \ / n > 0 Thật vậy,

giả sử =h 0 £ В ( x * , ỗ ) v ầ m e z+ sao cho

e B(x *, e),Vn > 0 Nếu {ж(п)} không hội tụ tới X* thì nó có một day- con {ж(77,з)} hội tụ tới y G Cho E

€ (h ( y ), 1) thì > 0 sao cho X £ B ( y , a ) thì h ( x ) < 7 7 Do đó 3 r i i đủ lớn

V ( f ( x ( r i i ) ) ) < T j V ị x ị ĩ i ị - 1 ) )

< r f v { x ị ĩ i ị - 2 ) ) < • • • <

T ) n i V ( x 0 )

Do đó

l i m

V

(

x i r i ị

) )

=

0

.

ĩ l ị

—

» 0 0 Nhưng lim v ( x ( r i i )) = v(y) nên

v(y) = 0, hay y = X *

7lị-¥0o

Để chứng minh X* là ổn định tiệm cận

toàn cục, ta chứng minh rằng tất cả

các nghiệm đều bị chặn Thật vậy, giả

sử tồn tại nghiệm X(N) không

bị chặn, khi đó tồn tại dãy con {x(nj)}

—»• 00 khi U i —»• 00 Từ (2.5.2) ta

có: V(X( RIỊ)) —»• 00 khi TIỊ —>•

00 , điều này là mâu thuẫn do V(XỊ)

a x ( n

—

1 )

Ta xét tính ổn định của điểm cân bằng

ỳ ị ( n )

-y ị { n ) a

- 1 y ị { n ) < { a ? - 1 ) y ị { n ) (2.5.3)

\[1 + /% 2( rỉ )] 2 /

Nếu a 2 < 1 thì A V < 0, khi đó X * = 0

là điểm cân bằng duy nhất Theo định

lí 2.5.1 thì X * là ổn định Nhưng do lim V (a;) = oo nên theo định lí

2.5.2, tất cả các nghiệm đều bị chặn.

Hơn nữa A V = 0 tại tất cả các điểm trên trục ĩ /2 nên không xác định được tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình này Tình huống này là điển hình trong hầu hết những vấn đề của ứng dụng khoa học và kĩ thuật.

Do đó, yêu cầu đặt ra là phải phân tích được tốt hơn và chính xác hơn, từ

đó dẫn đến nguyên tắc bất biến Lasalle Một số khái niệm

(i) Cho tập con G c R k , x là một điểm giới hạn của G nếu

tồn tại một dãy {;Cj} trong

G sao cho X ị — > X khi ỉ

— > oo;

(ii) Bao đóng G là hợp của G

và tất cả các điểm giới hạn của

G ;

Vì ta chỉ xét quĩ đạo dương nên

0 + (zo) được kí hiệu là O(xo).;

(iv) Tập giới hạn dương f ì ( x ữ )

Định lý 2.5.3 C h o x ữ e R fc v à

S ì ( x ữ ) l à t ậ p g i ớ i h ạ n c ủ a n ó

t r o n g fl2.5.ip K h i đ ó n h ữ n g

p h á t b i ể u s a u l à đ ú n g

Ngược lại, cho y e n u { f n { x ó)}- Do đó,

với mỗi i , y e u { f n { x o)} Như

vậy, với mỗi i , 3 f n i ( x 0) e B y ( x ữ ) với

77-1 < n 2 < n 3 < • • • và r i ị —>■ oo khi

i oo Rõ ràng f n i ( x o) — ¥ y khi n N

oo, do đó y G

fỉ(:Eo)-00

(ii) Vì bao đóng của một tập là đóng

nên ỊJ { x n } là đóng Hơn nữa,

n = i

íỉ(a:o) là giao của tất cả các tập đóng

nên fỉ(a;o) là đóng

Bây giờ cho V là một hàm

Liapunov xác định dương trên một

(

n )

x

2 ( n

+

1 )

=

2 x i

( n ) x

2 ( n )

r ( n + 1) sin0 ( n + 1) = 2r2 (n) sinớ(n)

cosớ(n) = r 2(n) sin 2 9 ( n ) (2.5.5) Chia (2.5.4) cho (2.5.5) ta được 9 ( n +

V 2 '

4 x l ( n ) x ị ( n ) — x \ { r ì )

— 4^2(71)

) Chúng ta sẽ xét sự

= ị x \ ( n ) x ị ( n ) [ x \ ( n ) + x \ ( n )

ban đâu X q = 1 1 làtuần hoàn

với chu kì 2 với quĩ đạo 1 I I - I

1

0

nghiệm với giá trị ban đầu x 2 = cũng

tuần hoàn với chu kì 2 Do đó

a

nghiệm gốc không thể là ổn định tiệm

cận Tuy nhiên, nó ổn định theo

C h ứ n g m i n h Cho Ay(x) > 0 với X

€ B ( ĩ ] ) , x 7 ^ 0, y(0) = 0 Ta sẽ chứng ming định lí bằng phản chứng Thật vậy, giả sử nghiệm gốc là ổn định Khi

Theo chứng minh của nguyên lí bất

biến Lasalle, ta có lim x ( n ) = 0 Như

vậy 0 < v^(æ 0) < lim x ( n ) = 0, điều

A V ( X i ( n ),x 2 (n)) = 3 x l ( n ) + Ĩ Q x l ( n ) x ị ( n ) + A x ị x ị

x 2 { n + 1) =

x 2 ( n )

(2.5.6)

Ta thấy (0,0) là một điểm cân bằng của hệ Xét thành phần tuyến tính

( n )

x 2 { n

+

1 )

=

x 2 ( n )

nếu ( x i , x 2 ) Ỷ (0j 0)-

Theo định lí 2.5.5| nghiệm gốc của hệ

không ổn định Bây giờ ta xét hệ

sau có thành phần tuyến tính tương

x \ — x \

— x ị =

— 2 x \ x ị + x \ x ị =

Như trong phần 2.3 ta thấy rằng điều

kiện để một hệ phương trình sai phân

V ( x ) X

òn > 0 ,

ổn định tiệm cận là p ( A ) < 1 Điều

kiện này yêu cầu phải tính toán giá trị

riêng của A Nhưng với phương pháp

thứ 2 của Liapunov ta sẽ không cần

phải tính giá trị riêng đó.

Trước hết, ta cần nhắc lại định nghĩa của một ma trận xác định

dương Xét dạng toàn phương V (X )

B =

là xác định dương.

K í h i ệ u X T — ( x i , X 2 , X 3 ) T , t h ì

V (X ) = x T B x = 3 x Ị + 5 x 1 + x ĩ + — 2 x 2^3 >0, X ^ 0 và y (0) = 0 Tổng quát, nếu

V ( X ) = a x \ + b x \ + c x 3 + d x ị x 2 + e X ị X a + f x 2 x 3 y (a:) = X T B x

V là xác định dương nếu và chỉ nếu B là xác định dương, mà nếu B

là xác định dương thì tất cả các giá trị riêng của B cũng dương Gọi Ai, A2 , , Afc là

các giá trị riêng của B với

Amin = min{|Aj|, 1 < % < k } Amax = p ( A ) = max{ỊAjỊ, 1 < i < k }

thì A min ||a ;|| 2 < v ( x ) < Amax ||a:|| 2, \ f x G

Nếu B là một ma trận xác định dương, V { x ) = x T B x là một hàm Liapunov của

C h ứ n g m i n h Giả sử nghiệm của hệ x ( n + 1) = A x ( n ) là ổn định tiệm cận Cho

c là một ma trận đối xứng xác định dương Ta sẽ chứng minh rằng

phương trình Liapunov (2.6.1) có duy nhất nghiệm B Từ (2.6.1) ta có (. A T Ỵ + 1 B A r + 1 - ( A r Ỵ B A r = - ( A r Ỵ C A r

với B là ma trận đối xứng xác định dương và là nghiệm của (2.6.1) □

2.7 Ôn định bởi xấp xỉ tuyến tính

Phương pháp tuyến tính hóa là phương pháp lâu đời nhất của lí thuyết ổn định Các nhà khoa học và kĩ sư thường sử dụng phương pháp này trong sáng kiến và nghiên cứu của hệ điều khiển và thiết bị phản hồi Nhà toán học Liapunov và Perron đã khởi đầu cho phương pháp tuyến tính hóa với lí thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân.

Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp của

Perron với hệ phương trình sai phân không tuyến tính

n i x *) ta thu được d2.7.1|) Từ giả thiết của / ta có g ( n , y ) = o(||y||) khi \ \ y \ \

—>■ oo Thật vậy, khi X* = 0 thì

g ( n , y ( n )) = f ( n , y ( n )) - D f ( n , 0 ) y ( n )

= f { n , y { n )) - A ( n ) y ( n )

y * : nghĩa là ta có Q ~ \ y * tổn tại và liên tục 1 y * , i

= 1 , k Viết / = (/i,/ 2 , , f k ) T ta có

(2.7.4) (2.7.5)

Với A — /'(0) là ma trận Jacobi của / tại 0 và g ( y ) = f ( y ) — A y Vì / là

khả vi tại 0 nên g ( y ) = o ( y ) khi ||y|| —>• 0 , hay lim = 0

Hơn nữa, ta lại có 1 + X < e x \ / x > 0 nên

1 4 - M h ( j ) < exp =>• £(ra) < Z { n 0 ) exp[J^ M h ( j ) ] ,

C h ứ n g m i n h ệ ( n ) là ma trận cơ sở bất kì của (2.7.2), ệ ( n , ra) = ệ ( n ) ệ (m) 1

Do nghiệm gốc của (2.7.2) là ổn định tiệm cận đều nên 3 M > 0 và 77 €E (0,1) sao cho