luận văn thạc sĩ toán điều kiện cực trị và ổn định trong tối ưu véctơ với thứ tự suy rộng

Khái niệm điểm hữu hiệu của một tập hợp trong không gian có th ứ tự sinh bởi nón lồi đã được đưa ra theo nhiều cách khác nhau dựa vào các tính chất tôpô, đại số của nón như: hữu hiệu Par

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2

Lời cam đoan

Luận án được hoàn th àn h tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Quang Huy

Các kết quả trong luận án này là mới và chưa từng công bố trong

b ất kỳ công trình khoa học nào của ai khác

Tác giả luận án

N g u y ễ n V ă n T u y ê n

số tính chất tôpô của tập nghiệm Chương 2 nghiên cứu về các điều kiện cực trị cho tối ưu theo thứ tự suy rộng Chương 3 nghiên cứu tính chất

ổn định của tập nghiệm hữu hiệu Pareto tương đối

Các kết quả chính của luận án bao gồm: 1) Đưa ra các phân tích chi tiết về khái niệm nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng 2) Thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tạ i nghiệm tối ưu với th ứ tự suy rộng 3) Thiết lập các điều kiện đủ cho tính đóng và tính liên thông của tậ p nghiệm của bài toán tối ưu véctơ với th ứ tự suy rộng; các điều kiện đủ cực trị cho nghiệm tối ưu theo th ứ tự suy rộng đối với lớp bài toán tối ưu véctơ lồi 4) Một số tính chất tôpô như tính đóng, tính trù m ật của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối 5) Thiết lập các điều kiện đủ cho sự hội tụ trên và sự hội tụ dưới theo nghĩa Kuratowski-Painleve của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối; cho tính nửa liên tục dưới theo nghĩa Berge của ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối

w ith generalized order The goal of C hapter 3 is to deal with the stabil­ity analysis of a vector optim ization problem using the notion of relative Pareto efficiency.

The main results of the thesis include: 1) A detailed analysis of the notion of generalized order optimality 2) Existence theorems in vector optim ization with generalized order 3) Some criteria for the closedness and connectedness of the set of generalized order solutions and some sufficient optim ality conditions in convex vector optim ization problems 4) Some topological properties of the relative Pareto efficient set 5) Some sufficient conditions for the upper convergence and the lower convergence

in the sense of Kuratowski-Painleve of the relative Pareto efficient sets; some criteria for the lower semicontinuity in the sense of Berge of the relative Pareto efficient point multifunction

M ụ c lục

1 T ín h c h ấ t tô p ô c ủ a t ậ p n g h iệ m tr o n g tố i ư u v é c tơ với

1.1 Khái niệm nghiệm 14

1.2 Sự tồn tại n g h iệ m 24

1.2.1 Sự tồn tại điểm hữu hiệu suy rộng 24

1.2.2 Áp dụng cho bài toán tối ưu véctơ 28

1.3 Tính chất tôpô của tập n g h i ệ m 31

1.3.1 Tính đ ó n g 31

1.3.2 Tính liên t h ô n g 33

2 Đ iề u k iệ n tố i ư u ch o b à i to á n tố i ư u v é c tơ với t h ứ t ự su y r ộ n g 40 2.1 Một số kiến thức chuẩn b ị 40

2.2 Các điều kiện tối ưu cho điểm hữu hiệu suy r ộ n g 47

2.3 Các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véctơ với thứ tự suy r ộ n g 56

2.3.1 Điều kiện cần cực t r ị 57

2.3.2 Điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm toàn c ụ c 592.3.3 Điều kiện đủ tối ưu cho nghiệm địa phương 61

3 T ín h ổ n đ ịn h n g h iệ m c ủ a b à i t o á n tố i ư u v é c tơ 653.1 Khái niệm điểm hữu hiệu Pareto tương đ ố i 663.2 Sự hội tụ trên của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối 763.3 Sự hội tụ dưới của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối 863.4 Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto

tương đối 91

C á c c ô n g t r ì n h liê n q u a n đ ế n lu ậ n á n 101

M ột số ký hiệu

К := К u { io o } tập các số thực mở rộng

không gian Euclide n-chiều

0 số 0, hoặc véctơ 0 trong không gian cho trước

F : X =4 Y ánh xạ đa trị từ X vào Y

{ x n}, (x n) dãy số thực, hoặc dãy véctơ

trước

B( x , p) hình cầu mở tâm X, bán kính p

N b { x ) tập tấ t cả các lân cận cân của điểm X

Lim sup giới hạn trên theo nghĩa Painlevé - KuratowskiLim inf giới hạn dưới theo nghĩa Painlevé - Kuratowski

v / ( x ) đạo hàm Frechet của / tạ i X

ô f ( x ) dưới vi phân Frechet của / tại X

D*F(x, ỹ)(-) đối đạo hàm Frechet của F tại (x , ỹ )

D*NF( x, ỹ) ( - ) đối đạo hàm Mordukhovich của F tại (x , ỹ )

A X B tích Descartes của hai tập A và B

int A phần trong của tập hợp A

ri A phần trong tương đối của tập hợp A

aff (A) bao aphin của tập hợp A

conv (i4) bao lồi của tập hợp A

cone (A) bao nón của tậ p hợp A

M ở đầu

Tối ưu véctơ (Vector optim ization) hay còn gọi là Tối ưu đa mục tiêu (M ulticriteria optim ization) được hình th àn h từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế, lý thuyết giá trị của F Edgeworth (1881) và V Pareto (1906) Cơ sở toán học của lý thuyết này là những không gian có thứ

tự được G Cantor đưa ra năm 1897, F Hausdorff năm 1906 và những ánh xạ đơn trị cũng như đa trị có giá trị trong một không gian có thứ

tự thỏa mãn những tính chất nào đó Từ những năm 1950 trở lại đây, sau những công trình về điều kiện cần và đủ cho tối ưu của H w Kuhn

và A w Tucker năm 1951, về giá trị cân bằng và tối ưu Pareto của G Debreu năm 1954, lý thuyết tối ưu véctơ mới thực sự được công nhận là một ngành toán học quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế

Lúc đầu người ta mới nghiên cứu những bài toán có liên quan tới ánh xạ đơn trị từ không gian Euclide này sang không gian Euclide khác

mà th ứ tự trong nó được sinh ra bởi nón orthant dương Sau đó người

ta mở rộng cho các bài toán trong không gian có số chiều vô hạn với nón lồi b ất kì Khái niệm điểm hữu hiệu của một tập hợp trong không gian

có th ứ tự sinh bởi nón lồi đã được đưa ra theo nhiều cách khác nhau dựa vào các tính chất tôpô, đại số của nón như: hữu hiệu Pareto, hữu hiệu Pareto yếu, hữu hiệu lý tưởng, hữu hiệu thực s ự Nhiều nhà toán học

có tên tuổi như J M Borwein, M I Henig, J Jahn, D T L u c đã

có những đóng góp quan trọng về sự tồn tại của các điểm hữu hiệu loại này, và điều này dẫn tới việc nghiên cứu các lớp bài toán tối ưu khác

Sau đó lý thuyết này được phát triển cho những bài toán liên quan tới ánh xạ đa trị trong không gian vô hạn chiều Khái niệm về ánh xạ đa trị đã được nhiều người đưa ra từ những năm của nửa đầu thế kỷ 20 do nhu cầu phát triển của chính bản th ân toán học và nhiều lĩnh vực khoa học khác Những định nghĩa, tính chất của ánh xạ đơn trị dần dần được

mở rộng cho ánh xạ đa trị c Berge đã đưa ra các khái niệm khác nhau

về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị Tương

tự như vậy các khái niệm lồi trên, lồi dưới, Lipschitz trên và Lipschitz dưới cũng được đưa ra Tiếp theo là tính khả dưới vi phân của hàm số, dưới vi phân của hàm lồi, dưới vi phân của hàm Lipschitz địa phương theo nghĩa của F H C larke Từ các khái niệm này người ta tìm được những điều kiện cần và điều kiện đủ cực trị cho các lớp bài toán tối ưu khác nhau

Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm là một trong những vấn đề quan trọng nhất khi nghiên cứu các bài toán quy hoạch toán học và các bài toán tối ưu véctơ Sự tồn nghiệm của bài toán tối ưu véctơ trong các không gian vô hạn chiều đã được nhiều tác giả quan tâm và nghiên cứu (xem [2,19,26 28,37,41,42,61,64,71,74] và các tài liệu trích dẫn được trích dẫn trong đó) Theo hiểu biết của chúng tôi, hầu hết các kết quả

về sự tồn tại nghiệm trong tối ưu véctơ đều được xét trong các không gian véctơ tôpô với th ứ tự sinh bởi một nón lồi Một kết quả cổ điển

(xem, p L Yu [71]) chỉ ra rằng tậ p các điểm hữu hiệu Min (A I c ) khác

rỗng nếu c là nón lồi đóng và Ả là tập compact Tuy nhiên, giả thiết

về tính compact là khá chặt khi giải bài toán trong không gian vô hạn chiều Sau đó, có nhiều kết quả nghiên cứu đ ạt được về sự tồn tại điểm hữu hiệu đã loại bỏ được hạn chế về tính compact Chẳng hạn, Định

lý 3.3 trong [41] sử dụng tính C-đầy đủ (C-complete) để thay cho tính

compact

Một vấn đề quan trọng khác trong lý thuyết tối ưu đó là việc nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cực trị Để đưa ra các điều kiện tối

ưu cho các bài toán tối ưu véctơ không trơn, người ta sử dụng các khái niệm đạo hàm suy rộng Chẳng hạn, M Pappalardo và w Stỏcklin [54]

đã sử dụng đạo hàm suy rộng của Dini - H adam ard để đưa ra một số điều kiện tối ưu cho nghiệm Pareto yếu, trong trường hợp hữu hạn chiều với thứ tự sinh bởi một nón lồi có phần trong khác rỗng Với các khái

niệm cơ bản như nón pháp tuyến không lồi của các tập hợp trong không gian Banach, dưới vi phân không lồi của các hàm số thực, đối đạo hàm

Frechet và đối đạo hàm Mordukhovich của ánh xạ đa trị, sau 35 năm phát

triển, lý thuyết vi phân suy rộng do Giáo sư B s Mordukhovich khởi xướng đã trở nên hoàn thiện và đưa đến nhiều ứng dụng quan trọng Bộ sách [49,50], gồm 2 tập, mỗi tập có 4 chương, được xuất bản năm 2006,

đã nhanh chóng trở th àn h một tài liệu quan trọng, được nhiều người sử dụng Bộ sách đó chứa đựng nhiều kết quả sâu sắc về Giải tích không trơn, Giải tích đa trị, Lý thuyết tối ưu, và ứng dụng

Bên cạnh việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, các điều kiện cực trị, tính ổn định cũng là một vấn đề rất quan trọng trong lý thuyết Tối ưu véctơ và được nhiều nhà toán học quan tâm Trong các tài liệu, có hai hướng tiếp cận cơ bản khi nghiên cứu tính ổn định của bài toán tối ưu véctơ Hướng th ứ nhất là khảo sát sự hội tụ của tập điểm hữu hiệu của các tập hợp có nhiễu đến một tập cho trước Hướng th ứ hai khi nghiên cứu tính ổn định đó là nghiên cứu các tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm Chẳng hạn, tính nửa liên tục dưới (trên) của ánh xạ nghiệm hữu hiệu Pareto đã được khảo sát bởi Penot và Sterna-K arw at [55] Luc, Lucchetti và Malivert [44] đã nghiên cứu sự hội tụ của tập các điểm hữu hiệu Pareto và Pareto yếu trong các không gian véctơ tôpô tổng quát Miglierina và Molho [47,48] đã nhận được các kết quả về sự hội tụ của tập các điểm hữu hiệu Pareto và Pareto yếu của các bài toán tối ưu

véctơ lồi Đối với hướng nghiên cứu tính ổn định của các bài toán tối

ưu véctơ lồi độc giả có thể tham khảo thêm các kết quả trong [41,45] Ngoài ra, các kết quả nghiên cứu về tính liên tục của ánh xạ nghiệm hữu hiệu Pareto và Pareto yếu còn được trìn h bày trong các sách chuyên khảo [41,57] và các bài báo (xem [11-15,23,24,55]) Bằng cách sử dụng

các tính chất như tính chất trội (domination property), tính chất bao hàm (containment property) và tính chất bao hàm liên hợp (dual containment

property) Bednarczuk [11-15] đã nghiên cứu các tính chất nửa liên tục

trên, C- nửa liên tục trên theo nghĩa Hausdorff và tính nửa liên tục dưới

theo nghĩa Berge của ánh xạ nghiệm hữu hiệu và ánh xạ điểm hữu hiệu Gần đây, bằng cách sử dụng cách tiếp cận của Bednarczuk [11,13] và đề

xuất các khái niệm mới tính chất bao hàm địa phương (local containment property), tính chất K - trội địa phương (Zf-local dom ination property)

và tính chất đóng địa phương đều (uniformly local closedness) của một

ánh xạ đa trị, Chuong, Yao và Yen [23] đã nhận được các kết quả về tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu trong các không gian véctơ tôpô Hausdorff với các giả thiết yếu hơn của Bednarczuk

Trong những năm gần đây xuất hiện nhiều bài báo nghiên cứu tối

ưu véctơ qua các tập hoàn thiện (improvement set) cho phép xử lý nhiều khái niệm nghiệm tối ưu (nghiệm Pareto, nghiệm Pareto yếu, nghiệm tối ưu xấp xỉ, .) dưới một quan điểm thống nhất nhờ tậ p hoàn thiện (xem [22,30]) Tuy nhiên, để định nghĩa tập hoàn thiện đòi hỏi không gian ảnh phải được sắp th ứ tự bởi một nón lồi đóng và chính thường Hơn nữa, bằng cách nào để có thể mở rộng khái niệm nghiệm tối ưu tương ứng với một tập hoàn thiện cho lớp các bài toán cân bằng vẫn còn

là một vấn đề mở (xem [22, Section 5])

Để mở rộng phạm vi áp dụng của các khái niệm nghiệm cổ điển của các bài toán quy hoạch toán học và bài toán tối ưu véctơ, A Y Kruger và B s Mordukhovich (xem [50, Subsection 5.5.18] và các tài

liệu được trích dẫn trong đó) đã đề xuất khái niệm nghiệm tối ưu theo

thứ tự suy rộng (hay nghiệm (/; Q)-tối ưu địa phương), ở đó / : X —»• z

là một ánh xạ đơn trị giữa các không gian Banach và tập sinh th ứ tự 0

là một tập b ất kì chứa gốc Một điểm X € X được gọi là một nghiệm

( /; 0 )-tố i ưu địa phương nếu tồn tại một lân cận u của X và một dãy

{Zk) với ||zfc|| —¥ 0 khi k —> 00 thỏa mãn:

f ( x ) ệ f ( x ) — 0 — Zỵ với mọi X G u và k G N.

Nếu 0 là một nón lồi có phần trong tương đối khác rỗng, thì khái niệm nghiệm tối ưu trên bao phủ các khái niệm nghiệm cổ điển trong

tối ưu véctơ như nghiệm Pareto, nghiệm Pareto tương đối (hay nghiệm

tối ưu theo nghĩa Slater) (xem [50,67]).

Cần nhấn m ạnh rằng, tập sinh th ứ tự © không nhất thiết là tập lồi hay là nón Điều này đáp ứng đòi hỏi ngày càng tăng trong thực tế

và cả trong lý thuyết áp dụng của tối ưu véctơ; đặc biệt là trong các mô hình kinh tế (xem [62])

Ngoài khía cạnh mở rộng phạm vi áp dụng của các khái niệm nghiệm, nghiệm tối ưu theo th ứ tự suy rộng còn là một công cụ hữu ích

để nghiên cứu các bài toán minimax (minimax problem) trên một tập compact (xem [50, Example 5.54]) Giả s ử X l à m ộ t n g h i ệ m t ố i ư u địa phương của bài toán minỉmax

minimize <f(x) := max { ( z *, f ( x ) ) I z* € A}, X £ X ,

với f : X —»• z và A c z* ỉà một tập compact yếu* theo dẫy (weak* sequentially compact) của z* sao cho: tồn tại Zq € z v ớ i (z*,z0) > 0 v ớ i

mọi z* € A D ể cho đơn giản, ta giả sử rằng ip{x) = 0 Khi đó, X là một nghiệm tối ưu địa phương theo thứ tự suy rộng của hàm f ứng với tập sinh thứ tự

Q : = { z e Z \ { z \ z ) < 0 Mz* E A}.

Việc xem nghiệm của một bài toán minimax như là nghiệm của một bài toán tối ưu véctơ theo th ứ tự suy rộng giúp chúng ta thuận lợi hơn khi nghiên cứu các điều kiện cần tối ưu cho các bài toán này (xem [50, Subsections 5.3.1, 5.5.19]).

Với những ý nghĩa kể trên, việc nghiên cứu các tính chất định tính của nghiệm tối ưu theo th ứ tự suy rộng của các bài toán tối ưu véctơ

có một ý nghĩa rất quan trọng Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi mới chỉ có một vài nghiên cứu về các điều kiện cần cực trị (xem [9,50]

và các tài liệu được trích dẫn trong đó) và độ nhạy nghiệm (xem [34]) của lớp bài toán này

Luận án này trình bày các kết quả mới về sự tồn tại nghiệm, các tính chất tôpô của tập nghiệm, các điều kiện cực trị và tính ổn định của các bài toán tối ưu véctơ với th ứ tự suy rộng Luận án bao gồm phần

mở đầu, 3 chương, phần kết luận, và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1 khảo sát khái niệm tối ưu theo thứ tự suy rộng Mục 1.1 phân tích khái niệm nghiệm của bài toán tối ưu véctơ theo th ứ tự suy rộng Mục 1.2 trình bày một số kết quả về sự tồn tại nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng Mục 1.3 khảo sát một số tính chất tôpô (tính đóng và tính liên thông) của tập nghiệm của bài toán tối ưu véctơ theo th ứ tự suy rộng

Chương 2 nghiên cứu các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véctơ với th ứ tự suy rộng Mục 2.1 nhắc lại một số kiến thức cơ sở của giải tích biến phân Các kiến thức này là cơ sở để đưa ra các điều kiện tối ưu trong các mục tiếp theo của chương này Trong Mục 2.2, bằng cách tiếp cận trên không gian ảnh chúng tôi đã đạt được một số điều kiện cần, điều kiện đủ cho một điểm hữu hiệu suy rộng Các kết quả về điều kiện cần có thể coi là trường hợp đặc biệt của các kết quả trong [9,50] Tuy nhiên kết quả về điều kiện đủ là mới Trong mục cuối của chương này,

chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho điểm là nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng dưới các giả thiết về tính lồi.

Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu về tính ổn định của bài toán tối ưu véctơ sử dụng khái niệm nghiệm Pareto tương đối Bằng cách sử dụng cách tiếp cận của Luc [44] chúng tôi nhận được các kết quả về sự hội tụ của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối Các kết quả này mở rộng kết quả của [44, Theorem 2.1] và [45, Proposition 3.1] từ tập điểm hữu hiệu Pareto yếu sang tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối

Để nhận được kết quả về tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối của bài toán tối ưu véctơ có tham số với thứ tự được sinh bởi một nón lồi có phần trong tương đối khác rỗng, chúng tôi

đề xuất một số khái niệm mới được gọi là tính chất bao hàm tương đối (relative containm ent property), tính chất nửa liên tục dưới tương đối (relative lower semicontinuity) và tính chất nửa liên tục trên tương đối

theo nghĩa Hausdorff (relative upper Hausdorff semicontinuity) của một

ánh xạ đa trị Các kết quả nhận được mở rộng và làm m ạnh hơn các kết quả tương ứng trong [11,12] Trong Mục 3.1, chúng tôi trìn h bày một

số tính chất của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối Mục 3.2 trình bày các kết quả về sự hội tụ trên theo nghĩa Kuratowski-Painlevé của tập điểm hữu hiệu Pareto tương đối Mục 3.3 trình bày các kết quả về sự hội

tụ dưới theo nghĩa Kuratowski-Painlevé của tậ p điểm hữu hiệu Pareto tương đối Trong mục cuối chúng tôi thiết lập một số điều kiện đủ cho tính nửa liên tục dưới của ánh xạ điểm hữu hiệu Pareto tương đối

Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại:

- Xêmina của Phòng Sau đại học (Trường ĐHSP Hà Nội 2)

- Xêmina của Phòng Giải tích số và Tính toán khoa học (Viện Toán học)

- Xêmina của Nhóm nghiên cứu Lý thuyết tối ưu (Viện nghiên cứu

cao cấp về toán).

- The 8th Vietnam-Korea Workshop “M athem atical optim ization theory and applications” (University of D alat, 8-10/12/2011, Dalat, Viet­nam)

- Hội thảo khoa học cán bộ trẻ Khoa Toán (Trường ĐHSP Hà Nội

2, 25 -26/10/2014)

- Các hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 12 (Ba Vì, 23-25/04/2014), lần th ứ 13 (Ba Vì, 23-25/04/2015)

Các kết quả của luận án đã được công bố trong 4 bài báo được

đăng ở Nonlinear Analysis [67], Acta Mathematica Vietnamica [68] và gửi đăng ở Vietnam Journal of Mathematics [35], Taiwanese Journal of

Mathematics [69].

Luận án này được hoàn th àn h tại Trường ĐHSP Hà Nội 2 Tác giả xin chân th àn h cám ơn PGS TS Nguyễn Quang Huy đã tậ n tình hướng dẫn để có được những kết quả trong luận án

Xin chân th àn h cám ơn GS TSKH Nguyễn Đông Yên, PGS TS Nguyễn Năng Tâm, PGS TS K huất Văn Ninh, TS Trần Văn Bằng và các th àn h viên của Xêmina Giải tích - Phòng Sau đại học Trường ĐHSP

Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong quá trìn h nghiên cứu

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các Giáo sư trong hội đồng chấm luận án cấp cơ sở về các ý kiến đóng góp quí báu cho Luận án

Tác giả xin chân th àn h cảm ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, Khoa Toán, và cán bộ công nhân viên của Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã luôn động viên giúp đỡ tác giả

Xin cám ơn các bạn nghiên cứu sinh, gia đình và bạn bè đã luôn khuyến khích giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu

Chương 1

T ính chất tô p ô của tập nghiệm

trong tối líu véctơ với th ứ tự suy

xạ đơn trị giữa các không gian Banach và tập sinh th ứ tự 0 là một tập

b ất kì chứa gốc Mục đích của chương này là trìn h bày một số đặc trưng của nghiệm tối ưu theo th ứ tự suy rộng

Mục 1.1 trìn h bày một số tính chất của nghiệm tối ưu theo thứ tự suy rộng và mối liên hệ giữa khái niệm nghiệm này với các khái niệm nghiệm cổ điển trong tối ưu véctơ Mục 1.2 trình bày một số kết quả về

sự tồn tại nghiệm tối ưu theo th ứ tự suy rộng Mục 1.3 khảo sát một

số tính chất tôpô (tính đóng và tính liên thông) của tập nghiệm của bài toán tối ưu véctơ theo th ứ tự suy rộng

Chương này được viết trên cơ sở các bài báo [35,68]

1.1 K hái n iệm nghiệm

Cho z là một không gian Banach Với mỗi tập 0 c kí hiệu

/(0) là tập hợp 0 n (—0).

Đ ịn h n g h ĩa 1.1 Cho A là một tập con khác rỗng trong z và 0 c z

là một tập chứa 0 z ■ Một điểm z G A được gọi là một điểm hữu hiệu

suy rộng (generalized efficient point) của A tương ứng với 0 , nếu tồn tại

một dãy {zỵ\ c z với \\zk \\ —»• 0 khi k —> oo thỏa mãn

Tập hợp tấ t cả các điểm hữu hiệu suy rộng của A tương ứng với

0 được kí hiệu là GMin (A I 0 ).

N h ậ n x é t 1.1 (i) (1.1) Z — Zỵ ị Ả + 0 VẢ; € N.

(ii) Nếu tồn tại một lân cận u của Z và một dãy {z k} c z với

||zfc|| —> 0 khi k —y oo thỏa mãn

Hơn nữa, GMin (Ả I 0 ) ỉà đóng nếu Ả đóng trong z

Chứng minh Giả sử Z là một điểm hữu hiệu suy rộng b ất kì của A tương

ứng với 0 Khi đó, tồn tại một dãy {zỵ\ c z với ||zfe|| —»• 0 khi k —»• oo sao cho Z — Zk Ệ {A + 0 ) với mọi k € N Vì vậy, Z — Zk € {A + 0 ) c với mọi k £ N Lấy u là một lân cận tù y ý của Z. Vì Z £ A và 0z € 0 nên

ta suy ra z G {A + 0 ) Do đó, и п {A + 0 ) ф 0 Từ lim (z — zk) = z

ta có z — z k G u với к đủ lớn Vì vậy, Z — z k € и п (А + 0 ) c với к đ ủ

lớn Suy ra и п (A + 0 ) c Ỷ 0- Vì vậy Z € bd (A + 0 ) Điều này kéo theo GMin (А I 0 ) С А П bd (A + 0 ) Để chứng minh bao hàm thức ngược lại lấy z € A П bd (A + 0 ) tùy ý Từ z G bd {A + 0 ) ta CÓ

Cuối cùng, nếu A là một tập con đóng của z , từ tính đóng của bd (A+0),

ta suy ra GMin (A I 0 ) đóng Định lý được chứng minh □

N h ậ n x é t 1.2 (i) Từ Định lý 1.1, ta có G M i n ( A | 0 ) с b d Æ T hật

vậy, giả sử tồn tại một điểm hữu hiệu suy rộng của A tương ứng với 0 không là điểm biên của Ả Từ z G A ta suy ra Z € int A Vì vậy, tồn tại

một lân cận u của Z sao cho и с A Từ A c A + 0 t a c ó ỉ 7 C Ẩ + 0

Do đó, z G int (A + 0 ) , mâu thuẫn với (1.3).

(ii) Nếu A mở hoặc A + 0 mở thì GMin (A I ©) = 0 T h ật vậy, nếu A

mở, thì từ А С A + 0 ta suy ra А с int (A+0) Do đó, Anbd (A+0) = 0,

hay là GMin (A I 0) = 0 Nếu A + 0 mở, thì bd (A + 0) = 0 Theo Định

lý 1.1 ta cũng suy ra GMin {A I 0) = 0.

Tiếp theo, chúng ta thiết lập một số quan hệ giữa các điểm hữu

hiệu suy rộng và các điểm tự a của tập A Nhắc lại rằng, Z € c \A được gọi là một điểm tựa (supporting point) của A nếu tồn tại z* £ z* \ {0}

thỏa mãn

{z*i z) = sup{(z*, z) I z € A}.

Khi đó, z* được gọi là một hàm tựa (supporting functional) của A tại Z

Kí hiệu 0* là tập cực (polar set) của 0 :

0* = {z* e z* I ( z \ 9 ) < 0 Vớ € 0 }

M ệ n h đ ề 1.1 Cho A là một tập con khác rỗng trong không gian Banach

z và © c z chứa 0z ■ Nếu Z £ A là một điểm tựa của A tương ứng với hàm tựa z* € 0*; thì z £ GMin {A I 0 ) Do đó, ta có

u { A ° ự ) I 2* € 0 w 0} c GMin (A I 0 ),

ở đó A ° (z *) = {zQ G Ả I (z*, z ữ) = sup(;z*, z), z G A}.

Chứng minh Giả sử phản chứng, Z ị GMin {A I 0 ) Theo Định lý 1.1,

trái với định nghĩa của Z Mệnh đề đã được chứng minh □

Mệnh đề sau chỉ ra rằng, nếu A + 0 là một tập lồi với phần trong khác rỗng, thì mọi điểm hữu hiệu suy rộng của tập A cũng là điểm tựa

của tập hợp này

M ệ n h đ ề 1.2 Cho A là một tập con khác rỗng trong không gian Banach

z , và © c z chứa 0Z Giả sử rằng, A + 0 là một tập lồi và có phần trong khác rỗng Khi đó,

cl (A + 0 ) cũng có các tính chất này Vì vậy, tồn tại một hàm tựa z* của

c l (A + 0 ) tại Z (xem [18]) Từ (z*,z) > (z * , z ) với mọi z € c l (A + 0 ),

ta suy ra

{z*, z) > (z*, Z + 9)

với mọi 9 € © Do đó, (z*, в) < о với mọi ớ G 0 Điều này có nghĩa là z* £ ©* Từ А С А + 0 с cl {А + 0 ) ta suy ra z* là một hàm tự a của

A tại Z, hay là z € Do đó, ta có

GMin (A I 0 ) С Ị J { ^ ° C O \z* e Q * , z* ^ 0}.

Nếu z là một không gian Banach hữu hạn chiều, thì điều kiện

UA + 0 có phần trong khác rỗng> : trong Mệnh đề 1.2 có thể bỏ được.

H ệ q u ả 1.1 Cho A là một tập con khác rỗng trong м ш và 0 с м ш là

một tập bất kì chứa gốc Nếu A + 0 lồi, thì

GMin (A I 0 ) = 1J{A 0( ^ ) \z* Ф 0}.

Chú ý rằng các kết quả trên không đòi hỏi rằng 0 phải là một nón

với © \ /(©) Ф 0 Hệ quả 1.1 là một mở rộng của [71, Lemma 4.5] từ

điểm hữu hiệu (xem Định nghĩa 1.3 ở bên dưới) sang điểm hữu hiệu suy rộng

GMin ((A + 0 ) I 0 ) = (A + 0 ) n bd [(A + 0 ) + 0 ] (1.8)

Trong Định nghĩa 1.1 chúng ta không đòi hỏi 0 là một nón lồi và cũng không đòi hỏi © phải có phần trong khác rỗng Nếu 0 là một nón

lồi với với ri © ^ 0, thì khái niệm điểm hữu hiệu suy rộng bao phủ các

khái niệm điểm hữu hiệu cổ điển trong tối ưu véctơ

Đ ịn h n g h ĩa 1.2 Giả sử 0 là một nón lồi với r i0 ^ 0 Một điểm z e A được gọi là một điểm hữu hiệu Pareto tương đối/điểm hữu hiệu Slater (relative Pareto efficient point/S later efficient point) của A tương ứng

với 0 , nếu

Tập hợp tấ t cả các điểm hữu hiệu tương đối của A tương ứng với 0 được

kí hiệu bởi RMin (A I 0 ).

Nếu 0 là một nón lồi trong z , th ì 0 sinh ra một quan hệ thứ tự

trên z như sau: Z I , Z 2 G z, z2 > Z \ nếu z2 — Z i € 0 Ta viết X > y nếu

X > y và không có y > X, hoặc là, X € y + 0 \ /(0 ) Một nón 0 được gọi

là nhọn nếu /(0 ) = {0^}

Đ ịn h n g h ĩa 1.3 Cho © là một nón lồi trong z, A c z là một tập con khác rỗng

(i) Một điểm z e A được gọi là điểm hữu hiệu Pareto yếu/điểm hữu hiệu

yếu (weak Pareto efficient point/w eak efficient point) của A tương ứng

với 0 , nếu

A n (z — int 0 ) = 0 và int 0 ^ 0

Tập hợp tấ t cả các điểm hữu hiệu Pareto yếu của A tương ứng với 0

được kí hiệu là W Min (A I 0 ).

(ii) Một điểm z e A được gọi là một điểm hữu hiệu Pareto/đ iể m hữu

hiệu (Pareto efficient point/efficient point) của A tương ứng với 0 , nếu

(z > y , với y G A nào đó ) => (y > z).

Tập hợp tấ t cả các điểm hữu hiệu Pareto của A tương ứng với 0 được

kí hiệu bởi Min (A I 0 ).

M ệ n h đ ề 1.5 Nếu 0 ỉà m ột nón lồi thì cấc phát biểu sau đây đúng (i) Nếu int © Ф 0; thì GMin (A I 0 ) с W Min {A I 0 )

(ii) Nếu int 0 Ỷ 0; thì W Min (A I 0 ) с RMin {A I 0 )

(iii) Nếu r i 0 ф 0; thì RMin (A I 0 ) с GMin [A I 0 )

Vĩ vậy, nếu © là một nón lồi với phần trong khác rỗng, thì

WMin (A I 0 ) = RMin (A I 0 ) = GMin (A I 0 ) (1.11)

Chứng minh, (i) Giả sử, int 0 ^ 0 Lấy Z € GMin (A I 0 ) tù y ý Theo

định nghĩa của điểm hữu hiệu suy rộng, tồn tại một dãy {zỵ\ с z với

(ii) Nếu int 0 ^ 0 , thì r i 0 = int 0 và (ii) là hiển nhiên

(iii) Giả sử ri 0 Ỷ 0- Lấy z G RMin (A I 0 ) tù y ý Suy ra

Từ ri 0 7^ 0, lấy ZQ g r i 0 và đăt z k = ——-— với mỗi k G N Dễ thấy

M ệ n h đ ề 1.6 (xem [41, Proposition 2.3]) Một điểm z G M i n ( i 4 | 0 )

khi và chỉ khi A n (z — 0 ) c Z + /(0 ); hoặc là, không có y £ A nào thỏa mãn Z > y Đặc b i ệ t , khi 0 ỉà m ột nón n h ọ n , z G Min (A I 0 ) khi v à c h ỉ

khi A n (z — 0 ) = {z}.

M ệ n h đ ề 1.7 Giả sử © c z là một nón lồi thỏa mẫn 0 \ /(0 ) khác

rỗng và A là một tập con khác rỗng trong z Nếu Z là một điểm hữu hiệu Pareto của A tương ứng với ©; thì z là một điểm hữu hiệu suy rộng của A tương ứng với 0 ; hay ỉà

Chứng minh Giả sử phản chứng, tồn tại z € Min (A I 0 ) nhưng z không

thuộc GMin {A I 0 ) Theo Định lý 1.1, z ị bd (A + 0 ) Điều này có nghĩa

là tồn tại một lân cận u của z sao cho

u n (A + 0) = 0 hoặc u n (A + ©)c = 0.

Rõ ràng, z G A c A + 0 Vì vậy, u n (A + 0 ) Ỷ 0- Điều này kéo theo

u n (A + 0 ) c = 0,

tức là

и С А + в

Hơn nữa, ta có и П {z — © \ /(©)) ф 0 Thực vậy, từ 0 \ /(0 ) ф 0 chọn

V G © \ /(В) Dễ thấy, 2 — jTjTf'U € {z — 0 \ /(0 )) với mọi к £ N Từ

điều này mâu thuẫn với Z € Min (А I 0 ) Mệnh đề được chứng minh □

N h ậ n x é t 1.3 Nếu 0 \ l ( Q) = 0, th ì bao hàm thức (1.17) trong Mệnh

đề 1.7 không đúng Điều này có nghĩa là điều kiện 0 \ /(0 ) 7^ 0 là cần thiết cho mệnh đề này Ví dụ sau chứng tỏ điều này

V í d ụ 1.3 Lấy A = {x = ( x i , x 2) £ к 2 I xỊ + xị < 1}, 0 = { x = ( x i , x 2) € M2 I x 2 = 0} Ta có 0 là một nón lồi và 0 \ /(0 ) = 0 Bằng

cách tính toán trực tiếp, ta có

A + 0 = { x = [ x i , x 2) G К 2 I \x2\ < 1},

Đ ịn h n g h ĩa 1.4 (xem [41, Definition 3.2, p 46]) Một tập А с z được

gọi là О -đầy đủ (0-com plete) nếu không có phủ nào có dạng {(x a —

C l 0 ) c I a G 1} với { x a} là một lưới giảm trong A.

Đ ịn h n g h ĩa 1.5 Một nón lồi 0 trong z được gọi là nón đúng (correct

cone) nếu

c i e + 0 \ /(0 ) С 0 ,hay là

c i e + 0 \ / ( 0 ) С 0 \ / ( 0 )

M ệ n h đ ề 1.8 (xem [41, Theorem 3.3]) Giả sử rằng 0 là một nón lồi

đúng và A là một tập con khác rỗng trong z Khi đó, Min (A I 0 ) khác rỗng khi và chỉ khi A có lát cắt ©-đầy đủ.

Đ ịn h lý 1.2 Giả sử rằng 0 là một nón lồi đúng thỏa mãn 0 \ Z ( 0 ) khác

rỗng và A là một tập con khác rỗng trong z Nếu A có lát cắt @-đầy đủ,

th ì

GMin (A I 0 )

k h á c rỗ n g

Chứng minh Dưới các giả thiết của định lý, theo Mệnh đề 1.8, ta có

Min (A I 0 ) khác rỗng Mệnh đề 1.7 suy ra GMin (A I 0 ) Ỷ 0' П

Ví dụ sau chứng tỏ rằng điều kiện về sự tồn tại lát cắt 0 -đ ầy đủ

trong Định lý 1.2 chỉ là điều kiện đủ cho GMin (A I 0 ) Ф 0 m à không là

điều kiện cần

V í d ụ 1.4 Cho A = {x = ( x i , x 2) € M2 1 x 2 > 0} và 0 = M+ Dễ thấy © là một nón lồi, đóng, nhọn và © \ /(0 ) = R+ \ {0} Ф 0 Dễ thấy Min (A I 0 ) = 0 Theo Mệnh đề 1.8, tập A không có lát cắt ©- đầy đủ Tuy nhiên, bằng các tính toán trực tiếp ta có A + © = A

và А П bd (A + 0 ) = bd (A) = {x = ( x i , x 2) G M2 I x 2 = 0} Vì vậy GMin (A I 0 ) khác rỗng.

Ví dụ tiếp theo chỉ ra rằng điều kiện 0 \ Z(0) Ф 0 trong Định lý

Dễ thấy tấ t cả các giả thiết trong Định lý 1.2 đều thỏa mãn trừ điều

kiện 0 \ /(©) Ф 0 Bằng các tính toán trực tiếp ta có

GMin (А I 0 ) = A n bd (A + 0 ) = 0.

Vì vậy, điều kiện © \ /(0 ) ^ 0 trong Định lý 1.2 là không thể bỏ được.

Đ ịn h lý 1.3 Giả sử rằng Ả ỉà một tập con khác rỗng trong z và 0 c z

là một tập bất kì chứa 0Z Nếu nón lồi đóng 0 := clc o n v c o n eô thỏa mãn

và Ả có lát cắt Q-đầy đủ, thì GMin {A I 0 ) Ỷ

0-Chứng minh Do 0 c ©, nên theo Mệnh đề 1.3 ta có

GMin ( a I ẽ ) c GMin (A I 0 ) (1.19)

Vì 0 là một nón lồi đóng, nên 0 là nón đúng Theo Định lý 1.2, tập hợp

GMin ( a I 0 ^ khác rỗng Điều này và (1.19) suy ra GMin (A I 0 ) Ỷ 0)

Kết quả sau đảm bảo sự tồn tại điểm hữu hiệu suy rộng của một

tập compact khác rỗng Ả trong một không gian vô hạn chiều.

H ệ q u ả 1.2 Cho A là một tập compact khác rỗng trong z và 0 c z

là một tập chứa 0Z Nếu 0 := clconvcone© thỏa mãn điều kiện (1.18), thì GMin (A I 0 ) khác rỗng.

Chứng minh Từ tính compact của A và [41, Lemma 3.5 (1)] ta suy ra

A là tập 0 -đ ầy đủ Dễ thấy rằng 0 là một nón đúng Theo Định lý 1.3,

N h ậ n x é t 1.4 Trong [41], D T Luc đã chỉ ra rằng “Nếu z là một không

gian hữu hạn chiều, thì Min (A I 0 ) khác rỗng với mọi tập compact khác rỗng A và nón lồi 0 ” Tuy nhiên, A Sterna-K arw at [64] đã đưa ra một

ví dụ chứng tỏ rằng khẳng định trên không còn đúng trong trường hợp không gian được xét là vô hạn chiều, c ầ n nhấn m ạnh rằng, Hệ quả 1.2

chứng tỏ rằng mọi tập compact khác rỗng A trong một không gian vô

hạn chiều đều có ít nhất một điểm hữu hiệu suy rộng miễn là tập sinh thứ tự 0 thỏa mãn điều kiện (1.18).

V í d ụ 1.6 (xem [41, Example 3.13] và [64]) Cho z là không gian véctơ gồm tấ t cả các dãy số thực X = {Xn} sao cho x n = 0 với mọi n trừ một số hữu hạn chỉ số Không gian z là một không gian định chuẩn với chuẩn

||x|| = m ax{|xn| I n = 1, 2, • • • }

Lấy 0 c z là nón hợp của véctơ không và các dãy có số hạng cuối cùng khác không là số dương Khi đó, 0 là một nón lồi nhọn Nón này được

gọi là nón hầu khắp (ubiquitous cone) vì bao tuyến tính của 0 là toàn

bộ không gian z Lấy en là các véctơ đơn vị với phần tử khác không duy nhất bằng 1 tại vị trí th ứ n Xét tập hợp

Rõ ràng 0 là đóng Vì vậy, 0 là nón đúng Dễ thấy điều kiện (1.18) thỏa

mãn Theo Hệ quả 1.2, tập GMin (A I 0 ) khác rỗng.

Đ ịn h n g h ĩa 1.6 (xem [41,42]) Giả sử rằng là một tập con của dom F

(iii) F là Q-ỉiên tục dưới (lower 0-continuous) tạ i X nếu với mỗi y € F ( x )

và với mỗi lân cận V của y trong z , tồn tại một lân cận u của X trong

X sao cho

F( x) n (V + 0 ) ^ 0 với mỗi X € u n dom F.

Ta nói rằng F là 0-liên tục dưới trên tập nếu nó là 0-liên tục dưới

tạ i mọi điểm thuộc Í2

(iv) F được gọi là Q-liên tục (0-continuous) tại X nếu nó là 0-liên tục

trên và 0-liên tục dưới tại điểm này

Trong định nghĩa trên, nếu 0 = {0} thì ta nói một cách đơn giản

F là liên tục trên thay cho F là {0}-liên tục trên Dễ thấy rằng nếu F là

0-liên tục trên tại X € rỉ, thì F là 0 -n ử a liên tục trên tại X Điều ngược

lại nói chung không đúng

Đ ịn h n g h ĩa 1.7 Cho F : X =4 z là một ánh xạ đa trị giữa các không gian Banach, 0 c z là một tập chứa gốc, và tập ràng buộc Í2 c X Ta nói rằng cặp (x, z) G g p h F là một nghiệm tối ưu địa phương theo thứ tự

suy rộng (locally generalized optim al solution) của F tương ứng với tập

sinh th ứ tự © trên rỉ, nếu z € GMin (F(Q n u ) I ©), với u là một lân

c ậ n n à o đ ó c ủ a X.

Nếu trong Định nghĩa 1.7 có thể lấy u = X , thì (x, z) được gọi là

nghiệm tối ưu toàn cục (hay nghiệm tối ưu) theo thứ tự suy rộng Tập

tấ t cả các nghiệm tối ưu theo th ứ tự suy rộng của F tương ứng với 0 trên rỉ được kí hiệu là GS (í], F).

Khi F = f : X —ì z là một ánh xạ đơn trị, chúng ta bỏ qua Z

thứ tự suy rộng của / tương ứng với 0 trên (hay nghiệm (f , Q) - t ối

ưu, xem [50, Definition 5.53]).

M ệ n h đ ề 1.9 Giả sử rằng © là m ột nón lồi đúng với 0 \ /(©) khác

rỗng, Í2 c X ỉà một tập compact khác rỗng và F ỉà Q-nửa liên tục trên trên với F( x ) + Q đóng và ©-đầy đủ với mọi X G Í2 Khi đó, GS (fỉ, F) khác rỗng.

Chứng minh Theo [42, Lemma 3.2], F (ũ) là 0 -đ ầy đủ Áp dụng Định

lý 1.2 cho tập F(£l) ta có điều cần phải chứng minh □

N h ậ n x é t 1.5 Nếu 0 không lồi, thì Mệnh đề 1.9 không đúng Điều này

có nghĩa là tính lồi của 0 là điều kiện thiết yếu của mệnh đề này

Ví dụ sau được thiết kế cho điều ta vừa khẳng định trong Nhận xét 1.5

V í d ụ 1.7 Lấy X = Z = ~K2^ ũ = { x = {xi, x 2) £ к 2 I x 2 = 1^1, — 1 <

< 0}, F{x) = {ж} với mọi ĩ G Í Ì v à

0 = ị z = (zi, z 2) G К 2 I z 2 > Zi} u { z = (zi, z2) G К 2 I z 2 > - Z ị }

Dễ dàng kiểm tra được tấ t cả các giả thiết trong Mệnh đề 1.9 đều thỏa

mãn ngoại trừ điều kiện 0 là một tập lồi Ta sẽ chỉ ra GS (rỉ, F ) = 0, tức là GMin (A I 0 ) = 0 với Ả := F (fỉ) Thực vậy, ta có

M ệ n h đ ề 1.10 Giả sử rằng о с z là một tập compact, F là nửa liên tục

trên trên tập rỉ và 0 С z là một tập chứa gốc Nếu 0 := c lc o n v co n eô thỏa mãn điều kiện (1.18), thì GS (í], F) khác rỗng.

Chứng minh Từ F nửa liên tục trên trên íỉ và Г2 là một tập compact,

theo [17, Theorem 6.3], ta có F (ũ) là một tập compact Theo Hệ quả

1.3 T ính chất tô p ô củ a tậ p nghiệm

1.3.1 T ín h đ ó n g

Giả sử rằng X , z là hai không gian Banach Cho / : X —»• z là một ánh xạ đơn trị, о là một tập con khác rỗng trong X , và 0 с z là một tập chứa 0z- Xét bài toán tối ưu véctơ

Chứng minh Giả sử phản chứng, tồn tại một dãy nghiệm tối ưu theo

th ứ tự suy rộng {x n} của / trên rỉ hội tụ đến X, nhưng X ị GS (rỉ, / )

Vì vậy tồn tại ỚI € 0 sao cho

f ( x no) — 01 e V,

hay là

f ( x no) - 01 € int ( / ( n ) + 0 ) (1.21)

Ta chỉ ra rằng f ( x no) ^ GMin ( /( f ỉ) I 0 ) Thực vậy, lấy {zỵ} là một dãy

tù y ý với \\zk\\ —> 0 khi k —>• 00 Từ (1.21) và \\zk\\ —>• 0 khi Ả: —> 00 ta suy ra

với k0 đủ lớn Từ điều này và ỚI + ớ2 € © ta có

f { n ) n l f { x no) - © - zko] í 0,

với k0 đủ lớn Vì vậy, f ( x no) ị G M in (/(í2 ) | 0 ) Điều này có nghĩa là

Xn0 ị GS (rỉ, / ) , mâu thuẫn với cách lập dãy {xn} Định lý được chứng

H ệ q u ả 1.3 Giả sử 0 là một nón ỉồi với phần trong khác rỗng Nếu

o đóng, f ỉà Q-ỉiên tục trên thì tập nghiệm yếu của bài toán i y o p ) đóng.

N h ậ n x é t 1.6 (i) Một tập 0 chứa gốc và thỏa mãn điều kiện (1.20) không nhất thiết phải là một nón Chẳng hạn, lấy z = M2 và tập

Dễ thấy rằng 0 là một tập chứa gốc và thỏa mãn điều kiện (1.20) nhưng không là một nón

(ii) Điều kiện (1.20) trong Định lý 1.4 là thiết yếu, có nghĩa là nếu ta

bỏ đi giả thiết này thì kết luận của Định lý 1.4 sẽ không còn giá trị Ví

dụ sau đây chứng tỏ điều này

(1.22)

0 — {ớ — (ỚI, 62 ) € M2 I 9\ £ Q, 62 £ Q, 9ị > 0, 62 > 0}

có thể chứng minh được GS (fỉ, / ) đóng với b ất kì tập sinh th ứ tự 0 với

0z € 0 Các lập luận để chứng minh điều này tương tự như chứng minh

của Định lý 1.4

Đ ịn h lý 1.5 Giả sử 0 là một tập con của z với 0z € 0 Nếu là một tập đóng và f liên tục trên Ả, thì GS (П, / ) đóng.

1.3.2 T ín h liê n th ô n g

Cho A là một tập con khác rỗng trong không gian Banach z ,

В С A Kí hiệu AT(0z) là tập tấ t cả các lân cận của điểm 0 z ■ Trong mục này, chúng ta giả sử rằng 0 là một nón lồi

Đ ịn h n g h ĩa 1.8 (xem [41, Definition 4.1, p 54]) Ta nói rằng tính chất

trội (the dom ination property), kí hiệu là (D P ), đúng cho cặp (A, B ) c

z X z , nếu

Đ ịn h n g h ĩa 1.9 (xem [11]) Ta nói rằng tính chất bao hàm (the con­ tainm ent property), kí hiệu là (CP), đúng cho ( A , B ) c z X z , nếu với mỗi w € J\í(0z), tồn tại V € A í(0z) sao cho

M ệ n h đ ề 1.11 Cho A là m ột tập con khác rỗng trong không gian

Banach z , 0 là một nón lồi với 0 \ /(0 ) Ỷ 0- Nếu (C P ) đúng cho (A, Min (A I 0 ) ) ; thì

Do ( CP) đúng cho cặp (A, Min (A I 0 )), nên tồn tại V € Л/"(0z) sao cho

với к đủ lớn, mâu thuẫn với (1.28) Chứng minh kết thúc □

H ệ q u ả 1.4 Cho A là m ột tập con đóng khác rỗng trong không gian

Danach z , © là m ột nón lồi thỏa mãn © \ / ( 0 ) Ф 0 Nếu (C P ) đúng cho