12 Chương 2 Phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên 14 2.1 Lý thuyết của trình sai phân tuyến tính tổng quát cấp cao... 38 3.1.3 Phương pháp toán tử tìm ng
Phép tính sai phân
Khái niệm sai phân
Định nghĩa 1.1 Sai phân (tiến) hữu hạn cấp 1 của hàm sốx(n) =xn là hiệu x n+1 −x n := ∆x n
Toán tử sai phân (tiến) được ký hiệu là ∆, có chức năng biến một dãy thành một dãy khác Sai phân hữu hạn cấp k của hàm số x(n) = x_n chính là sai phân của sai phân cấp k−1 với k ≥ 2, và được ký hiệu là ∆^k x_n.
Chẳng hạn sai phân cấp 1 của dãy số x(n) =x n là
Một số tính chất của sai phân
Các tính chất của sai phân được liệt kê dưới đây có thể được kiểm chứng trực tiếp, trong khi một số tính chất khác có thể được chứng minh thông qua phương pháp quy nạp.
Tính chất 1.Sai phân các cấp đều có thể được biểu diễn qua giá trị của hàm số Cụ thể, ta có
Tính chất 2 Sai phân với cấp bất kỳ là toán tử tuyến tính Cụ thể, với α, β ∈ R, k = 1,2, ,và hai dãy số{xn},{yn}, ta có
Tính chất 3 Sai phân cấp k của một hàm đa thức bậc m của n là một đa thức bậcm−k nếu k ≤ m, và bằng0nếu k > m.
Tính chất 4.Tổng liên tiếp của sai phân
∆ k x n = ∆ k − 1 x N +1 −∆ k − 1 x i , k = 1,2, Đặc biệt khik = 1, ta cóPN n=i∆x n = x N +1 −x i
Tính chất 5 Giá trị của hàm số có thể được biểu thị thông qua các sai phân của nó Cụ thể, xn+k k
Tính chất 6.Sai phân của tích hai dãy {xn},{yn}
∆(xnyn) = xn+1∆yn +yn∆xn (1.3) Tổng quát hơn, ta có công thức Leibnitz
Sử dụng công thức này, ta thu được công thức sai phân cho thương hai dãy.
Tính chất 7 Cho hai dãy số {xn},{yn}, với yn ̸= 0 với mọi n Sai phân của thương
Tính chất 8.Sai phân của dãy tổng riêng
Toán tử tịnh tiến
Ta định nghĩatoán tử tịnh tiến cấpp ∈ Ntác động lên một dãy số{xn}là
Ta có thể kiểm tra một số tính chất sau củaE:
(i) E p (c1xn+c2yn) =c1xn+p+c2yn+p = c1E p xn +c2E p yn.
(iii) Nếu f(r) =Q m i=1 (r −ri) thì f(E)xn m
Nhắc lại chỉnh hợp
Với k, n là các số tự nhiên, khái niệm số các chỉnh hợp, k-hoán vị của n phần tử được định nghĩa và ký hiệu như sau n (k) := n(n−1) .(n−(k −1)) = n!
Ký hiệu \( k \) có thể khác với ký hiệu quen thuộc \( A_k \) ở bậc học phổ thông, nhưng nó mang lại nhiều lợi ích Dưới đây là một số tính chất và quy ước liên quan đến ký hiệu này.
(iv) Từ n ( − k) (n+ k) (k) = n ( − k+k) = 1, ta suy ra n ( − k) = 1
(v) ∆n (k) = kn (k − 1) với mọi số nguyên k Từ công thức này, ta có thể kiểm chứng rằng
∆ l n (k) = k(k −1) .(k−(l −1))n (k − l) Công thức này tương tự như công thức đạo hàm của hàm lũy thừa.
Phương trình sai phân
Định nghĩa
Mộtphương trình sai phânlà một hệ thức liên hệ giữa các sai phân của một dãy số chưa biết{xn}
Tuy nhiên, do công thức (1.1) nên Phương trình (1.4) luôn có thể được viết lại dưới dạng
F(xn+k,ã ã ã , xn+1, xn, n) = 0, (1.5) hay dạng đã giải ra đối với số hạng có chỉ số cao nhất xn+k = H(xn+k − 1,ã ã ã , xn+1, xn, n).
Cấp của phương trình là hiệu số của chỉ số cao nhất và thấp nhất của dãy số Chẳng hạn, phương trình (1.5) có cấpk.
Phương trình (1.5) được xem là tuyến tính nếu F là một biểu thức tuyến tính đối với các số hạng xj; ngược lại, F được gọi là phương trình phi tuyến Nghiệm của phương trình (1.5) là một hàm số ϕ(n) mà khi thay vào (1.5), ta nhận được một đồng nhất thức.
Nghiệm tổng quỏt của (1.5) là một hàm ϕ(n, c1,ã ã ã , ck) phụ thuộc vào k hằng số tự do sao cho nó thỏa mãn phương trình (1.5) với mọi bộ hằng số c 1 ,ã ã ã , c k
Nghiệm riêng của (1.5) là một nghiệm ϕ(n) và đồng thời thỏa mãn điều kiện ϕ(0) = x 0 0 , ϕ(1) = x 0 1 ,ã ã ã , ϕ(k−1) = x 0 k − 1 , (1.6) vớix 0 0 ,ã ã ã , x 0 k − 1 cho trước.
Các hệ thức (1.6) được gọi là điều kiện ban đầu Giải phương trình sai phân là tìm tất cả các nghiệm của phương trình, và trong trường hợp không có điều kiện ban đầu, ta tìm công thức nghiệm tổng quát Trong luận văn này, giải phương trình sai phân được hiểu rộng hơn, bao gồm các thao tác cần thiết để giải bài toán liên quan đến phương trình sai phân và các bước để tìm hiểu về nghiệm của nó Bài toán giải phương trình (1.5) thỏa mãn điều kiện (1.6) được gọi là Bài toán giá trị ban đầu.
Ví dụ
(i) Phương trình xn+2 −3nxn +xn − 1 = e n là một phương trình tuyến tính cấp 3.
5 = n 2 + 1 là một phương trình phi tuyến cấp 1.
(iii) Hàm ϕ(n) = 2 n /2, ψ(n) = c2 n lần lượt là một nghiệm riêng và nghiệm tổng quát của phương trình xn+1 −2xn = 0.
Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm
Kết quả về tính tồn tại nghiệm của phương trình sai phân đã được chứng minh, như được nêu trong tài liệu [1] Định lý 1.2 khẳng định rằng nếu hàm F trong phương trình (1.5) được xác định cho mọi giá trị của đối số, thì với các giá trị ban đầu cho trước \(x_0, x_1, \ldots, x_{k-1}\), phương trình sẽ có nghiệm.
(1.5)luôn có duy nhất nghiệm.
Toán tử nguyên hàm và quan hệ với phép tính tổng
Toán tử nguyên hàm
Trong mục này, ta sẽ nghiên cứu toán tử giả nghịch đảo của toán tử sai phân và tìm hiểu ứng dụng của nó trong việc tính tổng.
Toán tử ∆ − 1, được gọi là nguyên hàm, là toán tử nghịch đảo của ∆ Nguyên hàm của dãy {xn} là một hàm mà khi sai phân của nó sẽ cho ra hàm xn.
Ta có thể thấy ngay vài tính chất đơn giản ban đầu của nguyên hàm:
(i) ∆ − 1 0 =c vớiclà hằng số bất kỳ;
(iii) Nguyên hàm là một toán tử tuyến tính.
Bây giờ, ta giả sử yn = ∆ − 1 xn.
Từ định nghĩa, ta có ngay
Cộng các đẳng thức trên cho các trường hợp1,2, , n−1, ta được yn −y1 n − 1
Doy1 là bất kỳ nên ta có thể ký hiệu nó bởi một hằng sốc Thayyn bởi∆ − 1 xn, ta có công thức
Bằng cách tương tự, ta định nghĩa nguyên hàm cấpk là nghịch đảo phải của sai phân cấpk
Ta hãy xét một vài trường hợp cụ thể Sử dụng công thức (1.7), ta có
X i=1 xi +c1n+ c2. Tương tự như vậy
X h=1 xh+c1n 2 +c2n+c3 và công thức tổng quát là
2 sin(a/2) Bảng 1.1: Bảng nguyên hàm một số hàm cơ bản
Tính tổng của chuỗi
Từ công thức (1.7), việc tìm tổng hữu hạn của một chuỗi tương đương với việc xác định nguyên hàm của số hạng tổng quát của chuỗi Chúng ta sẽ mở rộng một số tính chất của nguyên hàm đã được liệt kê ở mục trước để xây dựng Bảng nguyên hàm cho một số hàm cơ bản.
Ta sẽ kiểm tra một số công thức trong Bảng 1.1 với lưu ý rằng hằng số c không được thể hiện trong đó.
Ví dụ 1.1 Công thức (1.7) cho ta
Ví dụ 1.2 Xét trường hợp xn = a n Từ định nghĩa,
Tác động nguyên hàm vào hai vế và chia cả hai vế choa−1cho ta
Phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên 14
Lý thuyết của trình sai phân tuyến tính tổng quát cấp cao
cao Đối tượng chính của chương này là lớp phương trình tuyến tính cấp cao dạng
L(n)x n := x n+k +p 1 (n)x n+k − 1 +ã ã ã+p k (n)x n = f n , (2.1) trong đópj(n), j = 1, , k, fn là các hàm của n Khi vế phải triệt tiêu, ta có phương trình thuần nhất
L(n)xn := xn+k+ p1(n)xn+k − 1 +ã ã ã+pk(n)xn = 0 (2.2)
Ta luôn giả sửpk(n) ̸= 0để phương trình trên có cấp k.
Trước tiên, chúng ta sẽ thảo luận về các khái niệm và tính chất liên quan đến nghiệm của phương trình thuần nhất, với hầu hết các khẳng định có thể được chứng minh dễ dàng Định lý 2.1 nêu rõ rằng nếu \$x^{(1)}_n\$ và \$x^{(2)}_n\$ là các nghiệm của phương trình (2.2), thì tổ hợp tuyến tính \$c_1 x^{(1)}_n + c_2 x^{(2)}_n\$ cũng là nghiệm của (2.2) với mọi hằng số \$c_1\$ và \$c_2\$.
Xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tuyến tính, theo Định lý 2.2, với các hằng số A0, A1, , Ak-1, phương trình (2.1) có duy nhất nghiệm xn thỏa mãn các điều kiện xn = A0, xn+1 = A1, , xn+k-1 = Ak-1.
Chứng minh cho thấy suy ra trực tiếp bằng cách rútx n+k theo các đại lượng còn lại trong (2.1) Định lý 2.1 chỉ ra rằng tập nghiệm của phương trình thuần nhất có cấu trúc của một không gian vectơ, do đó cần nghiên cứu tập nghiệm dưới dạng không gian vectơ Tập k hàm f1(n), , fk(n) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các hằng số c1, , ck không đồng thời bằng không sao cho c1f1(n) + + ckfk(n) ≡ 0.
Ngược lại, ta nói hệ hàm đó là độc lập tuyến tính. Định nghĩa 2.4(Định thức Casorati) Định thức Casoraticủa họk hàmf 1 (n), , fk(n)được định nghĩa bởi
Mối quan hệ giữa Định thức Casorati và tính độc lập tuyến tính được thể hiện qua Định lý 2.5 Theo đó, các hệ hàm \( f_1(n), \ldots, f_k(n) \) sẽ phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ nếu Định thức Casorati của chúng đồng nhất bằng 0.
Hệ hàm \( f_1(n), \ldots, f_k(n) \) là độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu định thức Casorati của nó khác đồng nhất không.
Sử dụng Định thức Casorati, chúng ta có thể chứng minh rằng hệ hàm \$e^{\lambda_1 n}, \ldots, e^{\lambda_m n}\$ với các số \$\lambda_j\$ (với \$j = 1, \ldots, m\$) là các số thực hoặc phức, khác nhau từng đôi một, là độc lập tuyến tính Qua tính toán trực tiếp, Định thức Casorati của hệ hàm này cho thấy điều đó.
Định thức Casorati của hệ hàm đã cho khác không, dựa vào tính chất của hàm mũ và Định thức Van der Monde, với ký hiệu V(λ1, , λm) là định thức được tạo bởi các đại lượng λ1, , λm Giả thiết các số λ1, , λm khác nhau từng đôi một cũng góp phần vào kết luận này.
Để thiết lập sự tồn tại của tập nghiệm độc lập tuyến tính cho phương trình tuyến tính thuần nhất, Định lý 2.7 khẳng định rằng nếu các hệ số \( p_1(n), \ldots, p_k(n) \) luôn xác định và \( p_k(n) \) không triệt tiêu với mọi \( n \), thì phương trình (2.2) có nghiệm độc lập tuyến tính Theo Định nghĩa 2.8, tập nghiệm cơ bản của phương trình (2.2) bao gồm các nghiệm mà Định thức Casorati của nó khác không với mọi \( n \) Cuối cùng, Định lý 2.9 chỉ ra rằng tập nghiệm cơ bản của phương trình tuyến tính thuần nhất luôn độc lập tuyến tính.
Chứng minh Định lý được suy ra từ định nghĩa của các đối tượng liên quan và Nhận xét 2.6.
Định lý 2.10 khẳng định rằng mỗi tập k nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (2.2), với điều kiện pk(n) ̸= 0 cho mọi n, sẽ tạo thành một tập nghiệm cơ bản.
Kết hợp với Định lý 2.7, ta thấy rằng tập nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất luôn tồn tại, và điều này giải thích lý do tại sao nó được gọi là tập nghiệm cơ bản Theo Định lý 2.11, mọi nghiệm của phương trình thuần nhất (2.2) đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính của tập nghiệm cơ bản, cho thấy rằng tập nghiệm cơ bản chính là một cơ sở của không gian nghiệm.
Chứng minh Giả sửx¯ (j) n , j = 1, , k là một hệ nghiệm cơ bản và xn là một nghiệm bất kỳ Xét hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩncj, j = 1, , k. c1x¯ (1) i + .+ckx¯ (k) i = x1+i, i = 1, , k.
Hệ này có nghiệm duy nhất vì định thức của ma trận hệ số của nó chính là định thức Casorati của hệ nghiệm cơ bản tại 1 Đặt
X n là một nghiệm của phương trình thuần nhất (2.2) và trùng với nghiệm đã cho xn tại k giá trị đầu tiên Nhờ vào tính duy nhất của nghiệm khi biết điều kiện ban đầu, ta có thể kết luận rằng X n ≡ xn.
Kết hợp với cấu trúc tuyến tính của tập nghiệm, ta có thể suy ra rằng tổ hợp tuyến tính của tập nghiệm cơ bản với các hệ số là hằng số bất kỳ sẽ tạo thành nghiệm tổng quát của phương trình.
2.1.2 Phương trình không thuần nhất
Nội dung của mục này đề cập đến cấu trúc nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất Định lý 2.12 khẳng định rằng nếu \$x_n\$ là một nghiệm của phương trình thuần nhất (2.2) và \$X_n\$ là một nghiệm của phương trình không thuần nhất (2.1), thì tổng của chúng \$x_n + X_n\$ cũng là một nghiệm của phương trình không thuần nhất (2.1) Chứng minh định lý này chỉ là một bước kiểm tra đơn giản.
Phương pháp biến thiên hằng số
Định lý 2.12 cho phép tách việc tìm nghiệm của phương trình không thuần nhất thành hai bước Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (2.1), ta kết hợp cấu trúc không gian nghiệm của phương trình thuần nhất và cộng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng (2.2) với một nghiệm riêng Mục này sẽ trình bày phương pháp biến thiên hằng số để xác định một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất từ nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất.
Giả sử x (j) n , j = 1, , k, là một tập nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất (2.2) Khi đó, ta sẽ tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất
Xn = c1(n)x (1) n + .+ ck(n)x (k) n (2.4) mà trong đó, ta cần xác định các hàmcj(n), j = 1, , k Người ta chứng minh được rằng các hàm này thỏa mãn hệ phương trình đại số tuyến tính
Hệ phương trình đại số có dạng:\$$x^{(1)}_{n+1} \Delta c_1(n) + \ldots + x^{(k)}_{n+1} \Delta c_k(n) = 0\$$\$$x^{(1)}_{n+2} \Delta c_1(n) + \ldots + x^{(k)}_{n+2} \Delta c_k(n) = 0\$$ \$$x^{(1)}_{n+k-1} \Delta c_1(n) + \ldots + x^{(k)}_{n+k-1} \Delta c_k(n) = 0\$$\$$x^{(1)}_{n+k} \Delta c_1(n) + \ldots + x^{(k)}_{n+k} \Delta c_k(n) = f_n.\$$Định thức của ma trận hệ số trong hệ phương trình này là Định thức Casorati của hệ nghiệm cơ bản, đảm bảo rằng hệ luôn có nghiệm duy nhất Nghiệm có thể được biểu diễn dưới dạng cụ thể.
C(n + 1) là Định thức Casorati, trong đó fj(n) là hàm đã biết của fn và các nghiệm cơ bản x(j) n được xác định theo Công thức Cramer.
∆cj(n), ta có thể xác định đượccj(n)và vì thế nghiệm riêng được tìm thấy.
Trong ví dụ 2.2, ta có thể xác định rằng hai nghiệm của phương trình thuần nhất là x(1)n = 2n và x(2)n = 1, tương ứng với phương trình bậc hai \(x_{n+2} - 3x_{n+1} + 2x_n = 4n + 3n^2\) Định thức Casorati của hệ nghiệm này được tính toán để phân tích thêm.
= −2 n+1 khác không với mọi n Do đó, nó là một hệ nghiệm cơ bản Bây giờ, giả sử nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng
Khi đó,∆c1(n),∆c2(n)là nghiệm của hệ
Giải hệ (2.6), ta thu được
∆c2(n) =−4 n −3n 2 Thực hiện các bước giải tương tự như ở Ví dụ 1.3 ta thu được c1(n) = A+ 2 n −(3n 2 + 6n+ 9)
, vớiAlà hằng số tùy ý Sử dụng Bảng Nguyên hàm cơ bản, ta tính được c 2 (n) =B − 1
với B là hằng số tùy ý Thay các biểu thức tìm được vào (2.5), ta thu được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho
Việc xác định các hằng số biến thiên từ sai phân của chúng thường gặp nhiều thách thức Để giải quyết bài toán này, cần phải tìm nguyên hàm, và khả năng giải quyết vấn đề phụ thuộc vào việc vượt qua bước này Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ tiếp cận bài toán từ một góc độ khác.
Một số phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính cấp cao 32
Phương pháp phương trình đặc trưng
Ta sẽ xét trong mục này phương trình sai phân tuyến tính cấp k với hệ số hằng dạng
Phương trình Lxn := xn+k + p1xn+k − 1 + ã ã ã + pkxn = fn (3.1) có các hệ số p0, , pk, ak ̸= 0 là các hằng số và fn là một hàm của n Như đã đề cập ở Mục 2.1, nghiệm tổng quát của phương trình (3.1) được xác định bằng tổng của một nghiệm riêng và nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng Trong mục này, chúng ta sẽ tìm hiểu các phương pháp để xác định các nghiệm này.
Xét phương trình thuần nhất tương ứng với phương trình (3.1)
Sử dụng toán tử tịnh tiến E, ta hoàn toàn có thể biểu diễn phương trình trên dưới dạng
L(E) = E k +p1E k − 1 +ã ã ã+pk − 1E+ pk. Định nghĩa 3.1 Phương trình đặc trưng tương ứng với phương trình (3.2) là phương trình đa thức bậck p(λ) := λ k +p1λ k − 1 +ã ã ã+pk − 1λ+pk = 0 (3.3)
Phương trình đa thức bậc k luôn có k nghiệm trong trường phức C, ký hiệu là λi với i = 1, , k Theo Định lý 3.2, nếu λi là một nghiệm của phương trình đặc trưng (3.3), thì x n = λ n i cũng là một nghiệm của phương trình thuần nhất (3.2).
Chúng ta có thể kiểm tra dãy \{x_n\} = \{\lambda^n_i\} thỏa mãn phương trình thuần nhất (3.2), từ đó khẳng định được chứng minh Định lý 3.3 nêu rằng nếu k nghiệm \lambda_i, i = 1, \ldots, k của (3.3) là phân biệt, thì một hệ nghiệm cơ bản cho phương trình thuần nhất (3.2) là x^{(i)}_n = \lambda^n_i, với i = 1, 2, \ldots, k.
Theo đó, nghiệm tổng quát của(3.2)là xn = c1x (1) n + .+ckx (k) n
= c1λ n 1 + .+ckλ n k trong đóci, i = 1, , k, là các hằng số.
Áp dụng Định lý 3.2, ta có hệ nghiệm x (i) n = λ n i, với i = 1, 2, , k cho phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (3.2) Tiếp theo, chúng ta thiết lập Định thức Casorati cho hệ này và dễ dàng kiểm tra rằng nó có giá trị khác không Theo Định lý 2.5, hệ này là độc lập tuyến tính Cuối cùng, theo Định lý 2.10, hệ nghiệm này chính là một hệ nghiệm cơ bản.
Trong trường hợp nghiệm bội, có một khẳng định quan trọng về dạng nghiệm tổng quát Định lý 3.4 nêu rằng nếu nghiệm của phương trình đặc trưng là \$\lambda_i\$ với bội tương ứng là \$m_i\$ cho \$i = 1, \ldots, l\$, thì tổng các bội này là \$m_1 + \ldots + m_l = k\$.
Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng xn = λ n 1 (c (1) 1 +c (1) 2 n+ .+c (1) m 1 n m 1 − 1 ) +λ n 2 (c (2) 1 +c (2) 2 n+ .+c (2) m 2 n m 2 − 1 )
Để chứng minh khẳng định này, ta cần xem xét một trường hợp đơn giản hơn: phương trình đã cho chỉ có một nghiệm $\lambda_1$ bội $k$ Khi đó, bằng cách sử dụng toán tử tịnh tiến, ta có thể diễn đạt phương trình của nó ở dạng khác.
Có thể kiểm tra được rằng,
Do vậy, phương trình (3.4) được đưa về dạng ∆ k xn = 0.
Nghiệm của phương trình sai phân ∆ k xn = 0 là một đa thức cấp k−1 với các hệ số là các hằng số bất kỳ Điều này có thể được kiểm tra thông qua Tính chất 3 của phép tính sai phân và cấu trúc nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất Từ kết quả này và biểu thức (3.5), ta suy ra rằng nghiệm của phương trình (3.4) có dạng xn = λ n 1 (c1 + c2n + + ckn k − 1).
Quay trở lại bài toán, từ giả thiết, phương trình đã cho có thể được viết lại dưới dạng
(E −λ1) m 1 (E−λl) m l xn = 0 với phương trình đặc trưng tương ứng
Do các nghiệm \$\lambda_j\$ (với \$j = 1, \ldots, l\$) khác nhau từng đôi một, mỗi không gian nghiệm con tương ứng với mỗi \$\lambda_j\$ chỉ giao nhau tại phần tử 0 Vì vậy, không gian nghiệm của phương trình đã cho là tổng trực tiếp của các không gian nghiệm con Áp dụng kết quả từ phần đầu, ta có thể suy ra điều cần chứng minh.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét trường hợp nghiệm đặc trưng phức, bắt đầu với nghiệm phức đơn \$\lambda_0 = a + ib\$ của phương trình (3.3) Do phương trình có hệ số thực, nghiệm phức liên hợp \$\overline{\lambda_0} = a - ib\$ cũng là một nghiệm Chúng ta ký hiệu biểu diễn lượng giác của \$\lambda_0\$ là \$\lambda_0 = r(\cos\theta + i\sin\theta)\$ và \$\overline{\lambda_0} = r(\cos\theta - i\sin\theta)\$, với \$r = \sqrt{a^2 + b^2}\$ và \$\tan\theta = \frac{b}{a}\$ Theo Định lý 3.2 và công thức Euler cho lũy thừa số phức, hai nghiệm cơ bản tương ứng với hai nghiệm \$\lambda_0\$ và \$\overline{\lambda_0}\$ là \$\lambda^n_0 = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)\$ và \$\overline{\lambda^n_0} = r^n(\cos n\theta - i\sin n\theta)\$ Do đó, không gian nghiệm tương ứng với hai nghiệm này là \$c_1 r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) + c_2 r^n(\cos n\theta - i\sin n\theta)\$.
Vậy, thay vì lấy hai nghiệm cơ sở (3.6) và (3.7) vốn có giá trị phức, ta có thể lấy hai nghiệmr n cosnθ vàr n sinnθ.
Khi phương trình đặc trưng có nghiệm phức $\lambda_0$ bội $m$, từ Định lý 3.4 và các phần trình bày trước đó, ta có thể suy ra các nghiệm cơ bản tương ứng là $r^n \cos n\theta$, $n r^n \cos n\theta$, , $n^{m-1} r^n \cos n\theta$, $r^n \sin n\theta$, $n r^n \sin n\theta$, , $n^{m-1} r^n \sin n\theta$.
Ví dụ 3.1 Giải phương trình sai phân xn+3+ xn+2−8xn+1 −12xn = 0.
Phương trình đặc trưng tương ứng λ 3 + λ 2 −8λ−12 = 0 có nghiệm đơn 3 và kép -2 Theo đó, nghiệm tổng quát của phương trình là xn = c13 n +c2(−2) n +c3n(−2) n vớic1, c2, c3 là các hằng số.
Ví dụ 3.2 Ta xét một phương trình sai phân cấp mđặc biệt sau đây.
Thay∆bởiE −I, ta suy ra phương trình đặc trưng của phương trình sai phân đã cho là
Do vậy, phương trình đặc trưng có nghiệm 1 bội mvà điều đó dẫn đến nghiệm tổng quát của nó có dạng xn = c1 + c2n+ .+cmn m − 1
Ví dụ này cho ta một chứng minh ngắn gọn cho một khẳng định được sử dụng trong chứng minh của Định lý 3.4.
Ví dụ 3.3 Giải phương trình sai phân xn+2−2xn+1 + 2xn = 0.
Phương trình đặc trưng λ 2 −2λ+ 2 = 0 có hai nghiệm phức liên hợp 1 + i và 1− i Ta chuyển số phức trên về dạng lượng giác
4) và suy ra nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là c12 n/2 cos(nπ
Ví dụ 3.4 Giải phương trình sai phân xn+4+ xn = 0.
−1 Nhắc lại phương pháp khai căn số phức như sau Trước tiên, ta đưa số phức cần khai căn về dạng lượng giác
Nếu đặt λ = r(cosθ + isinθ) thì từ công thức lũy thừa số phức dạng lượng giác, ta suy ra 4 căn thức của−1là λ1 = cosπ
Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng các thông tin từ λ1 và λ2, với điều kiện là λ¯4 = λ1 và λ¯3 = λ2 Do đó, ta có thể viết nghiệm dưới dạng x_n = c_1 \cos(n\pi).
4 ). vớicj là các hằng số.
3.1.2 Phương pháp đồng nhất hệ số cho phương trình không thuần nhất
Nhắc lại rằng phương trình ta xét trong mục này là
Chúng ta sẽ trình bày cách tìm nghiệm riêng của phương trình khi vế phải là một trong các hàm như \$a n\$, \$e^{bn}\$, \$\sin(cn)\$, \$\cos(cn)\$, hoặc \$n^l\$ (3.8), trong đó \$a\$, \$b\$, \$c\$ là các hằng số thực và \$l\$ là một số tự nhiên Ngoài ra, chúng ta cũng sẽ xem xét trường hợp vế phải là tích của các nhân tử trong (3.8), chẳng hạn như \$a n \sin(cn)\$, \$n^l e^{bn}\$, hoặc \$a n n^l \cos(cn)\$ (3.9) Để thực hiện điều này, ta cần đến định nghĩa sau: Định nghĩa 3.5 Học của hàm \$f_n\$ là một tập độc lập tuyến tính sinh ra tất cả các tịnh tiến \$E_m f_n\$, với \$m = 0, 1, 2, \ldots\$ của \$f_n\$ Họ được gọi là hữu hạn nếu chỉ bao gồm một số hữu hạn các phần tử.
Ví dụ 3.5 Ta sẽ xét họ của một số hàm quen thuộc. i) Xétfn = a n Khi đó các tịnh tiến là
Rõ ràng, hàm \( a_n \) đủ để biểu diễn tất cả các hàm dạng trên, do đó, họ của \( a_n \) chính là bản thân nó, được ký hiệu là \([a_n]\) Xét hàm \( f_n = n l \), khi đó, các tịnh tiến sẽ bao gồm.
E m f n = (n+m) l , m= 0,1, Theo công thức khai triển nhị thức Newton,
Các tịnh tiến có thể được biểu thị dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các hàm dạng 1, n, , n l, với họ của n l là [1, n, , n l] Xét hàm f n = cos(cn), các tịnh tiến trong trường hợp này sẽ bao gồm các thành phần liên quan đến hàm cos.
= cos(cm) cos(cn)−sin(cm) sin(cn), m = 0,1,
Như vậy, chúng là tổ hợp tuyến tính của các hàm cos(cn),sin(cn) nên họ củacos(cn)là[cos(cn),sin(cn)].
Nếu \( f_n \) là một tích, thì họ của nó bao gồm các tích của những thành phần khác nhau từ họ của các nhân tử Ví dụ, nếu \( f_n = a_n n l \), thì họ của nó là \([a_n, a_n n, \ldots, a_n n l]\) Định nghĩa 3.6 nêu rằng, giả sử \( g(E) \) là một hàm đa thức của toán tử tịnh tiến và \( f_n \) là hàm của \( n \) có thể biểu thị tuyến tính qua các số hạng dạng \( n l a_n \) Hàm \( g(E) \) được gọi là một vô hiệu tử nếu \( g(E) f_n = 0 \).
Nói cách khác,fn là nghiệm của phương trình sai phân (3.10).
Phương pháp biến đổi z
Cho dãy số {u n } ∞ n=0 Biến đổiz của nó được ký hiệu và định nghĩa bởi
Z{un} = U(z) X∞ n=0 unz − n , (3.19) trong đó ta hiểuU(z) là một hàm giá trị phức của biến phứcz.
Sử dụng tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi lũy thừa, ta nhận thấy chuỗi này luôn hội tụ trong một lân cận của ∞, đặc biệt khi |z| đủ lớn Chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối trong miền hội tụ của nó, cho phép thao tác tổng của chuỗi thông qua từng số hạng Nhờ đó, ta có thể dễ dàng thiết lập nhiều tính chất của phép biến đổi Định lý 3.13 khẳng định rằng, với a và b là các hằng số cùng với hai dãy số {un} ∞ n=0 và {vn} ∞ n=0, có những mối liên hệ quan trọng.
Z{aun+bvn} = aZ{un}+bZ{vn} (3.20)
= aZ{un}+bZ{vn}. Hay diễn đạt bằng lời: biến đổiz có tính chất tuyến tính.
Việc sử dụng biến và giá trị phức làm cho biến đổi z trở nên phức tạp hơn Để thuận tiện cho việc giải phương trình sai phân, chúng ta sẽ xây dựng bảng biến đổi z cho các dãy số cơ bản Hãy cùng xem xét một số ví dụ để minh họa.
Ví dụ 3.14 (Biến đổi z của dãy số bước nhảy đơn vị) Hãy tìm biến đổi z của dãy số bước nhảy đơn vị sau un
Từ định nghĩa, ta có
1 z n (3.22) Đến đây, ta sử dụng một tính chất như là mở rộng của tính hội tụ của chuỗi lũy thừa.
Bổ đề 3.14 Cho hàm biến phứcg(z) Khi đó, chuỗi hàm p(z) X∞ n=0
(g(z)) n (3.23) hội tụ với mọiz sao cho|g(z)| < 1, và hàm giới hạn của nó là p(z) = 1
1−g(z). Áp dụng bổ đề này, ta suy ra
Ví dụ 3.15 Cho a là một hăng số phức, hãy tìm biến đổi z của dãy lũy thừa {a n } ∞ n=0 Từ định nghĩa, ta có ngay
Dựa trên kết quả của Ví dụ 3.15, chúng ta có thể tính được biến đổi z cho hai dãy quan trọng Đầu tiên, cho \( a = e^{\pm i\theta} \) với \( \theta \) là một số thực.
Tương tự như vậy, ta có
Tiếp theo, ta thảo luận nghịch đảo của biến đổi z, mà ta ký hiệu nó làZ − 1
Nghịch đảo biến đổi của một hàm số biến phức \( g(z) \) là một dãy số mà biến đổi \( z \) của dãy số đó bằng chính hàm \( g(z) \) Để hiểu rõ hơn, chúng ta sẽ bắt đầu với một hàm đơn giản sử dụng chuỗi lũy thừa.
Ví dụ 3.16 (Nghịch đảo của biến đổi z) Tìm Z − 1 { z − 1 a } với a là một hằng số phức Đặt U(z) = z − 1 a Ta chỉ có cách sử dụng định nghĩa biến đổi z để tìm
Z − 1 {U(z)} Muốn vậy, ta sẽ biến đổi U(z) để đưa nó về dạng chuỗi lũy thừa âm giống như ở (3.19) Ta có
X∞ n=1 a n − 1 z n với điều kiện |a/z| < 1hay|z| > |a| So sánh với định nghĩa, ta suy ra
Chiến lược đơn giản này có khả năng giúp chúng ta tìm ra nghịch đảo của biến đổi cho nhiều dạng hàm khác nhau Chúng ta sẽ tiếp tục khám phá các ví dụ phức tạp hơn trong phần sau.
Ví dụ 3.17 Cho hàm hữu tỉ
Để biến đổi hàm thành chuỗi với số hạng dạng \$a_n z^n\$, ta thực hiện chia liên tiếp tử thức cho mẫu thức Khi áp dụng thuật toán Euclid cho phép chia đa thức, ta thường dừng lại khi bậc của tử thức nhỏ hơn bậc của mẫu thức Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta tiếp tục quá trình chia vô hạn Kết quả thu được không phải là một đa thức mà là một chuỗi với các số hạng là lũy thừa âm của biến số, từ đó cho ra các số hạng của dãy số cần tìm Chúng ta sẽ minh họa điều này qua các bước thực hành với ví dụ cụ thể.
Từ đây, ta suy ra nghịch đảo của biến đổi z của hàm hữu tỉ đã cho là dãy un = 3n+ 1, n ≥ 0.
Ví dụ 3.18 cho thấy rằng, bên cạnh việc áp dụng thuật toán chia liên tục như trong Ví dụ 3.17, chúng ta có thể phân tách các phân thức phức tạp thành những phân thức đơn giản hơn Điều này giúp chúng ta có thể trực tiếp khai triển chuỗi lũy thừa Cụ thể, hãy xem xét hàm hữu tỉ.
Bước Tử thức Mẫu thức Thương
4 10z−7 z 4 −2z 3 +z 2 10 z 3 ã ã ã ã n (3(n−1) + 1)z+−3(n−2)−1 z n −2z n − 1 +z n − 2 3n+ 1 z n Bảng 3.1: Minh họa thuật toán chia tìm nghịch đảo biến đổiz của phân thức hữu tỉ
Từ đó, ta tìm được dãy số là nghịch đảo của biến đổiz của hàm U(z) đã cho un
Ví dụ 3.19 Cho hàm hữu tỉ
U(z) = 1 z 2 +a 2 , vớialà một số thực Ta biến đổi U(z) như sau
(−1) n a 2n z 2n+2 , với|z| > |a| Do đó, nghịch đảo biến đổiz củaU(z)là dãy số un
0, nếun = 0hoặc nlẻ (−1) n/2+1 a n − 2 , nếu nchẵn.
Ví dụ 3.20 Tương tự như trên, ta biến đối hàm
(−1) (k+1)/2 a k − 1 z k , với|z| > |a| Theo đó, nghịch đảo biến đổi z củaU(z) là u n
3.2.2 Biến đổi z của hàm của dãy số
Giả sử có một dãy số {u_n} với biến đổi Z là U(z) Trong phần này, chúng ta sẽ tính toán biến đổi của dãy số này thông qua các phép toán khác nhau, như phép tịnh tiến được trình bày trong Mục ??, hoặc tích của dãy với một biểu thức nào đó liên quan đến n Các kết quả sẽ được trình bày từ đơn giản đến phức tạp.
Cho dãy{un} ∞ n=0 Ta hãy tính biến đổiZEun Ta có
Vậy ta có công thức
Z{un+1} = zZ{un} −zu0. Bằng cách tương tự, ta cũng tính được
Z{un+2} = z 2 Z{un} −z 2 u0 −zu1 (3.27) Tổng quát, ta có phát biểu sau. Định lý 3.15 Với mỗi số tự nhiênk, và{un}là một dãy số cho trước Khi đó
Chứng minh Từ định nghĩa, ta có
Do đó, ta có điều cần chứng minh.
Áp dụng Định lý 3.15, chúng ta có công thức biến đổi z cho dãy tổng riêng của một dãy số Theo Định lý 3.16, nếu {u_n} là một dãy số, thì biến đổi z của tổng riêng thứ n của dãy số này được xác định như sau:
Chứng minh ĐặtSn = P n j=0 Ta có ngay, un = Sn −Sn − 1 (3.30) Áp dụng công thức (3.28) cho vế phải của (3.30),
! nên ta có điều cần chứng minh.
Biến đổi \( z \) có tác dụng chuyển phép toán tịnh tiến đối với dãy số thành các phép toán đại số Chúng ta sẽ nghiên cứu tác động của biến đổi \( z \) lên tích của dãy \( \{u_n\} \) với biểu thức của \( n \) Đối với dãy hội tụ tuyệt đối, phép toán đạo hàm của chuỗi có thể thực hiện bằng cách đạo hàm từng số hạng trong miền hội tụ tuyệt đối Giả sử \( U(z) \) là biến đổi \( z \) của dãy \( \{u_n\} \) với \( n = 0 \) đến \( \infty \), ta có \( \frac{dU(z)}{dz} = \frac{d}{dz} \).
Thực chất, ta vừa chứng minh tính chất được đúc kết sau đây. Định lý 3.17 Giả sửU(z)là biến đổiz của dãy số {nun} Khi đó,
Sử dụng công thức (3.31), đặtvn = nun, ta thu được
Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét biến đổi z của tổng hai dãy số Nhờ vào tính tuyến tính của định nghĩa và tính tổng của hai chuỗi hội tụ, chúng ta có thể rút ra kết luận ngay lập tức.
Z{un+vn} = Z{un}+ Z{vn} (3.33) Tương tự, vớiα là một hằng số, ta cũng có
Biểu thức (3.33) và (3.34) thể hiện rằng đây là phép biến đổi tuyến tính Cuối cùng, chúng ta xem xét biến đổi z của tích chập Đối với hai dãy số {un} ∞ n=0 và {vn} ∞ n=0, tích chập của chúng được định nghĩa là dãy số un ⋆ vn n.
Khi đó, ta có thể chứng minh được
Ta kết thúc tiểu mục này bằng hai bảng tổng hợp các tính chất thu được.
Dãy Biến đổiz của dãy
8 {nun} −zdU dz Bảng 3.2: Bảng công thức biến đổiz của một số dãy tổng quát
3.2.3 Áp dụng biến đổi z giải bài toán giá trị ban đầu của phương trình sai phân tuyến tính Để sử dụng biến đổiz cho giải phương trình sai phân tuyến tính có ẩn hàm {un} Ta thực hiện ba bước sau:
Bước 1: Sử dụng biến đổi z đưa phương trình sai phân về phương trình đại số theo biến đổi U(z) = Z{un}.
Bước 2: Giải phương trình đại số đối với U(z).
Bước 3: Sử dụng nghịch đảo biến đổi z để đưa hàmU(z) tìm được về dãy số{un}cần tìm.
Dãy Biến đổiz của dãy
1Bảng 3.3: Bảng biến đổi z của một số dãy cụ thể Để minh họa, ta xét một số ví dụ sau đây.
Tác động biến đổi z vào hai vế, ta được
Z{un+2 −un+1−6un} = Z{un+2} − Z{un+1} −6Z{un}
Ta thayu0 = 0và u1 = 3vào phương trình trên thì thu được
U(z) = 3z z 2 −z −6 = 9/5 z−3 + 6/5 z+ 2. Cuối cùng, ta sử dụng nghịch đảo biến đổi z để thu được nghiệm của bài toán đã cho u n = Z − 1 (U(z))
Chú ý rằng phương trình thỏa mãn với n ≥ 2 nhưng trên thực tế nó cũng thỏa mãn điều kiện ban đầu nên nó đúng là nghiệm cần tìm.
Thực hiện tương tự các phép biến đổi như ở Ví dụ 3.21, ta thu được
Sử dụng Bảng 3.3, ta biết được
Vì thế, ta thu được
(z 2 + 1)(z 2 −z −6). Để có thể tính nghịch đảo biến đổiz, ta cần phân tíchU(z)thành tổng các phân thức đơn giản
Sử dụng Bảng 3.3, ta thu được dãyu n cần tìm un = 31
Luận văn này tóm tắt các khái niệm cơ bản về phương trình sai phân và trình bày lý thuyết về phương trình sai phân tuyến tính tổng quát cấp cao Nó đề cập đến các dạng đặc biệt của phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên, có thể giải được bằng phương pháp biến thiên hằng số và phương pháp hàm sinh Đối với trường hợp có hệ số hằng, phương trình có thể được giải bằng phương pháp đặc trưng, kết hợp với phương pháp đồng nhất hệ số, phương pháp toán tử, và phương pháp biến đổi z Ngoài lý thuyết, luận văn cũng cung cấp nhiều ví dụ minh họa.