Luận văn thạc sĩ toán học quỹ đạo gradient của các hàm xác định bởi cấu trúc o tối thiểu

132.4 Quỹ đạo gradient của các hàm xác định bởi cấu trúc o-tối thiểu... Bất đẳng thức Lojasiewicz - Kurdyka cổ điển tìmđược phát biểu tương tự cho lớp hàm này.Nói một cách vắn tắt, bất đ

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại Viện Toán học Việt Nam Tôi xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS TSKH Hà Huy Vui, thầy đãtrực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tôi trong suốt thời gian học tậpnghiên cứu vừa qua

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm, Viện Toán học Việt Namcùng các quý thầy giáo, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học ToánK19, các bạn học viên đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tôitrong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thânluôn khuyến khích động viên tôi trong suốt quá trình học cao học và viếtLuận văn này

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng Luận văn khó tránh khỏi nhữngthiếu sót và hạn chế Tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của quýthầy cô và bạn đọc để Luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Tác giảTrần Thị Thùy Dương

Mục lục

Lời cảm ơn iMục lục ii

1.1 Định nghĩa 31.2 Định lý đơn điệu 6

2.1 Quỹ đạo gradient 102.2 Bất đẳng thức Lojasiewicz cổ điển 112.3 Bất đẳng thức Lojasiewicz - Kurdyka 132.4 Quỹ đạo gradient của các hàm xác định bởi cấu trúc o-tối

thiểu 17

Với lớp hàm này, nhiều kết quả quan trọng của các đa thức hay hàmgiải tích được mở rộng Bất đẳng thức Lojasiewicz - Kurdyka cổ điển tìmđược phát biểu tương tự cho lớp hàm này.

Nói một cách vắn tắt, bất đẳng thức này nói rằng: giá trị của gradientcủa một hàm xác định với cấu trúc o-tối thiểu kiểm soát một cách chặtchẽ giá trị của hàm tại lân cận một điểm kỳ dị

Từ đây, một định lý của Kurdyka ( Định lý 2.4, chương 2 ) khẳng địnhrằng: nếu quỹ đạo của hệ gradient của một hàm xác định với cấu trúc o-tốithiểu mà bị chặn, thì độ dài của quỹ đạo phải là hữu hạn

Luận văn sau khi giới thiệu về khái niệm cấu trúc o-tối thiểu, sẽ trìnhbày với đầy đủ chi tiết các kết quả sau:

• Bổ đề chọn đường cong,

• Bất đẳng thức Lojasiewicz - Kurdyka,

• Định lý về độ dài hữu hạn của quỹ đạo bị chặn

Luận văn trình bày lại các kết quả chính trong bài báo [1] của Kurdyka.Luận văn gồm 2 chương:

• Chương 1 giới thiệu định nghĩa và các tính chất cơ bản của một cấutrúc o-tối thiểu trên trường số thực,

• Chương 2 trình bày (với đầy đủ chứng minh chi tiết) về bất đẳng thứcLojasiewicz - Kurdyka và định lý về độ dài hữu hạn của quỹ đạo bịchặn của hàm xác định với cấu trúc o-tối thiểu

Cuối cùng, mặc dù đã cố gắng nhưng do thời gian và kiến thức còn hạn chếnên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhậnđược sự đóng góp của thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

1 Với Mn đóng với hữu hạn các phép toán giao, hợp, lấy phần bù trêncác tập hợp,

2 Nếu A ∈ Mn, B ∈ Mm thì A × B ∈ Mn+m,

3 Cho A ∈ Mn+m và π : Rn+m → Rn là phép chiếu chính tắc lên n tọa

độ đầu tiên, khi đó π(A) ∈ Mn,

4 Cho f, g1, g2, , gk ∈ R[x1, x2, , xn], khi đó

{x ∈ Rn, f (x) = 0, g1(x) > 0, , gk(x) > 0} ∈ Mn,

5 Mỗi tập thuộc M1 là hợp hữu hạn của các khoảng mở và hữu hạn cácđiểm rời rạc

Định nghĩa 1.1.2 Cho M là một cấu trúc o-tối thiểu trên trường số thực

(R, +, ) Ta nói rằng:

• Tập A là M - tập nếu tồn tại n ∈ N sao cho A ∈ Mn,

• Hàm f : A → Rm, ở đó A ⊂ Rn là M - tập nào đó, là M - hàm nếu

đồ thị của nó là M - tập Tức là {(x, f (x)) : x ∈ A ⊂ Rn} ∈ Mn+m.Một ví dụ cơ bản nhất của cấu trúc o-tối thiểu là lớp các tập nửa đạisố

Định nghĩa 1.1.3 (Tập nửa đại số)

1 Ta gọi SAn là lớp nhỏ nhất các tập con của Rn sao cho :

2 Nếu A ∈ SAn thì A được gọi là tập nửa đại số trong Rn

Mệnh đề 1.1.1 Mọi tập nửa đại số của Rn là hợp hữu hạn của các tậpnửa đại số có dạng

Fi ∈ R[x1, x2, , xn] và A là tập nửa đại số của Rn Khi đó F−1(A)

là tập nửa đại số của Rm

• A ⊂ Rm, B ⊂ Rn là các tập nửa đại số, A × B là tập nửa đại số của

Hệ quả 1.1.1 Nếu A là tập nửa đại số của Rm và F : Rm →Rn, là ánh

xạ đa thức, khi đó ảnh trực tiếp F (A) là tập nửa đại số của Rn

Với những tính chất nêu trên, các tập nửa đại số lập thành một cấutrúc o-tối thiểu trên trường (R, +, )

Nhận xét 1.1.1 Các tính chất trên, đặc biệt là các tính chất (3),(4),(5)trong định nghĩa cấu trúc o-tối thiểu cho thấy sự tương đồng giữa cấu trúco-tối thiểu với lớp các tập nửa đại số Điều này cũng sẽ giải thích tại saocác M - hàm, mặc dù có thể không khả vi nhưng lại có những tính chấtđẹp, giống như các hàm giải tích hoặc nửa đại số

Trở lại với cấu trúc o-tối thiểu, ta thấy :

Chú ý 1.1.1 Tổng, nhân, nghịch đảo, hợp thành của các M - hàm cũng

là các M - hàm

Ảnh, tạo ảnh của M - tập qua M - hàm cũng là các M - tập

Bổ đề 1.1.1 ([1]) Cho f : A → R là M - hàm sao cho f (x) ≥ 0, ∀x ∈ A.Cho G : A →Rm là M - hàm và ϕ : G(A) → R xác định bởi

ϕ(y) = infx∈G−1 (y)f (x)

1.2 Định lý đơn điệu

Định lý 1.2.1 (Định lý đơn điệu)([1]) Cho f : (a, b) → R là M - hàm.

Khi đó tồn tại các số thực a = a0 < a1 < a2 < < an = b sao cho f làhàm khả vi liên tục trên từng khoảng (ai, ai+1) Hơn nữa, f0 là M - hàm

và f là hàm đơn điệu ngặt hoặc là hàm hằng trên mỗi khoảng (ai, ai+1).Chứng minh Ta giả sử rằng f ((a, b)) là tập chứa vô hạn các phần tử Đặt

D(f ) là tập tất cả các điểm gián đoạn của f

Trước tiên ta chứng minh rằng D(f ) là tập hữu hạn

Ta thấy D(f ) ∈ M1 Theo tiên đề 5, D(f ) là hợp hữu hạn của các khoảng

mở và các điểm trong R Vì vậy, chỉ cần chứng minh rằng trong bất kìkhoảng mở nào cũng có 1 điểm mà tại đó f liên tục Mặt khác, f là

M - hàm nên f ((a, b)) là tập thuộc M1, do đó nó chứa ít nhất 1 khoảng

mở Ta có thể xây dựng dãy giảm giữa các khoảng[αn, βn] ⊂ (a, b) sao cho :

từ đó tồn tại n0 để xn ∈ [αn, βn], với mọi n ≥ n0 Vì vậy f (x0), f (xn) ∈

f ([αn, βn]) bi chứa trong một khoảng có chiều dài nhỏ hơn 1

n, vì vậylim

k→∞f (xk) = f (x0),

từ đó f liên tục tại x0 Bởi vậy, ta đã chỉ ra rằng tập các điểm thuộc

(a, b) mà f liên tục tại đó trù mật trong (a, b), vì vậy D(f ) không chứamột khoảng mở nào, và do đó D(f ) là tập hữu hạn Vì D(f ) là tập hữuhạn nên ta có thể giả sử f liên tục trên khoảng (a, b) Bây giờ ta chứng

minh f khả vi trên khoảng (a, b) Từ tính chất o-tối thiểu ta có với mỗi

x ∈ (a, b) và c ∈ R tồn tại một  > 0 sao cho các điều sau đây được thựchiện:

Hoặc là

f (t) ≥ f (x) + c(t − a), với mọi t ∈ (x, x + ),

Hoặc là

f (t) ≤ f (x) + c(t − a), với mọi t ∈ (x, x + )

Với mỗi x ∈ [a, b) đặt

1 Với mỗi x ∈ (a, b), các giới hạn ở trên là tồn tại và các giá trị

f−0 (x), f+0 (x) được hoàn toàn xác định ( có thể bằng +∞, −∞),

2 Với mỗi x ∈ (a, b), tồn tại y > x gần x tùy ý sao cho : hoặc là

f−0 (y) ≤ f+0 (x), f+0 (y) ≥ f−0 (x), hoặc làf−0 (y) ≥ f+0 (x), f+0 (y) ≤ f−0 (x)

có thể giả sử rằng chúng liên tục trên (a, b) Từ tính chất 2 ta nhận được

f+0 = f−0 trên (a, b), tức là f ∈ C1(a, b) Ta cũng đã chứng minh rằng f0 là

M - hàm, do đó{f0 = 0}là M - tập vì thế nó là hợp hữu hạn của các điểm

và các khoảng mở Khẳng định về tính đơn điệu được suy ra từ đó

Bổ đề 1.2.1 ([1]) Cho f : U →Rk là M - hàm khả vi, ở đó U là khoảng

mở trong Rn Khi đó ∂f

∂xi, i = 1, , n là các M - hàm, do đóGrad f =

Bổ đề 1.2.2 (Bổ đề chọn đường cong)([1]) Cho A là M - tập trong

Rn và giả sử rằng a ∈ A\{a} Khi đó tồn tại một M - hàm γ : [0, ) → Rn

thuộc lớp C1 trên [0, ) sao cho a = γ(0) và γ((0, )) ⊂ A\{a}

Chứng minh Ta xây dựng toán tử e, toán tử này sẽ đặt tương ứng với mỗi

∅ 6= A ∈ Mn một phần tử e(A) ∈ A như sau:

- Với n = 1 ta đặt e(A) là phần tử nhỏ nhất của A nếu nó tồn tại Trongtrường hợp phần tử nhỏ nhất không tồn tại, ta đặt a := inf A và giả sử

b ∈ R∪ {+∞} sao cho (a, b) ⊆ A

Giả sử e(A) đã được xác định với mọi tập khác rỗng A ∈ Mn Cho

∅ 6= B ∈ Mn+1 và A là ảnh của B qua phép chiếu chính tắc:

Dễ kiểm tra γ : (0, ) → A là M -hàm Theo định lý đơn điệu ở trên, ta

có thể giảm  (nếu cần thiết) để γ thuộc lớp C1 trên (0, ) Tiếp theo tađịnh nghĩa γ(0) = a) Như vậy ta nhận được M - hàm γ ∈ C1([0, ))

Chương 2

QUỸ ĐẠO GRADIENT CỦA CÁC HÀM XÁC ĐỊNH BỞI CẤU

TRÚC O-TỐI THIỂU

2.1 Quỹ đạo gradient

Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm f : U → R thuộc lớp C1, U là một tập con

mở của Rn, I là một khoảng mở trong R, đường cong γ : I → U được gọi

là đường cong tích phân của −grad f nếu :

˙γ(t) = − 5 f (γ(t)), ∀ t ∈ I (2.1)trong đó x = (x1, x2, , xn) ∈ U, 5f (x) =

|γx| =

Z T x

0

|| ˙γ(t)||dt,

trong đó |γx| là độ dài của đường cong γx

Ví dụ 2.1.1 Cho f (x, y) = (x2, y2), với điều kiện ban đầu x(0) = (1; 1).Xét phương trình vi phân :

˙γ(t) = − 5 f (γ(t))

Định nghĩa 2.1.3 Cho f : U → R là một hàm khả vi, t ∈ R được gọi

là giá trị tới hạn của hàm f nếu tồn tại x0 ∈ U sao cho :5f (x0) = 0 và

t = f (x0)

2.2 Bất đẳng thức Lojasiewicz cổ điển

Giả sử A là một tập hợp trong Rn, n ≥ 1 Ta kí hiệu:

• C(A) là tập tất cả các hàm liên tục trên A,

• C(A)k là tập tất cả các hàm số có đạo hàm liên tục đến cấp k trên A

Định nghĩa 2.2.2 Hàm f : Rn → R∪ {+∞} được gọi là hàm giải tíchthực trên Rn nếu nó là hàm giải tích thực tại mọi điểm x ∈ Rn

Định lý 2.2.1 (Bất đẳng thức Lojasiewicz cổ điển) Cho U là mộttập con mở, khác rỗng của Rn, với chuẩn Oclide và f : U →R là một hàm

giải tích thực, a ∈ U là một điểm tới hạn của f tức 5f (a) = 0 Khi đótồn tại θ ∈ (0, 1) và hằng số c > 0 sao cho hàm

|f (x) − f (a)|θ

|| 5 f (x)|| ≤ c

với mọi x thuộc lân cận Ua nào đó của a Trong đó

2.3 Bất đẳng thức Lojasiewicz - Kurdyka

Cho cố định M là một cấu trúc o-tối thiểu trên trường số (R, +, ) Dướiđây là bất đẳng thức Lojasiewicz cho các M - hàm liên tục xác định trênmột tập compact ( xem [1])

Định lý 2.3.1 ([1]) Cho K là một tập compact bị chứa trong Rn và

f, g : K → R là các M - hàm liên tục Nếu f−1(0) ⊂ g−1(0), khi đó tồntại M - hàm σ :R+ →R xác định dương, tăng ngặt, thuộc lớp C1 sao chovới mọi x ∈ K ta có:

|f (x)| ≥ σ(g(x))

Định lý 2.3.2 (Bất đẳng thức Lojasiewicz - Kurdyka)([1]) Cho

f : U →R là M - hàm khả vi, ở đó U là tập con mở, bị chặn của Rn Giả

sử f (x) > 0 với mọi x ∈ U Khi đó tồn tại c > 0, ρ > 0 và M - hàm tăngngặt, xác định dương ψ : R+ → R thuộc lớp C1 sao cho

-Giả sử điều ngược lại, đặt

X

= {x ∈ U : ||grad f (x)|| < (f (x))2}

Rõ ràngP là M - tập Gọif |P là đồ thị của f tương ứng vớiP Theo giảthiết tồn tại một dãy số dương tn → 0 sao cho ϕ(tn) = 0, với mọi n ∈ N.

Lấy xn ∈ P là một dãy sao cho f (xn) = tn Khi đó (xn, tn) ∈ f |P

Vì U là tập con mở và bị chặn của Rn nếu tồn tại b ∈ Rn sao cho

b = lim

n→∞xn,

khi đó (b, 0) ∈ (f |P\{(b, 0)}) Theo bổ đề chọn đường cong, tồn tại M hàm

(vì h0 là hàm đơn điệu tăng) Do đó

Điều này chứng tỏx0 ∈ ∆∩f−1(t) Vì thế tồn tại dãyxn ∈ ∆, limn→∞f (xn) =

0 Vì U là tập bị chặn nên tồn tại U 3 d = limn→∞xn sao cho

f (xn) → λ, grad f (xn) → 0 khi n → ∞.

Rõ ràng với bất kỳ giá trị tới hạn thực sự của f ( tức là λ = f (x) và

grad f (x) = 0, với x ∈ U nào đó) thì cũng là gí trị tới hạn tiệm cận.Giả sử U là tập bị chặn vàf là M - hàm, vớiM là cấu trúc o-tối thiểu trên

(R, +, ),cho λ là một giá trị tới hạn tiệm cận của f Theo định lý 2.3.2 f

không có giá trị tới hạn tiệm cận nào trong khoảng (λ − ρ, λ) ∪ (λ, λ + ρ),với ρ > 0 nào đó.Mặt khác, tập chứa tất cả các giá trị tới hạn tiệm cậncủa f là một M - tập của R, vì vậy nó phải là tập hữu hạn phần tử Tachứng minh được:

Mệnh đề 2.3.1 Nếu U là tập bị chặn và f là M - hàm, khi đó tập tất cảcác giá trị tới hạn tiệm cận của f là hữu hạn phần tử.

Dễ thấy −∞ và +∞ không thể là giá trị tới hạn tiệm cận của một M-hàm xác định trên một tập bị chặn

2.4 Quỹ đạo gradient của các hàm xác định bởi cấu trúc o-tối

thiểu

Định lý 2.4.1 Cho f : U → R là hàm thuộc lớp C1, ở đó U là một tậpcon mở và bị chặn của Rn Giả sử f là M - hàm, với cấu trúc o-tối thiểu

M nào đó

1 Khi đó tồn tại A > 0 sao cho tất cả cac quỹ đạo của −grad f có chiềudài bị chặn bởi A,

2 Hơn nữa, tồn tại σ : R+ → R+ là M - hàm liên tục, tăng ngặt,

có limt→0σ(t) = 0, sao cho nếu γ là một quỹ đạo của −grad f và

nối a, b của γ chứa trong f−1(I) Ta có thể giả sử ||γ0(s)|| = 1 Theo định

(ti, ti+1) gồm hai loại :

• Tồn tại ci > 0 sao cho ϕ(t) ≥ ci trên khoảng (ti, ti+1) (ta viết i ∈ I1

trong trường hợp này),

• Một trong hai giá trị ti, ti+1 là một giá trị tới hạn tiệm cận của f Taviết i ∈ I2 trong trường hợp này Theo định lý 2.3.2, tồn tại ci > 0 vàhàm ψi : (ti, ti+1) → R là hàm tăng ngặt, bị chặn, thuộc lớp C1 saocho

||grad (ψi ◦ f )(x)|| ≥ ci,

với mọi x ∈ f−1(ti, ti+1)

Bây giờ ta lấy một quỹ đạo bất ký γ của −grad f, và đặt

Phần (1) của định lý được chứng minh Bây giờ ta xây dựng hàm σ củaphần (2) Với mỗi i ∈ I2 ta đặt:

σi(r) = 1

cisup{|ψi(p) − ψi(q)| : p, q ∈ (ti, ti+1), r = p − q},

và σi(r) = r

ci, với i ∈ I1 Mở rộng mỗi σi để chúng là các M - hàm liên tục

và tăng ngặt trên R Dễ thấy rằng:

σ = sup σi

thỏa mãn (2) của định lý

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày về các vấn đề sau:

1 Trình bày khái niệm của tập và hàm xác định bởi cấu trúc o-tối thiểu,

2 Trình bày chứng minh bổ đề chọn đường cong,

3 Trình bày chứng minh bất đẳng thức Lojasiewicz - Kurdyka,

4 Trình bày định lý về tính "có độ dài hữu hạn" của đường cong tíchphân của hệ gradient của một hàm xác định bởi cấu trúc o-tối thiểu

Tài liệu tham khảo

[1] KRZYSTOF KURDYKA (1998), On gradients of fuctions definable ino-minimal structures, Annales de l’institut Fourier, tome 48, 769−783

[2] ARIS DANIILIDIS, (2009),Gradient dynamical systems, tame mization and applications,Departament de Matematiques UniversitatAutonoma de Barcelona, E - 08193