Mục tiêu nghiên cứu của luận án là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm hai dạng phương trình sai phân phân thức cấp hai và một dạng phương trình sai phân phân thức cấp bốn. Xây dựng dạng tiệm cận nghiệm chứa hàm logarit tự nhiên của một dạng phương trình sai phân phân thức cấp ba. Phân tích sự ổn định của điểm cân bằng dương của hai dạng hệ phương trình sai phân phân thức.
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Trang 2Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Giải tích, khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội
Người hướng dẫn khoa học:
1 PGS.TS Vũ Văn Khương Đại học Giao thông vận tải
2 TS Lê Đình Định ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội
Phản biện:
Phản biện:
Phản biện:
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp tại vào hồi giờ ngày tháng năm 20
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội
Trang 3Gọi năm 2018 là 0, năm 2019 là 1, năm 2020 là 2, Gọi dân số năm thứ n
là yn, khi đó dân số năm thứ (n+1) là yn+1 = yn+ a%.yn = 1 + a
100yn và tađưa việc dự báo dân số về việc giải phương trình sai phân
Nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình sai phân phi tuyến đã đượcbắt đầu từ lâu nhưng phát triển mạnh nhất là từ cuối thế kỷ XX và hơn mộtthập kỷ đầu của thế kỷ XXI Việc nghiên cứu đó thu hút rất nhiều nhà toánhọc trong và ngoài nước Ở nước ngoài, có thể kể đến các tên tuổi lớn như R
P Agarwal, L Berg, G Ladas, gần đây nhất có thể kể đến các nghiên cứu của
Trang 4Q Din, G Papaschinopoulos, M A Radin, C J Schinas, G Stefanidou và cácnhà toán học khác như K Berenhaut, E Camouzis, S Elaydi, E A Grove, M.
R S Kulenovi´c, O Merino, M Nurkanovi´c, Z Nurkanovi´c, X Li, D Zhu, S.Stevi´c, Ở trong nước, có thể xem các nghiên cứu của Phạm Kỳ Anh, Đặng
Vũ Giang, Đinh Công Hướng, Vũ Văn Khương
Phương trình sai phân phi tuyến cấp lớn hơn một có vai trò rất quan trọngtrong ứng dụng mà ở đó thế hệ thứ (n+1) của hệ phụ thuộc vào n thế hệtrước đó, đặc biệt là các phương trình sai phân phi tuyến dạng phân thức Cácphương trình đó xuất hiện một cách tự nhiên như sự rời rạc hay như nghiệm
số của các phương trình vi phân và vi phân có trễ mô tả các hiện tượng khácnhau trong các lĩnh vực: sinh học, sinh thái học, sinh lý học, vật lý, kỹ thuật
và kinh tế ví dụ như các mô hình sau:
• Mô hình sản sinh tế bào máu do Mackey và Glass đề xuất:
xn+1 = αxn+ β
1 + xpn−k, n = 0, 1, 2, (3)trong đó α ∈ [0; 1), p, β ∈ (0, ∞), k ∈ Z+ và các giá trị ban đầu
x−k, , x0 ∈ [0, ∞)
• Mô hình của một loại cây hàng năm:
xn+1 = λxn
(1 + axn)p+ bλxn, n = 0, 1, 2, (4)trong đó a, b, p ∈ (0, ∞), λ ∈ [1, +∞) và giá trị ban đầu x0 là số thựcdương
• Mô hình mô tả mối quan hệ giữa vật chủ và ký sinh do R M May đềxuất:
trong đó α, β ∈ (0, ∞) và các giá trị ban đầu x0, y0 là các số dương tùy ý
• Mô hình tương tác giữa sâu đục cành và cây nho ở đồng bằng Texas:
Trang 5trong đó α ∈ (1, ∞), β ∈ (0, ∞), γ ∈ (0; 1) và giá trị ban đầu x0, y0 làcác số dương tùy ý.
Trong cuốn chuyên khảo "Dynamics of Second Order Rational DifferenceEquations with Open Problems and Conjectures" năm 2002, M R S Kulenovíc
và G Ladas đã tổng hợp các kết quả nghiên cứu về tính giới nội, tính ổn địnhtoàn cục và tính tuần hoàn của lớp phương trình sai phân phân thức cấp hai
có dạng:
xn+1 = α + βxn + γxn−1
A + Bxn+ Cxn−1, n = 0, 1, 2, (7)trong đó các tham số α, β, γ, A, B, C và các giá trị ban đầu x−1, x0 là các sốthực không âm sao cho
A + Bxn + Cxn−1 > 0 với mọi n ≥ 0
Đến năm 2008, E Camouzis và G Ladas trong cuốn chuyên khảo namics of Third Order Rational Difference Equations with Open Problems andConjectures" đã trình bày các kết quả về tính giới nội, tính tuần hoàn củanghiệm và tính ổn định của điểm cân bằng của lớp phương trình sai phân phânthức cấp ba có dạng:
"Dy-xn+1 = α + βxn+ γxn−1 + δxn−2
A + Bxn+ Cxn−1+ Dxn−2
, n = 0, 1, 2, (8)trong đó các tham số α, β, γ, δ, A, B, C, D và các giá trị ban đầu x−2, x−1, x0 làcác số thực không âm sao cho mẫu số luôn dương
Những năm gần đâu, ngoài các nghiên cứu về các dạng phương trình thuộclớp phương trình sai phân phân thức (7) và (8) còn có rất nhiều các nghiên cứu
về các dạng khác nhau của phương trình sai phân phân thức, có thể kể đến cácnghiên cứu của L Berg, S Stevíc, K Berenhaut, V V Khương, X Li , Tiếp tục các nghiên cứu về phương trình và hệ phương trình sai phân phânthức thời gian vừa qua, trong luận án này chúng tôi đề xuất nghiên cứu cácdạng phương trình và hệ phương trình có tính chất tổng quát hơn, hoặc cácdạng mới góp phần làm phong phú thêm kết quả về mặt lý thuyết định tínhcác dạng phương trình sai phân
Với lý do đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: "Dáng điệu tiệm cận vàtính ổn định của điểm cân bằng một số phương trình và hệ phươngtrình sai phân phân thức" cho luận án này
Trang 6Cụ thể, chúng tôi tập trung nghiên cứu một số vấn đề sau:
1 Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm hai dạng phương trình saiphân phân thức cấp hai và một dạng phương trình sai phân phân thứccấp bốn
2 Xây dựng dạng tiệm cận nghiệm chứa hàm logarit tự nhiên của một dạngphương trình sai phân phân thức cấp ba
3 Phân tích sự ổn định của điểm cân bằng dương của hai dạng hệ phươngtrình sai phân phân thức
Cấu trúc của luận án: ngoài các phần Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mở đầu,Kết luận, Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt, Danh mục các hình vẽ, đồ thị,Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án và Tàiliệu tham khảo, luận án được trình bày trong ba chương:
Chương 1 trình bày một số định nghĩa cơ bản và một vài kết quả về nghiệmcủa phương trình và hệ phương trình sai phân phi tuyến sẽ được dùng trongcác chương tiếp theo của luận án
Chương 2 nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm của hai dạng phươngtrình sai phân phân thức cấp hai và một dạng phương trình sai phân phân thứccấp bốn đồng thời xây dựng dạng tiệm cận nghiệm của một dạng phương trìnhsai phân phân thức cấp ba
Chương 3 nghiên cứu sự ổn định của điểm cân bằng dương của hai dạng hệphương trình sai phân phân thức
Phần cuối của mục 2.3 trong Chương 2 và Chương 3 chúng tôi đưa ra mộtvài ví dụ số minh họa cho các kết quả lý thuyết và dùng phần mền MATLAB
để vẽ đồ thị
Các kết quả của luận án được công bố trong các công trình [1-6] của tác giả
và thầy hướng dẫn
Trang 7Nghiệm của phương trình (1.1) là một dãy {xn}∞n=−k thỏa mãn phương trình(1.1) với mọi n ≥ 0 Nếu ta cho một tập (k + 1) các giá trị ban đầu:
x−k, x−k+1, , x0 ∈ Jthì nghiệm của phương trình (1.1) là tồn tại và duy nhất xác định bởi (k + 1)giá trị ban đầu
Một nghiệm của phương trình (1.1) là hằng số với mọi n ≥ −k được gọi lànghiệm cân bằng Nếu xn = ¯x với mọi n ≥ −k là một nghiệm cân bằng củaphương trình (1.1) thì ¯x được gọi là điểm cân bằng của phương trình (1.1)
Trang 8Định nghĩa 1.1 i) Điểm cân bằng ¯x của phương trình (1.1) được gọi là ổnđịnh địa phương nếu với mỗi > 0, tồn tại δ > 0 sao cho nếu {xn}∞n=−k làmột nghiệm của phương trình (1.1) với
|x−k − ¯x| + |x−k+1 − ¯x| + + |x0 − ¯x| < δ,thì
|xn − ¯x| < , với mọi n ≥ −k
ii) Điểm cân bằng ¯x của phương trình (1.1) được gọi là hút địa phương nếutồn tại γ > 0 sao cho {xn}∞n=−k là một nghiệm của phương trình (1.1) thỏamãn điều kiện
Trang 9Khi đó phương trình:
yn+1 = q0yn+ q1yn−1 + + qkyn−k, n = 0, 1, 2, , (1.2)được gọi là phương trình tuyến tính hóa của phương trình (1.1) xung quanhđiểm cân bằng ¯x và phương trình
λk+1 − q0λk − q1λk−1− − qk−1λ − qk = 0, (1.3)được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.2) xung quanh điểmcân bằng ¯x
Định lý 1.1 (Định lý ổn định tuyến tính hóa) Giả sử hàm số F khả vi liêntục xác định trong một lân cận mở nào đó của ¯x Khi đó các phát biểu sau làđúng:
i) Nếu tất cả các nghiệm của phương trình (1.3) có môđun bé hơn 1 thì điểmcân bằng ¯x của phương trình (1.1) là ổn định tiệm cận địa phương
ii) Nếu có ít nhất một nghiệm của phương trình (1.3) có môđun lớn hơn 1 thìđiểm cân bằng ¯x của phương trình (1.1) là không ổn định
Định lý sau đây sẽ cho ta điều kiện đủ để tất cả các nghiệm của phươngtrình đặc trưng với bậc tùy ý nằm trong hình tròn đơn vị
Định lý 1.2 Giả sử q0, q1, q2, , qk là các số thực sao cho:
|q0| + |q1| + + |qk| < 1,khi đó mọi nghiệm của phương trình (1.3) nằm trong hình tròn đơn vị
Định lý 1.3 Cho I là một khoảng của tập số thực, k là số nguyên dương vàhàm
F : Ik+1 → I
Trang 10là hàm tăng theo tất cả các biến Giả sử {xn}∞n=−k, {yn}∞n=−k và {zn}∞n=−k là cácdãy số thực sao cho
(1) Với mỗi số nguyên i sao cho 1 ≤ i ≤ k + 1, hàm g(z1, z2, , zk+1) là hàmđơn điệu theo biến zi với các biến z1, z2, zi−1, zi+1, , zk+1 cố định;
(2) Nếu m, M là nghiệm của hệ
m = g(m1, m2, , mk+1) và M = g(M1, M2, , Mk+1)thì m = M , trong đó với mỗi i = 1, 2, , k + 1 ta đặt
mi =
m nếu g là hàm không giảm theo biến zi
M nếu g là hàm không tăng theo biến zivà
Mi =
M nếu g là hàm không giảm theo biến zi
m nếu g là hàm không tăng theo biến zi.Khi đó, tồn tại duy nhất một điểm cân bằng x của phương trình (1.4) và mọinghiệm của phương trình (1.4) hội tụ đến x khi n → ∞
Trang 111.2 Hệ phương trình sai phân
Trong phần này ta sẽ trình bày khái niệm về sự ổn định của hệ phương trìnhsai phân phi tuyến cấp 1 tổng quát có dạng:
Yn+1 = G(n, Yn), n = 0, 1, (1.5)trong đó Yn = (yn1, , ynk)T ∈ Rk
và G : Z+ × Rk
−→ Rk, G(n, Yn) =(g1(n, yn1, , ynk), , gk(n, yn1, , ynk))T, gi(n, t1, , tk), i = 1, k là hàm liêntục theo ti, i = 1, k
Phương trình (1.5) được gọi là ôtônôm nếu biến n không xuất hiện ở vế phảicủa phương trình Một điểm ¯Y ∈ Rk gọi là điểm cân bằng của phương trình(1.5) nếu ¯Y = G(n, ¯Y ) với mọi n ≥ 0
Định nghĩa 1.2 i) Điểm cân bằng ¯Y của phương trình (1.5) được gọi là ổnđịnh nếu với mỗi > 0 và n0 ≥ 0 cho trước, tồn tại δ = δ(, n0) > 0 sao chonếu {Yn}∞n=n
0 là một nghiệm của phương trình (1.5) thỏa mãn kYn0− ¯Y k < δthì suy ra kYn− ¯Y k < với mọi n ≥ n0 Nếu δ không phụ thuộc vào n0 thì
¯
Y được gọi là ổn định đều
ii) Điểm cân bằng ¯Y của phương trình (1.5) được gọi là hút nếu tồn tại
K = K(n0) > 0 sao cho nếu {Yn}∞n=n
0 là một nghiệm của phương trình(1.5) thỏa mãn kYn0− ¯Y k < K thì ta có limn→∞Yn = ¯Y Trong trường hợp
K không phụ thuộc vào n0 thì ¯Y được gọi là hút đều
iii) Điểm cân bằng ¯Y của phương trình (1.5) được gọi ổn định tiệm cận nếu
nó ổn định và hút, ¯Y được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu nó ổn định đều
Trang 121.2.2 Ổn định tuyến tính hóa của hệ hai phương trình
sai phân
a) Xét hệ phương trình sai phân sau
xn+1 = f (xn, yn), yn+1 = g(xn, yn), n = 0, 1, (1.6)trong đó f : I × J → I và g : I × J → J là các hàm khả vi liên tục với I, J làcác khoảng của tập số thực
Khi đó, với mọi giá trị ban đầu (x0, y0) ∈ I × J , hệ phương trình (1.6) códuy nhất nghiệm {xn, yn}∞n=0 Cùng với hệ phương trình (1.6), ta xét ánh xạvéctơ tương ứng F : I × J → I × J xác định bởi
F (xn, yn) = (f, g)
Điểm cân bằng của hệ phương trình (1.6) là điểm (x, y) thỏa mãn hệ
x = f (x, y), y = g(x, y)
Điểm (x, y) cũng được gọi là điểm bất động của ánh xạ véctơ F
Định nghĩa 1.3 Giả sử (x, y) là điểm bất động của ánh xạ véctơ F = (f, g)trong đó f và g là các hàm khả vi liên tục tại điểm (x, y) Hệ tuyến tính hóacủa hệ phương trình (1.6) xung quanh điểm cân bằng (x, y) là
Trang 13trong đó f : I2× J2 → I và g : I2 × J2 → J là các hàm khả vi liên tục với I, J
là các khoảng của tập số thực
Khi đó, với mọi giá trị ban đầu (xi, yi) ∈ I × J , i ∈ {−1, 0} hệ phương trình(1.7) có duy nhất nghiệm {xn, yn}∞n=−1 Cùng với hệ phương trình (1.7), ta xétánh xạ véctơ tương ứng F : I2 × J2 → I2 × J2 xác định bởi
F (xn, xn−1, yn, yn−1) = (f, xn, g, yn)
Điểm cân bằng của hệ phương trình (1.7) là điểm (x, y) thỏa mãn hệ
x = f (x, x, y, y), y = g(x, x, y, y)
Điểm (x, y) cũng được gọi là điểm bất động của ánh xạ véctơ F
Định nghĩa 1.4 Giả sử (x, y) là điểm bất động của ánh xạ véctơ F =(f, xn, g, yn) trong đó f và g là các hàm khả vi liên tục tại điểm (x, y) Hệtuyến tính hóa của hệ phương trình (1.7) xung quanh điểm cân bằng (x, y) là
và JF là ma trận Jacobi của ánh xạ F lấy giá trị tại
điểm cân bằng (x, y), được xác định bởi:
Bổ đề sau đây sẽ được sử dụng trong phần sau của luận án
Bổ đề 1.1 Giả sử Xn+1 = F (Xn), n = 0, 1, là hệ phương trình sai phân saocho X là điểm bất động của ánh xạ F Nếu tất cả các giá trị riêng của ma trậnJacobi JF xung quanh điểm bất động X nằm trong hình tròn đơn vị |λ| < 1 thìđiểm X là ổn định tiệm cận địa phương Nếu một trong các giá trị riêng của
ma trận Jacobi JF có môđun lớn hơn 1 thì điểm X là không ổn định
Trang 14trình sai phân phân thức cấp hai
Trong phần này, chúng ta nghiên cứu sự ổn định tiệm cận của điểm cânbằng của hai dạng phương trình sai phân:
1 xn+1 = axn−1− bx
2
n + cx2n−1
1 − dxn + exn−1, n = 0, 1, 2, (2.1)trong đó a, b, c, d, e là các tham số dương, các giá trị ban đầu x−1, x0 là các sốthực dương bất kỳ
βxn + xn−1 +
xn−1
xn , n = 0, 1, 2, (2.2)trong đó α, β > 0 và các giá trị ban đầu x−1, x0 là các số thực dương bất kỳ.Kết quả của phần này được viết trên cơ sở một phần kết quả của bài báo[3] đã được công bố trên tạp chí Acta Mathematica Vietnamica và một phần
Trang 15kết quả của bài báo [4] đã được công bố trên tạp chí Southeast Asian Bulletin
Từ đó, ta có hai điểm cân bằng x = 0 và x = b+c−(e−d)(a−1)a−1
Điểm x = b+c−(e−d)(a−1)a−1 là điểm cân bằng dương nếu thỏa mãn các điều kiện
Định lý 2.3 Khi a < 1, điểm cân bằng không của phương trình (2.1) là ổnđịnh tiệm cận địa phương
2.1.2 Sự ổn định tiệm cận của điểm cân bằng của phương
Kết quả chính của mục này được phát biểu trong các định lý sau
Định lý 2.4 Giả sử 0 < β < 1 Khi đó, các phát biểu sau là đúng:
i) Điểm cân bằng x của phương trình (2.2) là ổn định tiệm cận địa phươngnếu
α > (β + 1)
2
Trang 16ii) Điểm cân bằng x của phương trình (2.2) là không ổn định hay là điểm yênngựa nếu
α < (β + 1)
2
sai phân phân thức cấp ba
Năm 2008, L Berg đã nghiên cứu phương trình sai phân
xn = xn−3
1 + xn−1xn−2, n = 0, 1, 2, (2.23)trong đó các giá trị ban đầu x−3, x−2, x−1 ∈ (0, ∞) Tác giả đã chỉ ra tồn tạinghiệm của phương trình (2.23) hội tụ về không khi n → ∞ và xác định dángđiệu tiệm cận của nó
Dựa trên phương pháp tiệm cận của L Berg, trong phần này chúng tôinghiên cứu phương trình sai phân phân thức cấp ba sau đây:
xn = xn−3− (xn + xn−1)3
1 + xnxn−1+ xnxn−2 + xn−1xn−2, n = 0, 1, 2 (2.24)trong đó các giá trị ban đầu x−3, x−2, x−1 ∈ (0, ∞)
Điểm cân bằng của phương trình (2.24) là x = 0 Chúng tôi sẽ chỉ ra dạng tiệmcận của nghiệm phương trình (2.24) hội tụ về điểm cân bằng x khi n → ∞.Kết quả của phần này được viết trên cơ sở kết quả của bài báo [1] đã đượccông bố trên tạp chí Communications in Applied Analysis
2.2.2 Dạng tiệm cận của nghiệm của phương trình (2.24)
Kết quả chính của mục này được phát biểu trong định lý sau
Định lý 2.2 Phương trình (2.24) có nghiệm hội tụ về không khi n → ∞ Hơnnữa, nghiệm đó biểu diễn dạng tiệm cận
Trang 17√663.222 , d = 3.63
2√6632.223 , e = 63
2√668.223 (2.31)
trình sai phân phân thức cấp bốn
Năm 2002, X Li, D Zhu đã nghiên cứu phương trình
xn+1 = xn + xn−1xn−2+ a
xnxn−1+ xn−2+ a, n = 0, 1, 2, (2.35)với a ∈ [0, ∞) và các giá trị ban đầu x−2, x−1, x0 ∈ (0, ∞) Tác giả đã chứngminh được điểm cân bằng dương của phương trình (2.35) là ổn định tiệm cậntoàn cục Phương trình (2.34) là trường hợp đặc biệt của phương trình (2.35)khi a = 0
Năm 2005, X Li đã nghiên cứu dáng điệu toàn cục của phương trình saiphân phân thức cấp bốn
xn+1 = xnxn−1xn−3 + xn+ xn−1+ xn−3 + a
xnxn−1 + xnxn−3 + xn−1xn−3 + 1 + a, n = 0, 1, 2, (2.36)với a ∈ [0, ∞) và các giá trị ban đầu x−3, x−2, x−1, x0 ∈ (0, ∞) Tác giả đã chứngminh được điểm cân bằng dương của phương trình (2.36) là ổn định tiệm cậntoàn cục
Năm 2007, X Li, R P Agarwal đã chứng minh được điểm cân bằng dươngcủa phương trình