CD Khảo sát hàm số.doc

Bước 5: Phải nêu điểm cực đại; điểm cực tiểu; nếu không có thì không nêu ra; các khoảng đơn điệu của hàm số.. Bước 5: Phải nêu điểm cực đại; điểm cực tiểu; nếu không có thì không nêu ra;

PHẦN THỨ NHẤT: NỘI DUNG LÝ THUYẾT CƠ BẢN CẦN ÔN TẬP

Vấn đề 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

+Giáo viên ôn tập sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (chiếu đáp án mẫu và chỉ ra các sai lầm thường gặp của học sinh) Sau đó trình bày mẫu các ví dụ sau

I HÀM ĐA THỨC:

0

y= f x =ax +bx + +cx d a≠

0

y= f x =ax +bx +c a≠

1 Tập xác định: D=¡

2 Sự biến thiên:

a) Giới hạn tại vô cực:

0

y= f x =ax +bx + +cx d a≠ ( ) 4 2 ( )

0

y= f x =ax +bx +c a≠

lim ( )

→+∞ = +∞

x f x

lim ( )

→−∞ = −∞

x f x

lim ( )

→+∞ = −∞

x f x

lim ( )

→−∞ = +∞

x f x

lim ( )

→+∞ = +∞

x f x lim ( )

→−∞ = +∞

x f x

lim ( )

→+∞ = −∞

x f x

lim ( )

→−∞ = −∞

x f x

(Chỉ nêu kết quả không cần giải thích chi tiết)

b) Chiều biến thiên:

+ Tính y’=?

Cho y' 0= ⇔ =x ?

+ Bảng biến thiên:

x -∞ ? +∞

(Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết)

• Kết luận về chiều biến thiên của hàm số

• Kết luận về cực trị của hàm số

3 Đồ thị:

A) Điểm đặc biệt:

+ Giao điểm với Oy: Cho x 0= ⇒ =y ?

+ Giao điểm với Ox (nếu có): Cho y 0= ⇔ =x ?

+ Điểm cho thêm ( một số điểm thuộc đồ thị)

B) Vẽ đồ thị:

x y

O

Ví dụ 1: Khảo sát hàm số: y x= +3 3x2−4

2 Sự biến thiên:

a Giới hạn: xlim→+∞y= +∞; lim

x y

→−∞ = −∞ Bước 2: Chỉ cần tìm giới hạn của sốhạng có mũ cao nhất, ở đây là tìm

3

x x

→±∞ =

b Chiều biến thiên:

y’ = 3x2 + 6x

y’ = 0 ⇔ 3x2 + 6x = 0 ⇔ x(3x + 6) = 0 ⇔ x = 0; x = - 2

Bước 3: Tìm y’ và lập phương trình y’

= 0 tìm nghiệm (nếu có thì ghi ra nếu

vô nghiệm thì nêu vô nghiệm) – vì chủ

yếu là để Tìm dấu của y’ sử dụng trong bảng biến thiên

2

-2

5

(C)

d: y=m-1

c Bảng biến thiên:

x -∞ -2 0 +∞

y' + 0 - 0 +

y 0 +∞

-∞ - 4

Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3 dòng”: dành cho x, y’ và y - Dòng 1: Ghi nghiệm của đạo hàm (nếu có) - Dòng 2: Xét dấu của đạo hàm - Dòng 3: Ghi chiều bt, cực trị, giới hạn Điểm cực đại: x = - 2 ; y = 0 Điểm cực tiểu: x = 0; y = -4 Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ − ; 2) (và 0; +∞), nghịch biến trên khoảng (− 2;0) Bước 5: Phải nêu điểm cực đại; điểm cực tiểu; (nếu không có thì không nêu ra); các khoảng đơn điệu của hàm số. 3 Đồ thị hàm số: Giao điểm với Ox: y = 0 ⇒ x = -2; x = 1 Giao điểm với Oy: x = 0 ⇒ y = - 4 Bước 6: Vẽ đồ thị cần thực hiện theo thứ tự gợi ý sau: 1 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy 2 Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, giao điểm với Ox, Oy 3 Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán của mình (tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi dạng hàm số) Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y= −x x2( − −3) 1 Giải Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 2( ) 3 1 y= −x x− − 2,00 1 TXĐ: D=¡ 0,25 2 Sự biến thiên và cực trị của hàm số a) Sự biến thiên Ta có: y'= −3x2+6x ; Cho = ⇔ − 2+ = ⇔  = ⇒ = = ⇒ = −0 1 ' 0 3 6 0 2 3 x y y x x x y 0,50 b) Giới hạn: limx→−∞y= +∞; limx→+∞y= −∞ 0,25 c) Bảng biến thiên x −∞ 0 2 +∞

y’ + 0 – 0 +

y +∞ 3

-1 −∞

0,25

* Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞;0) (và 2;+∞), đồng biến trên khoảng ( )0;2

* Hàm số đạt cực đại tại x= ⇒2 y CD =3, Hàm số đạt cực tiểu tại x= ⇒0 y CD = −1 0,25

3 Đồ thị: +Đúng dạng (0,25), +Đúng cực trị (0,25)

* Giao của (C) với trục tung: (0; 1 , trục hoành: − ) −x x2( − − =3) 1 0

(HS cần nghiên cứu thêm các dạng còn lại của hàm số)

Bốn dạng đồ thị hàm số bậc 3

CT CĐ

x

y

O

•

I

x

y

O

•

I

a < 0

a > 0

Dạng 2: hàm số không có cực trị

⇔ ?

x

y

O

• I

x

y

O

• I

a < 0

a > 0

Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?

Ví dụ 3: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y= − +x4 2x2−2

2 Sự biến thiên:

a Giới hạn: xlim→+∞y= +∞; lim

x y

→−∞ = +∞ Bước 2: Chỉ cần tìm giới hạn của sốhạng có mũ cao nhất, ở đây là tìm

4

x x

→±∞ =

b Chiều biến thiên:

y’ = 4x3 - 4x

y’ = 0 ⇔ 4x3 - 4x = 0 ⇔ x(4x2 – 4) = 0⇔ x = 0; x = 1; x =

- 1

Bước 3: Tìm y’ và lập phương trình y’

= 0 tìm nghiệm (nếu có thì ghi ra nếu

vô nghiệm thì nêu vô nghiệm) – vì chủ

yếu là để Tìm dấu của y’ sử dụng trong bảng biến thiên

c Bảng biến thiên:

x -∞ -1 0 1 +∞

y' - 0 + 0 - 0 +

y +∞ -3 +∞

-4 -4

Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3 dòng”:

dành cho x, y’ và y

- Dòng 1: Ghi nghiệm của đạo hàm (nếu có)

- Dòng 2: Xét dấu của đạo hàm

- Dòng 3: Ghi chiều bt, cực trị, giới hạn Điểm cực đại: x = 0 ; y = -3

Điểm cực tiểu: x = -1; y = -4; x = 1; y = -4

Khoảng đơn điệu của hàm số

Bước 5: Phải nêu điểm cực đại; điểm

cực tiểu; (nếu không có thì không nêu

ra); các khoảng đơn điệu của hàm số.

3 Đồ thị hàm số:

Giao điểm với Ox:

x = ; y = 0

x = - ; y = 0

Giao điểm với Oy:

x = 0 ; y = - 3

Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo

thứ tự gợi ý sau:

1 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy

2 Xác định các điểm cực đại, cực tiểu, giao điểm với Ox, Oy

3 Dựa vào BBT và dạng đồ thị để vẽ đúng dạng

(tham khảo các dạng đồ thị ở sau đây)

Ví dụ 4: Cho hàm số: y x= 4−6x2+4 có đồ thị (C) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm

số đã cho

Giải

Cho hàm số: y x= 4−6x2+4 có đồ thị (C) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

đã cho.

2,00

2 Sự biến thiên và cực trị của hàm số

d) Sự biến thiên: Ta có: y' 4= x3−12x ; ' 0 0 4

= ⇒ =





y

0,50

e) Giới hạn: lim→−∞ = +∞; lim→+∞ = +∞

f) Bảng biến thiên

x −∞ − 3 0 3 +∞

y’ – 0 + 0 – 0 +

y +∞ 4 +∞

CT CĐ CT -5 -5

0,25

CĐ

* Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞ −; 3) ( )và 0; 3 , đồng biến trên khoảng

(− 3;0) (và 3;+∞)

* Hàm số đạt cực đại tại x= ⇒0 y CD =4, hàm số đạt cực tiểu tại x= ± 3⇒y CD = −5

0,25

3 Đồ thị:

* Giao của (C) với trục tung: x= ⇒ =0 y 4, trục hồnh: x4−6x2+ =4 0

* Điểm thuộc đồ thị: (− −2; 4 ; 2; 4 ) ( − )

+Đúng dạng (0,25), +Đúng cực trị (0,25)

0,50

Bốn dạng đồ thị hàm số trùng phương

BÀI TẬP TẠI LỚP: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

1 y= −2x3+3x2+1 2 y= − +x3 3x2−5x+2

3 y= − +x4 2x2−1 4 1 4 2

2 4

y= − x − x

BÀI TẬP VỀ NHÀ: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

y= −x x+ 2 y x= −3 3x

3 y x= 4−4x2+1 4 y= −1 2x2−x4

II HÀM NHẤT BIẾN: = ( ) = +

+

ax b

y f x

cx d, (c ≠ 0; ad–bc ≠0)

c

2) Sự biến thiên:

a) Giới hạn:

+ → −  − → −  +

d lim y ? và lim y ? x

c là tiệm cận đứng

+

lim y và lim y y

(Chỉ nêu kết quả khơng cần giải thích chi tiết)

x

y

y

O

a < 0

a > 0

Dạng 1: hàm số cĩ 1 cực trị ⇔ pt y’ = 0 cĩ 1 nghiệm

duy nhất x = 0

x

y

y

O

a < 0

a > 0

Dạng 1: hàm số cĩ 3 cực trị ⇔ pt y’ = 0 cĩ 3 nghiệm

phân biệt

b) Chiều biến thiên:

ad bc y'

cx d

−

=

+ Kết luận y ' 0< hoặc y ' 0> với mọi

d x c

≠ − + Bảng biến thiên:

x –∞ d

c

− +∞

y' ? ?

y ? ?

(Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết) Kết luận về chiều biến thiên của hàm số Hàm số không có cực trị 3) Đồ thị : a) Điểm đặc biệt: + Giao điểm với Oy: Cho x 0= ⇒ =y ? + Giao điểm với Ox: Cho y 0= ⇔ =x ? + Điểm cho thêm b) Vẽ đồ thị: x y O Nhận xét: Đồ thị hàm số đối xứng qua giao điểm I(?;?) của 2 đường tiệm cận. Ví dụ 5: Khảo sát hàm số 2 1 x y x − + = + . Nội dung Bài giải Giải thích – ghi nhớ cho HS 1 Tập xác định D = \{-1} Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số 2 Sự biến thiên: a Giới hạn và tiệm cận: Tiệm cận đứng x = - 1 vì xlim→−1− y= −∞; 1 lim x +y →− = +∞ Tiệm cận ngang: y = - 1 vì xlim→−∞y= −1 lim 1 x y →+∞ = − Bước 2: Hàm số luôn có 2 tiêm cận là tiệm cân đứng và tiệm cận ngang

b Chiều biến thiên: y’ = 3 2 (x 1) − + < 0 ∀x∈D. Hàm số luôn luôn giảm trên mỗi khoảng xác định Bước 3: Tìm y’ và dựa vào tử số để khẳng định luôn luôn âm (hay luôn luôn dương) từ đó suy ra: Hàm số luôn luôn giảm (hay luôn luôn tăng ) c Bảng biến thiên: x -∞ -1 +∞

y'

-y -1 +∞

-∞ -1

Bước 4: BBT luôn gồm có “ 3 dòng”:

3 Đồ thị hàm số:

+Giao điểm với Ox:

y = 0 ⇒ x = 2

Giao điểm với Oy:

x = 0 ⇒ y = 2

+Cho thêm một số điểm đặc biệt

Bước 6:Vẽ đồ thị cần thực hiện theo

thứ tự gợi ý sau:

1 Vẽ hệ trục tọa độ Oxy và xác định giao điểm với Ox, Oy

2 Vẽ 2 đường tiệm cận đứng và ngang Sau đó vẽ chính xác đồ thị qua các

3 Nhận xét hàm số có bao nhiêu dạng

đồ thị và áp dụng dạng đồ thị phù hợp cho bài toán của mình

(tham khảo các dạng đồ thị ở sau mỗi dạng hàm số)

Hai dạng đồ thị hàm số nhất biến

BÀI TẬP TẠI LỚP: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 2 1

2

x y x

−

=

−

BÀI TẬP VỀ NHÀ: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

1

x y

x

+

=

x y x

=

1 2 3

y

x

= −

−

4 y 2x 1

x

−

x y x

−

= +

Chú ý: Giáo viên dành 1 tiết sửa bài tập về nhà của học sinh nhằm hoàn chỉnh kỉ năng này.

Vấn đề 2: CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN

Bài toán 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG (C): y= f x( )

I LÝ THUYẾT:

 Điều kiện tiếp xúc của 2 đường:

+ Hai đường cong (C1): y =f(x) và (C2): y =g(x) tiếp xúc nhau tại x0 nếu tại đó chúng có tiếp tuyến chung

+ Điều kiện để (C1) tiếp xúc với (C2) nhau tại x0⇔ x0 là nghiệm của hệ phương trình







=

=

)

(

'

)

(

'

)

(

)

(

x

g

x

f

x

g

x

f

 Các dạng tiếp tuyến:

Dạng 1: Tiếp tuyến tại điểm M 0 (x o ,y 0 ): với

( )

y = f x

Dạng 2: Các dạng còn lại Gọi (∆) là tiếp tuyến cần tìm + Tính x0, y0=f(x0)

+ Tính f ’(x), f ’(x0)

+ Phương trình tiếp tuyến tại M0(xo,y0) là:

y =f’(x0)(x–x0)+y0

+ Viết dạng phương trình (∆): y = g(x,m) + Điều kiện tiếp xúc của (∆) và (C):

( ) g(x,m) '( ) g'(x,m)

f x

f x

=



 Giải hệ phương trình tìm m. + Suy ra phương trình (∆)

 Chú ý: Cho đường thẳng d: y=ax+b Cách viết dạng pt (∆)

+ ∆ // d ⇒ ptrình (∆): y=ax+m, (m ≠ b) (hay k∆= kd= –a).

y

I

x

y

O

Dạng 2: hsố nghịch biến(y’<0) Dạng 1: hsố đồng biến (y’>0)

x O

I

+ ∆⊥ d ⇒ ptrình (∆):y 1x m

a

+ ∆ có hệ số góc k ⇒ ptrình (∆): y=kx+m

+ ∆ qua A(xA;yA), gọi hệ số góc của (∆) là m ⇒ ptrình (∆):y= m(x–xA)+yA.

+ ·( )∆;Ox =ϕ Hệ số góc của (∆) là k= ±tanϕ

Ví dụ:

1 Cho hàm số: y f x= ( ) =x x2( 2− +2 1) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp với đồ thị (C) của hàm

số tại điểm có hoành độ x= −2

Giải:

• Gọi M x y là tiếp điểm PTTT tại M có dạng: ( 0; 0) y= f x'( ) (0 x x− 0)+y0 ( )1

• Ta có: ( ) 3

f x = x − x

• Do x0 = − ⇒2 y0 =1 f x'( )0 = −24

Vậy PTTT cần tìm là: y= −24x−49

2 Cho hàm số: y f x( ) 2x 3

x

+

= = có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp với đồ thị (C) của hàm số biết

hệ số góc của tiếp tuyến bằng −3 Đáp số: y= − +3x 8, y= − −3x 4

3 Cho hàm số: y f x= ( ) =x4+2x2 −2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp với đồ thị (C) của hàm

số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng: ( )d : 8x y− − =8 0.Đáp số: y=8x−7

4 Cho hàm số: y f x( ) x21

x

− có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp với đồ thị (C) của hàm số, biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng: x−8y− =2 0. Đáp số: y= − +8x 16, y= − +8x 4

II BÀI TẬP CẦN RÈN LUYỆN:

1 Cho hàm số: y x= 3−3x+2( )C Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đó:

a tại điểm M có hoành độ bằng 2 b tại điểm M có tung độ bằng 2

c có hệ số góc bằng 9 d song song với đường thẳng: y=24x−2011

e đi qua gốc tọa độ O f vuông góc với đường thẳng: x+24y−24 0.=

2 Cho hàm số: y x= 4−2x2 +2( )C Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đó:

a tại điểm M có hoành độ bằng 0 b tại điểm M có tung độ bằng 5

c đi qua gốc tọa độ O d song song với đường thẳng: y=24x−2011

3 Cho hàm số: 2 1( )

2

x

x

−

= + Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến đó:

a cắt trục hoành tại điểm A b tại điểm M có tung độ bằng 1

c có hệ số góc bằng 5 d song song với đường thẳng: y=20x−2011

Bài toán 2: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ VÀ SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

I LÝ THUYẾT:

 Dạng 1: Tìm số giao điểm của 2 đồ thị hàm số (C 1 ): y =f(x) và (C 2 ): y =g(x).

+ Số giao điểm của (C1 và (C2) là số nghiệm của hệ phương trình: ( )

( )

y f x

y g x

=



 =



+ Giải hệ tìm giao điểm (x0;y0)

 Dạng 2: Biện luận số nghiệm của phương trình f(m, x)= 0 bằng đồ thị:

+ Biến đổi phương trình về dạng f (x) = g(m) (1) (với m là tham số)

+ Lập luận: “Số nghiệm của phương trình (1) chính là số hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và

( )D ”

+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) (C) và đường thẳng y = g(m) ( )D trên cùng một hệ trục tọa độ

+ Bảng kết quả:

Điều kiện

của g(m)

Điều kiện

của m

Số giao điểm của (C) và ( )D

Số nghiệm của

phương trình (1)

* Chú ý:

+ (C) và ( )D không có điểm chung: (1) vô nghiệm.

+ (C) và ( )D cắt nhau tại k điểm phân biệt: (1) có k nghiệm phân biệt.

+ (C) và ( )D tiếp xúc: (1) có nghiệm kép.

Ví dụ 1: Cho hàm số: y x= 4−6x2+4 có đồ thị (C).

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2 Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình: 2( 2 )

− + − =

Giải

1 HS tự làm

2 Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của ph trình: 2( 2 )

− + − =

⇔ x − x + = +m Gọi (C) y x= 4−6x2+4 và đường thẳng :d y m= +2 (với d song song hoặc trùng với trục hoành)

• Số giao điểm của (C) và d là số nghiệm của phương trình (1) Dựa vào đồ thị ta kết luận

* Nếu m+ > ⇔ >2 4 m 2thì (C) và d có 2 điểm chung nên (1) có 2 nghiệm đơn

* Nếu m+ = ⇔ =2 4 m 2thì (C) và d có 3 điểm chung nên (1) có 3 nghiệm (2 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép)

* Nếu − < + < ⇔ − < <5 m 2 4 7 m 2thì (C) và d có 4 điểm chung nên (1) có 4 nghiệm đơn

* Nếu m+ = − ⇔ = −2 5 m 7thì (C) và d có 2 điểm chung nên (1) có 2 nghiệm kép

* Nếu m+ < − ⇔ < −2 5 m 7thì (C) và d không điểm chung nên (1) VN

(Học sinh có thể trình bài lời giải theo bảng hướng dẫn)

Ví dụ 2: Cho hàm số y 3 2x

x 1

−

=

−

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt

Giải

1 Học sinh tự giải

2 Đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt

⇔ Phương trình (ẩn x) 3 2x = mx+ 2

x 1

−

− có hai nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình (ẩn x) mx2 – (m – 4)x – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt, khác 1

⇔ 2

2 2

m 0

m 0

m 0 m.1 (m 4).1 5 0

 < − −

≠

≠







Kết luận

II BÀI TẬPCẦN RÈN LUYỆN:

1 Cho hàm số: y x= 3−3x+2( )C

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Dùng đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x3−3x m− =0

2 Cho hàm số: y x= 4−2x2 +2( )C

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Dùng đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình:

4 2 2 2 4 0

x − x + − m=

3 Cho hàm số: 2 1( )

2

x

x

−

= + Tìm m để đường thẳng :d y x m= + cắt đồ thị (C)

a tại hai điểm phân biệt b tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của (C)

4 Tìm tham số m để hàm số: y=(x−1) (x2 −mx m+ ) có đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Bài toán 3: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I LÝ THUYẾT:

II CÁC DẠNG TOÁN:

DẠNG: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định)

Ví dụ : Định m để hàm số: y= x3– 3mx2+ (m+2)x – m đồng biến trên ¡

Giải:

 Tập xác định: D= ¡

 y′= 3x2– 6mx+ m+ 2

Ta co: ∆′= 9m2– 3m– 6

Bảng xét dấu ∆’:

m -∞ 2

3

− 1 +∞

* Cho hàm số y=f(x;m) (m là tham số) có tập xác định D

+ Hàm số đồng biến trên D⇔ ≥ ∀ ∈y' 0, x D

+ Hàm số nghịch biến trên D⇔ ≤ ∀ ∈y' 0, x D

* Chú ý:

0

a

ax bx c x D  >



0

a

ax bx c x D  <



1 Định nghĩa:

+ Hàm số y=f(x) đồng biến trên K⇔ ∀( x x1, 2∈K x; 1< ⇒x2 f x( )1 < f x( )2 )

+ Hàm số y=f(x) nghịch biến trên K⇔ ∀( x x1, 2∈K x; 1< ⇒x2 f x( )1 > f x( )2 )

2 Điều kiện đủ: Giả sử y=f(x) có đạo hàm trên khoảng I

+ Nếu f x'( ) ≥ ∀ ∈0, x I (f ’(x)=0 tại một số điểm hữu hạn) thì y=f(x) đồng biến trên I.

+ Nếu f x'( ) ≤ ∀ ∈0, x I (f ’(x)=0 tại một số điểm hữu hạn) thì y=f(x) nghịch biến trên I

(Chú ý: Nếu thay khoảng I bởi đoạn hay nửa đoạn thì hàm số phải liên tục)

∆’ + 0 - 0 +

Ta phân chia các trường hợp sau:

 Nếu 2 m 1

3

− ≤ ≤ Ta có: ∆ ≤′ 0 ⇒ y′ ≥ ∀ ∈0, x ¡ ⇒ hàm số đồng biến trên ¡

 Nếu

2 m

3

m 1

 < −



 >



Ta có: ∆′> 0 phương trình y′=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1< x2)

 Bảng biến thiên:

x -∞ x 1 x +2 ∞ y’ + 0 - 0 +

y +∞

-∞ Hàm số không đồng biến trên ¡

Kết luận: Giá trị m thỏa mãn bài toán là: 2 m 1

3

− ≤ ≤

III BÀI TẬP CẦN RÈN LUYỆN:

Bài 1: Chứng minh rằng:

1

3 2

3

x

y= − x + x− luôn đồng biến trên R

1

x y

x

−

=

+ luôn đồng biến trên từng khoảng xác định.

Bài 2: Tìm tham số m để:

3

y= x −mx + m− x− luôn đồng biến trên R Đáp số: 1≤ ≤m 2

2 Hàm số (2 9) 3 ( ) 2

3

m

y − x m x x m

= + + − + − luôn nghịch biến trên R Đáp số:− ≤ ≤8 m 0

1

mx y

x

=

− luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định Đáp số: m<3

Bài toán 4: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I Tóm tắt lý thuyết:

• Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị tại x0 và có đạo hàm tại x0 thh f /(x0)=0

• Dấu hiệu đủ thứ I : Cho sử hm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (x0 – h; x0 + h) với h > 0

+Nếu y/ đổi dấu từ dương sang âm qua x0 (xét từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực đại tại x0 +Nếu y/ đổi dấu từ âm sang dương qua x0 (xét từ trái sang phải) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

• Dấu hiệu II:

Cho hàm f(x) có đạo hàm tới cấp II trong (a;b), x0 ∈ (a;b)

+Nếu

/ 0 / / 0

y (x ) 0

y (x ) 0





>

 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0. +Nếu

/ 0 / / 0

y (x ) 0

y (x ) 0





<

 thì hàm số đạt cực đại tại x0.

II CÁC DẠNG TOÁN:

 Dạng toán 1: Xác định tham số m để đồ thị hàm số y =f(x, m) đạt cực đại, cực tiểu tại x 0 :

0

'( ) 0

"( ) 0

f x

f x

ïî Hàm số đạt cực trị tại x0

+ Hàm số đạt cực đại (hay cực tiểu) tại x0⇒ f ’(x0)= 0 Giải phương trình