Đại số Lie dành cho cao học

Tôi xin gửi đến thầy giáo Trần Đạo Dõng lòng biết ơn chân thành vì thầyđã tận tình giảng dạy tôi trong suốt học phần Đại số Lie và nhóm Lie.Tiểu luận này được viết theo cách suy nghĩ của

Lời mở đầu 3

1.1 Đại số Lie và đại số Lie con 4

1.1.1 Đại số Lie 4

1.1.2 Đại số Lie con 6

1.1.3 Iđêan và đại số thương 8

1.1.4 Đồng cấu đại số Lie 11

1.2 Đại số Lie giải được 14

2 Đại số Lie nửa đơn và đại số Lie khả quy 19 2.1 Đại số Lie nửa đơn 19

2.1.1 Định nghĩa 19

2.1.2 Các ví dụ áp dụng 20

2.1.3 Dạng Killing và tiêu chuẩn Cartan 21

2.2 Đại số Lie quy được 25

2

Tôi xin gửi đến thầy giáo Trần Đạo Dõng lòng biết ơn chân thành vì thầy

đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt học phần Đại số Lie và nhóm Lie.Tiểu luận này được viết theo cách suy nghĩ của tôi về các vấn đề trên Cómột số chứng minh tôi đưa ra để tham khảo Vì khả năng và thời gian cóhạn nên khó tránh khỏi sai sót về nhiều mặt Rất mong nhận được sự góp ýcủa quý thầy cô và các bạn

a [, ] tuyến tính theo từng biến.

b [X, X] = 0, ∀X ∈ g

c Thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi, tức là [[X, Y ], Z]+[[Y, Z], X]+[[Z, X], Y ] =

0, ∀X, Y, Z ∈ g

Số chiều, dimk(g), gọi là số chiều của đại số Lie g, [, ] gọi là tích Lie

Nếu k = R thì g là đại số Lie thực

Nếu k = C thì g được gọi là đại số Lie phức

Đại số Lie được gọi là giao hoán nếu [X, Y ] = 0, ∀X, Y ∈ g

Nhận xét 1.1.2

1) Mỗi không gian véc tơ V trên trường k là một đại số Lie giao hoán vớitích Lie [X, Y ] = 0, ∀X, Y ∈ V

4

2) Cho g là một đại số Lie (không nhất thiết kết hợp), xác định

[, ] : g× g −→ g(X, Y ) 7−→ [X, Y ] = XY − Y X

Khi đó g là một đại số Lie Thật vậy, [, ] thỏa mãn 3 điiều kiện trên.+ Với mọi X, Y, Z ∈ g, ∀α, β ∈ k, ta có [αX + βY, Z] = (αX + βY )Z −Z(αX + βY ) = αXZ + βY Z − αZX − βZY = α[X, Z] + β[Y, Z] Tương

tự, [X, αY + βZ] = α[X, Y ] + β[X, Z]

+ Với mọi X ∈ g, [X, X] = XX − XX = 0

+ Thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi, ∀X, Y, Z ∈ g, ta có [[X, Y ], Z] +[[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = (XY − Y X)Z − Z(XY − Y X) + (Y Z − ZY )X −X(Y Z − ZY ) + (ZX − XZ)Y − Y (ZX − XZ) = 0

Đặc biệt,

• g = End V là một đại số Lie, kí hiệu gl(V );

• và g = Mat(n, k) là đại số Lie, kí hiệu gl(n, k)

là không gian véc tơ 3 chiều

thực Xác định [A, B] = AB − BA, ∀A, B ∈ g Lúc đó g là đại số Lie 3chiều thực, kí hiệu g = so(3)

Mệnh đề 1.1.3 Tích trực tiếp hay tổng trực tiếp của hữu hạn các đại sốLie là một đại số Lie

Chứng minh Giả sử g1, g2, , gn là các đại số Lie Đặt g = g1 × × gn.Không khó khăn gì để chỉ ra g là một không gian véc tơ Xét

[, ] : g× g −→ g(X, Y ) 7−→ [X, Y ] = ([X1, Y1], , [Xn, Yn]),trong đó X = (X1, , Xn), Y = (Y1, , Yn), Xi, Yi ∈ gi, i = 1, , n

Ta đi kiểm tra [, ] là một ánh xạ thỏa mãn 3 điều kiện trở thành tích Lie

• Với mọi X, Y ∈ g, [X, Y ] ∈ g và nếu (X, Y ) = (X0, Y0) thì X =

X0, Y = Y0, nên [X, Y ] = [X0, Y0] Do đó [, ] là một ánh xạ Hơnnữa, ∀X, Y, Z ∈ g, X = (X1, , Xn), Y = (Y1, , Yn), Z = (Z1, , Zn),

= ([[X1, Y1], Z1] + [[Y1, Z1], X1] + [[Z1, X1], Y1], , [[Xn, Yn], Zn]+[[Yn, Zn], Xn] + [[Zn, Xn], Yn])

= (0, , 0) = 0

Ta cũng có kết quả trên với tổng trực tiếp vì chúng là đẳng cấu

1.1.2 Đại số Lie con

Định nghĩa 1.1.4 Cho đại số Lie g, h ⊂ g Khi đó h được gọi là đại số Liecon là nếu

a h là không gian con;

b ∀X, Y ∈ h, ta có [X, Y ] ∈ h

Với a, b ⊂ g, ta kí hiệu [a, b] = h{[X, Y ]|X ∈ a, Y ∈ b}i ⊂ g Lúc đó b códạng [h, h] ⊂ h

Nhận xét 1.1.5

1 Ta có {0}, g là các đại số Lie con của g

2 Mỗi đại số Lie con là một đại số Lie với tích Lie cảm sinh

3 Xét g = gl(n, k), h = {A = (aij)n|At = −A} ⊂ g.

• Thì h là không gian véc tơ con vì ∀A, B ∈ h, ∀α, β ∈ k ta có (αA +βB)t = αAt+ βBt ⇒ αA + βB ∈ h

• Với mọi A, B ∈ h, [A, B]t = (AB − BA)t = (AB)t − (BA)t =

BtAt − AtBt = −B.(−A) − (−A).(−B) = −(AB − BA) = −[A, B]

⇒ [A, B] ∈ h Hay [h, h] ⊂ h

Kí hiệu h = so(n, k) Đại số Lie so(3) ở nhận xét 1.1.2.4 là một trườnghợp riêng của h, nó là một đại số Lie con của gl(n, R)

4 Xét k = {A ∈ gl(n, k)| Tr A = 0} (Tr A là vết của A) là một đại sốLie con của g Thật vậy, Theo tính chất nhân và cộng của ma trận ta

dễ dàng suy ra k là một không gian con của gl(n, k) Hơn nữa, Tr A =

Ta có thể xem nó là đại số Lie con của đại số Lie gl(2, C) Thật vậy, g

là một không gian véc tơ con của gl(2, C) vì ∀X, Y ∈ g, ∀α ∈ R, ta có(X + Y )∗ = X∗+ Y∗, (αX)∗ = αX∗, Tr(X + Y ) = Tr X + Tr Y, Tr(αX) =

α Tr X Hơn nữa, ∀X, Y ∈ g, [X, Y ] = XY − Y X ⇒ [X, Y ]∗+ [X, Y ] =(XY −Y X)∗+XY −Y X = (XY − Y X)t+XY −Y X = (XY )t− (Y X)t+

XY −Y X = (XY )∗+XY −((Y X)∗+Y X) = 0, và Tr([X, Y ]) = Tr(XY −

là đại số Lie con của g, gọi là tâm hóa của a trong g.

Dựa vào tính song tuyến tính của tích Lie ta suy ra được Ng(a), Zg(a) làcác không gian véc tơ con của g Ngoài ra, ∀X, Y ∈ Ng(a), ∀Z ∈ a, ta

có [[X, Y ], Z] = −([[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ]) ∈ a Suy ra [X, Y ] ∈ Ng(a).Tương tự cho Zg(a)

Rõ ràng, Zg(a) ⊂ Ng(a) Đặc biệt, a = g ta kí hiệu Zg = Zg(g) gọi là tâmcủa g

Với g = gl(n, k), X ∈ Zg ⇔ XY = Y X, ∀Y ∈ g Khái niệm tâm trở vềkhái niệm tâm thông thường

1.1.3 Iđêan và đại số thương

Định nghĩa 1.1.6 Cho đại số Lie g, a ⊂ g Ta gọi a là iđêan của g nếua) a là không gian véc tơ con;

Chứng minh Giao, tổng của các không gian véc tơ là không gian véc tơ.Với mọi X, Y ∈ a ∩ b thì X, Y ∈ a; X, Y ∈ b Vì a, b là các iđêan nên[X, Y ] ∈ a, b ⇒ [X, Y ] ∈ a ∩ b Tương tự, X + X0, Y + Y0 ∈ a + b, trong

đó X, Y ∈ a; X0, Y0 ∈ b, suy ra [X, Y + Y0] ∈ a, [X0, Y + Y0] ∈ b ⇒ [X +

X0, Y + Y0] ∈ a + b

Ta đi chứng minh [a, b] là một iđêan của g Ta có [a, b] là một không gianvéc tơ con của g Với mọi X ∈ a, Y ∈ b, Z ∈ g, ta có [Z, X] ∈ a, [Y, Z] ∈

b nên [[Z, X], Y ] ∈ [a, b], [[Y, Z], X] ∈ [a, b] Mà [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] +[[Z, X], Y ] = 0 nên [[X, Y ], Z] = −[[Y, Z], X] − [[Z, X], Y ] ∈ [a, b]

Hệ quả 1.1.9 Ta có [g, g] là iđêan của g

Mệnh đề 1.1.10 Cho g là một đại số Lie, h là một iđêan của g Khi đókhông gian véc tơ thương g/h = {X + h|X ∈ g} là đại số Lie với phép toán[X + h, Y + h] = [X, Y ] + h

• Tính chất song tuyến tính được suy ra từ tích Lie trong g

Nếu a = 0 hoặc d = 0 suy ra b = c = 0 Có iđêan {0}.

Nếu b = 0 thì a = d ⇒ c = 0 Và ngược lại, c = 0 thì b = 0, a = d Ta cóiđêan h =

• a = αb hoặc a = αc ⇒ không tồn tại α;

• b = αb hoặc b = αd ⇒ không tồn tại α;

1.1.4 Đồng cấu đại số Lie

Định nghĩa 1.1.14 Cho g, h là các đại số Lie trên k Ánh xạ ϕ : g −→ h

là đồng cấu đại số Lie nếu

a) ϕ là ánh xạ tuyến tính;

b) ϕ bảo toàn tích Lie, tức là

ϕ([X, Y ]) = [ϕ(X), ϕ(Y )], ∀X, Y ∈ g

Đồng cấu ϕ là đơn (toàn, đẳng) cấu nếu ϕ là đơn (toàn, song) ánh

Đại số Lie g được gọi là đẳng cấu với h (g ∼= h) nếu ∃ϕ : g −→ h là đẳngcấu đại số Lie

Gọi Ker ϕ = {X ∈ g|ϕ(X) = 0} là nhân của ϕ Và

Im ϕ = {ϕ(X)|X ∈ g} là ảnh của ϕ

Ví dụ 1.1.15

1 Cho g, h là các đồng cấu đại số Lie Dễ thấy

là đẳng cấu đại số Lie

2 Cho g là đại số Lie, a là một đại số con của g, h là iđêan con của g Khiđó

là một toàn cấu đại số Lie, gọi là phép chiếu chính tắc

3 Cho ϕ : g −→ h là đồng cấu đại số Lie Lúc đó, ϕ biến không gian conthành không gian con và ngược lại, ảnh ngược của một không gian con làmột không gian con

• Nếu a là đại số Lie con của g thì ϕ(a) là đại số Lie con của h Vì ϕbảo toàn tích Lie nên [ϕ(a), ϕ(a)] ⊂ ϕ(a)

• Nếu b là iđêan Lie con của h thì b−1 là iđêan Lie con của g Vìϕ([b−1, g]) ⊂ [b, h] ⊂ b ⇒ [b−1, g] ⊂ b−1

đó ad(αX) = α ad(X).

• Tính bảo toàn tích Lie của ad

Với mọi X, Y, Z ∈ g, ad([X, Y ])(Z) = [[X, Y ], Z] Trong khi đó

[ad(X), ad(Y )] = ad(X) ◦ ad(Y ) − ad(Y ) ◦ ad(X)

⇒ [ad(X), ad(Y )](Z) : = ad(X)(ad(Y )(Z)) − ad(Y )(ad(X)(Z))

2 Cho V là không gian véc tơ trên trường k, n chiều Khi đó, gl(V ) ∼=

gl(n, k) Chú ý rằng ta luôn có thể đồng nhất ánh xạ tuyến tính với matrận của nó đối với cặp cơ sở chính tắc

Mệnh đề 1.1.17 Cho g là đại số Lie, a, b là các iđêan của g sao cho

g= a + b Khi đó g/a = a + b/a ∼= b/a ∩ b

Chứng minh Xét

X + a 7−→ Z + a ∩ b,trong đó X = Y + Z, Y ∈ a, Z ∈ b

• Với mọi X + a, X0 + a : X + a = X0 + a ⇒ X − X0 ∈ a ⇒ Y −

Y0 + Z − Z0 ∈ a, với X = Y + Z, X0 = Y0 + Z0 Vì Y, Y0 ∈ a nên

Z − Z0 ∈ a ⇒ Z − Z0 ∈ a ∩ b Do đó Z + a ∩ b = Z0+ a ∩ b Vậy ϕ làánh xạ

• Với mọi X, X0 ∈ g, ∀α, β ∈ k, ta có ϕ(α(X + a) + β(X0+ a)) = ϕ(αX +

βX0+ a) = αZ + βZ0+ a ∩ b = αZ + a ∩ b + βZ0+ a ∩ b = α(Z + a ∩b) + β(Z0+ a ∩ b) = αϕ(X + a) + βϕ(X0+ a) Vậy ϕ là ánh xạ tuyếntính

• Ta có ϕ(X + a) = 0 ⇔ Z ∈ a ∩ b ⇒ Z ∈ a ⇒ X ∈ a Do đó X + a = 0.Suy ra ϕ đơn ánh Hơn nữa, với mỗi Z ∈ b, ta có ϕ(Z + a) = Z + a ∩ b

Vậy ϕ là đẳng cấu đại số Lie

Mệnh đề 1.1.18 Cho ϕ : g −→ h là đồng cấu đại số Lie Khi đó g|Ker ϕ ∼=

Im ϕ

Dễ dàng vì chúng là đẳng cấu tuyến tính cộng với tính bảo toàn tích Liecủa ϕ

1.2 Đại số Lie giải được

Trong phần này ta xét các đại số Lie trên trường k, trong đó k ⊂ K ⊂ C

Định nghĩa 1.2.1 Cho g là đại số Lie trên k, hữu hạn chiều Đặt

g0 = g, g1 = [g, g], , gk+1 = [gk, gk],

Ta có một dãy giảm: g0 ⊃ g1 ⊃ ⊃ gk ⊃

Khi đó g được gọi là giải được nếu ∃k ∈ N : gk = {0}

Dãy giảm trên gọi là chuỗi hoán tử

g2 = [g1, g1] = {0} Suy ra g là đại số Lie giải được

2) Tương tự trên ta xét đại số Lie con của gl(3, R),

là đại số Lie giải được

Đại số Lie các ma trận tam giác dưới cũng giải được

Mệnh đề 1.2.3 Cho ϕ : g −→ h là một toàn cấu đại số Lie Khi đóϕ(gk) = hk

, ∀k ∈ N

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp:

+) Với k = 0, rõ ràng

+) Giả sử mệnh đề đúng với k, tức là ϕ(gk) = hk Ta đi chứng minh mệnh

đề đúng với k + 1 Thật vậy,

ϕ(gk+1) = ϕ([gk, gk]) = h{ϕ([X, Y ]) | X, Y ∈ gk}i

= h{[ϕ(X), ϕ(Y )] | X, Y ∈ gk}i

= [ϕ(gk), ϕ(gk)] = [hk, hk] = hk+1.Vậy mệnh đề được chứng minh

Tổng quát : nếu g giải được, ϕ : g −→ h là một đồng cấu đại số Lie Lúc

đó ϕ(g) giải được Áp dụng chứng minh trên cho ϕ : g −→ ϕ(g)

Mệnh đề 1.2.4 Cho g là đại số Lie giải được Khi đó, các đại số Lie con,đại số Lie thương của g là gải được

Chứng minh Giả sử a là đại số Lie con của g Trước tiên ta sẽ đi chứngminh ak ⊂ gk

, ∀k ∈ N bằng quy nạp

+) Với k = 0, a0 = a ⊂ g = g0

+) Giả sử kết quả đúng với k ∈ N, tức là ak ⊂ gk Ta đi chứng minh kết quảđúng với k + 1 Ta có ak+1 = [ak, ak] ⊂ [gk, gk] = gk+1

Theo nguyên lý quy nạp ak ⊂ gk, ∀k ∈ N

Vì g là giải được nên ∃l ∈ N : gl = {0} Suy ra al = {0} Hay a giải được.Xét p : g −→ g/h, trong đó h là iđêan của g, là toàn cấu chính tắc Theomệnh đề 1.2.3 g/h giải được

Chú ý 1.2.5 Mệnh đề trên cho ta một dấu hiệu nhận biết đại số Lie giảiđược Chẳng hạn ở ví dụ 1.2.2, đại số Lie các ma trận tam giác trên là giảiđược nên có thể suy ra nhiều đại số Lie con giải được như là đại số Lie thứnhất, τ0 tập các ma trận tam giác trên có đường chéo chính bằng 0 là cácđại số Lie giải được

Nếu h ⊂ g không giải được thì g không giải được

Mệnh đề 1.2.6 Cho g là đại số Lie giải được và a là iđêan giải được trong

g sao cho g/a giải được Lúc đó g giải được

Chứng minh Xét p : g −→ g/a là toàn cấu chính tắc Vì g/a là giải đượcnên ∃k ∈ N : (g/a)k = {0} Suy ra p(gk) = (g/a)k = {0} Hay gk ⊂ a Mà

a giải được nên ∃l ∈ N : al = {0} Suy ra (gk)l = gk+l = {0} Vậy g giảiđược

Mệnh đề 1.2.7 Cho g là đại số Lie hữu hạn chiều Khi đó tồn tại duy nhấtiđêan giải được < trong g chứa tất cả các iđêan giải được khác.

Ký hiệu: < = rad(g) gọi là căn của g

Chứng minh Do g là hữu hạn chiều nên ta chỉ cần chứng minh tổng củahai iđêan giải được là iđêan giải được trong g Giả sử a, b là các iđêan giảiđược của g Theo mệnh đề 1.1.8, a + b là iđêan của g Hơn nữa theo mệnh

đề 1.1.17, a + b/a ∼= b/a ∩ b Vì b giải được nên b/a ∩ b giải được Kết hợpmệnh đề 1.2.3, suy ra a + b/a giải được Mà a giải được nên a + b giải được.Đặt < =P

a, a là iđêan giải được trong g

Mệnh đề 1.2.8 Cho g1, g2 là các đại số Lie hữu hạn chiều Đặt g = g1×g2.Khi đó rad(g) = rad(g1) × rad(g2)

Chứng minh Theo mệnh đề 1.1.3, g là một đại số Lie Khi đó, rad(g1) ×rad(g2) là một iđêan của g Thật vậy, với mỗi X = (X1, X2) ∈ rad(g1) ×rad(g2), ∀ Y = (Y1, Y2) ∈ g, ta có [X, Y ] = ([X1, Y1], [X2, Y2]) ∈ rad(g1) ×rad(g2) Hơn nữa rad(g1) × rad(g2) là không gian con của g nên nó là mộtiđêan của g Nói chung, tích iđêan của g1 và iđêan của g2 là một iđêan củag

Bây giờ ta chứng minh (rad(g1)×rad(g2))n = (rad g1)n×(rad g2)n, ∀n ∈ Nbằng quy nạp

+) Với n = 0, hiển nhiên đúng

+) Giả sử kết quả đúng với n, (rad(g1) × rad(g2))n = (rad g1)n× (rad g2)n

Ta đi chứng minh cho trường hợp n + 1 Ta có

(rad g1× rad g2)n+1 = [(rad(g1) × rad(g2))n, (rad(g1) × rad(g2))n]

= [(rad g1)n× (rad g2)n, (rad g1)n × (rad g2)n]

= ([(rad g1)n, (rad g1)n], [(rad g2)n × (rad g2)n])

= (rad g1)n+1 × (rad g2)n+1

Ta sẽ chứng minh rad g1× rad g2 là iđêan giải được lớn nhất trong g

+) Vì rad g1, rad g2 lần lượt là các iđêan giải được của g1, g2 nên ∃k, l ∈

N sao cho (rad g1)k = {0}, (rad g2)l = {0} Lúc đó (rad g1 × rad g2)k+l =(rad g1)k+l× (rad g2)k+l = {0}

+) Giả sử a là iđêan giải được của g Xét các phép chiếu

Vậy rad g = rad g1× rad g2

Mệnh đề 1.2.9 Cho g1, , gn là các đại số Lie hữu hạn chiều Đặt g =

g1× g2 × × gn Khi đó rad g = rad g1× rad g2× × rad gn

Chứng minh Mệnh đề được chứng minh bằng quy nạp như sau

+) Mệnh đề đúng với n = 1

+) Giả sử Mệnh đề đúng với mọi k < n Ta đi chứng minh cho trường hợp

n Đặt g1,2 = g1× g2 Áp dụng giả thiết quy nạp cho g1,2, g3, , gn, ta có

rad(g1,2× g3× × gn) = rad g1,2× rad g3 × × rad gn

Kết hợp mệnh đề 1.2.8 ta được

rad g = rad g1× rad g2× × rad gn.Thay tích bởi tổng ta được kết quả tương tự

Đại số Lie nửa đơn và đại số Lie khả quy

2.1 Đại số Lie nửa đơn

Định nghĩa 2.1.1 Cho g là một đại số Lie trên trường k, hữu hạn chiềua) g được gọi là đơn (simple) nếu g không giao hoán và không tồn tại mộtiđêan khác không thực sự trong g

b) g là nửa đơn (semi simple) nếu g không có iđêan giải được khác khôngnào, tức là rad(g) = {0}

Nhận xét 2.1.2

1 Nếu g là đại số Lie đơn thì g = [g, g] vì nó chỉ có hai iđêan là {0}, g

Do đó g không giải được

2 Nếu g là đại số Lie đơn thì g là đại số Lie nửa đơn Điều ngược lại nóichung không đúng Chúng ta sẽ xem xét trong ví dụ 2.1.5 và 2.1.19

3 Mỗi iđêan là một đại số Lie nên ta có iđêan đơn

4 Nếu g là nửa đơn thì Z(g) = {0} Vì Z(g) là iđêan giao hoán của g nêngiải được

Mệnh đề 2.1.3 Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều Khi đó g/ rad(g)

là nửa đơn

19

Chứng minh Xét π : g −→ g/ rad(g) là toàn cấu chính tắc Giả sử h ⊂g/ rad(g) là iđêan giải được Ta có a = π−1(h) ⊂ g là iđêan của g VìKer(π|a) ⊂ rad(g) nên Ker(π|a) giải được Hơn nữa, h π(a) = a/ Ker(π|a) làgiải được Do đó a giải được, hay a ⊂ rad(g) Suy ra h = 0 Vậy g/ rad(g) lànửa đơn.

Mệnh đề 2.1.4 Mỗi đại số Lie 3 chiều hoặc là đơn hoặc là giải được.Chứng minh Mỗi đại số Lie 1 chiều hoặc là giao hoán Thật vậy, g = hX0i,với mỗi X, Y ∈ g, X = αX0, Y = βX0 nên [X, Y ] = αβ[X0, X0] = 0

Đại số Lie 2 chiều hoặc là giao hoán hoặc là giải được Gọi {U, V } là cơ sởcủa g Nếu [U, V ] = 0 thì với mỗi X, Y ∈ g, X = α1U + β1V, Y = α2U + β2V Khi đó [X, Y ] = [α1U + β1V, α2U + β2V ] = 0 Nếu [U, V ] 6= 0, do [U, V ] ∈ gnên [U, V ] = aU + bV, b 6= 0 (a, b không đồng thời bằng 0) Đặt X = 1

3 chiều Vì [g, g] = g nên g không giải được Do đó g đơn

Trở lại ví dụ 1.1.13, gl(2, R) có các iđêan là {0}, h, k, gl(2, R), trong đó

là iđêan đơn vì h/k là một iđêan của gl(2, R)/k, h/k 6= {0}, gl(2, R)/k

Ví dụ 2.1.6 Xét đại số Lie 3 chiều