Để ý rằng, hạt nhân không luôn tồn tại với mọi phạm trù.. Phải chứng minh hai chiều: sự tồn tại của coKerα − β dẫn đến sự tồn tại của coEquα, β và ngược lại.. Ta phải chứng minh: nếu tồn
Trang 1Thân tặng lớp Cao học Toán 13
Bài tập Lý thuyết Phạm trù
Kỳ Anh (http://kyanh.net/)
Huế, 21/05/2005 – Tam Kỳ, 04/01/2008
Tóm tắt nội dung Hướng dẫn giải một số bài tập (Phạm trù) trong Giáo trình Cơ sở Đại số hiện đại (Nguyễn Xuân Tuyến, Lê Văn Thuyết) Bảng đối chiếu các bài tập được cho ở trang 13.
Bài 1 Tìm ker, coKer, im, coIm của cấu xạ α = 0AB
Hint:
Bài 2 Tìm ker, coKer, im, coIm của cấu xạ α = 1A
Hint:
Bài 3 Nếu α : A → B đơn xạ thì im α = α
Hint:Đặt k = α Ta CMR k = im α
Trước hết, α có thể phân tích qua k Thật vậy, k = α = α · 1A
Giả sử có I và các cấu xạ s : A → I, t : I → B (trong đó, t đơn xạ) sao cho α = ts
A
I
s
?
?
?
?
?
?
?
I
t
(5) Khi đó, k = ts Như vậy, k là cấu xạ bé nhất mà α có thể phân tích được qua k
Bài 4 Nếu α : A → B toàn xạ thì coIm α = α
Trang 2Hint:Tương tự Bài 3.
Bài 5 Tìm cấu xạ f : B → C biết ker f = 1B
Hint:Giả sử ker f = 1B Theo định nghĩa của ker f , ta có f · ker f = f · 1B = f = 0BC
Bài 6 Nếu α đơn xạ thì ker α = 0 Điều ngược lại không đúng
Hint:Giả sử α : A → B và k = 00A Ta chứng minh k = ker α Trước hết, αk = 0 Giả sử
u : X → A sao cho αu = 0 Đặt γ = 0X0 thì αkγ = 0XB= αu Vì α đơn xạ, nên kγ = u Do
0 là vật tận cùng, nên γ tồn tại duy nhất Vậy k = ker α
NX 1 Trong chứng minh trên, ta chỉ sử dụng các định nghĩa Để ý rằng, hạt nhân không luôn tồn tại với mọi phạm trù Do đó, từ αk = α0 và α đơn xạ ta chỉ suy ra được k = 0 mà không suy ra được k là hạt nhân
Bài 7 Trong phạm trù cộng tính, nếu ker α = 0 thì α : A → B đơn xạ
Hint:Xét u, v : X → A sao cho αu = αv Do phạm trù cộng tính, ta có α(u−v) = αu−αv =
0 Vì ker α = 0 nên tồn tại γ : X → 0 để u − v = ker α · γ = 0XA Từ đây suy ra u = v
Bài 8 Trong phạm trù khớp, nếu ker α = 0 thì α : A → B đơn xạ
Hint:Giả sử u, v : X → A sao cho αu = αv Vì phạm trù khớp, ta có thể phân tích α = ts với t = ker(coKer α) và s = coKer(ker α) Vậy t(su) = t(sv) Vì t đơn xạ1 nên su = sv Mà
s = coKer(ker α) = coKer 00A = 1A (xem Bài 1) nên từ su = sv ta có ngay u = v
Có thể chứng minh theo cách sau2: Phân tích α = ts với s = coKer(ker α) = 1A Khi đó,
α = t = ker(coKer α) đơn xạ (do hạt nhân đơn xạ)
Bài 9 Trong phạm trù cộng tính, nếu coKer α = 0 thì α : A → B toàn xạ
Hint:Lấy u, v : B → X sao cho uα = vα Vì phạm trù cộng tính, (u − v)α = uα − vα = 0
Do coKer α = 0 nên tồn tại γ : 0 → X sao cho u − v = γ · coKer α = 0BX Suy ra u = v
Bài 10 Trong phạm trù khớp, nếu coKer α = 0 thì α : A → B toàn xạ
Hint: Lấy u, v : B → X sao cho uα = vα Phân tích α = ts với t = ker(coKer α) và s = coKer(ker α) Ta có (ut)s = (vt)s Mà s toàn xạ3 nên ut = vt Để ý rằng t = ker(coKer α) = ker 0B0= 1B (xem Bài 1) Vậy u = v
1 Mọi hạt nhân đều đơn xạ.
2 Thanks to Sir Nguyễn Ngọc Sang.
3
Đối hạt nhân là toàn xạ.
Trang 3Có thể chứng minh theo cách sau4: Phân tích α = ts với t = ker(coKer α) = 1B Khi đó,
α = s = coKer(ker α) toàn xạ (do đối hạt nhân toàn xạ)
Bài 11 Trong phạm trù khớp, dãy 0 −→ A−−→ B khớp khi và chỉ khi α đơn xạ.α
Hint:Dãy 0 −→ A−−→ B khớp khi và chỉ khi im 0α 0A= ker α = 00A
Bài 12 Trong phạm trù khớp, dãy A−−→ B −→ 0 khớp khi và chỉ khi α toàn xạ.α
Hint: Vì phạm trù khớp, ta có thể phân tích α = uv với u = ker(coKer α) = im α và
v = coKer(ker α) Dãy A−−→ B −→ 0 khớp khi và chỉ khiα
im α = ker 0B0= 1B= u = ker(coKer α) (6) Theo Bài 5, điều này tương đương với coKer α = 0BC (tức α toàn xạ)
Bài 13 Trong phạm trù khớp, dãy 0 −→ A−−→ B −→ 0 khớp và chỉ khi α đẳng xạα 5
Hint:Nếu α đẳng xạ, thì α song xạ; theo kết quả của các bài trên, ta có dãy đã cho khớp Bây giờ, giả sử dãy đã cho khớp Ta chứng minh α đẳng xạ bằng cách chỉ ra cấu xạ
β : B → A sao cho αβ = 1B và βα = 1A
Do α đơn xạ trong phạm trù khớp, ta có α = ker(coKer α) Do α toàn xạ, coKer α = 0BO;
do đó, ker(coKer α) = ker 0B0= 1B Như vậy, α và 1B đều là hạt nhân của coKer α
Vì 1B là hạt nhân của coKer α và vì coKer α · α = 0, ta suy ra tồn tại β : B → A sao cho
1B= αβ
Với β đó, ta có α1A= α = 1Bα = αβα Mà α đơn xạ, nên 1A= βα
Tóm lại, β thỏa mãn αβ = 1B và βα = 1A
Bài 14 Trong phạm trù khớp, nếu α : A → B đơn xạ thì α = ker(coKer α)
Hint:Phân tích α = uv với v = coKer(ker α) = coKer 00A = 1A
Bài 15 Trong phạm trù khớp, nếu α : A → B toàn xạ thì α = coKer(ker α)
Hint:Phân tích α = uv với u = ker(coKer α) = ker 0B0= 1B
Bài 16 Trong phạm trù cộng tính, equ(α, β) = ker(α − β)
4 Thanks to Sir Nguyễn Ngọc Sang.
5 hoặc α song xạ.
Trang 4Hint:Đặt k = equ(α, β) : E → A Ta CMR k = ker(α − β).
Trước hết, (α − β)k = αk − βk = 0EB (vì αk = βk)
Giả sử có l : X → A sao cho (α − β)l = 0XB Suy ra αl − βl = 0 hay αl = βl Theo định nghĩa của đẳng hóa k, tồn tại duy nhất γ : X → E để l = kγ
Ngược lại, giả sử tồn tại k : E → A là hạt nhân của α − β Ta CMR rằng k = equ(α, β) Trước hết, ta có αk − βk = (α − β)k = 0 do k là hạt nhân của α − β
Giử sử có u : X → A sao cho αu = βu Do phạm trù cộng tính, ta suy ra (α − β)u = 0XB
Do đó, theo định nghĩa của hạt nhân k, tồn tại duy nhất γ : X → E sao cho u = kγ
Vậy k là đẳng hóa equ(α, β)
Bài 17 Trong phạm trù cộng tính, coEqu(α, β) = coKer(α − β)
Hint:Tương tự Bài 16 Phải chứng minh hai chiều: sự tồn tại của coKer(α − β) dẫn đến sự tồn tại của coEqu(α, β) và ngược lại
Bài 18 Nếu β : B → C đơn xạ thì ker(βα) = ker α với mọi α : A → B
NX 2 Ta phải chứng minh: nếu tồn tại ker α thì cũng tồn tại ker(βα) và ker(βα) = ker α
Và ngược lại, nếu tồn tại ker(βα) thì cũng tồn tại ker α
Ý nghĩa của bài toán này là, nếu ta nối một đơn xạ vào bên phải một cấu xạ, thì hạt nhân của cấu xạ đó không thay đổi
Hint:Đặt k : K → A là hạt nhân của α Ta chứng minh k = ker(βα)
Trước tiên, ta có (βα)k = β(αk) = β0KB = 0KC
Giả sử có l : X → A sao cho (βα)l = β(αl) = 0XC Do β đơn xạ, ta có αl = 0XB Do định nghĩa của k, tồn tại duy nhất p : X → K để l = kp
Vậy k là hạt nhân của βα
Bây giờ, giả sử tồn tại k : K → A là hạt nhân của βα Ta chứng minh k = ker α
Trước hết, ta có (βα)k = β(αk) = 0KC, mà β đơn xạ, nên αk = 0KB
Nếu có u : X → A sao cho αu = 0XB thì ta cũng có (βα)u = β(αu) = 0XC Theo định nghĩa của k, tồn tại duy nhất cấu xạ p : X → K sao cho u = kp
Vậy k là hạt nhân của α
Bài 19 Nếu α : A → B toàn xạ thì coKer(βα) = coKer(β) với mọi β : B → C
NX 3 Ý nghĩa: nếu ta nối một toàn xạ vào bên trái một cấu xạ, thì đối hạt nhân của cấu
xạ đó không thay đổi
Hint:Đặt k : C → K là đối hạt nhân của β Ta chứng minh k = coKer(βα)
Trước hết, ta có k(βα) = (kβ)α = 0BKα = 0AK
Giả sử có l : C → X sao cho l(βα) = (lβ)α = 0AX Vì α toàn xạ, ta có lβ = 0BX Theo định nghĩa của của đối hạt nhân k, tồn tại duy nhất p : K → X sao cho l = pk
Trang 5Vậy k là đối hạt nhân của βα.
Ngược lại, giả sử tồn tại k : C → K là đối hạt nhân của βα Ta chứng minh k = coKer β
Ta có k(βα) = (kβ)α = 0AK, mà α toàn xạ, nên kβ = 0BK Bây giờ, nếu có l : C → X sao cho lβ = 0BX thì ta cũng có l(βα) = (lβ)α = 0AX Do k là đối hạt nhân của βα, tồn tại duy nhất p : K → X sao cho l = pk Vậy k là đối hạt nhân của β
Bài 20 Trong phạm trù abel, vật Q nội xạ khi và chỉ khi dãy khớp
0 −→ A0−−→ Aα −−→ Aβ 00−→ 0 (7) cảm sinh dãy khớp
0 −→ [A00, Q]−−→ [A, Q]F −−→ [AG 0, Q] −→ 0 (8)
NX 4
1 Trong phạm trù cộng tính, các tập hợp [X, Y ] là nhóm cộng abel Do đó, dãy (8) gồm các vật trong phạm trù nhóm; các cấu xạ F , G là đồng cấu nhóm mà ta sẽ xác định (Từ đây suy ra, ta phải chứng minh chẳng hạn F đơn cấu và G toàn cấu.)
2 Kết quả bài tập này tương tự kết quả đã biết trong lý thuyết các module M -nội xạ
Hint:Trước hết, ta xác định F , G như sau
F (u) = uβ, G(v) = vα, u ∈ [A00, Q], v ∈ [A, Q] (9)
Sử dụng tính cộng tính của phạm trù, ta chứng minh được F và G là các đồng cấu nhóm
Ta chứng minh rằng dãy khớp (7) cảm sinh dãy khớp
0 −→ [A00, Q]−−→ [A, Q]F −−→ [AG 0, Q] (10) bất kể vật Q có nội xạ hay không
Ta có F đơn cấu Thật vậy, nếu F (u) = uβ = 0 với u : A00→ Q, thì vì β toàn xạ, ta có
u = 0 Bây giờ, lấy u ∈ [A00, Q] thì
G F (u) = G(uβ) = (uβ)α = u(βα) = u0 = 0 (11) Điều này có nghĩa im F ⊂ ker G Ta còn phải chứng minh ker G ⊂ im F Lấy v ∈ ker G, tức
v ∈ [A, Q] mà G(v) = vα = 0 Ta phải tìm u ∈ [A00, Q] để F (u) = uβ = v
Với α trong phạm trù khớp, ta có thể phân tích α = ts với t = ker(coKer α) = im α và
s = coKer(ker α) = coIm α Như vậy, G(v) = vα = v · im α · coIm α = 0 Do coIm α toàn xạ,
ta suy ra v im α = 0
Do dãy (7) khớp, ta có im α = ker β Rốt cuộc, ta có v ker β = 0 Theo Bài 15, với β toàn
xạ, ta có β = coKer(ker β) (tức β là đối hạt nhân của ker β) Do đó, từ v ker β = 0 và định nghĩa của đối hạt nhân, ta suy ra tồn tại u : A00 → Q sao cho uβ = v Rõ ràng, với u đó,
F (u) = uβ = v
Trang 6Cuối cùng, ta phải chứng minh rằng vật Q nội xạ khi và chỉ khi dãy khớp
cảm sinh dãy khớp
Để ý rằng, dãy (12) khớp khi và chỉ khi α đơn xạ (xem Bài 11) Trong khi đó, dãy (13) khớp khi và chỉ khi G là toàn cấu, tức với mọi cấu xạ v : A0 → Q tồn tại cấu xạ u : A → Q sao cho G(u) = v = uα So sánh với định nghĩa của vật nội xạ, ta có điều phải chứng minh :-)
Bài 21 Trong phạm trù abel, vật P xạ ảnh khi và chỉ khi dãy khớp
0 −→ A0−−→ Aα −−→ Aβ 00−→ 0 (14) cảm sinh dãy khớp
0 −→ [P, A0]−−→ [P, A]F −−→ [P, AG 00] −→ 0 (15)
Hint:Các đồng cấu F , G được xác định như sau
F (u) = αu, G(v) = βv, u ∈ [P0, A], v ∈ [P, A] (16)
Ta chứng minh trước hết rằng dãy khớp (14) cảm sinh dãy khớp
0 −→ [P, A0]−−→ [P, A]F −−→ [P, AG 00] (17) bất kể vật P có xạ ảnh hay không
Trước hết, F đơn xạ Thật vậy, với u ∈ [P, A0] mà F (u) = αu = 0, ta có u = 0 do α đơn
xạ Ta chứng minh dãy (17) khớp tại [P, A] Với u ∈ [P, A0], ta có
G F (u) = G(αu) = β(αu) = (βα)u = 0u = 0 (18)
Do đó, im F ⊂ ker G Ta còn phải chứng minh ker G ⊂ im F Lấy v ∈ ker G, tức v ∈ [P, A]
mà G(v) = βv = 0 Ta phải tìm u ∈ [P, A0] sao cho F (u) = αu = v
Trong phạm trù khớp, ta có thể phân tích β = (im β) · s với s = coKer(ker β) khi đó,
Vì im β đơn xạ, nên s · v = coKer(ker β) · v = 0 Vì dãy (14) khớp, ta có im α = ker β; suy ra coKer(im α)·v = 0 Vì α đơn xạ, nên theo Bài 3, ta có im α = α và do đó (coKer α)·v = 0 Lại theo kết quả Bài 14, đối với đơn xạ α, ta có α = ker(coKer α) (hay α là hạt nhân của coKer α)
Từ định nghĩa của hạt nhân, ta suy ra tồn tại cấu xạ u : P → A0 sao cho v = αu = F (u) Đó
là điều phải chứng minh
Để hoàn thành phần còn lại của bài toán, ta lập luận tương tự phần cuối của Bài 20
Bài 22 Hàm tử G : D → C có hàm tử F : C → D phụ hợp bên trái G khi và chỉ khi với mỗi vật A trong C, hàm tử
biểu diễn được
Trang 7Hint: Hàm tử6 GA: với β : Y → Y0, thì GA(β) : [A, G(Y )] → [A, G(Y0)] xác định bởi:
GA(β)(u) = G(β)u với u ∈ [A, G(Y )]
Giả sử G có hàm tử F phụ hợp bên trái G Ta chứng minh rằng, với mỗi A ∈ Ob(C), hàm
tử GA biểu diễn được bởi vật F (A) ∈ D
Sự tồn tại của F nghĩa là hai hàm tử sau tương đương tự nhiên
F : C × D −→ S, (X, Y ) 7−→ [F (X), Y ], (X0, Y )−−−→ (X, Y(α,β) 0) 7−→ F (α, β) : [F (X), Y ] −→ [F (X0), Y0],
F (α, β)(g) = β · g · F (α);
(21)
G : C × D −→ S, (X, Y ) 7−→ [X, G(Y )], (X0, Y )−−−→ (X, Y(α,β) 0) 7−→ G(α, β) : [X, G(Y )] −→ [X0, G(Y0)],
G(α, β)(g) = G(β) · g · α
(22)
Ký hiệu tX,Y : [X, G(Y )] → [F (X), Y ] là song ánh để biểu đồ
[X0, G(Y0)] t [F (X0), Y0]
X0,Y 0
[X, G(Y )]
[X0, G(Y0)]
G(α,β)
[X, G(Y )] tX,Y //[F (X), Y ][F (X), Y ]
[F (X0), Y0]
F (α,β)
(23)
giao hoán với mọi (α, β) : (X0, Y ) → (X, Y0) Bây giờ, cố định vật A ∈ Ob(C) và đặt
R = F (A) Từ sơ đồ trên với X = A ∈ Ob(C), α = 1Avà β ∈ [Y, Y0], ta có sơ đồ giao hoán:
[A, G(Y0)] t [F (A), Y0]
A,Y 0
[A, G(Y )]
[A, G(Y0)]
G(1 A ,β)
[A, G(Y )] tA,Y //[F (A), Y ][F (A), Y ]
[F (A), Y0]
F (1 A ,β)
(24)
Để ý rằng, F (1A, β)(u) = β · u · F (1A) = βu, và tương tự G(1A, β)(u) = G(β)u
Xét hàm tử HR như sau:
HR: D −→ S,
Y 7−→ HR(Y ) = [R, Y ],
Y −−→ Yβ 0 7−→ HR(β) : [R, Y ] −→ [R, Y0],
HR(β)(u) = βu
(25)
Với lưu ý R = F (A) và cách xác định F (1A, β), ta có HR(β)(u) = βu = F (1A, β)(u)
6
Có cần kiểm tra G A là hàm tử?
Trang 8Để chứng minh hàm tử GA biểu diễn được (bởi F (A)), ta chứng minh hàm tử GA tương đương tự nhiên7 với hàm tử HR Xét ánh xạ r như sau:
r : Ob(D) −→ Mor(S)
Y 7−→ r(Y ) : HR(Y ) −→ GA(Y ), (26)
ở đây, HR(Y ) = [R, Y ], GA(Y ) = [A, Y ] và ta chọn r(Y ) = (tA,Y)−1 (khi đó, hiển nhiên r(Y )
là song ánh) Ta cần chỉ ra rằng sơ đồ sau giao hoán (với β ∈ [Y, Y0])
[R, Y0] [A, G(Y0)]
r(Y 0 ) //
[R, Y ]
[R, Y0]
HR(β)
[R, Y ] r(Y ) //[A, G(Y )][A, G(Y )]
[A, G(Y0)]
G A (β)
Từ sơ đồ giao hoán (24) với để ý GA(β)(u) = G(β)u = G(1A, β)(u) và HR(β)(u) = βu =
F (1A, β)(u) và r(Y ) = (tA,Y)−1, ta có ngay điều phải chứng minh — Nếu bạn vẫn chưa hiểu, hãy theo dõi chứng minh sau: từ (24), ta có
F (1A, β) · tA,Y = tA,Y0· G(1A, β)
⇐⇒ HR(β) · tA,Y = tA,Y0· GA(β)
⇐⇒ (tA,Y0)−1· HR(β) = GA(β) · (tA,Y)−1
⇐⇒ r(Y0) · HR(β) = GA(β) · r(Y ),
(28)
tức là (27) giao hoán
NX 5 Việc tìm ra R = F (A) xuất phát từ việc quan sát (27) (cần) và (24) (có)
Hint: Để làm phần đảo của bài toán, cần sử dụng phạm trù biểu diễn của một hàm tử Chứng minh của phần này8 có thể tìm thấy trong nhiều tài liệu về lý thuyết phạm trù
Bài 23 Cho M là R-S module cố định Các hàm tử9
F : Mod-R −→ Mod-S,
X 7−→ X ⊗ M,
α 7−→ α ⊗ 1;
G : Mod-S −→ Mod-R,
Y 7−→ Hom(M, Y ),
β 7−→ Hom(1, β)
(29)
liên hợp, và sự liên hợp của chúng
HomS(X ⊗RM, Y ) −→ HomR X, HomS(M, Y )
(30)
là đẳng cấu của các nhóm abel
7 Thanks to Nguyễn Thái An.
8
Vượt quá khả năng của tác giả :D
9
Cần kiểm tra F , G là các hàm tử.
Trang 9Hint:Trước hết, ta xây dựng đẳng cấu
KX,Y = K : HomS(X ⊗RM, Y ) −→ HomR X, HomS(M, Y ) (31) Với mỗi u ∈ Hom(X ⊗ M, Y ) và x ∈ X, ta xét ánh xạ K(u)(x) như sau
Ta chứng minh được K(u)(x) ∈ Hom(M, Y ) và K(u) ∈ HomR X, HomS(M, Y )
Bước tiếp theo, ta chứng minh được K là đồng cấu nhóm, tức K thỏa mãn
K(u + v) = K(u) + K(v), u, v ∈ Hom(X ⊗ M, Y ) (33) Bây giờ, ta chứng minh K là đơn cấu Nếu K(u) = 0 với u nào đó, thì
K(u)(x)(m) = u(x ⊗ m) = 0, x ∈ X, m ∈ M (34)
Vì tập hợp {x ⊗ m : x ∈ X, m ∈ M } là hệ sinh của X ⊗ M , nên từ (34) ta suy ra u = 0
Ta chứng minh K là toàn cấu
Lấy v ∈ HomR X, HomS(M, Y ) Ta sẽ chỉ ra u ∈ Hom(X ⊗ M, Y ) để K(u) = v Xét ánh
xạ f : X × M → Y như sau:
Ta có f là ánh xạ song tuyến tính Do đó, theo định nghĩa của tích tensor X ⊗ M , tồn tại (duy nhất) đồng cấu u : X ⊗ M → Y sao cho
Với u đó, ta có u ∈ Hom(X ⊗ M, Y ) và K(u) = v
Hint:Bây giờ, ta chứng tỏ F là phụ hợp bên trái của G Với (α, β) : (X0, Y ) → (X, Y0), ta xác định các ánh xạ F (α, β) và G(α, β) như sau:
F (α, β)(u) = β · u · F (α); G(α, β)(v) = G(β) · v · α; (37)
sự xác định của các ánh xạ này được thể hiện qua hai sơ đồ sau:
F (X0)−−−→ F (X)F (α) −−→ Yu −−→ Yβ 0; (38)
X0 −−→ Xα −−→ G(Y )v −−−→ G(YG(β) 0) (39)
Ta phải chứng tỏ rằng10 sơ đồ sau đây giao hoán (với HX,Y = KX,Y−1 ):
[X0, G(Y0)] H [F (X0), Y0]
X0,Y 0
[X, G(Y )]
[X0, G(Y0)]
G(α,β)
[X, G(Y )] HX,Y //[F (X), Y ][F (X), Y ]
[F (X0), Y0]
F (α,β)
10 Để ý: [X, G(Y )] = Hom`X, Hom(M, Y )´ và [F (X), Y ] = Hom(X ⊗ M, Y ).
Trang 10tức là phải chứng minh
F (α, β) HX,Y(u) = HX0 ,Y 0 G(α, β)(u) (41) với mọi u ∈ Hom X, Hom(M, Y ) Với x0∈ X0 và m ∈ M , ta có
F (α, β) HX,Y(u)(x0⊗ m) =β · HX,Y(u) · (α ⊗ 1)(x0⊗ m)
=β · HX,Y(u) α(x0) ⊗ m
= βHX,Y(u) α(x0) ⊗ m
= βu α(x0)(m)
(42)
và vì G(β)(v) = Hom(1, β) (v) = β · v, ta có
HX 0 ,Y 0 G(α, β)(u)(x0⊗ m) = HX0 ,Y 0G(β) · u · α(x0⊗ m)
= G(β) · u · α(x0
)(m)
= G(β)u α(x0)(m)
=β · u α(x0)(m)
= βu α(x0)(m)
(43)
Vậy (41) được nghiệm đúng với mọi u ∈ Hom X, Hom(M, Y )
Bài 24 Với A ∈ Ob(R-Mod), hàm tử HA= HomR(A, −) : R-Mod −→ Ab khớp trái
Hint:Hàm tử F = HAxác định bởi
X 7−→ F (X) = [A, X] = Hom(A, X),
X−−→ Xα 0 7−→ F (α) : Hom(A, X) −→ Hom(A, X0),
F (α)(u) = α · u, u ∈ Hom(A, X)
(44)
Ta chứng minh được F là hàm tử hiệp biến, cộng tính
NX 6 Các phạm trù Ab và R-Mod đều abel (khớp, cộng tính, có tích hữu hạn) Do đó, để chứng minh HA khớp, ta chứng minh rằng mọi dãy khớp
cảm sinh dãy khớp các nhóm abel
0 −→ Hom(A, X)−−−→ Hom(A, Y )F (α) −−−→ Hom(A, Z).F (β) (46) Kết quả này đã có lý thuyết module Dưới đây, ta chỉ sử dụng định nghĩa để giải bài toán
Hint: Xét dãy đồng cấu X −−→ Yα −−→ Y , trong đó, α = ker β, tức là X = Ker β và α làβ phép nhúng X vào Y Ta phải chứng minh rằng trong sơ đồ
F (X)−−−→ F (Y )F (α) −−−→ F (Z)F (β) (47)