Hàm đa trị dành cho cao hoc năm 2

Biên soạn: Dương Duốc Duy I... • F được gọi là đa trị Lipschitz địa phương... Biên soạn: Dương Duốc Duy Cho X, Y là hai không gian mêtric... ii G: Y ⇉ X là ánh xạ đa trị liên tục với gi

Biên soạn: Dương Duốc Duy

I Kiến thức cũ:

♦ Họ các tập con của tập X ≠ ∅ được kí hiệu là (X) hoặc 2X

♦ Cho không gian mêtric X, tập khác rỗng A ⊂ X, xo ∈ X và số thực r > 0

• Tập U ⊂ X được gọi là lân cận của tập A nếu ∃r > 0 sao cho B(A, r) ⊂ U

♦ Khoảng cách Hausdorff của hai tập khác rỗng A, B ⊂ X là:

dH (A, B) = max{ sup

d(x, B), sup d(y, A)

}

♦ Cho X là không gian định chuẩn và tập A, B ⊂ X

• Tập A được gọi là tập lồi nếu ∀x; y ∈ A, ∀α ∈ [0; 1]: αx + (1 - α)y ∈ A

• Bao lồi của tập A là:

• F là ánh xạ đa trị đóng (compact, lồi)

⇔ GrF là tập đóng (compact, lồi) trong X×Y

Bài tập 1:

Cho X, Y là hai không gian định chuẩn, F: X  Y Chứng minh:

a) F đóng ⇒ F có giá trị đóng

b) F compact ⇒ F có giá trị compact

c) F lồi ⇒ F có giá trị lồi

Giải:

a) ∀x ∈ X, xét dãy (yn)n ⊂ F(x) sao cho lim yn = y , ta có:

Biên soạn: Dương Duốc Duy

• F lồi ⇔ GraphF là tập lồi trong X×Y

Nên, α(x, y) + (1 - α)(x, z) = (αx + (1- α)x, αy + (1- α)z) = (x, αy + (1- α)z) ∈ GraphF

Cho X, Y là hai không gian mêtric, F: X  Y là ánh xạ đa trị, xo ∈ domF

♦ F được gọi là nữa liên tục trên tại xo nếu với mọi lân cận V = VF(xo) của F(xo), tồn tại lân cận

U = Uxo của xo sao cho F(U) ⊂ V

• Kí hiệu: F là usc tại xo

♦ F được gọi là nữa liên tục dưới tại xo nếu ∀yo ∈ F(xo), với mọi lân cận V của yo , tồn tại lân cận U của xo sao cho F(x)∩V ≠ ∅ , ∀x ∈ U

• Kí hiệu: F là lsc tại xo

U(1): lân cận của 1

V( F(1) ) lân cận

e neáu x < 1e; e neáu x = 1

Cho X, Y, Z là các không gian mêtric, F: X  Y và G: Y  Z là các ánh xạ đa trị usc trên

X Khi đó, GoF: X  Z là ánh xạ đa trị usc

U của F(xo) sao cho G(U) ⊂ V

• F là usc tại xo ⇒ tồn tại lân cận W =

o

x

W của xo sao cho F(W) ⊂ U

Do đó G(F(W)) ⊂ G(U) ⊂ V

Nên GoF là usc tại xo , ∀xo ∈ X

Vậy GoF là usc trên X

Biên soạn: Dương Duốc Duy

Nên tồn tại một lân cận N(xo) ⊂ X của xo, tồn tại một lân cận N(y) ⊂ Y của y

Sao cho N(xo)×N(y) ⊂ X×Y∖GraphG

⇒ N(xo)×N(y) ∩ GraphG = ∅

Khi đó, ∀x ∈ N(xo):

• Nếu ∃z ∈ G(x)∩N(y) thì (x, z) ∈ GraphG và (x, z) ∈ N(xo)×N(y)

⇒ (x, z) ∈ N(xo)×N(y) ∩ GraphG ≠ ∅ (mâu thuẫn)

Nên theo định lý 1: F∩G(x) = F(x)∩G(x) = Y∩G(x) = G(x) là usc tại xo

Vậy, G là usc trên x

y = ax

F(0)

y = 0 1

-1

y

x 0

♦ Hệ quả 2:

Cho X, Y là hai không gian mêtric, F: X  Y là ánh xạ đa trị đóng, r: X → ℝ+ là hàm đơn trị nửa liên tục trên Nếu Y là không gian hữu hạn chiều thì ánh xạ đa trị Fr: X → Y xác định bởi Fr(x) = F(x)∩(r(x).B) , ∀x ∈ X ( với B = B(0,1) ⊂ Y ) là usc

♦ Mệnh đề 3:

Cho X, Y là hai không gian mêtric, F: X ⇉ Y là ánh xạ đa trị Nếu F là đa trị chặt, usc, có giá trị compact và X compact thì F(x) compact

Bài tập 2:

Cho ánh xạ đa trị F:  →  cho bởi F(a) = { (x, y) ∈ 2  | y = ax} 2

Chứng minh F có đồ thị đóng nhưng không usc tại a = 0

♦ GraphF = {(a, z)| z = (x, y) ∈ F(a)}

Xét dãy ((an , zn))n ⊂ GraphF với zn = (xn, yn) ∈ F(an) ,∀n ∈ ℕ

sao cho lim(an, zn) = (a, z) ∈   và z = (x, y) ∈  2  2

* n

n

lim a = a lim x = xlim y =

Đặt V = {(x, y) ∈  | -1 < y < 1} ⇒ V là tập mở và F(0) ⊂ V nên V là lân cận của F(0) 2

Với mọi lân cận U của 0, ∃b ∈ U: b ≠ 0

Cho X, Y là hai không gian mêtric, F: X ⇉ Y là ánh xạ đa trị chặt Khi đó:

F usc ⇔ Ảnh ngược của mổi tập đóng trong Y là tập đóng trong X

Biên soạn: Dương Duốc Duy

(⇐) Ảnh ngược của mổi tập đóng trong Y là tập đóng trong X

• ∀x ∈ X, với mọi lân cận mở V của F(x): Y\V là tập đóng

Cho F: X ⇉ Y là ánh xạ đa trị và xo ∈ domF Lúc đó: F lsc tại xo nếu ∀(xn) ⊂ X, lim xn = xo

và ∀yo ∈ F(xo) thì ∃yn ∈ F(xn) sao cho lim yn = yo

(⇐) ∀(xn) ⊂ X, lim xn = xo và ∀yo ∈ F(xo) thì ∃yn ∈ F(xn) sao cho lim yn = yo

Giả sử F không lsc tại xo

⇒ ∃yo ∈ F(xo), tồn tại một lân cận mở U của yo sao cho với mọi lân cận V của xo:

F(x) ∩ U = ∅, ∀x ∈ V

⇒ ∀n ∈ ℕ* : B(xo, 1/n) là lân cận mở của xo nên F(xn) ∩ U = ∅ , với xn ∈ B(xo, 1/n) (*)

Do xn ∈ B(xo, 1/n), ∀n ∈ ℕ* nên limxn = xo

Mặt khác yo ∈ F(xo)

Nên ∃yn ∈ F(xn) sao cho lim yn = yo

⇒ với n đủ lớn: yn ∈ U (do U là lân cận của yo)

⇒ yn ∈ F(xn) ∩ U ( mâu thuẫn với (*) )

Biên soạn: Dương Duốc Duy

Do đó, G không usc tại 0

• ∀yo ∈ G(0) = {0}, với mọi lân cận V của yo: yo = 0

Cho X, Y là hai không gian mêtric và F: X ⇉ Y

• F được gọi là đa trị Lipschitz địa phương

Là ánh xạ đa trị Lipschitz với hằng số K

( trong đó: coF(x) = convectF(x) =

G F(x) G

Biên soạn: Dương Duốc Duy

Cho X, Y là hai không gian mêtric Nếu

i) W: X×Y → ℝ liên tục trên X×Y

ii) G: Y ⇉ X là ánh xạ đa trị liên tục với giá trị compact

Khi đó, V là hàm liên tục trên Y và M là usc trên Y

7.Định lý 4:

Cho X, Y là hai không gian mêtric Nếu

i) W: X×Y → ℝ Lipschitz với hằng số L

( nghĩa là | W(x, y) - W(x’, y’) | ≤ L [ d(x,x’) + d(y, y’) ] ,∀(x,y) ; (x’,y’) ∈ X×Y )

ii) G: Y ⇉ X là ánh xạ đa trị Lipschitz với hằng số c

( nghĩa là G(y) ⊂ B’(G(y’), c.d(y,y’)) , ∀y; y’ ∈ Y )

Thì V là hàm số lipschitz với hằng số k = L(c + 1)

( nghĩa là | V(y) - V(y’) | ≤ k d(y, y’) , ∀y ; y’ ∈ Y )

Biên soạn: Dương Duốc Duy

I Kiến thức cũ:

• F là đa trị chân chính (hay không suy biến hay không tầm thường)

⇔ DomF = {x ∈ X | F(x) ≠ ∅} ≠ ∅

• F là đa trị chặt (hay thật sự) ⇔ DomF = X

• Đồ thị của F là GrapF = GrF = { (x, y) ∈ X×Y : y ∈ F(x) }

• F lồi ⇔ GraphF lồi

♦ F là một quá trình ⇔ GraphF là một nón trong X×Y

♦ F là một quá trình lồi ⇔ GraphF là một nón lồi trong X×Y

♦ F là một quá trình lồi đóng ⇔ GraphF là một nón lồi, đóng trong X×Y

(⇒) F lồi

⇒ GraphF là tập lồi trong X×Y

Nên

∀x1; x2 ∈ DomF, ∀α ∈ [0, 1], ∀y1 ∈ F(x1) và ∀y2 ∈ F(x2): (x1, y1), ( x2, y2) ∈ GraphF

⇒ (αx1 + (1 – αx2); αy1 + (1 – αy2)) = α(x1, y1) + (1 – α)( x2, y2) ∈ GraphF

⇒ α(x1, y1) + (1 – α)( x2, y2) = (αx1 + (1 – αx2); αy1 + (1 – αy2)) ∈ GraphF

⇒ GraphF là tập lồi trong X×Y

♦ Chứng minh α.F(x) ⊂ F(α.x)

• Nếu F(x) = ∅ thì α.F(x) ⊂ F(α.x)

• Nếu F(x) ≠ ∅ thì ∀y ∈ F(x): (x, y) ∈ GraphF

⇒ (αx, αy) = α(x, y) ∈ GraphF ⇒ αy ∈ F(αx)

Biên soạn: Dương Duốc Duy

⇒ F là một quá trình và GraphF là một tập lồi

∀x1 ; x2 ∈ X, ∀y1 ∈ F(x1), ∀y2 ∈ F(x2): (x1, y1) , (x2, y2) ∈ GraphF

Do đó, DomF là một nón

• ∀x1, x2 ∈ DomF, ∀α ∈ [0, 1], ∃y1 ∈ F(x1), ∃y2 ∈ F(x2):

α.y1 + (1 – α).y2 ∈ F(α.x1 + (1 – α).x2) (theo i)

• ∀(y, x) ∈ GraphF-1 , ∀α > 0: x ∈ F-1(y) ⇒ y ∈ F(x)

⇒ (x, y) ∈ GraphF ⇒ α(x, y) = (αx, αy) ∈ GraphF ⇒ αy ∈ F(αx)

⇒ αx ∈ F-1(αy) ⇒ α(y, x) = (αy, αx) ∈ GraphF-1

Biên soạn: Dương Duốc Duy

⇒ α.x1 + (1 – α)x2 ∈ F-1

(α.y1 + (1 – α)y2)

⇒ (α.y1 + (1 – α)y2, α.x1 + (1 – α)x2) ∈ GraphF-1

⇒ α.(y1; x1) + (1 – α).(y2 ; x2) ∈ GraphF-1

Do đó, GraphF-1 là tập lồi nên F-1 lồi

♦ Xét ((yn, xn))n ⊂ GraphF-1 sao cho lim(yn, xn) = (y, x) ∈ Y×X

Cho X, Y là hai không gian Banach, F: X ⇉ Y là ánh xạ đa trị lồi, đóng, chân chính

(domF ≠ ∅) sao cho int(ImF) ≠ ∅ Khi đó, ∀yo ∈ int(ImF) và ∀xo ∈ F-1(yo) thì ∃γ > 0 sao cho

∀x ∈ DomF, ∀y ∈ B(yo, γ) ta được d(x, F-1(y)) ≤ 1

X ; Y là hai không gian Banach P, Q là các nón lồi, đóng, khác ∅ sao cho P ⊂ X, Q ⊂ Y và

A ∈ ℒ(X, Y) Giả sử Y = A(P) – Q, ∀y ∈ Y đặt F-1(y) = {x ∈ P : Ax ∈ Q + y}

Khi đó, F-1 là ánh xạ Lipschit

Biên soạn: Dương Duốc Duy

( Tức là ∃γ > 0, ∀y1 ; y2 ∈ Y: F-1(y1) ⊂ B(F-1(y2), 1

 ||y1 – y2|| ) )

♦ Hệ qủa 4: ( định lý ánh xạ mở trong đơn trị )

Cho X, Y là hai không gian Banach, A là toán tử tuyến tính, liên tục, toàn ánh Khi đó, ánh

xạ đa trị A-1: Y ⇉ X là ánh xạ Lipschitz và A là ánh xạ mở

2 Định lý ánh xạ mở trong đa trị:

Cho X, Y là hai không gian Banach, F: X ⇉ Y là quá trình lồi, đóng, ImF = Y Khi đó, F-1

là ánh xạ đa trị Lipschitz

• X, Y là hai không gian Banach

• F là quá trình lồi, đóng ⇒ 0 ∈ F(0) ⇒ 0 ∈ DomF

• ImF = Y ⇒ int(ImF) ≠ ∅ và F chân chính ( DomF ≠ ∅ )

γ F-1(y): ||xo|| ≤ 1

γ F-1(y) )

Biên soạn: Dương Duốc Duy

♦ Hệ quả 1: ( Định lý đồ thị đóng trong đơn trị)

Cho X, Y là hai không gian Banach, A ∈ L(X, Y) và GraphA đóng trong X×Y Lúc đó, A liên tục

y

0

A(x, y)

Chương 3: Đạo Hàm Của Ánh Xạ Đa Trị

Trong phần này ta xác định X là không gian định chuẩn, M là tập con rỗng của X và xo ∈ M

1.Nón tiếp tuyến Bouligand:

Nón tiếp xúc Bouligand của tập M tại xo là

( Chú ý rằng vì một điểm A(x, y) nằm ngoài M thì

đường thẳng OA không phải tiếp tuyến của đồ thị M

nên (x, y) không thuộc T M (x o ) )

+

M

x y

0

Biên soạn: Dương Duốc Duy

( Chú ý rằng vì một điểm A(x, y) có tung độ khác 0

thì đường thẳng OA cắt parabol nên không phải

tiếp tuyến của đồ thị M do đó (x, y) không thuộc T M (x o ) )

♦ Mệnh đề 2: ( công thức tính nón tiếp tuyến Bouligand )

Giả sử gi : X → ℝ (i = 1, 2, …, m ) liên tục trên X

2.Nón tiếp xúc kề và nón tiếp xúc Clarke:

♦ Nón tiếp xúc kề của M tại xo là:

II.Đạo hàm của hàm đa trị:

Cho X, Y là 2 không gian định chuẩn, F: X ⇉ Y

GraphF = GrF = { (x, y) ∈ X×Y : y ∈ F(x) }

1.Đạo hàm Contigent: (đạo hàm Bouligand)

Đạo hàm Contigent của F: X ⇉ Y tại (x, y) ∈ GraphF là ánh xạ đa trị

Biên soạn: Dương Duốc Duy

ii) Nếu F là đơn trị f : X → Y khả vi Frechet tại x thì Dbf ( x, f (x)) = Df ( x, f (x)) = { f ’(xo)(u)}

iii) Nếu F là đơn trị f : X → Y khả vi liên tục tại x thì Cf ( x, f (x)) = Cfx(u) = { f ’(xo)(u)}

I(z) = {1; 2} ≠ ∅ ( thỏa điều kiện của ii hoặc iii trong mệnh đề 2)

( tiếp theo xét xem bài toán thỏa mãn điều kiện nào trong hai điều kiện ii và iii : thường là điều kiện iii để tìm TM(z) )



2 2

g(x, y) = -3x x



2 g(x, y) = 1 y





2 g(z) = -3 x



2 g(z) = 1 y



 .v2 = - 3v1 + v2 Với vo= (1, -2): g1’(z)(vo) = -2 < 0 và g2’(z)(vo) = -5 < 0 ( thỏa mãn điều kiện chính quy iii )

Biên soạn: Dương Duốc Duy

♦ (1) và (2) được gọi là bao hàm thức vi phân

Thông thường người ta xét các bài toán: