Giáo án "Bất Đẳng Thức Và Chứng Minh"

Mục tiêu: “ học sinh cần nắm vững những vấn đề sau” a Về kiến thức: + Nắm được khái niệm và định nghĩa về Bất Đẳng Thức BĐT.. + Vận dụng các tính chất của BĐT và BĐT Cauchy để chứng minh

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH

BẤT ĐẲNG THỨC (2t)

Họ và tên Tạ Hoàng Thiện

1 Mục tiêu: “ học sinh cần nắm vững những vấn đề sau”

a) Về kiến thức:

+ Nắm được khái niệm và định nghĩa về Bất Đẳng Thức (BĐT)

+ Nắm được các tính chất cơ bản của BĐT và BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân (BĐT Cauchy) (Có thể giới thiệu đôi nét về BĐT Bunhiakopxki cho học sinh)

b) Về kĩ năng:

+ Chứng minh các BĐT bằng định nghĩa

+ Vận dụng các tính chất của BĐT và BĐT Cauchy để chứng minh một BĐT + Nắm được định nghĩa về giá trị tuyệt đối và từ đó hiểu được BĐT trị tuyệt đối + Biết thêm bớt các số cần thiết để chứng minh bài toán

2 Đồ dùng dạy học:

a) Giáo viên:

+ Hai bảng phụ (có thể thay thế bằng bìa cứng)

+ Chuẩn bị phấn màu và phấn trắng

+ Chuẩn bị một số bài tập theo chủ đề để đưa ra câu hỏi cho học sinh

b) Học sinh:

+ Ôn tập các kiến thức đã được học ở lớp dưới

+ Ôn lại các hằng đẳng thức quen thuộc

+ Đọc bài trước ở nhà

3 Phương pháp dạy học:

+ Phương pháp gợi mở - vấn đáp thông qua các hoạt động điều khiển tư duy logic đan xen làm việc nhóm

4 Tiến trình tiết dạy:

a) Ổn định lớp học

b) Kiểm tra bài cũ để dẫn vào bài mới

c) Bài học mới

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng

Hoạt động 1:

+ Giáo viên đặt câu hỏi để

dẫn vào bài

+ Nêu và giải thích định

nghĩa của BĐT

+ Nhấn mạnh chú ý trong

định nghĩa của BĐT

+ Học sinh trả lời:

5 1 7 2 5+ >

-+ Nắm rõ định nghĩa

và các tính chất của BĐT

Không dùng máy tính hãy so sánh hai số sau:

5 1+ và 7 2 5

-1 Định nghĩa về BĐT: ( học sinh ghi từ SGK)

+ Hướng dẫn cho học sinh

nắm được các tính chất cơ

bản của BĐT và cách vận

dụng

+ Học sinh ghi chép bài đầy đủ vào tập

2 Các tính chất của BĐT:

a>b, b c > Þ a>c

a > b Û + > + a c b c Nếu c 0 > thì a > Û b ac > bc Nếu c 0 < thì a > Û b ac < bc

3 Hệ quả: ( từ tính chất suy ra)

a>b, c d > Þ a+ > +c b d

a + > Û > - c b a b c

a> ³b 0, c d> ³ 0Þ ac>bd

a> ³b 0 Þ a >b , n" Î ¥

*

a> ³b 0Û a> b , k" Î ¥

a> Ûb + a> + b , k" Î ¥

4 Ví dụ: Chứng minh rằng

2

x + >3 2x CM: ta có

x - 2x 3+ = -(x 1) + ³2 2 0>

2

x 3 2x

Û + >

5 BĐT về giá trị tuyệt đối:

a a a , a

- £ £ " Î ¡

x < Û > Ù -a a 0 a< <x a

a>0, x > Ûa x<- a xÚ >a Chú ý: x ³ a, x" Î ¡ nếu và chỉ nếu

a £ 0 BĐT quan trọng:

x - y £ x+ £y x + y x, y" Î ¡

6 BĐT Cauchy:

a) "a, b³ 0 ta có: a b ab

2

+

³ Dấu " " = xảy ra khi và chỉ khi a = b b) a, b,c 0" ³ ta có: a b c 3

abc 3

+ +

³ Dấu " " = xảy ra khi và chỉ khi

a = = b c

Hoạt động 2:

+ Chia lớp học thành 4 nhóm

+ Giao nhiệm vụ cho từng

nhóm ( bằng phép biến đổi

tương đương hay dùng định

nghĩa) để chứng minh các

BĐT sau:( mỗi nhóm 1 câu)

Bài 1:

a) 2 1

4

 

b) a + ab + b2 2 0

c) a +1 2 (a > 0)

a  d)

(a + b) 2(a + b )

e) a + b + c2 2 2 ab + bc + ca

+ Giáo viên có thể giải mẫu

một bài và giải thích từng

bước tư duy logic của bài

toán

+ Sau khi đại diện nhóm lên

trình bày lời giải, giáo viên

nêu nhận xét về bài giải và

sữa lỗi sai cho học sinh

+ Qua đó, nhắc lại định nghĩa

BĐT và phép biến đổi tương

đương, nhấn mạnh rằng một

BĐT dẫn đến một hằng đẳng

thức hay một BĐT luôn đúng

Ta thường gặp

2

(a + b) ³ 0 a, b" hay

A + B ³ 0

+ Phần bài giải chính xác các

bài tập này giáo viên có thể

cho học sinh xem sau tiết học

+ Các nhóm được phân chia và nhận bài làm cho nhóm

+ Đại diện nhóm lên trình bày lời giải ở phần bảng đã được phân công Đồng thời chỉ ra cách của mình bằng phép biến đổi tương đương hay dùng định nghĩa

+ Học sinh ghi nhận

và rút kinh nghiệm khi giải bài tập

7 Ví dụ: bài 1.a) ( phép biến đổi tương đương)

Ta có

2

1

2

æ ö÷

ç - ÷³

çè ø

4

4

Hoạt động 3:

+ Giáo viên nêu định lý về

BĐT Cauchy, hệ quả và mở

rộng của định lý (kèm thêm

giải thích)

+ Giao nhiệm vụ cho từng

nhóm ( áp dụng BĐT Cauchy

và các tính chất của BĐT) để

chứng minh các BĐT sau:

(N1: b,f; N2: c,g; N3: d,h;

N4: e,i)

Bài 2: Cho các số dương a, b,

c Hãy chỉ ra khi nào đẳng

thức xảy ra

8 Ví dụ: bài 2.a)

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai cặp

số dương a, b và 1,ab ta có:

a+ ³b 2 ab và

1 ab+ ³ 2 1.ab=2 ab

Vì a + > b 0 và 1 ab + > 0 nên khi ta nhân vế theo vế hai BĐT trên ta được đpcm

a) (a + b)(1+ ab) 4ab

b) (a b) 1 1 4

a b

   

c) (a b)(b c)(c a) 8abc   

d)(2a 1)(3 2b)(ab 3) 48ab   

e) (a b c) 1 1 1 9

a b c

     

f) a2b2c a 3abc2 

g) 4 a 7 b 11 ab4  7  11

h)2a 3b c 6 a b c   6 2 3

i) 5a 3b 8 a b  8 5 3

+ Giáo viên có thể giải mẫu

một bài và giải thích từng

bước tư duy logic của bài

toán

+ Giáo viên nhận xét về phần

trình bày của các nhóm và sửa

lỗi sai cho học sinh

+ Giáo viên cần nhấn mạnh

điểm nhận dạng BĐT Cauchy

khi thấy điều kiện các số

dương (hay các số không âm)

+ Giáo viên nêu ra các lỗi mà

các em học sinh thường mắc

phải ( trong cả hai hoạt động

2 và 3) và hướng dẫn cách

tránh những sai xót đó

+ Các nhóm được phân chia và nhận bài làm cho nhóm

+ Học sinh bám sát giáo khoa và nhận thức được logic của BĐT Cauchy

+ Đại diện nhóm lên trình bày lời giải ở phần bảng đã được phân công

+ Học sinh ghi nhận

và rút kinh nghiệm khi giải bài tập

Hoạt động 4:

+ Giao nhiệm vụ cho từng

nhóm ( áp dụng BĐT Cauchy

và các tính chất của BĐT) để

tìm GTLN – GTNN của các

hàm số sau: ( mỗi nhóm làm

mỗi phần 1 câu theo thứ tự)

( giáo viên có thể không giải

mẫu trong bài này)

Bài 3:

(i) Tìm GTLN:

a) y (x 3)(7 x)   3 x 7  

9 Sửa một vài bài làm sai của các nhóm ( Nếu còn thời gian thì cho một ví dụ về BĐT trị tuyệt đối)

b) y x 3 (16 2x)

2

   

6 x 8  

c) y (3x 1)(6 x)  

  1 3x 18 

d) y x23x 4, 1 x 2  

(ii) Tìm GTNN:

a) y x 3 4 , x 3

x 3

 b) y 2 8x, x 1

x 1



c) y x 2 , x 4

x 4





d) y 4(x 1) 1 , x 0

x

+ Giáo viên cho nhận xét về

bài giải của các nhóm và sửa

lỗi sai cho học sinh

+ Đồng thời nhấn mạnh kỹ

năng thêm bớt cho học sinh

và hướng dẫn cho học sinh

hiểu được ứng dụng của BĐT

Cauchy

+ Đưa ra kết luận: BĐT

Cauchy thường dùng cho việc

tìm GTLN – GTNN của hàm

số

+ Các nhóm được phân chia và nhận bài làm cho nhóm

+ Học sinh làm tương

tự như bài 2

+ Đại diện nhóm lên trình bày lời giải ở phần bảng đã được phân công

+ Cần nắm lại kỹ năng thêm bớt khi giải toán

5 Củng cố:

+ Giáo viên nhắc lại các kiến thức của bài mới một cách hệ thống

+ Gọi hai học sinh trả lời về điều kiện để áp dụng BĐT Cauchy

6 Dặn dò và Bài tập về nhà:

+ Làm các bài tập thầy (cô) giao cho lớp trưởng photo

+ Xem kĩ lại các bài tập đã giải ở lớp

+ Xem trước bài “ Đại cương về Bất phương trình”