CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC CHỌN LỌC
1 ) Cho a,b,c>0 Chứng minh : ( )
3
2
4 4 4
c b a c
b a
abc ca
bc ab
c b a
+ +
≥ + +
+ + +
+ +
2 ) Cho a,b,c>0 Chứng minh : 5
) (
54
3
3 3 3
≥ + + + + +
c b a
abc abc
c b a
3 ) Cho a,b,c≥0 Chứng minh :
2
3 ) ( ) ( )
2
2 2
2
2
≥ +
+ + +
+ + +
+
b a
ab c a c
ca b c b
bc a
4 ) Cho x,y,z≥0;x+ y+z =1 Chứng minh :
2
7 1
1 1
1 1
1
2 2
2 2
2
2
≤ +
+ + +
+ + +
+
x
z z
y y
x
5 ) Cho a,b,c>0 ; ab+bc+ca=1 Chứng minh :
abc
a c
c b
b a
1 6
1 6
1 6
1
3 3
6 ) 0≤x≤1; Chứng minh : x(9 1+x2 +13 1−x2)≤16
7 ) Cho a,b,c>0 ; a+b+c+abc=4 Chứng minh : a+b+c≥ab+bc+ca
8 ) Cho ;1]
2
1 ,
,
∈
c b
1 1
1
+
+ + +
+ + +
+
≤
b
a c a
c b c
b a
9 ) Cho a,b,c≥0;a2 +b2 +c2 =1 ; Chứng minh : a b c abc
4
9
2+
≤ + +
10 ) Chứng minh : a +b + c + a+b+c ≥ a+b + b+c +c+a
11 ) Cho a,b,c≥0; a+b+c=1 Chứng minh : 2
4
) ( 4
) ( 4
)
<
− + +
− + +
−
a
12 ) Cho x,y,z∈[0;1] Chứng minh :
4
3
2 2
2y + y z +z x ≥
x
13 ) Cho a,b,c>0 Chứng minh : 2a(a+b)3 +b 2(a2 +b2) ≤3(a2 +b2)
14 ) Cho a,b,c≥0 Chứng minh : (a+b)2(b+c)2(c+a)2 ≥abc(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)
15 ) Cho a,b,c≥0; a+b+c=3 Chứng minh :
4
3 3 3
+
+ +
+
c a bc
b c
ab a
16 ) Cho a,b,c>0 , abc=1 Chứng minh : (a+b)(b+c)(c+a)+7≥5(a+b+c)
3
2 ,
a Chứng minh : ab 2 + bc 2 + ca 2 ≥ab+bc+ca
) ( ) ( ) (
18 ) Cho a,b,c≥0;a2 +b2 +c2 =3 Chứng minh : 5( + + )+ 3 ≥18
abc c
b a
19 ) Cho a,b,c≥0;a2 +b2 +c2 =3 Chứng minh :
c b a a
c c
b b
a
+ +
≥ +
20 ) Cho a,b,c,d >0;a2 +b2 +c2 +d2 =4 Chứng minh : a3 +b3 +c3 +d3 ≤8
21 ) Cho a,b,c≥0; a3 +b3 +c3 =3 Chứng minh : (ab)4 +(bc)4 +(ca)4 ≤3
22 ) Cho a,b,c>0 Chứng minh : 2
) ( ) ( )
2
2 2
2
2
≥
−
+
−
+
c a
c
b c
b a
Trang 227 ) Cho a,b,c>0 , abc=1 Chứng minh :
ca bc ab c
b
a+ + + ≥ + +
3 3
1 2
28 ) Cho a,b,c≥0 Chứng minh :
) (
) (
3
2 6
13
2 2 2
c b a
ca bc ab b
a
c a c
b c b
a
+ +
+ +
−
≥ +
+ +
+ +
29 ) Cho a,b,c≥0; a+b+c=1 Chứng minh : a+b2 + b+c2 + c+a2 ≥2
30 ) Cho a,b,c>0; a+b+c=3 Chứng minh : 2 2 2
2 2 2
1 1 1
c b a c b
31 ) Cho a,b,c>0 Chứng minh : 3(a3 +b3 +c3)2 ≥(a2 +b2 +c2)3
32 ) r,s>0;r2 +s2 =5 Chứng minh : r3 +s6 ≥9
33 ) a,b,c,d ,e>0;a2 +b2 +c2 +d2 +e2 ≥1 Chứng minh :
3
5 2
2 2
2 2
≥ + +
+ + +
+ + +
+ + +
+
+
e b a e
d a e d
c e
d c
b d
c
b
a
34 ) a,b,c>0 Chứng minh :
2 2
2 3
2 2 3
2 2
3
c b a b a
c a
c
b c
b
+
+ +
+ +
35 ) Cho a,b,c>0, Chứng minh :
c b a
b a c b a a
c c
b b
a
+ +
− + + +
≥ +
2
) ( 4
36 ) Giả sử a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác Chứng minh :
2
4 2
≥ +
+
+
+
c a
c
b
c
b
a
37 ) Cho 0≤a,b,c≤1 Chứng minh :
3 2 1
3 1
1 1
1 1
1
abc a
c c
b c
+
4
2 2
2
a c c b b a a
c
c c b
b b a
a
+ + + + +
≥ +
+ +
+ +
39 ) Cho a,b,c,x,y,z >0 Chứng minh : 3 3 3
) )(
)(
40 ) a,b,c>0 Chứng minh : 1
2 2
+
+ +
+
c a c
b c b a
Nguyễn Hữu Minh Tuấn ( vip.nguyenhuuminhtuan@yahoo.com.vn )
Sưu Tầm Và Biên Soạn