Chuyên đề lượng giác

Đoàn Vương Nguyên toancapba.com CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH A... Các dạng phương trình lượng giác 1... Phương pháp giải toán Bước 1.. Chú ý:

ThS Đoàn Vương Nguyên toancapba.com

CHUYÊN ĐỀ

LƯỢNG GIÁC

PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A Biểu diễn cung – góc lượng giác

Nếu cung (hoặc góc) lượng giác ¼AM có số đo là k2

p (ta chọn k = 0, k = 1)

p

và 1912p(ta chọn k = 0, k = 1 và k = 2)

5) Đồ thị hàm số y = cotgx đối xứng qua gốc tọa độ O

5 Chu kỳ của hàm số lượng giác

5.1 Định nghĩa

Hàm số y = f(x) có chu kỳ T > 0 nếu T là số dương nhỏ nhất và thỏa

f(x + T) = f(x)

4

Ví dụ 1. Hàm số y = sin5x có chu kỳ 2

T5

p

Ví dụ 2. Hàm số y = cos7x có chu kỳ 2

T7

= p và 2

pTk

= p

Để tìm chu kỳ của hàm số y = f(x)±g(x) ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Quy đồngm mk

n = nk , p np

k = nkvà tìm bội số chung nhỏ nhất A của mk, np

Bước 2. Chu kỳ của y = f(x)±g(x) là A

Tnk

Û ê = -a + pêë Î Z 2) sin x = sina Û x k2 , k

III Các dạng phương trình lượng giác

1 Dạng bậc hai theo một hàm số lượng giác

1) acos2x + bcosx + c = 0 2) asin2x + bsinx + c = 0 3) atg2x + btgx + c = 0 4) acotg2x + bcotgx + c = 0

Phương pháp giải toán

Bước 1. Đặt ẩn phụ t = cosx (hoặc t = sinx, t = tgx, t = cotgx) và điều kiện của t (nếu có)

Bước 2. Đưa phương trình về dạng at2 + bt + c = 0

Chú ý:

Nếu 1 phương trình lượng giác được biến đổi thành 2 phương trình cơ bản trở lên

thì sau khi giải xong, ta phải dựa vào đường tròn lượng giác để tổng hợp nghiệm (nếu có)

Ví dụ 1. Giải phương trình 2 sin x2 +sinx- 2 = (1) 0

(2) Û +3 5 cos x = sin x-cos x Û 2 cos x+5 cos x+ = 2 0

Đặt t = cosx, 1- £ £ ta suy ra: t 1

(thỏa điều kiện)

Biểu diễn 2 họ nghiệm trên đường tròn lượng giác ta thu được 4 điểm cách đều nhau

Đặt t= tgx Þ ¹ , ta suy ra: t 0

2m

2 Dạng bậc nhất theo sinx và cosx

asinx + bcosx + c = 0 (*) (a và b khác 0)

Phương pháp giải toán

ê = +êë

ê = +êë

Giải

Ta có:

asin2x + bsinxcosx + ccos2x = 0 (*)

Phương pháp giải toán

êë

Vậy (2) có các họ nghiệm là

, k2

3

= pé

¹ + p , chia hai vế cho cosn

x (n là bậc cao nhất của cosx) ta đưa về phương trình bậc n theo tgx

(3) Û cos x(2 cos x-1)= sin x(1-2 sin x)

Û cos x cos2x3 = sin x cos 2x3 cos 2x 0

=é

ê

ë

2 cos x+sin x = cos x+sin x

Û 2 cos x( 5 +sin x5 )=(cos x3 +sin x)(cos x3 2 +sin x)2

Û cos x5 +sin x5 -cos x sin x3 2 -cos x sin x2 3 = (đẳng cấp) 0

4 Dạng đối xứng đối với sinx và cosx

a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (*)

Phương pháp giải toán

Bước 1. Đặt t = sinx + cosx = 2 sin x( )

4

p+

Đặt t = sinx + cosx Þ - 2 £ £t 2 và sin2x = t2 – 1

Thay vào (1) ta được:

2

t +( 2 +1)t+ 2 = 0 Û = - Ú = -t 1 t 2

14

( ) ( )

Thay vào (3) ta được:

f (t) +

f(t)

+¥

22-

5 Dạng phương trình khác

Không có cách giải tổng quát, tùy từng bài toán cụ thể ta dùng công thức biến đổi

để đưa về các dạng đã biết cách giải

Ví dụ 1. Giải phương trình cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1)

16

I Bất phương trình lượng giác cơ bản

1 Bất phương trình cơ bản của cosx

1) cos x ³cosa Û -a +k2p £ x £ a +k2 , kp Î ¢ (hình vẽ) 2) cos x >cosa Û -a +k2p < x < a +k2 , kp Î ¢

3) cos x £cosa Û a +k2p £ x£ p - a +2 k2 , kp Î ¢ 4) cos x <cosa Û a +k2p < x< p - a +2 k2 , kp Î ¢

2 Bất phương trình cơ bản của sinx

1) sin x ³ sina Û a +k2p £ x £ p - a +k2 , kp Î ¢ (hình vẽ) 2) sin x > sina Û a +k2p < x < p - a +k2 , kp Î ¢

3) sin x £ sina Û -p - a +k2p £ x £ a +k2 , kp Î ¢

4) sin x < sina Û -p - a +k2p < x < a +k2 , kp Î ¢

3 Bất phương trình cơ bản của tgx

3) cotgx £ cotga Û a + p £k x < p + pk , k Î ¢ 4) cotgx < cotga Û a + p <k x < p + pk , k Î ¢

Chú ý:

Cách giải sau đây sai:

sin x+(1- 2)cos x > 0 Û sin x+cos x > 2 cos x

21sin x

2

ïïïíï

Bước 1. Giải cả hai phương trình độc lập với nhau

Bước 2. Nghiệm chung là nghiệm của hệ phương trình

=ìïï

¢

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình

1cos x cos y

21sin x sin y

2

ïïïíï

Ví dụ 3. Giải hệ phương trình

2 3tgx tgy

3

2 3cotgx cotgy

3

ïïíï