Luận văn một số phương pháp biến phân và ứng dụng

Trong đó phương pháp biến phân có nhiều ưu điểm đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.... Do vậy, nhờ sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễ

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

• • • •

NGUYỄN THỊ SEN ■

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN VÀ

ỨNG DỤNGChuyền ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

• • •

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Văn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn của

TS Nguyễn Văn Tuấn

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Tuấn, người thầy đã luôn tận tình chỉ bảo, động viên và khuyến khích tác giả trong những ngày đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và trong quá trình thực hiện bản luận văn Đồng thời, tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 cùng với các thầy cô tham gia giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập từ những năm còn là sinh viên cho đến ngày hôm nay Thêm nữa, tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong trường THPT Hàm Long, Bắc Ninh (nơi tác giả đang công tác) đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Tác giả

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Một số kết quả đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kì công trình khoa học nào của ai khác

Hà Nội, tháng 07 năm 2014 Tác giả

4

Tài liệu tham khảo 71

BẢNG KÍ HIỆU

Luận văn sử dụng những kí hiệu với ý nghĩa xác định trong bảng dưới

tử vi phân tuyến tính Trong đó phương pháp biến phân có nhiều ưu điểm đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.

Do vậy, nhờ sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của Tiến sĩ Nguyễn Văn Tuấn tôi đã chọn và nghiên cứu đề tài:

“ Một số phương pháp biến phân và ứng dụng”.

Bố cục của luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 của luận văn trình bày một số khái niệm của giải tích hàm, khái niệm không gian hàm spline đa thức, sai số và khái niệm về phương trình tích phân

Chương 2 của luận văn tập trung trình bày phương pháp Galerkin và phương pháp collocation

Chương 3 của luận văn trình bày ứng dụng của phương pháp Galerkin và phương pháp collocation giải phương trình vi phân bậc cao, phương trình vi tích phân Fredholm - Volterra và ứng dụng giải số bằng lập trình Maple 14

- Nghiên cứu ứng dụng của hai phương pháp biến phân ở trên trong giải phương trình vi phân và phương trình vi tích phân.

- Nghiên cứu về lập trình Maple để ứng dụng

4 Đối tượng và phạm vi nghiền cứu

- Đối tượng nghiên cứu: "phương pháp Galerkin và phương pháp collocation"

- Phạm vi nghiên cứu: Các khái niệm, tính chất, ứng dụng vào giải phương trình

vi phân, phương trình tích phân Lập trình Maple để giải các bài toán đặt ra

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp và phương pháp lấy ý kiến chuyên gia

6 Giả thuyết khoa học

Áp dụng phương pháp Galerkin và phương pháp collocation cho một lớp phương trình vi phân, vi tích phân bậc cao thu được nghiệm xấp xỉ với độ chính xác cao

8

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

[Kiến thức trong chương này được trích dẫn từ tài liệu [ 1 ] và [ 4 ] )

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 1 Cho tập hợp X 7^ 0 cùng với một phép toán hai ngôi viết theo lối cộng ( + ) và một ánh xạ : K X X

3) Trong X tồn tại phần tử 9 sao cho X + 9 = 9 + x,\/x € X;

4) Với mỗi phần tử X E X, tồn tại phần tử đối ( — x ) £ X sao cho

X + (-à?) = 6;

5) l.x = X, \fx G X ;

6) a ( ßx ) = (aß) X, Va , ß G K,Vx G X;

7) (a + ß) X = ax + ßx, Va, ß €: X, Vx G X;

Khi đó ta nói rằng X là một không gian tuyến tính trên trường K, K là trường số thực R hoặc trường số phức c và mỗi phần tử X e X được gọi là một vectơ; còn các điều kiện trên được gọi là các tiên đề về không gian tuyến tính.

VÍ DỤ 1.1.1 Dễ dàng kiểm tra C [a, B] là một không gian tuyến tính

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 2 Cho X là một không gian tuyến tính trên trường

K.

n

Các vectơ Xị, x 2 , x n G X gọi là độc lập tuyến tính nếu Ỵ2 a i x i = ỡ

i=1

kéo theo OLị = 0= 1, 2, n.

Các vectơ Xi, X 2 , ■■■ x n e X gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu chúng không độc lập tuyến tính.

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 3 Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường K.

Một hệ vectơ trong X gọi là hệ sinh của X nếu mọi vectơ của X đều biểu thị tuyến tính theo hệ đó.

Nếu X có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì X được gọi là một không gian tuyến tính hữu hạn sinh.

Một hệ vectơ trong X gọi là một cơ sở của X nếu mọi vectơ của X đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ đó.

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 4 Giả sử X là không gian tuyến tính hữu hạn sinh Khi đó X có cơ sở hữu hạn và số phần tử của các cơ sở trong X đều như nhau Số đó được gọi là số chiều của không gian tuyến tính X.

Nếu X là một không gian tuyến tính trên trường K có số chiều n ta viết

dimX = n hoặc d i m ^ x = n

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 5 Một tập con khấc rỗng M của không gian tuyến tính

X gọi là một không gian con tuyến tính của X nếu nó ổn định với hai phép toán của X, nghĩa là thỏa mãn các điều kiện sau:

của tích X X X vào đường thẳng thực thỏa mãn các điều kiện sau đẫy:

1) D (X, Y ) > 0, Va;, Y e X;

2) d {x, y) = 0 <=> X = y;

3) d ( X, y) = d ( y, x),Vx, y e X;

4) d (X, y) < d (X, z) + d (z, y), Vx, y, z G X.

Một không gian metric là một tập hợp cùng với một metric trong tập hợp

không gian ấy; số d (X, y) được gọi là khoảng cách giữa các điểm X và y.

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 7 Một dãy điểm ( x n ) , n = 1 , 2 , trong không gian metric X gọi là hội tụ đến điểm a & X nếu:

lim D (A , X N ) = 0

n—¥ 00

Khi đ ớ ta kí hiệu

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 8 - D ã y đ i ể m ( x n ) được gọi là dãy cơ bản trong không gian metric X nếu với mọi £ > 0 cho trước, đều tồn tại một số n ữ sao cho với mọi n > n 0 và m > n ữ ta đều có

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 1 0 Cho X và Y là hai không gian metric tùy ý Ánh xạ

f : X Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một số a với 0 < a < 1 sao cho với mọi x,x' G X ta đều có

d (/ (x), f (x')) < ad (x, X 1 ).

Đ ị n h l ý 1 1 1 (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X là không gian metric đầy đủ, và f : X Y là ánh xạ co của X vào chính nó Khi đó tồn tại một

và chỉ một điểm X* & X sao cho f ( X*) = X*.

Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trường K.

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 11 Một chuẩn, kí hiệu | | | | ; trong X là một ánh xạ đi

từ X vào M thỏa mãn các điều kiện:

ll^ll > 0 với mọi X e X;

2) ||x|| =0 khi và chỉ khi X = 6;

3) ||Ax|| = |A| ||a;|| VỚI MỌI SỐ X e K VÀ MỌI X G X;

4) IIX + Y II < ||x|| + II//II VỚI MỌI X, Y G X.

Số ||a:|| gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ X £ X Một không gian tuyến tính X cùng với chuẩn xác định trong không gian ấy, được gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo K là thực hay phức).

Đ ị n h l ý 1 1 2 Giả sử X là một không gian định chuẩn Với mọi X , y €

X, đặt

d(x, y) = \\x - y\\.

Khi đó, d là một metric trên X.

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 1 2 Dãy ( x n ) trong không gian định chuẩn X được gọi

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 1 3 Dãy ( x n ) trong không gian định chuẩn X được gọi

là một dãy cơ bản nếu

lim \\X M — £„11 = 0

ra, n—>00

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 1 4 Giả sử không gian định chuẩn X ỉà một không gian metric đầy đủ (với khoảng cách d ( X , y) = I I a ; — y\\) Khi đó X được gọi là một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi ỉà không gian Banach.

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 1 5 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường

K Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu thỏa mãn:

1) A(x + y) = Ax + Ay với mọi X, y e X;

2) A{ax) = aAx với mọi X € X, a € K.

cũng được gọi là toán tử tuyến tính Khi đó, nếu A chỉ thỏa mãn 1) thì A

được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thỏa mãn 2) thì A đượcgọi là toán tử thuần nhất Khi Y = K thì toán tử tuyến tính A được gọi

là phiếm hàm tuyến tính

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 1 6 Cho không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến tính Ả từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng

số c > 0 sao cho:

||^4x|| < c ||.r|| , với mọi X & X.

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 1 7 Cho X là không gian tuyến tính trên trường K Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X X

X vào trường K, kí hiệu ( , ) > thỏa mãn cấc tiên đề:

1) (y, X) = (X, y) với mọi x,y E X;

2) ( x + y , z ) — ( X , z ) + ( y , z ) v ớ i m ọ i X , y , z E X ;

3) (ax, y) = a (X, y) với mọi x,y € X, vồ raọi số a; €

(x, x) >0 nế« X Ỷ 0 với mọi X e X;

5) (x,x) = 0 nế« X = d vói mọi X £ X.

Các phần tử X,Y, Z gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số(X, Y )

gọi là hệ tiên đề tích vô hướng

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 1 8 Không gian tuyến tính X trên trường K cùng với một tích vô hướng trên X gọi là không gian tích vô hướng.

Đ ị n h l ý 1 1 3 Cho X là không gian tích vô hướng Với mỗi X G X, ta đặt | | x Ị Ị = y/ ( X, X ) Khi đó, ta có bất đẳng thức sau (gọi là bất đẳng thức Schwarz )

|(z, y)I < INI \\y\\ , Vx, y G X

Từ bất đẳng thức trên có thể chứng minh được rằng mọi không gian tích vô

hướng đều là không gian định chuẩn, với chuẩn ||a;|| = y/(X, X)

Đ ị n h n g h ĩ a 1 1 1 9 Ta gọi không gian tuyến tính H ^ 0 trên trường K

là không gian Hilbert H thỏa mẫn các điều kiện:

1) H là không gian tích vô hướng;

2) H là không gian Banach với chuẩn | | a ; | | = y/ ( X , X ) với X G X.

Ta gọi mỗi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H.

gọi là các mốc nội suy cách đều

Đ ị n h n g h ĩ a 1 2 1 Một spline đa thức bậc ba trên đoạn [a,b] với phăn

h o ạ c h 7 T l à h à m s ố y — s ( t ) t h ỏ a m ã n h a i đ i ề u k i ệ n s a u :

1) s ( t ) e c 2 [ a , b ] ;

Không gian gồm tất cả các hàm số S(T ) thỏa mãn hai điều kiện trên kí hiệu

là 63 (7ĩ)

M ệ n h đ ề 1 2 1 Không gian S 3 (tĩ) là không gian tuyến tính và không

gian đó chứa tất cả các đa thức có bậc nhỏ hơn bằng 3

B à i t o á n 1 Tồn tại duy nhất hàm s(t ) € ^ ( t t ) thỏa mẫn điều kiện

s' {to) = ỉ' (to)

(tn) = ỉ' ( t n )

Khi đó, s(t ) được gọi là spline đa thức bậc ba nội suy của hàm số f(t).

Xây dựng sự tồn tại của hàm S(T) với các mốc nội suy cách đều TỊ =

ỉ (b — a ) z , ,

t 0 H -băng cách bố sung thêm bôn môc nội suy í_2 < í-1 < t 0 ,

n

n+ 2 > Í n+ 1 > T N , và định nghĩa lớp hàm -Sj(í) như sau /

(í - íi-2)3, nếu T <E [íi_2, íi-i]

/ỉ, 3 + 3/i 2 (í - íj_i) + 3h { t - íj-i)2 - 3( t - íj_i) 3,nếu t e

/i3 + 3/ì2 (íị+1 - T) + 3/i(íị+i - í)2 - 3(T I+ I - í)3, nếu T £ [TỊ, T I+ 1]

(T i+ 2 - í)3, nếu í e [T I+ 1,íi+2]

0 nếu T không thuộc các trường hợpbên trên

Mệnh đề 1.2.2 BỊ(T) € S 3 (ĨT).

Mệnh đề 1.2.3 Tạp 'B = {£_ 1, B0, -Bn+i} /àđộc LẬP TUYẾN TÍNH VÀ

B 3 (tt) = span^B là không gian tuyến tính n + 3chiều.

Đ ị n h l ý 1 2 1 Tồn tại duy nhất hàm s ( t ) E B 3 ( 7r) / à nghiệm bài toán

H ệ q u ả 1 2 T ồ n tại duy nhất spline bậc ba s(t ) / à nghiệm của bài toán 1

- í / a r a s(t ) như vậy gọi là spline đa thức bậc ba nội suy của f(t).

BI (í) - ft3 í

Đ ị n h n g h ĩ a 1 3 2 Đại ỉượng A = ( a * — a) được gọi là sai số thực sự của a.

Nói chung, ta không biết được A* nên không biết Л Tuy nhiên ta có thể ước lượng sai số thực sự của A bằng số dương A0 > 0 sao cho

Đ ị n h n g h ĩ a 1 3 5 Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn l l - Ị Ị , M С

X là một tập con của X và p € X Điểm y ữ e M được gọi là xấp xỉ tốt nhất tới p từ M nếu

\\p-vo\\ < \\p-y\\ ,Vy e M.

xấp xỉ tốt nhất có thể tồn tại, có thể không tồn tại

Đ ị n h l ý 1 3 1 Nếu X là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn | | | | và X N là

k h ô n g gian con hữu hạn chiều của X thì với mỗi X e X tồn tại xấp xỉ tốt nhất Xn g Xn; do đó

Cho đoạn [a, B], chia đoạn [A, B] thành N phần bằng nhau bởi các điểm chia tị, i = 0, n

với M là hằng số dương không phụ thuộc vào H và K thì ta nói nghiệm xấp xỉ Xỵ đạt tốc độ

hội tụ bậc k tới nghiệm đúng X

Đ ị n h n g h ĩ a 1 4 1 Cho ma trận vuông A = (DIJ) N = R

Ma trận A có tính chất đường chéo trội nếu nó thỏa mãn một trong hai tính chất sau:

2) Ề kjl < Kjl , Vj = 1,2,n.

Đ ị n h l ý 1 4 1 Ma trận A có tính chất đường chéo trội thì A không suy biến.

Cho A là toán tử từ không gian định chuẩn X vào chính nó.

trong đó, f £ X cho trước, tham số X € K được gọi là phương trình toán tử loại II.

Nếu A không giả thiết tuyến tính tức A phi tuyến thì các phương trình (1.3) và (1.4) gọi là các phương trình toán tử phi tuyến

với K(t , s ) là hàm số hai biến ( t , 5) € [a, b] X [a, 6] cho trước, u là hàm

số liêntục trên đoạn [a, b\, được gọi là phương trình tíchphân tuyến tính

loại I.

Phương trình dạng

b u(t) = X I K (t, s ) u ( 5) ds + f ( t ) , ( 1 6 ) với K(t,s ) là hàm hai biến ( t , 5) € [ a , 6 ] X [ a , 6 ] cho trước, u(s ) / à hàm liên tục trên đoạn [a,b]; tham số X E K, được gọi là phương trình tích phân tuyến tính loại II.

Đ ị n h l ý 1 5 1 Cho K(t,s ) ỉà hàm hai biến (t , s ) G [ a , 6] X [ a , b], u(s ) Z à hàm số liên tục trên đoạn [ a , 6] hay u(s) € c [ a , 6] Dặt

b {Au) ( í ) = / K (t, s ) u (s) ds.

Khỉ đó, A là toán tử tuyến tính từ c [a, b] vào c [ a , 6 ]

Đ ị n h n g h ĩ a 1 5 3 Cho toán tử tuyến tính liên tục A

• A được gọi là toán tử tích phẫn Fredholm nếu

b (Au) (t) = J K (t, s ) u ( s ) ds

a

trong đó, hàm K ( t , s) gọi là nhẫn của các toán tử tích phân.

• A là toán tử tích phân Volterra nếu

t (Au) (t) = Ị K [t, 5) u ( 5) ds

a

trong đó, hàm K ( t , s) gọi là nhân của các toán tử tích phân.

Nếu A là toán tử tích phân Ferdhoỉm thì tương ứng với ( 1 3 ) và ( 1 4 ) ta có phương trình tích phân Fredholm loại I và loại II Nếu A là toán tử tích phân Voỉterra thì tương ứng vôi ( 1 3 ) và ( 1 4 ) ta có phương trình tích phân Volterra loại

I và loại II.

Chương 2

Một số phương pháp biến phân

(Kiến thức trong chương này được trích dẫn từ tài liệu [2], [ 5 ] và [ 7 ] )

Khái niệm 2.1.1

Cho X , Y là các không gian tuyến tính định chuẩn với các chuẩn kí hiệu tương ứng I I \\ x , I I I I Y và Ả là một toán tử xác định

A :X y U ì-» AU Xét phương trình

Au = f trong đó, f là phần tử đã biết thuộc Y.

Giả sử X N là không gian con N— chiều của X và { 01, ộ 2, ỘN} là một cơ sở của X N

Khi đó, phương pháp biến phẫn là một thuật toán xác định U N thuộc

1) Phương pháp bình phương nhỏ nhất

2) Phương pháp Rayleigh-Ritz

3) Phương pháp collocation

4) Phương pháp Galerkin

5) Phương pháp sai phân hữu hạn

Các phương pháp biến phân kể trên được quan tâm nghiên cứu trong và ngoài nước

Trong luận văn này tôi trình bày hai phương pháp thường được dùng trong giải gần đúng các phương trình toán tử Đó là phương pháp Galerkin và phương pháp collocation

Đ ị n h n g h ĩ a 2 2 1 Cho X là không gian tích vô hướng với tích vô hướng kí hiệu là ( , ) và A là toán tử tuyến tính (hoặc phi tuyến) với miền xác

định T> ( ^ 4 ) c X và miền giá trị & ( A ) c X Giả sử XN và Yỵ là các không gian con N— chiều của X sao cho X N c T> (A), Y N c

‘R.(A) và {ội , 02, • • • , ỘN} là một hệ cơ sở X N ; {'ộiĩ " 02) IPN} ỉà một hệ cơ sở của Y N Xét phương trình toán tử

Au = / trong đó, f là phần tử cho trước thuộc X Khi đó phương phấp Gaỉerkin là xác định nghiệm UN e X N thỏa mẫn hệ phương trình

(2.2)Nếu A là toán tử tuyến tính thì hệ (2.2) trở thành

Như vậy phương pháp Galerkin là phương pháp đi tìm nghiệm gần đúng của phương trình (2.1) có dạng

trong đó, CI, c 2 , C j v là nghiệm của hệ phương trình đại số (2.5)

Nếu toán tử A là toán tử tuyến tính đối xứng và xác định dương thì ta giải hệ (2.3) bằng phương pháp Rayleigh - Ritz Tuy nhiên, toán tử Ả không đối xứng và không xác định dương thì

1

1 1 ( А ф и ф 2 ) = J A ộ x ự ) 42{ t ) d t = J ( t + l ) t d t = ^

1

2

1 1 (Aệ4, ộị) = Ị Aộ 4 (t) 04 (t) dt = J ^-5 1

3 0 0

1 2

—51 + — t ) t d t =

3 với các điều kiện biên

< Khi đó, A là toán tử tuyến tính có miền xác định là không gian C N [A, B] và miền giá

trị trong không gian C[a,b].

3

< ^4lí (í) = U'" (T ) — lí" (í) cos í + 2U' (T) + U (T ) sin T.

< Ta có {</>0, Ậ I , 02) 03} là hệ độc lập tuyến tính trong C3 [—7T, 7r] và thỏa

mãn

1 (-tt) = 00 (tt) = 2 và 4>I ( 7r) = ỘI (TĨ ) = 0, i = 1, 2, 3

< Suy ra XỊ = SPAN {ỆO, ỆI, 02, 03} là không gian con hữu hạn chiều của

< (T )= cos T + sin T cos T + sin2t,

< Aệ 2 (t) = cos2 t + sin t cos t

— B à i t o á n 3 Xét phương trình tích phẫn Fredholm loại II

— Như đã biết, L 2 [A , 6] là không gian Hilbert với tích vô hướng

—

— Giả sử {ỆI}™ là hệ trực giao và đầy đủ trong L 2 [a, B] Hệ {ỘI}™ nhận

được bằng cách trực giao hóa (quá trình Hilbert - Schmidtt) một hệ độc lập tuyến

tính bất kỳ, hoặc sử dụng đa thức trực giao Legendre

— Vì toán tử A là toán tử tuyến tính nên (2.20) trở thành

— E Cj [{ộj, ội) - x , <Pi)] = (f, ội)

— được Ci, C 2 , Cjv và từ đó tìm được UỴ.

— UN = C i ộ i + C 2 Ộ 2 + + C N Ộ N ,

— trong đó, C1,C2, Cjv là nghiệm của hệ phương trình đại số (2.22)

— Bài toán 4 Xét phương trình tích phẫn phi tuyến loại II

— u(t) = X Ị K [t, s,u ( s ) ] ds + / ( t ) ( 2 2 3 )

(2.2

— trong đó, K(t , s , ù) là hàm liên tục theo ba biến ( t , s, ù) trên T) =

[ a , 6 ] X [ a , 6 ] X R ; tham số X e M

— Toán tử A là hoàn toàn xác định trong L 2 [а, B].

— Hơn nữa Vwi,w2 £ L 2 [a, B], ta có