Luận văn một số phương pháp giải phương trình toán tử vi phân

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2TRỊNH DUY THANH MỘT SỔ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ VI PHÂN Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠ

B ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

TRỊNH DUY THANH

MỘT SỔ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ VI PHÂN

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngưòi hướng dẫn khoa học: PGS.TS KHUẤT VĂN NINH

HẢ NỘI, 2015

và quyết tâm cao hơn để hoàn thành luận văn của mình.

H à Nội, t háng 11 năm 2015

Học viên

Trịnh Duy Thanh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Khuất Vãn Ninh

Trong quá trình nghiên cứu luận văn tôi đã kế thừa thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

H à Nội, t háng 11 năm 2015

Học viên

Trịnh Duy Thanh

MUC LUC • •

Mở đầu 6

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Không gian m etric 7

1.2 Không gian định chuẩn 9

1.3 Không gian H ilb e rt 11

1.4 Phép toán vi phân trong không gian B a n ach 13

1.5 Khái niệm về phương trình toán tử vi p h â n 18

1.6 Toán tử đơn điệu .18

Chương 2 Phương trình toán tử vỉ phân cấp một 21

2.1. Phương trình toán tò vi phân với toán tử liên tục Lipschitz trong không gian c 21

2.2 Phương trình vi phân với toán tử Volterra; L2- Lý th u y ế t 28

2.3 Các phương trình giả parabolic; C- Lý thuyết .31

2.4 Các phương trình giả parabolic; L2- Lý th u y ế t 33

2.5 Bài toán giá trị ban đ ầ u 35

2.6 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp .37

Chương 3 Phương trình toán tử vỉ phân cấp h a i 43

3.1 Các định lí tồn tại và duy nhất .43

3.2 Phương pháp Galerkin 49

3.3 ứ n g d ụ n g 55

Kết luận 60

Tài liệu tham k h ả o 61

M Ở ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nhiều lớp bài toán biên đối với phương trình vi phân thường và bài toán với điều kiện biên và điều kiện ban đầu đối với phương trình đạo hàm riêng phi tuyến có thể đưa về dạng phương trình toán tử vi phân trong các không gian Banach phản xạ nhờ lí thuyết toán tử đơn điệu Có nhiều phương pháp để nghiên cứu phương trình toán tử vi phân Một số phương pháp thường được sử dụng đó

là phương pháp điểm bất động, phương phương pháp Galerkin, phương pháp compact Mỗi phương pháp có ưu, nhược điểm riêng, phù hợp YỚi mỗi loại phương trình khác nhau Với mong muốn tìm hiểu saau hơn về phương trình toán tử vi phân và được sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh, tôi đã chọn

đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là “Một số phương pháp giải phương trình toán tử vi phân”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu phương pháp giải phương trình toán tử vi phân cấp một và cấp hai trong một số không gian Banach phản xạ

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu cơ sở lý thuyết của phương trình toán tử vi phân và một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình toán tử vi phân đó là phương pháp điểm bất đọng

và phương pháp Galerkin Áp dụng vào giải một số phương trình vi phân cụ thể

4 Đối tượng nghiên cứu

Phương trình toán tử vi phân cấp một và cấp hai và các phương pháp giải các phương trình đó

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sưu tầm, đọc, nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài luận văn

- Áp dụng kiến thức Giải tích hàm, Giải tích số, Phương trình vi phân vào nghiên cứu đề tài

1.1 K hông gian metric

1.1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1 Cho X là một tập hợp tuỳ ý và X ^ ệ một metric trong X là một ánh xạ

thoả mãn các điều kiện sau:

1) d( x, j ) > 0,V;t, y e X ;

d ( x , y ) - 0 X - y ;

2) d ( x , y ) = d ( y , x ) , V x , y e X ;

3) dột, y ) < d(x, z ) + d (z, , Vx, y , z e X

Tập X và một metric d trong X gọi là một không gian metric, ký hiệu là

( x , c / ) , s ố d ( j t , y ) gọi là khoảng cách giữa các điểm X , y

Ví dụ 1.1 Một tập M bất kỳ của đường thẳng R , với các khoảng cách thông thường d(x , y) = \ x - y\ là một không gian metric

Định nghĩa 1.2 Dãy điểm jx I trong không gian metric ( x ,í/ ) được gọi là hội

tụ tới điểm x e X nếu lim 6? (x , x) = 0

Suy ra {jt } là một dãy cơ bản trong X

Do X là không gian đày đủ nên dãy {* } hội tụ, tức là

3jc0 e X : x —>xữ, n —>00 Như vậy (jt ) c F : X —» Jt0 e X, n - >00 Do F là tập đóng nên x0 e F

Vậy F là không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.5 Một tập hợp M của không gian metric X được gọi là trù mật trong X nếu mọi lân cận của mọi điểm tùy ý của X đều có một điểm của tập hợp M

Ví dụ 1.2 Trong không gian metric đầy đủ ( x ,c /) , hình cầu đóng

*S'(jc0,r ) = |jc e X :í/ (x,jc0) < r | , r > 0

là một tập đóng.

Định lí 1.2 Cho ánh xạ / từ không gian metric Ml = (x,dj) đến không gian metric M2 = ( x , d2) Năm mệnh đề sau đây tương đương:

a) / liên tục;

b) Tạo ảnh của tập đóng bất kì trong M2 là tập đóng trong M1;

c) Tạo ảnh của tập mở bất kì trong M2 là tập mở trong ;

d) Với mọi tập A c X đều có f ị À ) c z f ( A ) ;

e Với mọi tập B c= Y đều có / _1 ^5J c= / _1 (5)

Định nghĩa 1.6 Cho hai không gian metric tuỳ ý (X ji/j) và ( r ,í / 2) Ánh xạ

A : X ^ > Y gọi là ánh xạ co, nếu tồn tại một số a e [0,1) sao cho Vjcp jc2 e X ta đều có d 2{ A{ x^) , A{ x2y ) < a d l {xl ,x2} , a gọi là hệ số co của ánh xạ co A.

Định lý 1.3 ( Nguyên lý Banach về ánh xạ co ) Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy đủ ( x , d ) vào chính nó đều có một điểm bất động duy nhất,nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm X* e X thoả mãn Ax = X , X* là giới hạn của dãy (*„), xn = A ( x n_ì ), n = 1,2, , x0 e X tu ỳ ý v à

1.2 Không gian định chuẩn

1.2.1 Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường p ( p = M hoặc c )

Định nghĩa 1.7 Một chuẩn, kí hiệu ||.||, trong X là một ánh xạ đi từ X vào Rthoả mãn các điều kiện:

1) \\xị > 0 với mọi X e X ;

||jt|| = 0 khi và chỉ khi X = 0 ( 0 là kí hiệu phần tà không );

2) ||ằjc| = |A,|\\ x \\ với mọi số X e p và mọi x e X ;

3) ||jc + y ị < ||jc|| + 1y ị với mọi x , y € X

Số |jt| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ X € X Một không gian vectơ

X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy được gọi là một không gian định chuẩn ( thực hoặc phức, tuỳ theo p là thực hay phức )

Định lý 1.4 Giả sử X là một không gian định chuẩn Với mọi X, y € X , đặt

d { x , y } = ||je —J/||

Khi đó, d là một metric trên X

Định nghĩa 1.8 Dãy (jc ) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến Jt0 e X nếu lim I* - JE0II = 0.

1.2.2 Không gian Banach

Định nghĩa 1.10 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Ví dụ 1.3 Không gian vectơ Euclide n chiều E" là không gian Banach YỚi chuẩn 1*1 = I* ■ ,VxeM "

Ví dụ 1.4 Không gian vectơ Lị Đối YỚi hàm số bất kỳ Jt(í) e Lị ta đặt

b

||jc|| = (Z,)J|jc(í)^í , dễ thấy Lị là không gian Banach

a

Ví dụ 1.5 Không gian vectơ Cị Đối YỚi hàm số bất kỳ x (í) e Cị ,b-ị ta đặt

||jc|| = max x (í) , dễ thấy Cị ,b-ị là không gian Banach

Định nghĩa 1.11 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường p Ánh

xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếu thoả mãn:

1 A ( x + y ) = Ax + A y , với mọi x , y e X ;

2 A (ax ) = a Ả x , với mọi X e x , a e p

A cũng được gọi là toán tử tuyến tính Khi đó, nếu A chỉ thoả mãn ( 1 ) thì A

được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thoả mãn ( 2 ) thì A được gọi là toán tử thuần nhất Khi Y = p thì toán tử A gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.12 Cho không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng số c > 0 sao cho:

1^4*1 < c||je|| , với mọi X e X

Định nghĩa 1.13 Cho hai không gian định chuẩn X và 7 Kí hiệu L ( X , Y ) là tập tất cả toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y Ta đưa vào z , ( x , r ) hai phép toán:

1 ( A + B ) ( x ) = Ax + Bx, A , B e L ( X , Y ) , V x e X ;

2 a e P ( P = R hoặc p = c ), ^ 4 e L ( X ,r ) toán tử kí hiệu

là cl A , được xác định bởi biểu thức

(a^ )(jc) = a(^4jc)

Dễ dàng kiểm tra được A + B g L [ X , Y ^ , cl A g L ( X , Y ^ và hai phép toán trên thoả mãn tiên đề tuyến tính Khi đó, tập z ,( x ,y ) trở thành một không gian tuyến tính trên trường p Ta trang bị một chuẩn như sau trên L ị ỵ , Y )

||^|| = sup||A3c||, V ^ 4 e L (X ,y ).

Ii4<i

Khi đó, tập L ( ỵ , Y ^ trở thành một không gian tuyến tính định chuẩn

Định lí 1.5 Nếu Y là một không gian Banach thì L ( X , Y ^ là không gian Banach

Định nghĩa 1.14 Ta gọi không gian liên hợp của không gian X là không gian tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X và kí hiệu là x ' ■

Theo định lí 1.7 X* là không gian Banach Tương tự ta xét X** là không gian

liên hợp của X* và gọi nó là không gian liên hợp thứ hai của không gian X

Định nghĩa 1.15 Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ nếu

x = x * \

Ví dụ 1.6 Các không gian hàm sau là các không gian Banach

Lị - Không gian các hàm x (í) đo được theo độ đo Lebesgue trên [ữ,è] sao

Khi p = 2 thì l ị - Không gian các hàm đo được bình phương khả tích theo độ

đo Lebesgue trên \a,b\.

Định nghĩa 1.16 Cho hai chuẩn ị ị , ||.|| trên cùng không gian véc tơ E ta nói hai chuẩn này tương đương nếu tồn tại a , p > 0 sao cho:

4) ẹ?(jt,jt)>0 V j c e X ; ẹ?(jt,jt) = 0<í=> Jt = 0.

Ánh xạ (p như trên được gọi là tích vô hướng trên X

1.3.2.Không gian tiền Hilbert

Định nghĩa 1.18 Không gian vectơ X cùng với một tích vô hướng trên nó

được gọi là không gian tiền Hilbert

Sau này với tích vô hướng ọ thì thay cho việc viết (p{ x, y) ta viết ( x , y ) và gọi

là tích vô hướng của J và

Nhận xét Xét tương ứng XI—> ||jt|| = Ậ x ~ x j , Vjc € X Ta thấy tương ứng trên xácđịnh một chuẩn trên X , như vậy không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn với chuẩn sinh bởi tích vô hướng Do đó một không gian tiền Hilbert ta có thể xét tới tính đày hay không đầy như một không gian định chuẩn

1.3.3 Không gian Hỉlbert

Định nghĩa 1.19 Một không gian tiền Hilbert đày được gọi là không gian Hilbert

Xác định tích vô hướng trên L2[o r] và sinh ra chuẩn của nó, tức là:

1

|*||2 = ^ (* ,;c )= ị x 2{ t ) d t VjceL2[or]

Vậy L2[0 là không gian Hilbert

1.4 Phép toán vi phân trong không gian Banach

Định nghĩa 1.20 Cho X , Y là hai không gian định chuẩn, u là một tập mở của

X , toán tử / : U —» 7 Khi đó, toán tử tuyến tính liên tục T : X —> Y là đạo hàm Fréchet của/ tại JC° e u nếu và chỉ nếu

Người ta còn gọi đạo hàm Fréchet, vi phân Fréchet là đạo hàm mạnh, vi phân mạnh

Định nghĩa 1.21 Cho X , Y là hai không gian định chuẩn

f \ X —»7, Jt0 € x,h e x , t € R

A gọi là đạo hàm yếu của / (đạo hàm Gâteaux), ký hiệu là / ' (jt0)

Mối liên hệ giữa hai khái niệm đạo hàm mạnh, đạo hàm yếu ( vi phân mạnh, vi phân yếu )

Định lí 1.6 Neu / khả vi Fréchet tại x0 thì / khả vi Gâteaux tại x0 và

Chứng minh.

Theo giả thiết hàm / khả vi Fréchet tại Jt0 cho nên, mọi h cố định, Ví e M ta

VA € X , f ( x ữ+ h ) - f [ x ữ) = T { h ) + a [ x \ h ) và lim = 0

T ị h) gọi là vi phân của / tại jc°,kýhiệu T [ h ) = d f ị x ũ,/ỉ)

Toán tử T gọi là đạo hàm Fréchet của / tại x°, ký hiệu T =

||a(x0,íA)|| = o(||íA||) = o(|í|||A||) khi t —> 0

Theo giả thiết d f [ x ữ,th) tuyến tính đối với h nên

d f ( x 0,th) = t d f ( x 0,h)

o(||f/ỉ||) = o(|f|.||/ỉ||) = o(|f|) khi t —ỳ 0

hay là: dfw(x0,h) = d f ( x ữ,h) V ậ y / khả vi yếu và dfw(x0, h) = d f ( x 0,h). Định

lý được chứng minh

Định lí 1.7 Neu trong hình cầu |x - x 0| < r tồn tại vi phân yếu d f ( x , h ) ,

d f (jc, A) liên tục đều theo X và liên tục theo h thì tồn tại vi phân mạnh

Ví dụ 1.10 Cho ánh xạ / : M —» R , Vjc° e R Khi đó đạo hàm Fréchet

là đạo hàm theo nghĩa thông thường của / tại JC°

( YKhi đó vi phân d f ( x ữ, h) = f ’( x°)( h) = A h = ị j aljhJ, ị j a1JhJ, ị j anlhJ ,

Suy ra A là toán tử tuyến tính

2) A là toán tử tuyến tính liên tục

||yá(A)|| = |,f4(/i)| = l ị x ữ { t ) h { t } d t < 2J|jc° (í)||A(í)^/í <

Định nghĩa 1.23 Giả sử toán tử f : X —> Y khả vi tại mọi điểm thuộc tập mở

từ X —> Y , tức là L ( X , Y) Ta nói toán tử / hai lần khả vi tại X nếu f '

khả vi tại X , nghĩa là tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục p : X —> L^X,Y^

sao cho V k e X , f ' ( x + k ) - f ' ( x ) = p ị k ) + ọ ị x , k ) và lim Ị ^ = 0

Toán tử p gọi là đạo hàm Fréchet cấp hai của / tại X và ký hiệu là f ( x )

p ( k , h ) gọi là vi phân cấp 2 của / tại ký hiệu d 2f ị x , k , h )

L gọi là hệ số Lipschitz của toán tử f.

Nhận xét 1.1 Toán tử / : X —» 7 có đạo hàm bị chặn thì liên tục Lipschitz.Toán tử / : X Y có đạo hàm riêng bị chặn theo một biế nào đó thì liên tục Lipschitz theo biến đó

1.5 Khái niệm về phương trình toán tử vỉ phân

Nếu A là toán tử vi phân (không nhất thiết tuyến tính), tức là A phi tuyến thì

phương trình ( 1.1 ), ( 1.2 ) là các phương trình toán tử vi phân phi tuyến

Định nghĩa 1.26 Cho tập mở í / c R " , / € L ( (R") Nếu tồn tại một hàm g(x) xác định trong u và một đa chỉ số a sao cho:

và hàm g (x) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp a của hàm / (x) trong u

1.6 Toán tử đơn điệu

Định nghĩa 1.27 Toán t ử ĩ : I - > r được gọi là toán tử đơn điệu nếu

Toán tà T gọi là đơn điệu nghiêm ngặt nếu rđ ơ n điệu và dấu bằng trong bất đẳng thức trên chỉ xảy ra k h i X = y

Toán tử T gọi là đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm s ( t) không giảm với í>0, <ỹ(0) = 0 và \ / x , y & X

Nếu = mt2 với m là một hằng số dương thì toán tử T gọi là đơn điệu mạnh, tức là

( t(x )- T { x ) , x - y ^ i > m ị x - ỳ f , Vx, y e X.

Định nghĩa 1.28 Toán tử A 6 (X -» X*) được gọi là toán tử bức (coercive) nếu tồn tại một hàm số biến số thực 7 xác định trên [0, oo) với

lim y (s) = +OC và (A u,u) > y(||w ||)||w ||

Định nghĩa 1.29 Ta nói toán tà A G (X -* X*) có tính chất (5) nếu từ các điều kiện dãy ( un) hội tụ yếu đến u và (Aun — Au, u n — u) hội tụ đến 0 suy ra ( un)

hội tụ đến u.

Định nghĩa 1.30 Toán tử A E (X -> X*) được gọi bị chặn nếu ảnh của một tập

bị chặn trong X ỉ ầ một tập bị chặn trong ;

được gọi là tập bị chặn địa phương nếu với mọi điểm u 6 X cố định tồn tại một

số E > 0 và số M > 0 sao cho ||i4(v)|| < M ; v ớ i m ọ i V t h ỏ a m ã n \\v — u || < £

Bổ đề 1.1 a) Toán tử A £ (X -» X*) đơn điệu khi và chỉ khi YỚi mọi u, V £ X

hàm số

t -> <Pu.v(t) = ( A( u + t v ) , v )

là hàm đơn điệu tăng trên [0,1]

b) Giả sử toán tử A E (X -» X*) là toán tử khả vi Gâteaux và với mọi u, V G X

hàm s ố t - » (A' (u + t v ) v , V) liên tục trên đoạn [0,1] Khi đó A đơn điệu khi và

chỉ khi với mọi u, V £ X

{A r( u + t v ) v , v ) > 0

Bổ đề 1.2 Mọi toán tử đơn điệu A E ợ -> X*) đều bị chặn địa phương

Hệ quả 1.1 Mọi toán tử tuyến tính đơn điệu A £ (X -» X*) đều liên tục

Hệ quả 1.2 Giả sử toán tử A E Ụỉ -> X*) đơn điệu và K c X là tập hợp sao cho

a) Toán tà A radian liên tục ;

b) Từ điều kiện ( f — Av, u — v ) > 0 Vv E X, s u y r a A u — / ;

c) Từ các điều kiện dãy (iín) hội tụ yếu đến u trong X, dãy (Aun) hội tụ yếu

đ ế n / trong X* và lim s u p td ií^ i^ ) < ( f , u ) suyra>4w = / ;

d) Toán tử A đêmi liên tục;

e) Nếu K là tập con trù mật trong X, thì từ điều kiện ( / — Av, u — v ) > 0 Vi? G

K, s u y r a A u = /

Hệ quả 1.3 Nếu A £ (X -» X*) là toán tử đơn điệu, radian liên tục Khi đó YỚi mọi / G T tập hợp K các nghiệm của phương trình A u = / là tập lồi và đóng yếu

Định lí 1.8 (Định lí Browder - Minty) Giả sử A 6 (X -» X*) là toán tử radian liên tục, đơn điệu và bức Khi đó tập nghiệm của phương trình

A u = /với mọi / G X* là tập khác rỗng, lồi và đóng yếu

Hệ quả 1.4 Giả sử A £ (X -» X*) là toán tử đêmi liên tục, bị chặn, bức và thỏa mãn điều kiện c) của bổ đề 1.3 Khi đó với mọi / G X* tập nghiệm của phương

Hệ quả 1.5 Giả sử không gian X lồi đều và không gian X* lồi n g ặ t Khi đó toán

tử đối ngẫu y* của không gian X* liên tục

Hệ quả 1.6 Giả sử A E (X -» X*) là toán tử radian liên tục, đơn điệu mạnh.Khi đó tồn tại toán tử ngược A~x E (X* -* X) và toán tử A _1 liên tục Lipschitz Neu ngoài ra toán tử A thỏa mãn thêm điều kiện liên tục Lipschitz thì toán tử

A ~ Ấ đơn điệu mạnh.

Định lí 1.10 Giả sử A 6 (D (yl) -» X*) là toán tử radian liên tục đơn điệu cực đại có miền xác định tuyến tính D( A) c X , A £ (X -» X*) là toán tử radian liên tục, đơn điệu và bức Khi đó YỚi mọi / G X* phương trình

có nghiệm u G D (yl) Nếu ngoài ra A là toán tử đơn điệu nghiêm ngặt thì phương trình (1.3) có nghiệm duy nhất

C hương 2 PH Ư Ơ N G TRÌNH TOÁN T Ử V I PH ÂN CẤP M ỘT2.1 Phương trình toán tử vi phân với toán tử liên tục Lipschitz trong không gian c

2.1.1 Phương trình vi phân với họ toán tử G(i), t e s

Xét phương trình

Jw'(í) +G(í)h(í) = / ( í ) t e S ,

Kí hiệu: s = [0,:r]

Trong phương trình (2.1) họ toán tử G(t): X -> X

f ( t) cho trước,Ví es , «(o) = f l € l , !i’( í ) e l

thuộc vào t sao cho Vx, y G X thì

|ơ (í)* -< j(Y ).y | ^z,||jc — _y|| X < z | x - y | x ( 2 3 )

Để đơn giản ánh xạ: í h-> Gự)u (í) ta kí hiệu viết tắt là Gu

Bổ đề 2.1 Giả sử họ toán tử G thỏa mãn điều kiện (2.2) (2.3) và UẼ c ( 5 ',x ) Khi đó

lim ||ơ(/>(/0)-ơ (f0M f0)|| = 0

V ậy lim |G(í„ )u(tn) - G(í0 )u(t0 )|| = 0

BỔ đề 2.2 Giả sử không gian Banach c(5 ',x ) được trang bị hai chuẩn

xgC(5',X), \\ x \\ = sup||x(0|| và ||x|| = sup{e"b |r(0||}, £>0 (2.4)Khi đó ||jc|| ( y và ||jt|| k tương đương với nhau

Bổ đề 2.3 (Bất đẳng thức Gronwall) Giả sử / là hàm số liên tục trên s , g

là hàm không giảm trên s và

trong đó c là hằllg số c > 0 Khi đó / (t) < eưg(t), Ví e S;

Trường hợp đặc biệt nếu g = 0 và / > 0 thì / = 0

Chứng minh Từ bất đẳng thức ( 2.5) và áp dụng liên tiếp bất đẳng thức đó,

Định lí 2.1 Giả sử các điều kiện ( 2.2 ), (2.3) Khi đó với mọi / (E c ( s , x) và

ũ £ X bài toán Cauchy (2.1) có một nghiệm и duy nhất Hơn nữa ánh xạ

{а,/}-»ы là ánh xạ liên tục từ X x C ( S , X ) - > C l (S, X) là ánh xạ liên tục

C hứng minh Ta sẽ sử dụng nguyên lý ánh xạ co Banach để chứng minh định

lí Với и e C(S,X) ta xác định toán tử tích phân như sau

Ta chứng minh rằng ánh xạ A ánh xạ không gian Banach COS', X) vào chính nó

và với к được lựa chọn thì ánh xạ A là ánh xạ co theo chuẩn (c,£)

Từ (2.8) thay t = 0 ta được w(o) = a

Vậy u là nghiệm của bài toán Cauchy (2.1)

Ta chứng minh rằng nghiệm u phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu và vế phải của phương trình

Giả sử Uị, u2 là nghiệm tương ứng của bài toán Cauchy

k ( 0 + G(0“i(0 = /i(0Ịmj(0) = Oj, g C x {S,X)

Trong khi đó £ =£;+£,, và k, &J, k2 là các hằng số chỉ phụ thuộc vào T và hệ số Lipschitz L. Từ (2.14) suy ra u phụ thuộc vào điều kiện ban đầu a và vế phải

2.1.2 Phương trình vi phân với toán tử Volterra; c - lý thuyết

Định nghĩa 2.1 Giả sử XỈ3X 2 là các không gian tuyến tính và s = [o, T],T > 0; Ánh xạ G : D(G) (S - »X 2), D(G) c (S - » Xj) gọi là toán tử Volterra nếu từ đẳng

thức u( s) = v(s), với 5hầu khắp nơi trong[o, e jỹ suy ra (Gu)(s) = G(v)(s)

với s hầu khắp nơi trong [o, t \

Trước tiên ta xét toán tử Volterra đi từ c (5 ',x ) vào chính nó Trong trường hợp này trong ta đặt X 1 = x 2 = X , D { G ) = C { S , X ) Và khái niệm “hầu khắp nơi” thay bởi “khắp nơi”

Giả sử toán tử Volterra G thỏa mãn điều kiện sau

G : C ( S , X ) ^ C ( S , X )

và thỏa mãn điều kiện liên tục Lipschitz:

BL > 0, L = const sao cho Vtt, V e c(5 ',x )

||ơu-ơv II „ ,<z||m- v || _ (2.15)

từ X vào X và thỏa mãn điều kiện ( 2.2 ), ( 2.3 ) nếu đặt

(Gù)(t) = G(t)uịh(t)ị.

Khi đó G là toán tử Volterra liên tục Lipschitz (2.15) và ánh xạ C(S,X) vào

C{ S , X )

Ví dụ 2.2 Giả sử toán tử Volterra H thoả mãn điều kiện (2.15) Khi đó

Vw e C(5”,X) toán tử G xác định như sau:

(Gu)(t) = J g(t, s)(Hù)(s)ds, g e Cl(SxS),t e s

0

cũng là toán tử Volterra và thoả mãn điều kiện (2.15)

Ví dụ 2.3 Giả sử G và H là toán tử Volterra thoả mãn điều kiện (2.15)

Khi đó tổ hợp tuyến tính

và tích GH cũng thoả mãn điều kiện (2.15)

Cho nên các toán tử Volterra thoả mãn điều kiện (2.15) tạo thành một vành, trong đó phép nhân được hiểu là tích của ánh xạ

Bổ đề 2.4 Nếu toán tử Volterra thỏa mãn điều kiện (2.15 ) , thì Ví/,v e CịS,X) và

V t e S

II NC([0,t],jr) II "cao,«],*)

trong đó c([0 ,í], x ) là tập hợp tất cả các hàm số trừu tượng liên tục trên [0,í]

nhận giá trị trongX , s = [o, T], t e S , [0, í]c[0 , Т].

Hơn nữa ánh xạ |ữ ,y| —> и là ánh xạ liên tục từ XX C(S, X) -> c 1 (s , X ) Điều này

có nghĩa là nghiệm и của bài toán phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu a và

vế phải của bài toán.

Quy ước: G(t)u(t) = (Gu)(t).

Chứng minh Chứng minh tương tự như chứng minh Định lý 2.1

0

Do f e C ( S , X ) và G : C ( S , X ) ^ C ( S , X ) cho nên A:C(S,X)^> Ơ(S,X).

( Theo tính chất của tích phân phụ thuộc tham số có cận trên biến thiên )

Theo điều kiện (2.15) và bổ đề (2.3) từ (2.16) ta có

Vậy u là nghiệm của bài toán.

Việc chứng minh sự phụ thuộc liên tục của nghiệm u vào a, f được chứng minh tương tự như trong chứng minh Định lý 2.1 Định lí 2.2 được chứng minh

Nhận xét 2.2.

Định lý 2.1 là trường hợp riêng của Định lý 2.2, bởi vì V« e C(S,X)

ta xác định toán tử G như sau:

2.2 Phương trình vi phân với toán tử Volterra; ứ - lý thuyết

Các định lý tồn tại nghiệm nêu ở mục 2.1 có thể chuyển sang không gian L2

Trong mục 2.1 ta xét phương trình trong C(S, X), nghiệm tìm trong Ơ( S, X)

Còn trong ứ - lý thuyết thì toán tử G tác động trong trong Ứ( S , X) ,

G \ I Ỉ { S , X ) ^ > I Ỉ ( S , X )

Ta đưa vào giả thiết sau đây:

Ta nói toán tử G: Ứ{S,X) -> L2(S,X) là toán tử liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho

||G h - G v ||2 < Z || m - v | | j (2.18)

Bổ đề 2.5 Nếu toán tử Volterra G thoả mãn điều kiện (2.18) thì \/ u , v < e L2(S,X)

Nhận xét 2.3 Nếu и e Ứ( S, X) và thỏa mãn phương trình: u' + Gu = f

trong đó G : ứ (S, X) -> Ú (S, X) ,/ e i 2 (s , X) thi u' = f - Gu G L1 (S, X) từ đó suy ra

1 Hàm u - S ^ X là hàm liên tục và khả vi hầu khắp nơi.

2 Bài toán (2.19) tương đương với phương trình tích phân

3 m'(0 + = f(t), Ví hầu khắp nơi thuộc s.

Định lý 2.3 Giả sử toán tử Volterra G thỏa mãn điều kiện (2 1 8 ) khi đó

Va G X, V/ G L2(S, x ) bài toán Cauchy ( 2.19 ) có một nghiệm duy nhất Nghiệm

đó phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu và vế phải Nghĩa là ánh xạ

{а,/}-»{и,и'} là ánh xạ liên tục từ tích đề các X x L 2(S,X) vào C(S,X)xL2(S,X).

C hứng minh Với и e CịS,X) Ta xây dựng toán tử A như sau:

(^M)(í) = a-J(G M )(í)-/(s))ífa, t<ES

0

Do tính chất liên tục của tích phân ở vế phải và hàm dưới dấu tích phân khả tích nên a - ị((ơm)(í)- / (s))ds là hàm số liên tục trên s Cho nên (Au) e C(S,X)

Vì vậy A : C{S, X) -> C(S,X)

\Au~ Av\\c,K * LJ ^ ( 1 - e~2tT ) 1“ - vllc,* •

Chon k sao cho k > ^ - ĩ - , âăt q = LA— {\-e~lk!C), ta CÓ 0 < ợ < 1 và

\ A u - A v \ CK< q \ u - v \ CK, q = const, (0<9< l).

Mặt khác C(S,X) là không gian Banach cho nên theo nguyên lý ánh xạ co tồn

tại một điểm bất động duy nhất u của ánh xạ co.

Ta có Au = u

Do đó u là nghiệm bài toán ( 2.20 )

Ta chứng minh rằng nghiệm u phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu a và

vế phải / tức là ánh xạ [a, f}^>{u;u' } là ánh xạ liên tục.

Theo Bổ đề 2.5 và một số đánh giá thông thường ta có

||“i ( 0 - “2(0||2 -«aL +11/ ■'2 IIỬ ( S , X )

t

Xy>2 +1IỈT.ị'ịuỉ{s) — u2{s)]Ệds

0