Luận văn một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi tích phân tuyến tính fredholm

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO

LỜI C Ả M ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà

LỜI CA M Đ O A N

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh,

luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Một số phương

phấp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm” do tôi

tự làm Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà

M ục lục

1 K IẾ N T H Ứ C C H U Ẩ N B Ị

1.1 Một số kiến thức về Giải tích hàm

1.1.1 Khống gian metric

1.1.2 Không gian định chuẩn

1.1.3 Không gian C ị a b -ị và các tính c h ấ t

1.2 Môt, số kiến th ứ c v ề eũải t í c h

1.2.1 C h u ỗ i líív t h ừ a ,

1.2.2 Tích phân phụ thuộc tham số và các tính chất 1.3 Một số kiến thức về giải tích số 1.3.1 Phương pháp cầu phươnịT 1.3.2 Sai phân và các tính chấ1 5 5 5 7 8 9 9 10 11 11 12 2 P H Ư Ờ N G P H Ấ P G ĨẲ Ĩ T ÍC H G IẢ I X Á P x ì P H Ư Ờ N G T R ÌN H V Ĩ-T ÍC H P H Â N T U Y Ế N t í n h FR E D H O L M 14 2.1 Định lý về sự tồn tại nghiệm của phương trình 14

2.2 Phương pháp tính toán trực tiếp 15

2.3 Phương pháp phân tích A d o m ia n 20

2.4 Phương pháp c h u ỗ i 28

3 P H Ư Ờ N G P H Ấ P G ĨẲ Ĩ SỐ P H Ư Ờ N G T R ÌN H V Ĩ-T ÍC H

48

Mở đầu

1 Lí d o ch ọn đ ề tà i

Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn Cùng với sự phát triển của nội tại toán học và các ngành khoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng

Trong lĩnh vực toán ứng dụng, thường gặp rất nhiều bài toán có liên quan đến việc giải phương trình vi-tích phân Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm là loại phương trình xuất hiện trong toán học và các ngành khoa học ứng dụng và từ lâu đã được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu.Việc tìm nghiệm chính xác của phương trình nói trên gặp nhiều khó khăn Vì vậy người ta nghiên cứu việc giải xấp xỉ phương trình đó

Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm có thể giải bằng các phương pháp khác nhau Trong đó, phương pháp giải tích cho nghiệm dưới dạng biểu thức giải tích và phương pháp số cho nghiệm thu được dưới dạng bảng số Trong quá trình giải, ta có thể kết hợp sử dụng phần mềm Maple trong tính toán

Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này, dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Khuất Văn Ninh tôi đã nghiên cứu

đề tầ ỉ“Một số phương phấp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phẫn tuyến

tính Fredholm” để thực hiện luận văn của mình.

2 M ụ c đ ích n g h iên cứ u

Luận văn sẽ nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm và ứng dụng Maple trong tính toán

3 N h iệ m v ụ n g h iên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm

4 Đ ố i tư ợ n g và p h ạ m v i n g h iên cứu

- Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm

- Các phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm

Đ ịn h nghĩa 1.1.2 Một dãy các điểm (xn) , n = 1,2, trong không

gian metric X được gọi là hội tụ đến điểm a € X nếu

lim d(a, x n) = 0.

ra—> oo

Khi đó ta kí hiệu lim x n = a hoặc x n !-»■ a khi Ĩ Ỉ 4 oo

n—> 00

Đ ịn h nghĩa 1.1.3 Dãy điểm được gọi là dãy cơ bản trong không

gian metric X nếu với mọi £ > 0 cho trước, tồn tại một số n 0 sao cho với mọi n > n 0 và m > n 0 ta đều có

Đ ịn h nghĩa 1.1.4 Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu

mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử trong X

Đ ịn h nghĩa 1.1.5 Cho X , Y là hai không gian metric tùy ý Ánh xạ

f x —>• Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại một số a với 0 < a < 1

sao cho với mọi x , x ' € X ta đều có

d { f { x ) , f { x ') ) < a d ( x , x ’),

và a được gọi là hệ số co của /

Hiển nhiên một ánh xạ co là ánh xạ liên tục đều

Đ ịn h lý 1.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử X là một metric đầy đủ

và f : X —>• X là một ánh xạ co của X vào chính nó Khi đó tồn tại một

và chỉ một điểm X* e X sao cho f (x*) = X * Hơn nữa X* ỉà giới hạn của

dãy (x n) được xây dựng như sau

x ữ tùy ý thuộc X , X n + 1 — f ( x n) , n > 0 và tốc độ hội tụ được đánh giá

theo cônq thức

d (x n, X*) < - d (x1: x 0) ,

1 — a

trong đó a là hệ số co của f

Cho X là một không gian vectơ trên trường p (p = K hoặc c)

Đ ịn h nghĩa 1.1.6 Một chuẩn, kí hiệu ||.|| trong X là một ánh xạ từ X

vào R thỏa mãn các điều kiện

(i) ||x|| > 0 với mọi l ẽ X ;

(ii) ||x|| = 0 khi và chỉ khi X = 0 [9 là kí hiệu phần tử không);

(iii) \\Ằx\\ = ỊAỊ ỊỊa^ll với mọi số À € p và với mọi X € X ;

(iv) IIX + y II < ||x|| + \\yII với mọi x , y E X

Số ||x|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ X e X

Đ ịn h nghĩa 1.1.7 Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác

định trong không gian ấy gọi là một không gian định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo p là thực hoặc phức)

Đ ịn h lý 1.1.2 Giả s ử X ỉ à một không gian định chuẩn Với mọi X G X

đặt

d ( x , y ) = \\x - y II

Khi đó d là một metric trên X

Đ ịn h nghĩa 1.1.8 Dãy (x n) trong không gian định chuẩn X được gọi

là hội tụ đến x 0 e X nếu lim II — íEoll = 0 Khi đó ta kí hiệu

n —>00

lim x n — x 0 hay x n —> x 0(n —> oo).

n —>OQ

Đ ịn h nghĩa 1.1.9 Dãy (:rn) trong không gian định chuẩn X được gọi

là một dãy cơ bản nếu

lim I I — x m II = 0.

n m —> oc

Đ ịn h nghĩa 1.1.10 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Ba-

nach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

1.1.3 K hông gian Cịab] và các tín h chất

Đ ịn h nghĩa 1.1.11 C[a 6] là tập tấ t cả các hàm số giá trị thực xác định

và liên tục trên đoạn [a, b], —oo < a < b< +oo

(iii) Không gian Cịa 6] là không gian Banach.

(iv) Tập tấ t cả các đa thức với hệ số hữu tỷ trù m ật trong Cịab-ị Cho nên Cịa 6] là không gian tách được.

Đ ịn h nghĩa 1.1.12 Không gian C ^ 6Ị gồm tấ t cả các hàm X (t) xác định trên đoạn [ữ, 6] và có đạo hàm liên tục đến cấp n, với chuẩn được xác định bởi

INI = max { |z ( í) |, |íc,( t ) |, , \xn(t)\}

a<t<b

Điểm x ữ được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa Để ý rằng chuỗi lũy thừa

luôn luôn hội tụ tại điểm X = x ữ.

+ 00

Nếu đặt y = X — x ữ thì ta có thể đưa chuỗi lũy thừa về dạng Xì any n,

n=0

chuỗi có tâm tại y — 0

Các tín h chất của tổ n g chuỗi lũy thừ a

+ 0 0

Đ ịn h lý 1.2.1 Giả sử chuỗi lũy thừa anx n có bán kính hội tụ R > 0,

n=0 khi đó tổng S ( x ) của nó là một hàm liên tục trong khoảng hội tụ ( - R , R).

+ Tổng s là hàm khả vi trong khoảng hội tụ ( - R , R) và

s ' ( x ) = ^ 2 nơnx n 1 nanx

n=0

1.2.2 T ích phân phụ th u ộ c th am số và các tín h chất

Đ ịn h nghĩa 1.2.2 Giả sử f ( x , y ) là một hàm số xác định với X thuộc

đoạn [a, 6] và y thuộc một tập hợp số thực Y nào đó, sao cho với mỗi y

cố định thuộc Y hàm f ( x , y ) khả tích trong đoạn [a,h].

Khi đó I(y) là một hàm số xác định trên tập Y và được gọi là tích phân phụ thuộc tham số của hàm f ( x , y ) trong đoạn [a, b].

Các tín h chất của tích phân xác định phụ th u ộ c th am số

Giả sử f ( x , y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật

D = [a, 6; c, dị = [a, 6] X [c,d] = { ( x , y ) , a < X < b;c < y < d}

Đ ịn h lý 1.2.4 Nếu hàm f ( x , y ) xác định và liên tục trong hình chữ

nhật D thì tích phân phụ thuộc tham số I ( y ) = f b f ( x ì y)dx là một hàm liên tục trong đoạn [c, d].

Đ ịn h lý 1.2.5 Giả sử f ( x , y ) là hàm số xác định trong hình chữ nhật

D liên tục theo X € [a,b] với mỗi y cố định thuộc đoạn [c,d] Hơn nữa

f ( x , y ) có đạo hàm riêng I ~(x,y) là một hàm liên tục trong hình chữ nhật D Khi đó tích phân phụ thuộc tham số

Đặt I(y) = Ị bf ( x , y ) d x

b a

là một hàm khả vi và

Đ ịn h lý 1.2.6 Nếu f ( x , y ) là hàm liên tục trong hình chữ nhật D =

Cho hàm / xác định trên đoạn [a,b], f là hàm số liên tục trên đoạn

[ữ, 6] do đó / khả tích trên đoạn [a, 6]

Ta chia đoạn [a, b] thành n phần

trong đó, Ak và Xỵ- tương ứng là hệ số và nút của công thức cầu phương,

R n (tp)~ phần dư của công thức cầu phương.

Nếu như chọn công thức hình thang, thì chúng ta có

Aị A n - h , Aỵ h, k 2, , n 1ị

b — a

Xk = a + (k — 1) h, k = 1, , n , h =

-n — 1 { b - a ý [ ô2 ( ^ ) '

Rn {Kv )

12 (n — lj d y 2 y = z , a < z < b

Nếu xét công thức Sympson thì sau khi đặt n = 2m + 1, ta sẽ có

Nếu một quy tắc nào đó được chọn thì các đại lượng A k,X]¡;, Rỵ có thể

được viết một cách tương tự

1.3.2 Sai phân và các tín h chất

Đ ịn h nghĩa 1.3.1 Giả sử y = f (x) là hàm số xác định trên tập X , h

là hằng số lớn hơn 0 Biểu th ứ c A / (x) = f (x + h) — f (x) được gọi là sai phân cấp 1 của / (x) tại điểm X. Biểu thức

A 7 = A [A/ (*)]

= [ f ( x + 2h) - f (x + h)] - [f {x + h) - f (x)]

= A f (x + h) - A f (x)

được gọi là sai phân cấp 2 của / (x) tại X.

Tương tự, ta có A kf — A [Afe-1/ ] được gọi là sai phân cấp k của /

tại X.

Các tín h chất của sai phân

(i) A* [ ĩ ± g ] = A ± A kg.

(ii) A* [A/ (x)] = AA‘ [/ (x )]

(iii) A n \pn (a:)] = const, A m \pn (x)] = 0, khi m > n, trong đó pn (x) là

đa thức cấp n của X.

(iv) / (x + nh) = £ Q A 7 ( x )

i = 0

(v) A ”/ ( i ) = Ẻ (—l ) ‘C i/ [z + (n - t)].

¿=0

Đ ịn h lý 2.1.1 Giả sử hàm K ( x , t ) liên tục trên tập D và Mịb — à) < 1.

Khi đó phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất u = u(a^) thỏa mãn điều kiện ban đầu u (a) = 0 < k < n — 1.

Nghiệm này xác định trên đoạn [a, 6].

Chứng minh

Đặt

A{x, u) = f { x ) + / K{x ,t) u{t )d t

J a

Khi đó theo tính chất của tích phân phụ thuộc tham số A(x, u ) là hàm

số liên tục trên đoạn [a, 6]

Khi đó theo định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán Côsi suy ra

phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất u = u(a^) thỏa mãn điều kiện

Do đó, phương trình (2.2) trở thành

u (n\ x ) = f ( x ) + ) (2.4)

Tích phân cả hai vế của (2.4) n lần từ a tới Xvà sử dụng các điều kiện

ban đầu, chúng ta có thể tìm được một biểu thức của u ( x ) liên quan đến hằng số a và biến X Nghĩa là chúng ta có thể viết

u (x) = V(x, a ) (2.5)Thay thế (2.5) vào vế phải của (2.3) Đánh giá tích phân và nghiệm của phương trình, chúng ta xác định được hằng số a Với cách làm này ta

sẽ thu được nghiệm chính xác u(x) bằng cách thay giá trị a vào phươngtrình (2.5)

Phương pháp sẽ được minh họa bằng các ví dụ sau

V í dụ 2.2.1 Tìm nghiệm của phương trình vi- tích phân sau

u (x) = —1 + cosx + / tu (t) dt, u(0) = 0.

■'oBài giải

Thay vào (2.6) ta được

< ^ a = T ' 16

w ư 3 (1 2 8 —7T4)

Vậy nghiệm chính xác u{x) = —X + sinx + 3( li*128)x2•

V í d ụ 2.2.2 Tìm nghiệm của phương trình vi-tích phân sau

Vậy nghiệm chính xác là Ií(:r) = sinx.

V í d ụ 2.2.3 Tìm nghiệm của phương trình vi tích phân sau

u (à?) = e—2—x + e a:(3+ x )+ í (x —t) u(t )d t, u(0) = 0,w (0) = 1 ,u (0) = 2.

“'0Bài giải

Khi đó phương trình đã cho trở thành

u (X) = e — 2 — X + ex (3 + x) + XOLI —

«2-Tích phân cả hai vế của phương trình trên từ 0 tới X ba lần và sử dụng

điều kiện ban đầu ta được

65738 + 88561e 88511Vậy nghiệm chính xác

2.3 P h ư ơ n g p h áp p h â n tíc h A d o m ia n

Trong phương pháp này chúng ta thực hiện bằng cách chuyển đổi một phương trình vi-tích phân Fredholm về một phương trình tích phân Fredholm Sau đó ta giải phương trình tích phân đó bằng phương pháp phân tích Adomian

Không làm m ất tính tổng quát chúng ta có thể xét một phương trình vi-tích phân Fredholm bậc hai được cho bởi

ở đây điều kiện ban đầu u(a) = a0 và ú (a ) = «1 được sử dụng, L~l là

một toán tử tích phân hai lần Sau đó ta sử dụng chuỗi khai triển

hoặc tương đương

u0(x) + Ui(x) + u2(x) + u3(x) + = a0 + a,i(x) + L~1(f(x )) +

ở đó th à n h p h ầ n u0( x) b ằ n g t ấ t cả các số h ạ n g k h ôn g bao gồm p h ần

bên trong dấu tích phân của (2.13) Ta phải xác định các thành phần

Uị(x)J > 0, nghiệm u(x) của (2.10) có được sau khi thu được Ui(x) Sử

dụng (2.12) ta thu được chuỗi hội tụ tới nghiệm chính xác Để sử dụng

tố t phương pháp phân tích Adomian chúng ta kết hợp với phương pháp phân tích cải biên

P hương pháp phân tích A dom ian cải biên

Theo phương pháp phân tích Adomian nghiệm được tìm dưới dạng

chuỗi vô hạn u(x)

J a

Nhìn vào công thức trên các thành phần un(x), n > 0 sẽ dễ dàng tìm

được Nếu hàm số f ( x ) là tổng của hai hàm thành phần, là fi(x )v ầ Ỉ 2{x)

Nói cách khác chúng ta có thể đặt

f ( x ) = f ị ( x ) + f 2{x) (2.15)

Khi đó ta sử dụng phương pháp đồng nhất hóa thành phần u0{x) bằng một bộ phận của f ( x ) , là f i ( x ) hoặc f 2{x) Và sử dụng phép truy toán