Một số nguyên lý biến phân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN XUÂN TRUNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC N

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN XUÂN TRUNG

MỘT SỐ NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN XUÂN TRUNG

MỘT SỐ NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Hoàng Ngọc Tuấn

Hà Nội, 2017

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏlòng biết ơn sâu sắc tới TS Hoàng Ngọc Tuấn giảng viên khoa ToánTrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình hướng dẫn để em có thểhoàn thành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo trong khoa Toán, các thầy cô phòng Sau đại học và các thầy cô củaTrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốtquá trình học tập tại Trường

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới giađình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốtquá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Hà Nội, tháng 6 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Xuân Trung

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tíchvới đề tài "Một số nguyên lý biến phân và ứng dụng" được hoànthành dưới sự hướng dẫn của TS Hoàng Ngọc Tuấn và nhận thứccủa bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác

Trong khi nghiên cứu và viết luận văn, tôi đã kế thừa những thànhtựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Tôi cũng xin cam đoan các thông tin trích dẫn trong luận văn đã đượcchỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 06 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Xuân Trung

Mục lục

Phần mở đầu 1

Chương 1 Một số nguyên lý biến phân 4

1.1 Nguyên lý biến phân Ekeland 4

1.2 Dạng hình học của nguyên lý biến phân Ekeland 12

1.3 Nguyên lý biến phân Borwein-Preiss 17

1.4 Nguyên lý biến phân Deville-Godefroy-Zizler 21

Chương 2 Ứng dụng 26

2.1 Nguyên lý điểm bất động 26

2.2 Định lý ánh xạ mở và Định lý Graves 31

2.3 Sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình và bất phương trình tuyến tính 35

2.4 Nguyên lý biến phân Borwein-Preiss và dưới vi phân 42

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

Các kí hiệu

d(x, y) Khoảng cách giữa hai phần tử x và y{xn}∞n=1 Dãy số thực hoặc phức

C1 Tập tất cả các hàm khả vi liên tục

B (a, r) hoặc Br(a) Hình cầu mở tâm a bán kính r

B (a, r) hoặc Br(a) Hình cầu đóng tâm a bán kính r

supp(φ) Giá của hàm φ, {x ∈ X : φ(x) 6= 0}

∇f (x) Gradient (Đạo hàm) của f tại x

inf

sup

X

∂Ff (x) Dưới vi phân Fréchet của f tại x

∂V Ff (x) Dưới vi phân Fréchet nhớt của f tại x

Phần mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Một hàm nửa liên tục dưới trên một tập không compact có thể khôngđạt được cực tiểu Nguyên lý biến phân khẳng định rằng, đối với hàmnhận giá trị vô cùng, nửa liên tục dưới và bị chặn dưới, người ta có thểthêm vào một sự thay đổi nhỏ (làm nhiễu) để nhận được một giá trị cựctiểu

Nguyên lý biến phân cho phép chúng ta áp dụng các kỹ thuật biếnphân với hàm nửa liên tục dưới, nhận giá trị vô cùng, một cách có hệthống và do đó mở rộng đáng kể sức mạnh của kỹ thuật biến phân.Những nguyên lý biến phân cung cấp các công cụ mạnh mẽ tronggiải tích biến phân hiện đại Các ứng dụng của nó bao gồm nhiều lĩnhvực trong cả lý thuyết và ứng dụng của giải tích như: tối ưu, hình họckhông gian Banach, giải tích không trơn, kinh tế, lý thuyết điều khiển,

lý thuyết trò chơi,

Trong đề tài này, chúng ta tập trung vào hai nguyên lý biến phân vàứng dụng của nó đó là nguyên lý biến phân Ekeland và nguyên lý biếnphân Borwein-Preiss Chúng ta cũng xét một "đối tác" của nguyên lýbiến phân Borwein-Preiss được đề xuất bởi Deville, Godefroy và Zizler.Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về một số nguyên lý biến phân vàứng dụng của nó, dưới sự hướng dẫn của TS Hoàng Ngọc Tuấn tôi

đã chọn đề tài “Một số nguyên lý biến phân và ứng dụng” để thực

hiện luận văn của mình.

Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương:

Chương 1 : Nghiên cứu về hai nguyên lý biến phân đó là: Nguyên lýbiến phân Ekeland và nguyên lý biến phân Borwein-Preiss Chúng tacũng xét một "đối tác" của nguyên lý biến phân Borwein-Preiss đó lànguyên lý biến phân Deville-Godefroy-Zizler

Chương 2 : Ứng dụng các nguyên lý biến phân trong chứng minh một

số định lý cơ bản của giải tích hàm, sự tồn tại nghiệm của hệ phươngtrình và bất phương trình tuyến tính, chứng minh một số định lý cơ bảncủa lý thuyết tối ưu

2 Mục đích nghiên cứu

• Luận văn nghiên cứu về một số nguyên lý biến phân trong giải tích

• Ứng dụng nguyên lý biến phân trong chứng minh một số định lý cơbản của giải tích hàm và lý thuyết tối ưu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Nghiên cứu một số nguyên lý biến phân và ứng dụng của nó

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Nguyên lý biến phân Ekeland và nguyên lýbiến phân Borwein-Preiss

• Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu các dạng khác nhau của một số

nguyên lý biến phân và ứng dụng.

5 Phương pháp nghiên cứu

• Vận dụng các kiến thức, phương pháp của giải tích hàm, giải tíchkhông trơn, lý thuyết tối ưu

• Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan đến cácnguyên lý biến phân và ứng dụng

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

Cố gắng xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan tốt về đềtài một số nguyên lý biến phân và ứng dụng

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chếnên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Tácgiả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy

cô và bạn đọc

Chương 1 Một số nguyên lý biến phân

Chương này dành để hệ thống lại một số dạng của nguyên lý biếnphân Nội dung được chọn lọc từ tài liệu [2], [5]

1.1 Nguyên lý biến phân Ekeland

1.1.1 Minh họa hình học

Xét một hàm nửa liên tục dưới f bị chặn dưới trên một không gianBanach (X, k.k) Rõ ràng f có thể không đạt được cực tiểu hoặc vềphương diện hình học, f có thể không có một giá siêu phẳng Nguyên lýbiến phân Ekeland cung cấp một thay thế xấp xỉ để đạt được một cựctiểu bởi khẳng định rằng, với bất kỳ ε > 0, f phải có một nón tựa códạng f (y) − ε kx − yk Điều này được minh họa bằng Hình 1.1

Chúng ta bắt đầu với một điểm z0 mà f (z0) < infXf + ε và xét nón

f (z0) − ε kx − z0k Nếu nón này không đỡ được f thì ta luôn có thể tìmđược một điểm z1 ∈ S0 := x ∈ X|f (x) ≤ f (z) − ε kx − zk sao cho

Hình 1.1: Nguyên lý biến phân Ekeland Nón đỉnh: f (x0) − ε|x − x0|; Nón giữa: f (x1) − ε|x − x 1 |; Nón dưới: f (y) − ε|x − y|.

cùng, f (y) − ε kx − yk là một nón tựa của f , trong đó {y} = T∞

i=1Si.Lập luận này được áp dụng tương tự trong một không gian metric đầy

đủ Hơn nữa, nó cũng cung cấp một sự đánh giá hữu ích về khoảng cáchgiữa y và ε-cực tiểu ban đầu z0

1.1.2 Dạng cơ bản

Bây giờ chúng ta chuyển sang nghiên cứu dạng giải tích của bức tranhhình học được mô tả ở trên - Nguyên lý biến phân Ekeland và chứngminh của nó

Định lý 1.1.1 ([2], Theorem 2.1.1) (Nguyên lý biến phân Ekeland) Cho(X, d) là một không gian metric đầy đủ và cho f : X → R ∪ {+∞} làmột hàm nửa liên tục dưới bị chặn dưới Giả sử rằng ε > 0 và z ∈ Xthỏa mãn

f (z) < inf

X f + ε

Khi đó tồn tại y ∈ X sao cho

(i) d(z, y) ≤ 1,

(ii) f (y) + εd(z, y) ≤ f (z), và

(iii) f (x) + εd(x, y) ≥ f (y), với mọi x ∈ X

Chứng minh Ta xác định một dãy (zi) bằng quy nạp bắt đầu với

εd(zi, zj) ≤ f (zi) − f (zj) (1.3)Chú ý rằng dãy (f (zi)) giảm và bị chặn dưới bởi infXf , do đó nó hội tụ

Ta có kết luận từ (1.3) rằng (zi) là dãy Cauchy Giả sử y := lim

i→∞zi Tachỉ ra rằng y thỏa mãn các kết luận của định lý Đặt i = 0 trong (1.3)

ta có

εd(z, zj) + f (zj) ≤ f (z) (1.4)Lấy các giới hạn, khi j → ∞ thu được (ii) Vì f (z) − f (y) ≤ f (z) −infXf < ε, từ (ii) suy ra (i) Ta còn phải chỉ ra rằng y thỏa mãn (iii)

Cố định i trong (1.3) và lấy giới hạn khi j → ∞ thu được y ∈ Si Điều

εd(x, zi+1) ≤ f (zi+1) − f (x) ≤ f (zi+1) − inf

S i

Từ (1.1) ta có f (zi+1) − infSif ≤ f (zi) − f (zi+1), và ở đó

limi[f(zi+1) − infSif ] = 0 Lấy giới hạn trong (1.5) khi j → ∞ ta cóεd(x, y) = 0 Từ đó suy ra

f (x) + εd(x, zi) ≤ f (x) + εd(x, zi+1) + εd(zi, zi+1)

≤ f (zi+1) + εd(zi, zi+1) ≤ f (zi), (1.7)

có nghĩa là x ∈ Si Bây giờ, với bất kỳ x 6= y, từ (1.6) suy ra x /∈ Si khi

i đủ lớn Như vậy, f (x) + εd(x, zi) ≥ f (zi) Lấy giới hạn khi i → ∞ ta

1.1.3 Các dạng khác

Vì ε > 0 là tùy ý nên nón tựa trong nguyên lý biến phân Ekeland cóthể làm "phẳng" như mong muốn Điều này chỉ ra rằng trong các ứngdụng một nón tựa phẳng là đủ để thay thế cho mặt phẳng tựa có thể

không tồn tại Định lý sau đây có thể được suy ra dễ dàng từ Định lý1.1.1 bởi một lập luận giải tích.

Định lý 1.1.2 ([2], Theorem 2.1.2) Cho (X, d) là một không gian metricđầy đủ và cho f : X → R ∪ {+∞} là một hàm nửa liên tục dưới bị chặndưới Giả sử rằng ε > 0 và z ∈ X thỏa mãn

λ)d(x, y) > f (y), với mọi x ∈ X\ {y}.

Chứng minh Nếu λ = 1 thì ta có Định lý 1.1.1 ở trên Trong trườnghợp tổng quát ta thay d bằng d

λ và theo Định lý 1.1.1 ta có điều phải

f (z) < inf

X f + ε

Khi đó, tồn tại y sao cho

(i) d(z, y) ≤ √

ε,(ii) f (y) +√

εd(z, y) ≤ f (z), và(iii) f (x) +√

εd(x, y) > f (y), với mọi x ∈ X\ {y} Chứng minh Đặt λ = √

Khi z trong Định lý 1.1.2 không được biết chính xác hoặc không quantrọng thì dạng yếu sau của nguyên lý biến phân Ekeland là hữu ích.Định lý 1.1.4 ([2], Theorem 2.1.4) Cho (X, d) là một không gian metricđầy đủ và cho f : X → R ∪ {+∞} là một hàm nửa liên tục dưới bị chặndưới Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại y sao cho

f (x) +√

εd(x, y) > f (y)

Định lý 1.1.5 ([2], Theorem 2.2.5) (Sự tương đương với tính đầy đủ)Cho (X, d) là một không gian metric Khi đó X là đầy đủ khi và chỉ khivới mỗi hàm nửa liên tục dưới f : X → R ∪ {+∞} bị chặn dưới và vớimỗi ε > 0 tồn tại một điểm y ∈ X thỏa mãn

f (y) ≤ inf

X f + ε,và

f (x) + εd(x, y) ≥ f (y), ∀x ∈ X

Chứng minh Chiều thuận được suy ra từ Định lý 1.1.4 Ta sẽ chứngminh phần đảo của định lý này Cho (xi) là một dãy Cauchy Khi đó,hàm f (x) := limi→∞d(xi, x) được xác định và không âm Do hàm khoảngcách là Lipschitz đối với x nên f liên tục Hơn nữa, (xi) là dãy Cauchy

nên ta có f (xi) → 0 khi i → ∞ để cho infXf = 0 Với ε ∈ (0, 1) chọn ysao cho f (y) ≤ ε và

f (y) ≤ f (x) + εd(x, y), ∀x ∈ X (1.8)Cho x = xi trong (1.8) và lấy giới hạn khi i → ∞ ta được f (y) ≤ εf (y)

Tiếp theo chúng ta sẽ trình bày nguyên lý biến phân Ekeland đối vớihàm khả vi Gâteaux trong không gian Banach Trước hết ta nhắc lạikhái niệm đạo hàm Gâteaux và đạo hàm Fréchet

Định nghĩa 1.1.1 ([5], Definition 3.4) Cho X, Y là các không gianBanach, và f : U → Y là một ánh xạ từ tập mở U vào Y , (U ⊆ X).Ánh xạ f được gọi là khả vi Gâteaux tại x ∈ U nếu

lim

t→0

f (x + td) − f (x)

t = Ad, ∀d ∈ X,trong đó A : X → Y là một ánh xạ tuyến tính Nếu f khả vi Gâteauxtại mọi điểm x ∈ U thì ta nói f khả vi Gâteaux trên U Ánh xạ A kýhiệu là Df (x) (hoặc ∇f (x)) và được gọi là đạo hàm Gâteaux của f Ánh xạ f được gọi là khả vi Fréchet tại x ∈ U nếu tồn tại một ánh

xạ tuyến tính B : X → Y sao cho

trang bị chuẩn

kLk := sup

kxk=1

kLxk Nếu Df liên tục trên U , thì ta nói f khả vi liên tục trên U và viết

là f ∈ C1 Nếu Df ∈ C1 thì ta nói f khả vi liên tục cấp hai và viết là

f ∈ C2 Ánh xạ f khả vi liên tục bậc k được ký hiệu là f ∈ Ck Từ đóthấy rằng nếu f khả vi Fréchet tại x ∈ U thì nó cũng khả vi Gâteauxtại x và hai đạo hàm này của f là giống nhau

Định lý 1.1.6 ([5], Corollary 3.5) Cho f : X → R là một hàm trênkhông gian Banach X và khả vi Gâteaux, nửa liên tục dưới, bị chặn dưới.Cho ε > 0 và cho x ∈ X là điểm sao cho f (x) ≤ inf

X f + ε Khi đó tồntại điểm xε ∈ X sao cho

f (xε) ≤ f (x),

kx − xεk ≤ 1,k∇f (xε)k ≤ ε

Vì vậy, khi đó tồn tại một dãy cực tiểu {xn} trong X thỏa mãn f (xn) →inf

f (xε) < f (xε+td)+|t| ε ⇒ h∇f (xε), di+0(t) > − |t| ε ⇒ |h∇f (xε), di| ≤

ε, ∀ kdk = 1, ⇒ k∇f (xε)k ≤ ε Lấy yn ∈ X sao cho f (yn) ≤ inf

X f + 1

n,khi đó tồn tại xn sao cho

f (xn) ≤ f (yn) và k∇f (xn)k ≤ 1

n.Vậy dãy {xn}∞1 thỏa mãn tính chất trên 

1.2 Dạng hình học của nguyên lý biến phân Ekeland

Tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu nguyên lý biến phân Ekeland từ góc

{y} = S ∩ [K(x∗, ε) + y]

Bức tranh hình học của Định lý Bishop-Phelps và của nguyên lý biếnphân Ekeland là gần như giống nhau: nón Bishop-Phelps K(x∗, ε) + ytrong Định lý 1.2.1 đóng vai trò tương tự như nón f (y) − εd(x, y) trongĐịnh lý 1.1.1 Ta có thể dễ dàng thu được một phiên bản không gianBanach của nguyên lý biến phân Ekeland bằng cách áp dụng Định lýBishop-Phelps với trên đồ thị của một hàm nửa liên tục dưới, bị chặndưới.

Nếu ta có thêm thông tin, chẳng hạn các điểm trong hoặc điểm ngoài

của tập đã cho, thì nón tựa có thể được thay thế bởi các tập bị chặnđược xây dựng một cách tinh vi hơn Khi đó ta có Định lý Flower-Petalhay còn được gọi là Định lý Cánh hoa.

a ∈ S và b ∈ X\S với r ∈ (0, d(S; b)) và t = kb − ak Khi đó, với bất kỳ

γ > 0, đều tồn tại y ∈ S ∩ Pγ(a, b) thỏa mãn ky − ak ≤ t − r

kx − bk + γ kx − yk > ky − bk , ∀x ∈ S\ {y} Bất đẳng thức thứ nhất chứng tỏ y ∈ Pγ(a, b) còn từ bất đẳng thức thứ

1.2.3 Định lý Giọt nước

Cho X là một không gian Banach, cho C là một tập con lồi của X

và cho a ∈ X Ta nói rằng

[a, C] := conv ({a} ∪ C) = {a + t (c − a) : c ∈ C}

là giọt nước sinh bởi a và C

Bổ đề sau đây cung cấp cho chúng ta thông tin hữu ích về mối quan

hệ giữa giọt nước và cánh hoa Điều này được minh họa trong Hình 1.4

Bổ đề 1.2.1 ([2], Lemma 2.2.3) (Giọt nước và Cánh hoa) Cho X là mộtkhông gian Banach, cho a, b ∈ X và cho γ ∈ (0, 1) Khi đó

Bka−bk(1−γ)/(1+γ)(b) ⊂ Pγ(a, b),

Hình 1.4: Cánh hoa chứa giọt nước.

và do đó

a, Bka−bk(1−γ)/(1+γ)(b) ⊂ Pγ(a, b)

Bây giờ ta có thể suy ra Định lý Giọt nước từ Định lý Cánh hoa

Định lý 1.2.3 ([2], Theorem 2.2.4) (Định lý Giọt nước) Cho X là mộtkhông gian Banach và cho S là một tập con đóng của X Giả sử rằng

b ∈ X\S và r ∈ (0, d(S; b)) Khi đó, với bất kỳ ε > 0, tồn tại y ∈ bd(S)thỏa mãn ky − bk ≤ d(S; b) + ε sao cho [y, Br(b)] ∩ S = {y}

d(S; y) + ε Từ Bổ đề 1.2.1 và r = 1 − γ

1 + γ ka − bk suy ra [y, Br(b)] ∩ S =

1.3 Nguyên lý biến phân Borwein-Preiss

Định nghĩa 1.3.1 ([2], Definition 2.5.1) Cho (X, d) là một không gianmetric Ta nói một hàm liên tục ρ : X × X → [0, ∞] là một hàm cỡ nếu

nó thỏa mãn các điều kiện sau

(i) ρ(x, x) = 0, với mọi x ∈ X,

(ii) với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi y, z ∈ X ta có ρ(y, z) ≤ δkéo theo d(y, z) < ε

Định lý 1.3.1 ([2], Theorem 2.5.2) (Nguyên lý biến phân Preiss) Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và cho f : X →

Borwein-R ∪ {+∞} là một hàm nửa liên tục dưới bị chặn dưới Giả sử rằng ρ

là một hàm cỡ và (δi)∞i=0 là một dãy số dương, và giả sử rằng ε > 0 và

Tổng quát, giả sử ta đã xác định được xj, Sj với j = 0, 1, , i − 1 thỏamãn

2jδ0 (1.13)và

Ta chọn xi ∈ Si−1 sao cho

2iδ0 (1.15)

Ta thấy rằng với mỗi i = 1, 2, , Si là tập đóng và khác rỗng Từ (1.15)

và (1.16) suy ra, với mọi x ∈ Si,

ρ(x, xi) ≤ ε

2iδ0, ∀x ∈ Si. (1.17)

Vì ρ là một hàm cỡ, bất đẳng thức (1.17) có nghĩa là d(x, xi) → 0 đềutheo x, và do đó diam(Si) → 0 Vì X là đầy đủ cho nên, theo định lý dãycác tập đóng lồng nhau của Cantor tồn tại duy nhất một y ∈ T∞

i=0Si,thỏa mãn (i) bởi vì (1.10) và (1.17) Rõ ràng, ta có xi → y Với x 6= y,

do đó (ii) được chứng minh Kết hợp (1.18) và (1.20) thu được (iii) 

Ta sẽ thường xuyên sử dụng dạng không gian định chuẩn sau đây củanguyên lý biến phân Borwein-Preiss, đặc biệt là trong không gian vớichuẩn trơn Fréchet, trong trường hợp này ta có thể suy ra thông tin củađạo hàm cấp một từ kết luận

Định lý 1.3.2 ([2], Theorem 2.5.3) Cho X là một không gian Banachvới chuẩn k.k và cho f : X → R ∪ {+∞} là một hàm nửa liên tục dưới

bị chặn dưới, cho λ > 0 và cho p ≥ 1 Giả sử rằng ε > 0 và z ∈ X thỏamãn

trong đó µi > 0 với mọi i = 1, 2, và P∞

i=1µi = 1 sao cho(i) kxi− yk ≤ λ, i = 1, 2, ,

(ii) f (y) + (ε/λp)ϕp(y) ≤ f (z), và

(iii) f (x) + (ε/λp)ϕp(x) > f (y) + (ε/λp)ϕp(y), với mọi x ∈ X\ {y}

Chứng minh Đặt ρ(x, y) = ε

λpkx − ykp, khi đó ρ là một hàm cỡ Ápdụng nguyên lý biến phân Borwein-Preiss của Định lý 1.3.1 cho hàm

Từ đó suy ra f (x) + (ε/λp)ϕp(x) > f (y) + (ε/λp)ϕp(y), ∀x ∈ X\{y}

Chú ý rằng khi chuẩn k.k là trơn Fréchet ta cũng có ϕp là trơn với

p > 1

1.4 Nguyên lý biến phân Deville-Godefroy-Zizler

Một "đối tác" quan trọng của nguyên lý biến phân Borwein-Preissđược tìm ra sau bởi Deville, Godefroy và Zizler sẽ được trình bày dưới

đây Ta nhắc lại, định lý phạm trù Baire phát biểu rằng trong một khônggian metric đầy đủ mọi giao đếm được của các tập mở trù mật là trùmật Tập chứa một tập trù mật Gδ như vậy được gọi là phần chunghoặc phần dư và phần bù của một tập như vậy là thưa Ta nói hàm

f : X → R ∪ {+∞} đạt được cực tiểu mạnh tại x ∈ X nếu f (x) = inf

Deville-(i) kgk∞ ≤ kgkY, ∀g ∈ Y

(ii) Với mỗi g ∈ Y và z ∈ X, hàm x → gz(x) = g(x + z) là trong Y và

kgzkY = kgkY

(iii) Với mỗi g ∈ Y và a ∈ R, hàm x → g(ax) là trong Y

(iv) Tồn tại một hàm φ trong Y bị chặn và có giá bị chặn và khác rỗng.Nếu f : X → R ∪ {+∞} là hàm chính thường, nửa liên tục dưới và bịchặn dưới, thì tập G của mọi g ∈ Y sao cho f + g đạt được cực tiểumạnh trên X là phần dư (thực ra Gδ là một tập trù mật)

Để thấy rằng Ui là mở, giả sử rằng g ∈ Ui với a > 0 tương ứng Khi

đó, với bất kỳ h ∈ Y sao cho kg − hkY < a

3, ta có kg − hk∞ <

a

3 Bâygiờ, với bất kỳ x ∈ S

Để thấy mỗi Ui là trù mật trong Y , giả sử g ∈ Y và ε > 0; ta có

h ∈ Y sao cho khkY < ε và với mỗi a > 0 diam S(f + g + h; a) < 1

i Dogiả thiết (iv), Y có chứa một hàm φ bị chặn và có giá bị chặn và khácrỗng Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử kφkY < ε Do giả thiết(ii) ta có thể giả sử φ(0) 6= 0, và do đó φ(0) > 0 Hơn nữa, do giả thiết(iii) ta có thể giả sử supp(φ) ⊂ B(0, 1

2i) Cho a =

1

2φ(0) và chọn x ∈ Xsao cho

2i); tức là, nếu kx − xk >

12ithì x /∈ S(f + g + h; a), điều đó tương đương với

(f + g + h) (x) > inf

X (f + g + h) + a

Bây giờ, supp(h) ⊂ B(x, 1

2i), như vậy h(x) = 0 nếu kx − xk >

12i thì

(f + g + g)(x) = (f + g)(x) ≥ inf

X (f + g) > (f + g)(x) − a

= (f + g + h)(x) + φ(0) − 1

2φ(0) ≥ infX (f + g + h) + a.như vậy điều cần chứng minh trên là đúng

Cuối cùng, chúng ta chứng minh T∞

i=1Ui = G Dễ thấy G ⊂ T∞

i=1Ui.Với g ∈ T∞

i=1Ui, ta sẽ chứng minh g ∈ G; tức là f + g đạt được cựctiểu mạnh trên X Đầu tiên, ∀ i, ∃ ai > 0 sao cho diamS(f + g; ai) < 1