Luận văn một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi tích phân tuyến tính fredholm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ THU HÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XAP xỉ PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC... NGUYỄN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ THU HÀ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XAP xỉ PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

NGUYỄN THỊ THU HÀ

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI XAP xỉ

PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN

TUYẾN TÍNH FREDHOLM

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS Khuất Văn Ninh

HÀ NỘI, 2016LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy

cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân

đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh, luận

văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Một số phương phấp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm” do tôi tự

làm Các kết quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 6 năm 2016

Tác giả

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Một số kiến thức về Giải tích hàm

TRÌNH VĨ-TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH FREDHOLM

2.11.1.1 Khống gian metric

2 PHƯ ỜNG PHẤP GĨẲĨ TÍCH GIẢI XÁP xì PHƯ ỜNG

3 PHƯ ỜNG PHẤP GĨẲĨ SỐ PHƯ ỜNG TRÌNH VĨ-TÍCH

10

48

Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Khuất

Văn Ninh tôi đã nghiên cứu đề tầỉ“Một số phương phấp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phẫn tuyến tính Fredholm” để thực hiện luận văn của mình.

Mục đích nghiên cứu

Luận văn sẽ nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm và ứng dụng Maple trong tính toán

Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm

- Các phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi-tích phân tuyến tính Fredholm

Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có từ đó hệ thống lại các vấn đề liên quan tới đề tài

Hệ thống lại một số phương pháp giải phương trình vi-tích phân tuyến tính Predholm và ứng dụng của phương pháp đó vào giải các phương trình cụ thể Áp dụng phần mềm Maple trong tính toán.

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Một số kiến thức về Giải tích hàm

Mục này nhắc lại một số kết quả về giải tích hàm, được trích dẫn chủ yếu từ tài liệu [5]

Không gian metric

Cho X là một tập tùy ý

Định nghĩa 1.1.1 Một metric trong X là một ánh xạ

d X X X —ỳ K,

thỏa mãn các điều kiện sau đây

(i) d(x,y) ^ 0,Vx,y e X;

(ii) d(x,y) = 0 X = y\

(hi) d(x,y) = d(y,x),Vx,y e X;

(iv) d(x, y) < d(x, z) + d(z, y ) , V s , í / G X ;

Một không gian metric là một tập hợp cùng với một metric trong tập hợp ấy Các phần tử của một không gian

metric được gọi là điểm của không gian ấy số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa các điểm X và y.

lim d(a, x n ) = 0.

ra—> oo

Khi đó ta kí hiệu lim x n = a hoặc x n !-»■ a khi ĨỈ4 oo

n—> 00

Định nghĩa 1.1.3 Dãy điểm được gọi là dãy cơ bản trong không gian metric X nếu với mọi £ > 0 cho trước, tồn tại

một số n 0 sao cho với mọi n > n 0 và m > n 0 ta đều có

d{x n , xm) < £.

Nói cách khác ta có

lim d(x n ,x m ) = 0.

n,m—>00

Dễ thấy mọi dãy điểm hội tụ trong không gian metric đều là dãy cơ bản.

Định nghĩa 1.1.4 Một không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần

tử trong X.

Định nghĩa 1.1.5 Cho X, Y là hai không gian metric tùy ý Ánh xạ fx —>• Y được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại

một số a với 0 < a < 1 sao cho với mọi x,x' € X ta đều có

d{f{x),f{x')) < ad(x,x’),

và a được gọi là hệ số co của /.

Hiển nhiên một ánh xạ co là ánh xạ liên tục đều

d (x n , X*) < -d (x 1: x 0 ),

1 — a trong đó a là hệ số co của f.

Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường p (p = K hoặc c)

Định nghĩa 1.1.6 Một chuẩn, kí hiệu ||.|| trong X là một ánh xạ từ X vào R thỏa mãn các điều kiện

(i) ||x|| > 0 với mọi l ẽ X ;

(ii) ||x|| = 0 khi và chỉ khi X = 0 [9 là kí hiệu phần tử không);

(iii) \ \ Ằ x \ \ = ỊAỊ ỊỊa^ll với mọi số À € p và với mọi X € X;

(iv) IIX + yII < ||x|| + \\yII với mọi x,y E X.

Số ||x|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ X e X.

Định nghĩa 1.1.7 Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy gọi là một không gian

định chuẩn (thực hoặc phức, tùy theo p là thực hoặc phức)

Định lý 1.1.2 Giả s ử X ỉ à một không gian định chuẩn Với mọi X G X đặt

d ( x , y ) = \\x - yII

Định nghĩa 1.1.8 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến x 0 e X nếu lim II — íEoll = 0 Khi

Định nghĩa 1.1.10 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Ba- nach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

Không gian Cịab] và các tính chất

Định nghĩa 1.1.11 C[a 6] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định và liên tục trên đoạn [a, b], —oo < a < b < +oo.

Các tính chất

(i) Không gian Cịa 6] là không gian metric.

Vz, y € CịaM, d (x, y) = max \x (t) -y{t) I.

a<t<b

(ii) Không gian C[ a 6] là không gian định chuẩn

||x|| = max \x (t)|.

ã<ỉ<b

(iv) Tập tất cả các đa thức với hệ số hữu tỷ trù mật trong Cị a b -ị Cho nên Cị a 6] là không gian tách được.

Định nghĩa 1.1.12 Không gian C^6Ị gồm tất cả các hàm X (t) xác định trên đoạn [ữ, 6] và có đạo hàm liên tục đến cấp n, với chuẩn được xác định bởi

INI = max {|z(í)|, |íc,(t)|, , \x n (t)\}

a<t<

+

00

1.1 Chuỗi lũy thừa

Định nghĩa 1.2.1 Chuỗi lũy thừa là một hàm dạng Xì a n{x — x 0 ) n

n=0

trong đó x ữ , a 0 , dị, a2, là những số thực

Điểm x ữ được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa Để ý rằng chuỗi lũy thừa luôn

+

00

Nếu đặt y = X — x ữ thì ta có thể đưa chuỗi lũy thừa về dạng Xì a n y n ,

n=0

chuỗi có tâm tại y — 0

Các tính chất của tổng chuỗi lũy thừa

+

00

Định lý 1.2.1 Giả sử chuỗi lũy thừa a n x n có bán kính hội tụ R > 0,

n=0 khi đó tổng S(x) của nó là một hàm liên tục trong khoảng hội tụ (-R, R).

+ Tổng s là hàm khả vi trong khoảng hội tụ ( - R , R) v à

+ Tổng s là hàm khả vi trong khoảng hội tụ ( - R , R) v à

hạng của chuỗi lũy thừa đã cho, cũng có bán kính hội tụ là R.s'(x )

= ^2 nơ n x n 1

na n x

n=0

Tích phân phụ thuộc tham số và các tính chất

Định nghĩa 1.2.2 Giả sử f(x,y) là một hàm số xác định với X thuộc đoạn [a, 6]

và y thuộc một tập hợp số thực Y nào đó, sao cho với mỗi y cố định thuộc Y hàm f(x,y) khả tích trong đoạn [a,h].

+ Tổng s là hàm khả vi trong khoảng hội tụ ( - R , R) v à

+ Tổng s là hàm khả vi trong khoảng hội tụ ( - R , R) v à

Định lý 1.2.4 Nếu hàm f(x,y) xác định và liên tục trong hình chữ

nhật D thì tích phân phụ thuộc tham số I(y ) = f b f(x ì y)dx là một hàm liên tục trong đoạn [c, d].

b

a

Định lý 1.2.5 Giả sử f(x,y) là hàm số xác định trong hình chữ nhật D

liên tục theo X € [a,b] với mỗi y cố định thuộc đoạn [c,d] Hơn nữa f(x,y) có đạo hàm riêng I~(x,y) là một hàm liên tục trong hình chữ

nhật D Khi đó tích phân phụ thuộc tham số

là một hàm khả vi vàĐịnh lý 1.2.6

Nếu f(x,y) là hàm liên tục trong hình chữ nhật D = [a, 6] X [c, d] thì ta có công thức

j\y)dy = Ị* { y)đx} dy = y ‘ f(x,y)dy} dx.

Hay là

dy f (x, y)dx = dx f(x : y)dy u J a Ja Jc

Một số kiến thức về giải tích số

1.3.1 Phương pháp cầu phương

Cho hàm / xác định trên đoạn [a,b], f là hàm số liên tục trên đoạn [ữ, 6] do

đó / khả tích trên đoạn [a, 6]

Ta chia đoạn [a, b] thành n phần

a = x 0 < Xị < x 2 < < x n = b

Công thức sau được gọi là công thức cầu phương

/

/

(a;) dx — E ẢkV 0xk) + R n

k = 1

trong đó, Ak và Xỵ- tương ứng là hệ số và nút của công thức cầu phương, R n

(tp)~ phần dư của công thức cầu phương.

Nếu như chọn công thức hình thang, thì chúng ta có

Aị A n -h, Aỵ h, k 2, , n 1Ị

b — a

{b-aý [ ô2( ^ ) '

dy2

y = z , a < z < b

12 ( n — l j

11Nếu xét công thức Sympson thì sau khi đặt n = 2m + 1, ta sẽ có

Nếu một quy tắc nào đó được chọn thì các đại lượng A k ,X]¡;, Rỵ có thể

được viết một cách tương tự

Sai phân và các tính chất

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử y = f (x) là hàm số xác định trên tập X, h là hằng số lớn hơn 0 Biểu thứcA/ (x) = f (x + h) — f (x) được gọi là sai phân cấp 1 của / (x) tại điểm X. Biểu thức

A7 = A [A/ (*)]

= [ f ( x + 2 h ) - f ( x + h ) ] - [ f { x + h ) - f (x)]

= A f ( x + h ) - A f ( x )

được gọi là sai phân cấp 2 của / (x) tại X

Tương tự, ta có A k f — A [Afe-1/] được gọi là sai phân cấp k của / tại X.

Các tính chất của sai phân

(i) A* [ ĩ ± g ] = A± A k g.

(ii) A* [A/ (x)] = AA‘ [/ (x)].

(iii) An \p n (a:)] = const, A m \p n (x)] = 0, khi m > n, trong đó p n (x) là đa

thức cấp n của X.

(iv) / (x + nh) = £ QA7 (x).

i = 0

(v) A”/(i) = Ẻ (—l)‘Ci/ [z + (n - t)].

¿=0

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI XẤP

XỈ PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN

Định lý 2.1.1 Giả sử hàm K(x,t) liên tục trên tập D và Mịb — à) < 1.

Khi đó phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất u = u(a^) thỏa mãn điều

kiện ban đầu u(a) = 0 < k < n — 1.

Nghiệm này xác định trên đoạn [a, 6].

Chứng minh Đặt

A{x, u) = f{x) + / K{x,t)u{t)dt

J a

Khi đó theo tính chất của tích phân phụ thuộc tham số A(x, u) là hàm số liên tục

trên đoạn [a, 6]

Khi đó theo định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán Côsi suy ra

phương trình (2.1) có nghiệm duy nhất u = u(a^) thỏa mãn điều kiện ban đầu.

Phương pháp tính toán trực tiếp

Xét phương trình vi-tích phân Predholm được cho bởi công thức(|2.ip

Thay thế K(x,t) = g(x).h(t) vào công thức (2.1 )ta được

= í h(t)u(t)dt

** a

(2.3)

vào biến t Điều này có nghĩa là tích phân xác định ở vế phải của (2.2) là bằng một hằng số a Nói cách khác, chúng ta đặt

Thay thế (2.5) vào vế phải của (2.3) Đánh giá tích phân và nghiệm của phương trình, chúng ta xác định được hằng số a Với cách làm này ta sẽ thu được nghiệm chính xác u(x) bằng cách thay giá trị a vào phương

trình (2.5)

Phương pháp sẽ được minh họa bằng các ví dụ sau Ví dụ 2.2.1

Tìm nghiệm của phương trình vi- tích phân sau

Khi đó phương trình đã cho trở thành

/ Oi Q V ,

Thay vào (2.6) ta được

<^a= T' 16

w ư 3(128—7T 4 )

Vậy nghiệm chính xác u{x) = —X + sinx + 3( l i* 128) x 2•

Ví dụ 2.2.2 Tìm nghiệm của phương trình vi-tích phân sau

u (x) = — 1 — sỉnx + / tu(t)dt, u{0) = 0, u (0) = 1.

Bài giải Đặt

= (—t + cost + at) lỗ = x(a — 1) + cosx

r+2

a = ựt do

Vậy nghiệm chính xác là Ií(:r) = sinx.

Ví dụ 2.2.3 Tìm nghiệm của phương trình vi tích phân sau

—{a — 1) + sint 2

u

Khi đó phương trình đã cho trở thành

u (X) = e — 2 — X + e x (3 + x) + XOLI —

«2-Tích phân cả hai vế của phương trình trên từ 0 tới X ba lần và sử dụng điều kiện

ban đầu ta được

= [jỊỊÍ a i - 1) + - 2 - a 2 ) + -i 4 + — + íV - 2íe‘ + 2e‘| lị

“ Ĩ 4 4( a i _ 1 ) + ằ( e _ 2 _“2 : ) + 6 + e

Giải hệ phương trình ta thu được

ca 1

Phương pháp phân tích Adomian

Trong phương pháp này chúng ta thực hiện bằng cách chuyển đổi một phương trình vi-tích phân Fredholm về một phương trình tích phân Fredholm Sau đó ta giải phương trình tích phân đó bằng phương pháp phân tích Adomian

Không làm mất tính tổng quát chúng ta có thể xét một phương trình vi-tích phân Fredholm bậc hai được cho bởi

u (:r) = f(x) + / K(x,t)u(t)dt,u(a) = d 0 ,u (a) = di (2-10)

Tích phân cả hai vế của (2.10) từ a đến X hai lần được

u{x) = a 0 + diX + L~ 1 (f(x)) + L~ l { í K(x,t)u(t)dt) (2.11)

''a

ở đây điều kiện ban đầu u(a) = a 0 và ú(a) = «1 được sử dụng, L~ l là

một toán tử tích phân hai lần Sau đó ta sử dụng chuỗi khai triển

ở đó thành phần u 0 ( x) bằng tất cả các số hạng không bao gồm phần

abên trong dấu tích phân của (2.13) Ta phải xác định các thành phần

Uị(x)J > 0, nghiệm u(x) của (2.10) có được sau khi thu được Ui(x) Sử dụng

(2.12) ta thu được chuỗi hội tụ tới nghiệm chính xác Để sử dụng tốt phương pháp phân tích Adomian chúng ta kết hợp với phương pháp phân tích cải biên

Phương pháp phân tích Adomian cải biên

Theo phương pháp phân tích Adomian nghiệm được tìm dưới dạng chuỗi vô

hạn u(x)

oc

56

ở đó thành phần u 0 ( x) bằng tất cả các số hạng không bao gồm phần

Nhìn vào công thức trên các thành phần u n (x), n > 0 sẽ dễ dàng tìm được

Nếu hàm số f(x) là tổng của hai hàm thành phần, là fi(x)vầ Ỉ 2{x) Nói cách

khác chúng ta có thể đặt

Khi đó ta sử dụng phương pháp đồng nhất hóa thành phần u 0 {x) bằng một

bộ phận của f(x), là fi(x) hoặc f 2 {x) Và sử dụng phép truy toán

58

ở đó thành phần u 0 ( x) bằng tất cả các số hạng không bao gồm phần

u 0 {x) = Uị(x) = f 2 {x) + X / K(x,t)u 0 (t)dt,

J a

(2.16)

u k + i{x) = A / K(x,t)u k (t)dt,k > 1,

J a

Hiện tượng số hạng nhiễu âm

Nếu như số hạng nhiễu âm xuất hiện giữa các bộ phận thành phần cấu thành

của u ( x ) thì nghiệm chính xác chỉ có thể nhận được bằng cách xét hai thành

phần đầu tiên là u 0 (x) và Ui(a^) số hạng nhiễu âm được định nghĩa như là các số

hạng với dấu đối nhau có thể xuất hiện giữa các thành phần cấu thành của

nghiệm u ( x ) Chúng ta quan sát sự xuất hiện của số hạng nhiễu âm trong bộ

phận thành phần cấu thành nghiệm với dấu đối thì bằng cách giản ước số hạng này chúng ta sẽ thu được nghiệm chính xác

ở đó thành phần u 0 ( x) bằng tất cả các số hạng không bao gồm phần

Ví dụ 2.3.1 Sử dụng phương pháp phân tích Adomỉan để tìm nghiệm của

phương trình vi-tích phân Fredholm

Nghiệm là một dãy cho bởi công thức

u(x) = -x + 12x + ^x(l + 2 + 4 + 8 +

Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân vô hạn có dị — 1, công bội q =

ị Ta thu được nghiệm chính xác

7

u{x) = — X + 12x2 + -X.2 = 12x2 + Qx.

2

Ví dụ 2.3.2 Sử dụng phương pháp phần tích Adomian để tìm nghiệm của

phương trình vi-tích phân Fredholm

u (x) = —P — 2cos2x + / u(t)dt : u(0) = 1, u (0) = 0.

2 '4

Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân vô hạn có ữi = Ỵ, công bội Q =

^ ta thu được nghiệm chính xác

, N 1 187rai 2

“(z) = -1 + 2 m s 2 x -

¿4^-Ví dụ 2.3.3 Sử dụng phương phấp tách Adomian để tìm nghiệm của

phương trình vỉ-tích phân Fredholm

Bài giải Tích phân cả hai vế

Tĩ , 192'

ar

~2

3 X 15 X 15 X 15’

Nghiệm là một dãy cho bởi công thức

X3 1 14e_1x3 14e_1x3 14e_1a:3

«(¿c) = —e + e -

_ X 3

~ Y e +e 3 X 15 ^ + Ĩ5 + 15 X 15 + 15 X 15 X 15'"'

Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân vô hạn có ữi = 1, công

bội q = Ys ta thu được nghiệm chính xác

UịX) = e-æ

u"{x) = 2x — cosx + Í xtu(t)dt,u(0) = l,ì/(0) = 0.

J ũ

Bài giải

Tích phân cả hai vế của phương trình từ 0 tới X hai lần và sử dụng điều kiện

ban đầu thu được phương trình sau

Nghiệm là một dãy cho bởi công thức

X3 7T2

w(a:) = cosa: + 1 + —

a: 3 7T 2 7T 5 X3 7T 2 7T 5 7T 5

+ ~6~~2~3Õ+ yy 30 30"'

hay u{x) = cosx + 1 + Ỷị(1 + £ + — )

Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân vô hạn có ữi = 1, công bội q =

ta thu được nghiệm chính xác

, 5:r 3 7r 2

U( X ) = cosx + 1 + 2(30_ 7 r 5 )

-Ví dụ 2.3.5 Sử dụng phương pháp phẫn tích Adomian cải biên giải