Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử

Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Lưu Thị Kim Thanh

HÀ NỘI, 2014

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới: PGS TS Lưu Thị Kim Thanh, đã tận tuỵ hết lòng hướng dẫn, cung cấp tài liệu và truyền thụ cho tôi những kiến thức và phương pháp nghiên cứu khoa học Sự quan tâm bồi dưỡng của cô đã giúp tôi tự tin vượt qua những khó khăn bỡ ngỡ trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Vật lí lí thuyết- Khoa Vật lí Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Cuối cùng tôi xin cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng Quản lý khoa học và Đào tạo Sau Đại Học Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đã tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành khoá học này

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo cùng các bạn học viên!

Hà Nội, ngày 10tháng 7năm 2014

Học viên

Tạ Quang Dần

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh Luận văn không hề trùng lặp với những đề tài khác

Hà Nội, ngày 10tháng 7năm 2014

Học viên

Tạ Quang Dần

MỤC LỤC

Trang

Lời cảm ơn 1

Lời cam đoan 2

Mục lục 3

MỞ ĐẦU 5

NỘI DUNG 7

Chương 1 HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ 7

1.1 Dao động tử điều hoà trong cơ học cổ điển 7

1.2 Dao động tử điều hoà trong cơ học lượng tử 9

1.2.3 Dao động tử điều hoà trong lý thuyết trường lượng tử 15

Chương 2 HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ BIẾN DẠNG 25

2.1 Cơ sở toán học của lý thuyết biến dạng 25

2.2 Dao động tử Boson biến dạng 27

2.2.1 Dao động tử Boson biến dạng q 27

2.2.2 Dao động tử Boson biến dạng q tổng quát 30

2.2.3 Dao động tử Boson biến dạng R 34

2.3 Dao động tử Fermion biến dạng 37

2.3.1 Dao động tử Fermion biến dạng q 37

2.3.2 Dao động tử Fermion biến dạng q tổng quát 38

Chương 3 MỘT SỐ BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TRONG VẬT LÍ LƯỢNG TỬ 40

3.1 Biểu diễn dao động của một số đại lượng nhiệt động 40

3.1.1 Biểu diễn dao động của toán tử toạ độ và xung lượng 40

3.1.2 Biểu diễn dao động của toán tử năng lượng 41

3.1.3 Biểu diễn dao động của véc tơ trạng thái 42

3.2 Biểu diễn dao động của trạng thái kết hợp 48 3.2.1 Định nghĩa trạng thái kết hợp 48 3.2.2 Trạng thái kết hợp của dao động tử biến dạng q 49 3.2.3 Trạng thái kết hợp của dao động tử biến dạng q tổng

quát 50 KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

MỞ ĐẦU 1.Lý do chọn đề tài

Dao động tử lượng tử là mô hình được áp dụng rộng rãi trong vật lí hiện đại và được coi là mô hình gần đúng của các phân tử thực, các nguyên tử thực và của các hạt thực khác Các mô hình đó được áp dụng cho các hạt tự

do cũng như cho các hạt cấu thành hệ vật lí

Bài toán về dao động tử điều hòa là một trong số ít những bài toán giải được chính xác trong cơ học lượng tử Vì thế, mô hình dao động tử điều hòa được áp dụng trong nhiều chuyên ngành của vật lí, như vật lí chất rắn với các vấn đề về dao động mạng tinh thể và hình thức luận phonon, vật lí hạt cơ bản với các vấn đề về dao động boson và dao động fermion, vật lí hạt nhân nguyên tử với các vấn đề về dao động của hạt nhân nguyên tử, quang học lượng tử với các vấn đề về dao động sóng, …Tuy nhiên, dao động tử điều hòa là một mô hình lí tưởng, trong các hệ vật lí thực thường tồn tại các dao động tử phi điều hòa, vì vậy khi áp dụng lý thuyết vào hệ vật lí thực vẫn có sự sai khác giữa kết quả tính toán lý thuyết với kết quả đo được bằng thực nghiệm Khi đó người ta thường dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết [1], [3], [6]

Ngày nay, lý thuyết trường lượng tử đã đạt được nhiều thành tựu trong nghiên cứu hạt cơ bản, vật lí năng lượng cao, vật lí hạt nhân nguyên tử và khoa học vũ trụ, … Lý thuyết trường lượng tử đã mở ra con đường để nhận biết các quá trình vật lí xảy ra trong thế giới hạt vi mô và quá trình hình thành nên vũ trụ mà chúng ta đang sống Lý thuyết trường lượng tử luôn thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học Quốc tế và trong nước Lý thuyết trường lượng tử đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của vật lí hiện đại Các phương pháp gần đúng thường được sử dụng trong lý thuyết lượng tử là phương pháp trường trung bình, phương pháp tác dụng hiệu dụng,

phương pháp thống kê momen, … Nhóm lượng tử mà cấu trúc nó là đại số lượng tử, là một phương pháp gần đúng của lý thuyết trường lượng tử Nhóm lượng tử được nghiên cứu thuận lợi trong hình thức luận dao động tử điều hoà biến dạng [8],[11]

Sau quá trình học tập tại lớp cao học chuyên ngành Vật lí Lý thuyết K16 Trường ĐHSP Hà nội 2, tôi đã thấy được vai trò quan trọng của mô hình dao động tử điều hòa trong vật lí Với mong muốn có thể tiếp cận với vật lí

học hiện đại, em đã chọn đề tài “Biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử”

để làm luận văn thạc sĩ dưới sự hướng dẫn khoa học của cô giáo, PGS TS Lưu Thị Kim Thanh

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày hình thức luận dao động tử điều hòa

- Xây dựng hình thức luận dao động tử điều hòa biến dạng

- Nghiên cứu biểu diễn dao động trong vật lí lượng tử

4 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là hệ dao động tử điều hòa và phi điều hòa

5 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sử dụng các phương pháp vật lí lý thuyết: phương pháp lý thuyết trường lượng tử, phương pháp nhóm lượng tử và các phương pháp giải tích khác

6 Dự kiến đóng góp mới

- Biểu diễn dao động của một số đại lượng nhiệt động

- Biểu diễn dao động của trạng thái kết hợp

NỘI DUNG Chương 1.HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA

1.1 Dao động tử điều hòa trong cơ học cổ điển

Dao động tử điều hòa tuyến tính là một chất điểm có khối lượng m, chuyển động một chiều theo trục Ox, dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi,

,

F   kx trong đó k là hệ số chuẩn đàn hồi [1]

Phương trình chuyển động của dao động tử điều hòa tuyến tính

F  ma

2 2

trong đó  là pha của dao động, A là biên độ của dao động

Động năng của dao động tử điều hòa tuyến tính

Thế năng của dao động tử điều hòa tuyến tính

2

1 2

V  Fdx kx

2 2 2

1

os ( ) 2

V  mA  c t 

Năng lượng (cơ năng) của dao động tử điều hòa tuyến tính

2 2

1 2

Vậy theo quan điểm cổ điển năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính có những đặc điểm sau: Ứng với mỗi giá trị xác định của tần số , năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính có thể có những giá trị liên tục, tỉ lệ thuận với biên độ dao động A Năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính có giá trị nhỏ nhất bằng không

( )

( )

2 2

( )

21( )2

1.2.Dao động tử điều hòa trong cơ học lƣợng tử

Hamiltonian của dao động tử điều hòa tuyến tính [1]

2

2

2 2

 phải hữu hạn tại  = 0 và giới nội khi  Vì lời

giải tiệm cận của phương trình (1.4) khi  lớn là

n

n n a n n

1(

n

n n a n

1(

n

n n n

a n

)2)(

1(

n

n n

a n

Dễ dàng tìm được công thức truy hồi cho các hệ số khai triển

) 2 )(

1 (

1 2

- Năng lượng thấp nhất của dao động tử điều hòa tuyến tính ứng với n=0, được gọi là năng lượng “không” Mức “không” của năng lượng

Sự tồn tại một năng lượng hữu hạn thấp nhất E0, chỉ có thể lý giải được trên cơ sở của lý thuyết lượng tử Thật vậy, gọi các độ bất định của năng lượng, xung lượng, tọa độ là E, p, x Sự tồn tại của E0>0 gắn liền với hệ thức bất định giữa tọa độ và xung lượng của hạt:

, 2

Có thể quy ước chọn gốc tính năng lượng trùng với năng lượng không

E0 Khi đó dao động tử điều hòa chỉ có thể có năng lượng là bội của năng lượng  :

.

n

E  n  

Đó chính là giả thuyết Planck: năng lượng của một dao động tử điều hòa bằng một bội nguyên của lượng tử năng lượng  

Dạng tường minh của hàm sóng diễn tả trạng thái lượng tử của dao động tử điều hòa là

2( )

Xác suất mà dao động tử lượng tử với năng lượng En có thể được tìm thấy trong khoảng từ x đến x + dx bằng

- Các mức năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính không suy biến, hay bậc suy biến của các mức năng lượng g=1

1.3 Dao động tử điều hòa trong lý thuyết trường lượng tử

Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa cũng có thể tìm được bằng phương pháp đại số, sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc và biểu thức của Hamiltonian [1],[2]

   là toán tử xung lượng

Hệ thức giao hoán giữa ˆp và ˆqlà

Có thể biểu diễn Hamiltonian theo ˆp và ˆq

m m

Dễ dàng chứng minh được các toán tử ˆavà ˆa

thỏa mãn hệ thức giao hoán

Ký hiệu n là véc tơ riêng của toán tử ˆNứng với trị riêng n, khi đó ta

có phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử ˆN

-Các trị riêng của toán tử ˆN là các số không âm

Bây giờ, ta xét véc tơ trạng thái ˆa n , thu được bằng cách tác dụng toán

tử ˆa lên véc tơ trạng thái n Tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử Nˆ và

Hệ thức trên có ý nghĩa là: véc tơ trạng thái ˆa n cũng là véc tơ trạng thái

riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng (n - 1) Tương tự như vậy, dễ dàng chứng minh được rằng a n a n ˆ2 ; ˆ3 , cũng là véc tơ trạng thái riêng của toán tử Nˆ ứng với các trị riêng (n - 2), (n - 3)…

Tiếp theo, ta xét véc tơ trạng thái ˆa n

, tác dụng lên véc tơ trạng thái này toán tử Nˆ , sử dụng công thức (1.23) ta có

Mặt khác, theo định nghĩa của nmin,

min min min

So sánh hai phương trình (1.29) và (1.30) ta đi đến kết luận như sau:

- Trị riêng nhỏ nhất của toán tử Nˆ là n

min có giá trị bằng 0

Véc tơ trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của Nˆ được ký hiệu 0 ,gọi là trạng thái chân không, véc tơ trạng thái này thỏa mãn điều kiện

ˆ 0 0

a  Khi đó:

+ ˆa 0 tỉ lệ với véc tơ riêng l của Nˆ ứng với trị riêng n = 1

Thật vậy, ta có: Nˆ 1 11 *  , mà ˆa 0 là một véc tơ riêng của toán tử Nˆứng với trị riêng 0 + 1 = 1, tức là Naˆ ˆ 0 1aˆ 0 ** 

Từ (*) và (**) ta thấy:

1 là véc tơ riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng là 1,

ˆ 0

a là véc tơ riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng là 1,

vì vậy, ˆ 0a phải tỉ lệ với véc tơ riêng l của toán tử Nˆ ứng với trị riêng

E  

1 là véc tơ riêng của Hˆ ứng với trị riêng

1

1 1 2

E    

 

………

n là véc tơ riêng của Hˆ ứng với trị riêng 1 .

2

n

E n  

Vậy ta có kết luận sau

- Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa tuyến tính được biểu diễn bằng công thức

Trạng thái 0 có năng lượng thấp nhất là 0 1 0

2

E   , trạng thái tiếp theo 1 với năng lượng E0  có thể được xem như là kết quả việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 Trạng thái tiếp theo 1 ứng 

với năng lượng E0  có thể được xem là kết quả của việc thêm một lượng

tử năng lượng  vào trạng thái 0 Trạng thái tiếp theo 2 ứng với năng 

lượng E1    E0 2 có thể được xem như là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 1 , cũng có nghĩa là thêm hai 

lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là 

E0, thì có thể coi trạng thái 0 là trạng thái không chứa lượng tử nào Vì vậy

0 được gọi là trạng thái chân không, 1 là trạng thái chứa một lượng tử, 2

là trạng thái chứa hai lượng tử … n là trạng thái chứa n lượng tử Toán tử Nˆ

có các giá trị nguyên không âm, cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán

tử số năng lượng Toán tử ˆakhi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với 1

n do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán tử ˆ

a khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n1 do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu ta tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì toán tử Nˆ sẽ là toán tử số hạt, ˆasẽ là toán tử hủy hạt, a ˆ sẽ là toán tử sinh hạt, khi đó trạng thái n với năng lượng

Như ta đã lập luận ở trên khi toán tử ˆa tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n1 và toán tử ˆa

khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n1 Do đó chúng ta sẽ tính các hệ số tỉ lệ   n, n, n trong các hệ thức:

ˆ 0

n n n n

+ Dao động tử điều hòa trong cơ học cổ điển

+ Dao động tử điều hòa trong cơ học lượng tử

+ Dao động tử điều hòa trong lý thuyết trường lượng tử

Những kết quả trên sẽ là cơ sở nghiên cứu ở các chương tiếp theo

Chương 2 HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA BIẾN DẠNG 2.1 Cơ sở toán học của lý thuyết biến dạng

qq , có thể xảy ra hai trường hợp:

+ Nếu q là thực, q – số có thể biểu diễn như sau: q e với  là thực

Từ biểu thức (2.1) ta có một số trường hợp sau:

2 2

1 1

3 3

2 2 1

 

 

  là giai thừa chuẩn

Các hàm cơ bản của biến dạng q:

n

n n q

n

n n q

a

x x

* q – số biến dạng Fermion

 q q x q1x x

q q n

2.2 Dao động tử boson biến dạng

2.2.1 Dao động tử Boson biến dạng q

Dao động tử boson biến dạng q đ-ợc định nghĩa theo các toán tử sinh hạt ˆa q, toán tử hủy hạt ˆa và toán tử số hạt q Nˆ thỏa mãn các hệ thức giao hoán phụ thuộc vào tham số biến dạng :

q q

Các toán tử tọa độ ˆq và toán tử xung ˆp đ-ợc biểu diễn theo các toán tử sinh

hạt, hủy hạt khi có biến dạng q nh- sau:

Hamiltonian của dao động tử điều hòa biến dạng q:

n

E n  

2.2.2 Dao động tử Boson biến dạng q tổng quát

Hệ các dao động tử Boson biến dạng q tổng quát đặc trưng bởi các toán

tử sinh dao động tử a và huỷ dao động tử a thoả mãn hệ thức giao hoán:

aa  qa a q   ứng với biến dạng q thông thường

với c = 0; q0 Ta thu được hệ thức: a a  1 ứng với dao động tử có thống

kê vô hạn

Như vậy, dao động tử biến dạng q (2.8) và dao động tử có thống kê vô hạn được Greenberg đưa ra: là biểu diễn qua những số hạng của toán tử sinh dao động tử a và huỷ dao động tử a thoả mãn hệ thức:

q q n

với:        n c q! 1c q 2 c q n c q và thoả mãn hệ thức sau:

 c q

cN c

c

c c

q a aa q





q qa a k k

Vậy (2.18) được chứng minh

Hệ thức giao hoán giữa toán tử toạ độ Q và xung lượng P trong trường hợp này được tính theo công thức: Q P,  ia a, 

2.2.3 Dao động tử Boson biến dạng R

Dao động tử boson biến dạng R được đề xuất trong [9] với hệ thức giao hoán:

a a  R

trong đó:  là thông số biến dạng

R là toán tử Hermit thoả mãn:

2

1

R R R

Tác dụng toán tử R lên trạng thái n , ta có: R n   1 n n (2.26)

2.3.Dao động tử fermion biến dạng

2.3.1 Dao động tử Fermion biến dạng q

Dao động tử Fermion biến dạng q được biểu diễn qua các toán tử sinh dao động tử b và huỷ dao động tử b như sau:

2( ) 0

với trạng thái riêng đã chuẩn hoá của toán tử N được biểu diễn như sau:

0

b  b 

2.3.2 Dao động tử Fermion biến dạng q tổng quát

Các dao động tử Fermion biến dạng q tổng quát thoả mãn hệ thức giao hoán:

1 n

c

c q