Một số cơ sở toán học thường dùng trong vật lí lượng tử (2018)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS... 3 CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN HUY THẢO

HÀ NỘI - 2018

LỜI CẢM ƠN

T ƣ ậ ố ệ ỏ

ò ế ơ sâ sắc t i TS Nguyễn Huy Thảo ƣờ đã ú đỡ đị ƣ ng

ê ứu, cung cấp nhữ ệ q ý á ậ ƣ ng dẫn, tạo đ ều kiện tốt nhất o o q á o oá ận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN

Cù v i s ƣ ng dẫn c a TS Nguyễn Huy Thảo, ậ ố ệ

ê Vậ ý ý ế đề M t số ơ sở oá ọ ƣờ ù o

vậ ý ƣợng tử” đƣợ á â c hiện T o q á ê ứ o

ả ận ảo m t số ệu c a m t số á ả đã

trong phầ ệu tham khảo

T đo ững kết quả ê ứ o oá ậ o o

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ẦU 1

1 Lý o ọ đề 1

2 Mụ đ ê ứu 2

3 ối ượ ạ ê ứu 2

4 Nhiệm vụ ê ứu 2

5 P ươ á ê ứu 2

6 Cấ ú ận 2

PHẦN 2: NỘI DUNG 3

CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 3

1 1 K H e 3

1 1 1 K ế 3

1 1 K H e 5

1.1.3 S o 6

1.1.4 Hệ tr c chuẩn 7

1 Toá ử oá ử t ê ợp tuyế á é oá ê oá ử 8

1 1 Toá ử 8

1 Toá ử ê ợ ế oá ử Hermite) 10

1 Cá é oá ê oá ử 10

1 H ê ị ê oá ử 12

1 Lý ế ề ể ễ 14

1 1 Lý ết về 14

1 Lý ế ể ễ 17

CHƯƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 21

1 B oá ề H e 21

B oá ề ê ị ê oá ử 23

B oá ề ểu diễ 28

PHẦN 3: KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

c đ ể ƣ đƣợ ng thời vậ ý ệ đạ đã ại m á sâ sắc c o ƣời về t ê ú đẩy s tiến b c o ƣờ N

PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG

VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 1.1 Không gian Hilbert

K H e t dạng t q á a E e

ị gi i hạn về vấ đề hữu hạn chiều N mở r ng c á ƣơ

á đại số e ơ á oá từ m t ph ng Euclide hai chiề gian ba chiều cho đến hữu hạn ho ạn chiều M

H e e ơ ƣ ng, hay đƣợc hiể o đ

oả á đo đƣợc

K H e xuất hiện m á t ê ƣờ ê o

oá ọ ậ ý ƣờ á ạn chiều Cá gian Hilbert s m nhấ đƣợ ê ứu trong thập kỷ đầ ê a thế kỷ 20 bởi David Hilbert, Erhard Schmidt F es R esz C ú ữ ụ

để hệ thố q á á ệm chu i Fourier theo m t hệ bấ

c á số tr c giao é biế đ i Fourier ữ á ệm

â a giả K H e đ m t ò q ọng trong việ ứ oá ọc ơ ọ ƣợng tử

1.1.1 Không gian tuyến tính

M ế ậ o đ á đị é c a

ầ ử é â ầ ử số é

é â á ấ ƣờng c é e ơ ọc

1.1.2 Không gian Hilbert

M ế th c X đƣợ ọ ề H e ế tro đ á định ế (x, y), gọ ƣ ng

H e ể đ đ M ề H e đ gọ gian Hilbert

Toán tử tuyến tính: T ê tuyế X, v i , x yX oá ử

ˆA đƣợc gọ oá ử tuyế ếu thỏ ã đ ng thời hai đ ều kiện sau:

Toán tử đơn vị: T n tạ oá ử đơ ị oá ử á đ ng c ê

oá ử ˆA đƣợc gọ oá ử t ê ợ oá ử Hermite [1]

1.2.2 To n t tự liên h p tuyến tính to n t Hermite

đƣợc gọ á oá ử ê ợp oá ử oá

ử ˆA ế oá ử Aˆ  Aˆ đƣợc gọ oá ử t ê ợ oá ử Hermite T o (1.8 đƣợc [4,5]:

â ƣờng hợ oá ử o oá

4 Giao oá ử: A Bˆ, ˆ  ABˆ ˆBAˆˆ Nế A Bˆ ˆ,   0 ˆ ˆA B gọ o ,

oá v i nhau, ƣợc lại ˆ ˆA B,   0 ˆ ˆA B o oá i nhau ,

1.3 Hàm riêng và trị riêng của to n t

Nếu trị ê λ ữ á trị rời rạc, ta gọi ph c oá ử ˆ A

rời rạ ; ò ếu trị ê λ ữ á ị ê ục, ta gọi ph c oá ử ˆ A

ê ục Ph c oá ử ˆA vừ ể ê ục, vừ ể rời rạc

Hàm riêng và trị riêng của to n t Hermite

   

a b c  a b c v ọ , ,a b c G

T o á ầ ử ấ o oá

đ o X t biểu diễn c G nế é đ ng cấu c G ê U, tứ ứng v i a b c, , G é ế đ i

U(a), U(b), U(c o U thỏ ã : a .b cU a U    b ( )U c v i , , ,

  U a U b   , U [2,7]

P é đ ng cấu: GU đƣợc gọ é ểu diễ G o gian X n T o đ X n gọ ểu diễn, n ều biểu diễn Nếu U

ế đ i tuyế é ểu diễn c G é ểu diễn

tuyế á ạ é ểu diễn gọ ến

Cho m t biểu diễn U c G o e ơ X Nếu trong X

o X1 bất biế đối v i tất cả á é ế đ i U(a) c a biểu diễn U, v i mọi yếu tố a c G ằng U t biểu diễn khả q T o ƣờng hợ ƣợc lại, nế o X t

o o ất biế đối v i tất cả á é ế đối v i tất cả á

Mọi biểu diễn của một nhóm hữu hạn đều tương đương với một biểu diễn

unita

Từ ấ ể ứ 1 15 đƣợ :

U a U a U a ọ aG

CHƯƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 2.1 Bài to n về không gian Hilbert

Bài 1: Chứ á oá ử s đâ oá ử Hermite

T eo â ) á oá ử ˆp p p ững oá ử Her e ê á x, ˆ ˆy, z

oá ử p p pˆ ˆ ˆx2, 2y, z2 oá ử Hermite Suy ra pˆ2x  pˆy2  pˆz2 oá

tử Hecmite,

ˆ ˆ ˆ2

x



2 2 2

2 2

11

Bài 1: Toá ử H ơ Hˆ c a hạt ở trong giếng thế t chiề dạng:

 

2 2 2

ˆ2

T ƣờng hợp:

T ƣờng hợp 1: n   0 k 0  x 0 trong khoảng 0 x d, tứ

á s ấ ấy hạt ở mọ đ ểm trong giếng thế bằ â ẫn v i

đề oá o ạt ở trong giếng thế S ƣờng hợp n0 ỏa

.0

y

a a

.0

y

a a

0

i

e e

0

z

i i

z

i S

00

Suy raa b* *ca*b c*  Vậ é oá ết hợp

V i aQ\ 1 ọi phần tử nghị đảo c

1

a b

T đƣợc bả â a G:

1 -1 i - i

1 1 -1 i - i -1 -1 1 - i i

y y

C o ê ọi ma trận MA đề ận nghị đảo

Do đ :

  12 12 e.Tiế ƣơ ta thu đƣợc bảng :

e (12) (23) (31) (123) (321) (12) e (123) (321) (23) (13) (23) (321) e (123) (31) (12) (31) (123) (321) e (12) (23) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (23) (31) (12) e (123)

Trong biểu diễ q o i phần tử ƣơ ứng v i m t

cứ đề ắc chắ á ỏi thiế s ậy, rất mong nhận đƣợc những ý, ch dẫn c a thầ á ạn để oá ậ đƣợ o thiệ ơ

TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt

[6] Arjeh Cohen, Rosane Ushirobira, Jan Draisma (2002), Group theory for

Maths, Physics and Chemistry students, NXB World Scientific

[7] Shen S.Q (2004), Lecture notes on quantum mechanics, NXB World

Scientific