Một số cơ sở toán học thường dùng trong vật lí lượng tử

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS... 3 CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ L

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN HUY THẢO

HÀ NỘI - 2018

LỜI CẢM ƠN

T ư ậ ố ệ ỏ

ò ế ơ sâ sắc t i TS Nguyễn Huy Thảo ườ đã ú đỡ đị ư ng

ê ứu, cung cấp nhữ ệ q ý á ậ ư ng dẫn, tạo đ ều kiệntốt nhất o o q á o oá ận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN

vậ ý ượng tử” đượ á â c hiện T o q á ê ứ o

trong phầ ệu tham khảo

T đo ững kết quả ê ứ o oá ậ o otrung th ư ừ đượ ố trong bấ o ọ o

á

Hà Nội, ngày tháng năm 2018

Sinh Viên

Phạm Thị Hường

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ẦU 1

1 Lý o ọ đề 1

2 Mụ đ ê ứu 2

3 ối ượ ạ ê ứu 2

4 Nhiệm vụ ê ứu 2

5 P ươ á ê ứu 2

6 Cấ ú ận 2

PHẦN 2: NỘI DUNG 3

CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 3

1 1 K H e 3

1 1 1 K ế 3

1 1 K H e 5

1.1.3 S o 6

1.1.4 Hệ tr c chuẩn 7

1 Toá ử oá ử t ê ợp tuyế á é oá ê oá ử 8

1 1 Toá ử 8

1 Toá ử ê ợ ế oá ử Hermite) 10

1 Cá é oá ê oá ử 10

1 H ê ị ê oá ử 12

1 Lý ế ề ể ễ 14

1 1 Lý ết về 14

1 Lý ế ể ễ 17

CHƯƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 21

1 B oá ề H e 21

B oá ề ê ị ê oá ử 23

B oá ề ểu diễ 28

PHẦN 3: KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39

vậy, s đời c a vậ ý ệ đại nhằm giả t số hiệ ượ ật ý

c đ ể ư đượ ng thời vậ ý ệ đạ đã ại m á sâ sắc c o ười về t ê ú đẩy s tiến b c o ườ N

Vậ ý oá ọ ố ê ệ ậ ế á ơ sở oá ọ ư:

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

N ê ứ số ơ sở oá ọ ườ ù o ậ ý ượ ử

5 Phư ng ph p nghiên cứu

PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG

VẬT LÝ LƯỢNG TỬ 1.1 Không gian Hilbert

K H e t dạng t q á a E e

ị gi i hạn về vấ đề hữu hạn c h i ề u N mở r ng c á ươ

á đại số e ơ á oá từ m t ph ng Euclide hai chiề

gian ba chiều cho đến hữu hạn ho ạn chiều M

H e e ơ ư ng, hay được hiể o đ

oả á đo được

K H e xuất hiện m á t ê ườ ê o

oá ọ ậ ý ườ á ạn chiều Cá

gian Hilbert s m nhấ đượ ê ứu trong thập kỷ đầ ê a thế kỷ 20bởi David Hilbert, Erhard Schmidt F es R esz C ú ữ ụ

1.1.1 Không gian tuyến tính

M ế ậ o đ á đị é c a

ầ ử é â ầ ử số é

é â á ấ ường c é e ơ ọc

 x, x.

H 1 1 ươ đươ i nhau ể viết gọn lạ ư s :

Aˆ a1x1  a2 x2   a k x k   a1Aˆx1  a2 Aˆx2   a k Aˆx k

A được bằ á



được gọ oá ử

được gọ oá ử t ê ợ oá ử Hermite [1].

1.2.2 To n t tự liên h p tuyến tính to n t Hermite

3 T a hai oá ử He e oá ử He e oá ử đ o

o oá ượ ạ Aˆ Bˆ 

Dễ thấy rằ o ường hợ AˆBˆ 

â ường hợ oá ử o oá

4 Giao oá ử: Aˆ, Bˆ   Aˆ Bˆ 

BˆAˆ Nế

Aˆ, Bˆ  

0

Aˆ, Bˆ

gọ o

oá v i nhau, ược lại Aˆ, Bˆ  

0

Aˆ, Bˆ

P ươ 1 11 được gọ ươ o á trị ê

ê c oá ử Giả ươ 1 11) ể đượ ê ị

ê oá ử

M oá ử ể ề ê ê ại ứng v i m ttrị riê ể viết lại (1.11 :

Nếu trị ê λ ữ á trị rời rạc, ta gọi ph c oá ử Aˆ

a.b.c 

a.b.c

ọ a,a1 G.

v ọ a,b,c G.

ú hay é q ,  é q   .

Trong ý th u y ế , ườ đư G v i m t é â

Nếu gọi H t tập con c a G H ể o

đ i trong m tuyế n chiều X n Gọ U á é ến

P é đ ng cấu: G U được gọ é ểu diễ G o

ế đ i tuyế é ểu diễn c G é ểu diễn

tuyế á ạ é ểu diễn gọ ến

o X1 bất biế đối v i tất cả á é ế đ i U(a) c a biểu diễn U, v i mọi yếu tố a c G ằng U t biểu diễn khả q T o ường hợ ược lại, nế o X t

o o ất biế đối v i tất cả á é ế đối v i tất cả á

 



Mọi biểu diễn của một nhóm hữu hạn đều tương đương với một biểu diễn unita.

Từ ấ ể ứ 1 15 đượ :

U  a U 1 a U

dx

d dy

d dz

d dx

 i

oá ử Hermite

z z x3 2

x2

(2.1)

x  d Từ đ ều kiệ ê ục c s  0 

0

 d   0

á s ấ ấy hạt ở mọ đ ểm trong giếng thế bằ â ẫn v i

đề oá o ạt ở trong giếng thế S ường hợp

a22   a21 a22 

c d 0 1 c d

Do đ ậ ợ ậ A é â ậ ỏ ã ấ ế ợ







 1 0 0

0   

 1 0 0 0  

  

Gọi M x   1 0 0; x, y  R, N   x1 1 0 0 ; x , y  R  0 0 1 0

  

 0 0 1 0  1 1 

    

V i mọi  0 0 y 1

 M , N  A :

  0 0 y1 1  

 1 0 0 0  1 0 0 0

  1 0 0 0 

    

M N   x 1 0 0 

x1 1 0 0   x  x 1 1 0 0 A  0 0 1 0  0 0 1 0

 0 0 1 0 

    

0 0 y 1  0

0 y1 1   0 0 y  y1 1  Do đ ậ ợ ậ A é â ậ ỏ ã  Tính chất kết hợp  1 0 0

0   1 0 0 0  

 x 1 0 0

  x 1 0 0 

Gọi: M   ; x, y  R , N   1 ; x , y  R,  0 0 1 0

  

 0 0 1 0  1 1 

 0 0 y 1   0 0 y 1  

    1  

 1 0 0 0  

  

P   x2 1 0 0 ; x , y  R  0 0 1 0  2 2 

  

V i mọi M , N, P  A  0

0 : y2 1  

PHẦN 3: KẾT LUẬN

ối chiếu v i mụ đ ê ứu, về ơ ả ậ đã đượ o

đạ được mụ ê đã đề ra T o q á c hiệ ận,

ú đã đạ đượ á ết quả sau:

C ú đã i i thiệu, t ng kết m t số ý ết về H e

oá ử oá ử He e ê ị ê oá ử, ý ết về

ểu diễ

C ú đã ng hợ đư được m t số dạng về H e

Do ý ế oá ọ ạ ậy, k ận sẽ đượ o ệ ơkhi m t số oá ê q đến vậ ý được b s ư ý ếtphứ ý ế á s ất V o ờ ê ứ ạ ê ê

cứ đề ắc chắ á ỏi thiế s ậy, rất mong nhậnđược những ý, ch dẫn c a thầ á ạn để oá ậ đượ othiệ ơ

[6] Arjeh Cohen, Rosane Ushirobira, Jan Draisma (2002), Group theory for

Maths, Physics and Chemistry students, NXB World Scientific.

[7] Shen S.Q (2004), Lecture notes on quantum mechanics, NXB World

Scientific