Phương pháp lí thuyết nhóm trong vật lí lượng tử

Chính vì lý do đó mà tôi chọn đề tài này nhằm mục đích góp một phầnnhỏ giới thiệu cho bạn đọc những điểm cơ sở nhất của lý thuyết nhóm và lýthuyết biểu diễn nhóm, cần thiết cho các lĩnh

Trờng Đại học Vinh

khoa vật lý

-

 -nghiên cứu thiết kế mạch khuếch đại công

suất dùng tranzito lỡng cực

khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học vật lý

Để hoàn thành Luận văn này em xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy giáo hớng dẫn TS Võ Thanh Cơng đã giúp em có đợc ý tởng của luận văn

và đã giúp em hoàn thành luận văn này Cũng qua đây em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo phản biện TS Đinh Phan Khôi về những ý kiến đóng góp bổ ích cho luận văn Em xin chân thành cám ơn các Thầy Cô giáo tổ Vật lý Đại cơng về những ý kiến góp ý cho luận văn Xin chân thành cám

ơn các bạn sinh viên trong Khoa vật lý đã động viên cổ vũ em hoàn thành luận văn này

Tuy nhiên đã cố gắng nhng là lần đầu tiên làm đề tài chắc chắn Luận văn không tránh khỏi những sai sót, em rất mong đợc sự góp ý những

ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn.

Chân thành cảm ơn!

2

Phần Mở đầu

Vật lý học ra đời từ yêu cầu đợc tìm hiểu và cải biến thế giới của conngời Quá trình phát triển của vật lí học trải qua nhiều giai đoạn thăng trầm.Vật lí học lợng tử ra đời là một bớc ngoặt làm thay đổi nhận thức, quan niệm

cũ về vật chất giúp các nhà nghiên cứu hiểu rõ bản chất của các hiện tợng líthú mà vật lí cổ điển không lí giải đợc nh tính bền của nguyên tử, quy luật bứcxạ của vật đen Từ đó dẫn đến việc xây dựng một khái niệm mới về lợng tử

đó là bớc đầu của việc hình thành cơ học lợng tử

Bộ môn cơ học lợng tử là cơ sở của lí thuyết vật lý học vi mô, là mộthọc thuyết khó và nó là giai đoạn chuyển tiếp sang điện động lực học lợng tử,

lí thuyết các hạt cơ bản và các trờng lợng tử Để hiểu cơ học lợng tử cần phảitrang bị một số kiến thức toán học tơng đối rộng, nh các kiến thức về hàm đặcbiệt, đại số, lí thuyết nhóm và chủ yếu là biểu diễn nhóm

Khi nghiên cứu các đại lợng vật lý, chúng ta gặp phải một tính chất rất đặc

biệt - Tính chất đối xứng Cụ thể hơn đó là:

- Tính chất đối xứng của không gian và thời gian trong các hệ quy chiếuquán tính dẫn đến những định luật bảo toàn quen thuộc nh định luật bảo toànnăng lợng, xung lợng, mômen xung lợng

- Tính chất đối xứng của các cấu trúc vật chất nh tinh thể, phân tử, các hạtcơ bản, dẫn đến những phơng pháp phân loại các mức năng lợng, siêu đố xứng

về khối lợng hay một số đại lợng khác

Tính chất đối xứng của các đại lợng tự nhiên có thể " tính toán" bằng một

bộ môn toán học trừu tợng gọi là lý thuyết nhóm Nói chung lý thuyết nhóm

đã cung cấp cho vật lý học một phơng pháp gọn, chính xác, bổ sung cho cácphơng pháp khác Trong một số bài toán đặc biệt, có thể nói rằng một số mặtcủa vấn đề chỉ có thể giải quyết bằng công cụ lý thuyêt nhóm

Do đó, với sự phát triển hiện nay của vật lý học, phơng pháp lý thuyếtnhóm dần dần trở thành một phơng pháp khá thông dụng, nói chung không thểthiếu đợc

Chính vì lý do đó mà tôi chọn đề tài này nhằm mục đích góp một phầnnhỏ giới thiệu cho bạn đọc những điểm cơ sở nhất của lý thuyết nhóm và lýthuyết biểu diễn nhóm, cần thiết cho các lĩnh vực ứng dụng quan trọng nhấttrong vật lý học lợng tử

Với mục đích và lí do nh đã nêu trên, luận văn ngoài phần mở đầu vàkết luận đợc chia làm 3 chơng:

Ch ơng I: Lý thuyết nhóm

ở chơng này giới thiệu đại cơng về nhóm và nêu một số nhóm đặc ng: Nhóm hình học, nhóm ma trận, nhóm đối xứng các phân tử, nhóm đốixứng SN, tính đồng cấu và đẳng cấu giữa các nhóm

Ch ơng II : Lý thuyết biểu diễn nhóm.

Trong chơng này nêu các khái niệm cơ bản về biểu diễn nhóm và cáchgiải quyết các bài toán của lý thuyết nhóm với 2 bổ đề của Schur

Ch ơng III: Một số bài toán vật lý với phơng pháp nhóm.

Tổng quát phơng pháp giải một bài toán bằng lý thuyết nhóm, quy tắc xác

định hàm sóng Spin và nêu nguyên lý sắp xếp các mức năng lợng của tập hợpcác electron Bài toán khảo sát sự bức xạ của sóng điên từ cũng đợc đề cập tớitrong chơng III

Bản luận văn này đã tổng quan đợc một số vấn đề cơ bản của lý thuyếtnhóm, lý thuyết biểu diễn nhóm và phơng pháp giải bài toán bằng lý thuyếtnày Hy vọng nó là tài liệu tham khảo có ích cho sinh viên khoa vật lý Đócũng là bớc đầu để cho tác giả luận văn thực tập nghiên cứu và trình bày mộtvấn đề khoa học Nếu có điều kiện thì đề tài sẽ đợc phát triển thêm

Do sự hạn chế của thời gian và trình độ, bản luận văn này không thểtránh khỏi những sai sót Tác giả luận văn rất mong đợc sự góp ý của các thầycô giáo, các anh chị và các bạn sinh viên để luận văn này đợc hoàn thiện hơn

Chơng I

Lý thuyết nhóm

1.1 Đại cơng về nhóm

Định nghĩa 1: Cho một tập hợp G, trong đó có xác định một luật hợp

thành nào đó gọi là phép nhân, cho phép lập từ mỗi cặp phần tử x, y thuộc G

một đại lợng xác định nào đó gọi là tích, kí hiệu là xy.

Nếu phép nhân thỏa mãn 4 tính chất sau:

1 Tính kín: với mọi phần tử bất kỳ x, y thuộc G: x, y ∈ G kết quả xy

cũng thuộc G: xy ∈ G.

2 Tính kết hợp: x(yz) = (xy)z với mọi x, y, z ∈ G.

4

3 Tính có đơn vị: Tồn tại một phần tử e ∈ G gọi là đơn vị , có tính chất

Định nghĩa 2: Cho một nhóm G nào đó H là một tập mà mọi phần tử

của nó cũng là phần tử của G Nếu H lập thành một nhóm đối với phép nhân

của nhóm G thì H đợc gọi là nhóm con của G.

Từ định nghĩa ta nhận thấy, phần tử đơn vị và bản thân nhóm G là

những nhóm con của G Hai nhóm con này gọi là nhóm con tầm thờng.

Những nhóm con không tầm thờng gọi là nhóm con thực sự

Định nghĩa 3: Cho G là một nhóm x và y là hai phần tử bất kỳ của G:

x, y ∈ G Nếu xy = yx thì nhóm G gọi là nhóm giao hoán hay còn gọi là nhóm

Abel

Định nghĩa 4: Cho G là một nhóm, số phần tử của nhóm gọi là cấp của

nhóm Cấp của nhóm là một số hữu hạn nhóm G gọi là một nhóm hữu hạn.

Ví dụ: Căn bậc 4 của 1 có các giá trị:

e= z0 = 1; z1 = i; z2 = - 1; z3 = - ilập thành nhóm tuần hoàn, có phần tử đơn vị là 1

1 2 Các nhóm hình học

1 2 1 Tập các phép chuyển động tịnh tiến cũng lập thành một nhóm.Phép nhân nhóm là phép dịch chuyển liên tiếp Phần tử đơn vị là phép khôngdịch chuyển

1 2 2 Nhóm tuần hoàn Cn:

Ký hiệu C n là tập gồm các phần tử C n i với n và i là các số nguyên dơng

và i ≤ n Nếu phép nhân giữa hai phần tử của C n là: C n i C n j = C n i+j Tập C n cũnglập thành một nhóm Cấp của nhóm bằng n Ví dụ với n = 4 ta có:

e và phép nghịch đảo không gian I Nhóm này là nhóm hữu hạn, tuần hoàn,

Nhóm Cs cũng là một nhóm hữu hạn, tuần hoàn, cấp 2

Phép nhân ở đây cũng hiểu theo nghĩa thực hiện liên tiếp các phép chiếuqua gơng Phép biến đổi đơn vị là phép tự phản chiếu σ2 = e.

6

Tập hợp tất cả các ma trận cấp n không kì dị xác định trên C với phépnhân nhóm là phép nhân ma trận thông thờng có các tính chất sau:

- Phần tử đơn vị là ma trận đơn vị cấp n

- Phép nhân ma trận là kín: Tích 2 ma trận cấp n cũng là ma trận cấp n

- Phép nhân có tính chất kết hợp: (AB)C = A(BC) ( mọi A, B, C)

- Trừ các ma trận có định thức bằng 0 (ma trận kì dị), tất cả các ma trậncấp n đều có nghịch đảo, tính theo phơng pháp thông thờng cũng là một ma

trận cấp n.

Nh vậy, tập hợp tất cả các ma trận cấp n xác định trên C và có định thức

khác 0 làm thành một nhóm liên tục Nhóm GL(n) là nhóm không giao hoán

Các nhóm con của nhóm GL(n) là các nhóm SL(n), O(n), U(n)

SL(n) là tập các ma trận cấp n không kỳ dị có định thức bằng 1.

O(n) là tập các ma trận trực giao với nhau.

U(n) là tập các ma trận unita cấp n ( U = U + )

1.3.1 Nhóm quay trong không gian ba chiều O(3).

Tập các phép quay trong không gian Euclide 3 chiều cũng lập thành nhóm

Đây là một nhóm rất thông dụng trong nhiều lĩnh vực vật lý nh: vật lý nguyên

tử , vật lý hạt nhân và là nhóm biểu diễn đại lợng môment động lợng Tabắt đầu thực hiện nghiên cứu các phép quay trong mặt phẳng xOy quanh gốc

toạ độ, tạo thành nhóm SO(2) Đó cũng chính là nhóm quay không gian 3

chiều quanh trục OZ cố định Mỗi thực hiện liên tiếp hai phép quay với góc

ϕ1 và ϕ2 là phép nhân nhóm nói trên:

I→ O(ϕ1 ) O(ϕ2 ) = O(ϕ1 + ϕ2 )

Phần tử đơn vị là phép không quay ϕ =0 Phần tử nghịch đảo là phép quay trở

lại ϕ’ =- ϕ Tất cả các phép quay này giao hoán với nhau nên SO(2) là một

nhóm giao hoán Mọi yếu tố của nhóm này đều hoàn toàn xác định đợc bởigiá trị thông số ϕ thay đổi liên tục từ 0 đến 2π Do đó SO(2) là nhóm liên tục

một thông số Trong phép quay O(ϕ) là các vectơ cơ sở i và j chuyển thànhcác vectơ đơn vị mới i’ và j’liên hệ với i và j bởi hệ thức:

ϕ ϕ

cos sin

sin cos

Vậy ma trận của phép biến đổi là:

O(ϕ) = ϕ − ϕ 

ϕ ϕ

cos sin

sin cos

Dễ thử lại rằng ma trận O(ϕ) là ma trận trực giao

Công thức này còn viết dới dạng ma trận nh sau:

Các phép quay mặt phẳng xOy xung quanh gốc toạ độ O đồng thời cũng

là các phép quay của không gian ba chiều quanh trục Oz Ký hiệu các vectơ

đơn vị cơ sở không gian Euclide ba chiều là i ,j, k, ký hiệu phép quay góc ϕ

quanh trục Oz là C(ϕ) Phép quay này chuyển các vectơ đơn vị cơ sở nói

trên thành các vectơ đơn vị cơ sở mới sau đây:

0 cos sin

0 sin cos

ϕ ϕ

ϕ ϕ

Tơng tự nh vậy, ma trận của các phép quay góc ϕ quanh các trục Ox và

ϕ ϕ

cos sin

0

sin cos

0

0 0

ϕ ϕ

cos 0 sin

0 1 0

sin 0

cos

1.3.2 NHóm SO(3) Xét nhóm quay trong không gian ba chiều SO(3).

Mọi phép quay không gian ba chiều quanh gốc toạ độ O đều có thể thực hiện

dới dạng tổ hợp của ba phép quay liên tiếp sau đây: phép quay góc ϕ quanhtrục Oz chuyển các trục toạ độ Ox và Oy thành Ox' và Oy', phép quay góc θ

quanh trục mới Ox' chuyển các trục mới Oy' và Oz thành Oy'' và Oz'', phép

quay Ψ quanh trục mới Oz'' Ba góc ϕ θ, Ψ gọi là ba góc Euler Ký hiệu phépquay với ba góc Euler ϕ θ, Ψ là O(ϕ θ, Ψ) Ma trận phép quay này là tíchcủa ba ma trận tơng ứng với phép quay quanh các trục Oz, Ox' và Oz'', cụ thể

là:

O(ϕ, θ, Ψ ) = Cz(Ψ) Cx(θ) Cz(ϕ)

Thay vào đây các biểu thức của Cz(Ψ), Cx(θ) và Cz(ϕ), ta thu đợc

Các góc Ψ và ϕ thay đổi từ 0 đến 2π, còn góc θ thay đổi từ 0 đến π.Nhóm SO(3) là nhóm liên tục ba thông số

của hình lập phơng, còn 8 hạt nhân F đều nằm ở các đỉnh của hình đó Nh thế

cấu hình không gian này sẽ không thay đổi khi ta thực hiện những phép quayhay phép phản chiếu, phép nghịch đảo không gian làm cho hình lập phơngtrùng với chính nó

Những phép biến đổi này là những phần tử của nhóm O(3) và làm thành

một nhóm gọi là nhóm đối xứng của phân tử Os F 8

Định nghĩa:

Tập hợp tất cả các phần tử của nhóm trực giao 3 chiều O(3) làm cấu

hình hạt nhân trùng với chính nó làm thành một nhóm gọi là nhóm đối xứngcủa phân tử

Ta hãy nghiên cứu một số ví dụ về

cấu hình không gian hai đờng tròn Với vị trí

mỗi phân tử trên mỗi đờng tròn của nó cách

đều nhau 1200, nhận đờng thẳng qua hai hạt

nhân C làm trục đối xứng Nghĩa là khi quay phân tử C 2 H 3 Cl 3 quanh trục đốixứng với góc 1200 thì ta nhận đợc phân tử trùng với phân tử ban đầu

Nh vậy, nhóm này thuộc loại C n nhóm hữu hạn tuần hoàn cấp n=3 và là

Phần tử đối xứng : Một trục C n và n mặt thẳng đứng cách đều nhau

Ví dụ: Phân tử nớc H 2 O có nhóm đối xứng gồm các phần tử của nhóm

C 2 và 2 mặt phẳng phản chiếu thẳng đứng đi qua trục C 2 (là trục qua O và tâm

điểm hai H) và vuông góc với nhau Nghĩa là một nhóm có 1 trục đối xứnghạng 2 và 2 mặt đối xứng thẳng đứng

mặt đối xứng thẳng đứng cách đều nhau, mỗi mặt đều đi qua C, Cl và một

nguyên tử H Nhóm này gọi là nhóm C 3v

1.4 3 Nhóm C nh: Là tích trực tiếp các nhóm: C nh = C n ⊗ C s

Kí hiệu σh là chỉ phép phản chiếu qua mặt phẳng ngang vuông góc với trục C n

của nhóm C n Bản thân mặt phẳng ngang này cũng kí hiệu là σh

1.4.5 Nhóm D nh: Là nhóm gồm tất cả các phần tử của nhóm O(3) làm hình

lăng trụ đều đáy n cạnh trùng với chính nó

Ví dụ: Phân tử C 2 H 6 có các trục đối xứng của nhóm D 3 và ba mặt phẳng thẳng

đứng σt cách đều xen kẽ nhau Nhóm đối xứng này gọi là D 3h

1.4.6 Nhóm T: Là nhóm gồm tất cả các phép quay làm hình tứ diện đều

trùng với chính nó

Phần tử đối xứng: 4 trục C 3 đi qua một đỉnh và tâm điểm của mặt đối diện

3 trục C 2 đi qua trung điểm các cạnh đối diện Nhóm có 12 phần tử

1.4.7 Nhóm T d: Tập hợp tất cả các phần tử của nhóm O(3) làm tứ diện đều

Nhóm Td là nhóm đối xứng của các phân tử tứ diện

Ví dụ: Phân tử CH4 thuộc nhóm đối xứng này

1.5.1 Định nghĩa: Cho một tập hợp N vật: 1, 2,…, N Dễ thấy rằng tập hợp

tất cả các hoán vị N vật đó, với phép nhân đợc hiểu là thực hiện các hoán vị

liên tiếp nhau, làm thành một nhóm gọi là nhóm đối xứng Kí hiệu là S N

Các phần tử của nhóm có thể kí hiệu nh sau:

p

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

Nhóm S N là nhóm hữu hạn, không giao hoán, cấp của nhóm là N!

Ví dụ nhóm S3 gồm sáu phần tử e =  3 

3 2 1

2 1

; p 1 = 1 

3 3 2

2 1

p 2 = 2 

3 1 3

2 1

; p 3 = 2 

3 3 1

2 1

; p 4 = 3 

3 1 2

2 1

; p 5 = 1 

3 2 3

2 1

Phép nhân nhóm là phép hoán vị liên tiếp, ta có:

p 1 p 2 = 3 

3 2 1

2 1

; p 2 p 3 =  1 

3 2 3

2 1

b a

2 1

; (23) =  2 

3 3 1

2 1

là các chuyển vị (132) =  2 

3 1 3

2 1

=(12)(13)

Mọi phép hoán vị đều có thể viết dới dạng tích của nhiều chuyển vị, tathấy rằng:

( P 1 , P 2 , P 3 , …, P N ) = ( P 1 , P N )(P 1 ,P N-1 )…(P 1 , P 3 )(P 1 ,P 2 )

Với sự phân tích này, do các chuyển vị khác nhau có chung một phần tử(là P1), nên cần phải viết đúng thứ tự các chuyển vị trong biểu thức phân tíchtrên

- Tính chất:

• Tất cả các hoán vị đều có thể phân tích thành tích nhiều chuyển vị

• Một hoán vị gồm một số chẵn chuyển vị gọi là hoán vị chẵn

• Một hoán vị gồm một số lẻ chuyển vị gọi là hoán vị lẻ

Các sơ đồ ta thu đợc tơng ứng với những biểu thức phân tích khác nhau

nh thế gọi là sơ đồ Young của nhóm S N

{n 1 , n 2 , …, n N } gọi là đặc biểu của Sơ đồ Young

Ví dụ: Với N=3 ta có các sơ đồ Young sau:

Khi điền các số 1, 2, 3, …, n vào các ô của sơ đồ Young ta đợc nhữngbảng gọi là bảng Young của nhóm SN

Một sơ đồ Young có thể cho nhiều bảng Young khác nhau

Ví dụ nh: với sơ đồ Young {2,1} ta có bảng Young sau:

Một bảng Young trong đó các số tăng dần khi chuyển từ trái sang phải

và từ trên xuống dới gọi là chuẩn Các bảng Young trình bày trên gọi là bảngYoung chuẩn

1.5.5 Toán tử Young (đối xứng hóa tử Young)

Giả sử cho một bảng Young nào đó Các hoán vị trong mỗi hàng củabảng Young gọi là hoán vị ngang, kí hiệu là p Các hoán vị trong mỗi cột gọi

là hoán vị dọc, kí hiệu là q Lập tổng tất cả các hoán vị ngang theo mỗi hàng

rồi lấy tích các tổng ấy, kết quả thu đợc kí hiệu là P:

P = tích các Σp

Mặt khác có thể lập tích Q các tổng hoán vị trong mỗi hàng của bảng

Young, gọi là hoán vị dọc và ký hiệu là q mỗi hoán vị nhân với

δq = 1 nếu hoán vị là chẵn, δq = -1 nếu hoán vị là lẻ

Ta có Q = tích các Σδq q

Lợng Y = Q.P gọi là toán tử Young.

Chẳng hạn với bảng Young đang xét:

Đối với bảng Young liên hợp cũng nh vậy Một số sơ đồ Young trùngvới liên hợp của nó gọi là tự liên hợp Ví dụ nh:

1, Hai sơ đồ {3, 1} và {2,1 2 } liên hợp với nhau

2, Hai bảng Young sau liên hợp với nhau:

3

1.6 lớp

1.6.1 Phép nhân lớp đối với các biểu diễn nhóm điểm

Cho một nhóm bất kỳ G Ta lấy một phần tử xác định g ∈ G và xét tập

Với các nhóm giao hoán, do xgx -1 = g(xx -1 ) = ge = g Nh vậy mỗi phần

tử của nhóm làm thành một lớp: Số lớp của nhóm giao hoán bằng cấp củanhóm Vậy nhóm C n có n lớp.

1.6.2 Phép phân lớp đối với các nhóm điểm:

Đối với các nhóm điểm, ngời ta chứng minh đợc các quy tắc phân lớpsau:

- Những phép phản chiếu là thuộc cùng một lớp nếu các mặt phẳng phảnchiếu có thể trùng với nhau bởi những phần tử thuộc nhóm Gọi là mặt phảnchiếu tơng đơng

- Những phép quay là thuộc cùng một lớp (nếu có) cùng một góc quay và nếucác trục quay có thể trùng với nhau bởi những phần tử thuộc nhóm Gọi là trụcquay tơng đơng

- Những phần tử nghịch đảo của nhau có thể thuộc cùng một lớp nếu xảy ramột trong hai trờng hợp sau:

a, Có tồn tại một trục C 2 vuông góc với trục C n

b, Có tồn tại mặt phẳng σ đi qua trục C n

Thỏa mãn trờng hợp a, có nhóm D n , D nd , D nh …

Thỏa mãn trờng hợp b, có nhóm C nv , D nd ,T d…

16

Các trục quay có tính chất trên gọi là trục hai phía Còn các trục không

có tính chất đó gọi là trục một phía

Ví dụ: nhóm C 3v có trục C 3 là trục hai phía, các lớp của nhóm là:

e ; {C 3 , C 3 } ; {σv , σv , , σv ,, }

Vì ba mặt phẳng là tơng đơng với nhau( trùng với nhau bởi những phépquay C 3 và C 32 của nhóm) Kí hiệu là : C 3v = {e, 2C 3 , 3 } Các chỉ số 2, 3

chỉ số phần tử của các lớp thứ hai và thứ ba

1.7 Tính đồng cấu và đẳng cấu giữa các nhóm

Ta biết rằng, các phần tử của các nhóm khác nhau có thể có những bản chấtvật lý khác nhau nh những ma trận những phép quay, những hoán vị haynhững con số…Tuy nhiên, nhiều nhóm với phần tử có bản chất khác nhau cóthể có cấu trúc nh nhau, chẳng hạn là có bảng nhóm giống nhau Nghĩa lànhững phần tử ở những vị trí giống nhau trong các bảng nhóm là tơng ứng vớinhau

1.7.1 Định nghĩa:

Cho hai nhóm G và G' Mọi ánh xạ f từ G vào G': g → g = f(g)’ giữa các phần

tử của nhóm g ∈ G và g ’ ∈ G’ Thỏa mãn điều kiện

f(g 1 g 2 ) = g 1 'g 2 ' = f(g 1 )f(g 2 )

với g 1 , g 2 thuộc G; g 1 ' , g 2 ' thuộc G'.

Thì nhóm G' gọi là đồng cấu với nhóm G Hay còn gọi là phép đồng cấu

từ G vào G'.

Nếu ánh xạ f là một đối một, thì hai nhóm G và G' gọi là đẳng cấu với

nhau Nghĩa là phép đồng cấu trở thành phép đẳng cấu Kí hiệu là G ~ G'

Từ định nghĩa ta có đẳng thức : f(e) = e', e là đơn vị của nhóm G, e' là

đơn vị của nhóm G' Các nhóm hữu hạn đẳng cấu với nhau có cấp nh nhau và

1.6.2.2 Nhóm C 3 và Z 3 đẳng cấu với nhau.

Định nghĩa 1: Trong vật lý lý thuyết nhóm đợc thâm nhập vào các bài toán

cụ thể qua lý thuyết biểu diễn của nhóm

Cho G là một nhóm và một nhóm ma trận D nào đó Nếu với mọi phần tử của G: g ∈ G sẽ có một ma trận D(g) thuộc D sao cho [1]:

D(gh) =D(g)D(h) , g, h ∈G và D(g), D(h) ∈D (2.1.1)

Nói riêng:

D(e) = I (I ma trận đơn vị của nhóm D)

Thì tập D gọi là biểu diễn của nhóm G Hay Nếu nhóm G đồng cấu với

một nhóm ma trận D thì D gọi là biểu diễn của G.

Các ma trận thờng thực hiện các phép biểu diễn trong những không giantuyến tính nào đó Chiều không gian tuyến tính đó gọi là chiều không gianbiểu diễn hay chiều không gian biểu diễn bằng cấp của ma trận

Định nghĩa 2: Nếu D = {1}, tức là

D(g) =1 với mọi phần tử của G: g ∈G

thì biểu diễn thu đợc gọi là biểu diễn đơn vị Mọi nhóm đều có biểu diễn đơnvị

Định nghĩa 3: Biểu diễn toán tử.

Cho M= {q} là một không gian tuyến tính và L là tập các hàm ϕ(q) sao

cho khi ϕ(q) ∈ L thì ϕ(gq) cũng thuộc L: ϕ(gq) ∈ L Phép biến đổi ϕ gọi làphép biến đổi bất biến của không gian L.

Ký hiệu T g là một toán tử với định nghĩa: