Nhóm trên có phải là nhóm abel không?. Câu II: Cho f là một tự đồng cấu trong R3.. Tìm tất cả các giá trị riêng và véc tơ riêng tương ứng b.. Liệt kê tất cả các không gian ổn định của f.
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2009
MÔN THI CƠ BẢN: ĐẠI SỐ Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I:
a CMR tập hợp tất cả các ma trận thực có dạng:
1
0 1
0 0 1
a b c
lập thành một nhóm với
phép nhân ma trận thông thường
b Nhóm trên có phải là nhóm abel không? Giải thích?
Câu II: Cho f là một tự đồng cấu trong R3 Ma trận của f trong cơ sở chính tắc là:
1 1 1
1 1 1
1 1 1
−
a Tìm tất cả các giá trị riêng và véc tơ riêng tương ứng
b Liệt kê tất cả các không gian ổn định của f
Câu III: Cho ma trận thực đối xứng
13 5 2 1
5 13 2 6
2 2 10
A
− −
= − − ÷
− − ÷
a Hãy chéo hoá ma trận A
b Kí hiệu v là véc tơ cột
x y z
÷
÷
÷
trong R3 và v t = (x, y, z) Ký hiệu v là độ dài của v Giả
sử v thuộc tập hợp các véc tơ thoả mãn điều kiện v t Av = 1 CMR v bị chặn và hãy xác định chặn trên bé nhất của nó
Câu IV: Kí hiệu M r x s (K) là tập hợp các ma trận r x s với hệ số trong trường K Cho A thuộc M m x n(K)
a CMR các ánh xạ f: M n x l(K) → M m x l (K) và g: M l x m(K) → M l x n(K) cho bởi:
f(B) = AB và g(B) = BA là các ánh xạ tuyến tính.
b Với kí hiệu như trong câu a) khi l = m = n hãy tìm điều kiện cần và đủ để f = g.
(hết)