Tìm tập xác định của các hàm số sau a.. Chứng minh tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Bước 1.. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Bài 4.. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số a.. Tìm GTL
Trang 1TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
Phần I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác
1 Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho điểm M có số đo cung AM là α thì
sinα = yM; cosα = xM
tan α = sinα (α π kπ)
cosα ≠ +2 ; cot α = cosα (α kπ)
sinα ≠
2 Các tính chất
Với mọi α ta có: –1 ≤ sin α ≤ 1 hay |sin α| ≤ 1; –1 ≤ cos α ≤ 1 hay |cos α| ≤ 1
3 Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản
sin² α + cos² α = 1; tan α cot α = 1;
1 + tan² α = 12
cosα ; 1 + cot² α = 2
1sinα
4 Các công thức liên hệ cung
cos(–α) = cos α cos(π – α) = –cos α cos(π + α) = –cos αsin(–α) = –sin α sin(π – α) = sin α sin(π + α) = –sin αtan(–α) = –tan α tan(π – α) = –tan α tan(π + α) = tan αcot(–α) = –cot α cot(π – α) = –cot α cot(π + α) = cot αcos(π/2 + α) = –sin α cos(π/2 – α) = sin α
sin(π/2 + α) = cos α sin(π/2 – α) = cos α
tan(π/2 + α) = –cot α tan(π/2 – α) = cot α
cot(π/2 + α) = –tan α cot(π/2 – α) = tan α
5 Công thức cộng
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
tan a tan btan(a b)
1 tan a tan b
++ =
−
tan a tan btan(a b)
1 tan a tan b
−
− =
+
6 Công thức nhân đôi
sin 2a = 2sin a cos a
cos 2a = cos² a – sin² a = 2cos² a – 1 = 1 – 2sin² a
9 Công thức biến đổi tổng thành tích
cos α + cos β = 2cosα βcosα β
Trang 2TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
sin(α β)tanα tan β
I Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Hàm số y = tan x xác định khi x ≠ π/2 + kπ, k thuộc Z
Hàm số y = cot x xác định khi x ≠ kπ, k thuộc Z
Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau
a y = cos x + sin x b y = cosx 1
II Chứng minh tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác
Bước 1 Tìm tập xác định D; Với mọi x thuộc D → –x thuộc D
Bước 2 Tính f(–x); so sánh với f(x) Có một trong 3 khả năng có thể xảy ra
+ f(–x) = f(x) → hàm số chẳn
+ f(–x) = –f(x) → hàm số lẻ
+ f(–x) ≠ f(x) & f(–x) ≠ –f(x) thì chọn giá trị xo và tính f(–xo), f(xo) thỏa mãn điều kiện suy ra hàm số không chẳn không lẻ
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
a y = 2 cos x b y = sin x + x c y = sin 2x + 2
d y = –2 tan² x e y = sin |x| + x² f y = |2x + 1| + |2x – 1|
III Xét chiều biến thiên hàm số lượng giác
Bài 3 Lập bảng biến thiên của hàm số
a y = –sin x + 1 trên đoạn [–π; π]
b y = –2cos (2x + π/3) trên đoạn [–2π/3; π/3]
IV Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Bài 4 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
a y = 2 sin (x – π/2) + 3 b y = 3 – 2 cos 2x c y = –1 – cos² (2x + π/3)
d y = 1 cos 4x 2+ 2 − e y = 2 sin x 3+ f y = sin² x – 4sin x + 3
Bài 5 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số
a y = sin x trên đoạn [–π/2; π/3] b y = cos x trên đoạn [–π/2; π/2]
c y = sin x trên đoạn [π/6; 3π/4] d y = cos (πx / 4) trên đoạn [1; 3]
V Phương trình lượng giác
Bài 6 Giải các phương trình sau
a 3 cos x sin x− = 2 b cos x− 3 sin x= −1
d 3sin 3x− 3 cos 9x = 1 + 4 sin³ 3x e sin x cos (x4 4 π) 1
Bài 7 Giải các phương trình sau
a 2 cos² x + 5sin x – 4 = 0 b 2 cos 2x – 8 cos x + 5 = 0
c 2 cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x d 2 (sin4 x + cos4 x) = 2 sin 2x – 1
e cos (4x/3) = cos² x f (3 + tan² x) cos x = 3
g 5 tan x – 2 cot x – 3 = 0 h 6sin² 3x + cos 12x = 4
Bài 8 Giải các phương trình sau
a 2 sin² x – 5 sin x cos x – cos² x = –2 b sin² x – 2 sin x cos x – (2 3 + 3) cos² x = 0
c 4 sin² x + 3 3 sin 2x – 2 cos² x = 4 d 6 sin x – 2 cos³ x = 5 sin 2x cos x
e sin² x + sin 2x – 2cos² x = 1/2
Bài 9 Giải các phương trình sau
Trang 3TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
a 3(sin x + cos x) + 2sin 2x + 3 = 0 b sin 2x – 12(sin x – cos x) = –12
c 2(cos x + sin x) – 4 sin x cos x – 1 = 0 d cos x – sin x – 2sin 2x – 1 = 0
Bài 10 Giải các phương trình sau
a cos 2x + 3 cos x + 2 = 0 b 2 + cos 2x = – 5 sin x
c 6 – 4cos² x – 9sin x = 0 d 2 cos 2x + cos x = 1
e 4sin4 x + 12cos² x = 7
Bài 11 Giải các phương trình sau
a 4(sin 3x – cos 2x) = 5(sin x – 1)
b 1 + sin (x/2) sin x – cos (x/2) sin² x = 2 cos² (π/4 – x/2)
c 1 + 3 tan x = 2 sin 2x d (2cos 2x – 8cos x + 7) cos x = 1
e sin 2x (cot x + tan x) = 4 cos² x f 2 cos² 2x + cos 2x = 4 sin² 2x cos² x
g cos 3x – cos 2x – 2 = 0 h 4 sin x + 2 cos x = 2 + 3 tan x
i sin 2x + 2 tan x – 3 = 0 j sin² x + sin² 3x = 3cos² 2x
k tan³ (x – π/4) = tan x – 1 l sin 2x – cos 2x = 3 sin x + cos x – 2
m sin 2x + cos 2x + tan x = 2 n cos 3x – 2 cos 2x + cos x = 0
Bài 12 Giải các phương trình sau
a 2sin² x + 2sin 2x = 3 – 2cos² x b cos³ x – sin³ x = cos x + sin x
c sin x sin 2x + 2sin 3x = 6 cos³ x d sin³ x + cos³ x – 2(sin5 x + cos5 x) = 0
e sin³ (x – π/4) = 2 sin x f 3cos4 x – sin² 2x + sin4 x = 0
g 3sin4 x + 5cos4 x – 3 = 0
Bài 13 Giải các phương trình sau
a cos³ x + sin³ x = sin 2x + sin x + cos x b 2 cos³ x + cos 2x + sin x = 0
c 1 + sin³ x + cos³ x = (3/2) sin 2x d 6 (cos x – sinx) + sin x cos x + 6 = 0
e sin³ x – cos³ x = 1 + sin x cos x f 1 1 sin x cos x 10
cos x sin x+ + + = 3
g 2tan x + 3tan² x + 4tan³ x + 2cot x + 3cot² x + 4cot³ x = 18
h 2 (1 + cot² x) + 2 tan² x + 5 tan x + 5 cot x + 4 = 0
i cos³ x – sin³ x + 1 = 0
j 2cos 2x + sin² x cos x + cos² x sin x = 2(sin x + cos x)
Bài 14 Giải các phương trình sau
a sin 2x + 2cos 2x = 1 + sin x – 4cos x b sin 2x – cos 2x = 3sin x + cos x – 2
c sin² x + sin² 3x – 3cos² 2x = 0 d cos 3x cos³ x – sin 3x sin³ x = cos³ 4x + 1/4
e sin4 (x/2) + cos4 (x/2) – 1 + 2sin x = 0 f cos 3x – 2cos 2x + cos x = 0
g sin6 x + cos6 x = sin4 x + cos4 x h sin4 x + cos4 x – cos² x = 1 – 2sin² x cos² x
i 3sin 3x – 3 cos 9x – 4sin³ 3x + 1 = 0 j cos x sin x sin x
m sin xcos x + cos x = –2sin² x – sin x + 1 n sin 3x = cos xcos 2x (tan² x + tan 2x)
o 5(sin x cos 3x sin 3x) cos 2x 3
1 2sin 2x
+
q cos 3x – 4cos 2x + 3cos x – 4 = 0 r
2 4
4
(2 sin 2x)sin 3xtan x 1
cos x
−+ =
s tan x + cos x – cos² x = sin x (1 + tan x tan x
2 Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách
II Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
Trang 4TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
A và B là 2 biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B)
Bài 1 Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi cỡ 40 hoặc 41 Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu
khác nhau Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
Bài 2 Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4} Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần
tử của A?
Bài 3 Từ tập A = {1; 2; 3; 4; 5} hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện ba
lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?
Bài 4 Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các
chiếc ghế, xếp theo một hàng dài Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?
Bài 5 Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các
điểm đó?
Bài 6 Từ tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?
Bài 7 Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu
tam giác?
Bài 8 Một lớp có 30 học sinh Cần chọn một bạn làm lớp trưởng, một bạn làm lớp phó và một bạn làm thư
ký Hỏi có bao nhiêu cách chọn, biết rằng học sinh nào cũng có khả năng làm lớp trưởng, lớp phó hoặc thư
ký như nhau
Bài 9 Tìm số tự nhiên n, nếu 6n – 6 + C ≥ 3n C3n 1+
Trang 5TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
Bài 10 Từ 7 chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số đôi một khác nhau
a Nếu số đó là số lẻ
b Nếu số đó là số chẵn
c số đó không chia hết cho 10
Bài 11 Trong khai triển (2 x3 3 )10
x
− , với x > 0, tìm số hạng không chứa x.
Bài 12 Tìm hệ số của x8 trong khai triển [1 + x²(1 – x)]8
Bài 13 Cho khai triển: (1 + 2x)10 = ao + a1x + a2x² + + a10x10, có các hệ số ao, a1, a2, , a10 Tìm hệ số lớn nhất
Bài 14 Tìm số hạng
a thứ 13 trong khai triển (3 – x)25
b thứ 18 trong khai triển (2 – x²)25
c không chứa x trong khai triển (x + 1/x)12
d không chứa x trong khai triển (x x3 914)12
x
+
e hữu tỉ trong khai triển của ( 3− 15)6
f đứng chính giữa trong khai triển của (1 + x)10
g chứa x³ trong khai triển của (11 + x)11
Bài 15 Tìm hệ số của số hạng chứa
a x4 trong khai triển (x/3 – 3/x)12
b x8 trong khai triển ( 13 x )5 12
x +
c x5 trong khai triển (1 + x + x² + x³)10
d x³ trong khai triển (x² – x + 2)10
e x³ trong khai triển S(x) = (1 + x)³ + (1 + x)4 + (1 + x)5 + + (1 + x)50
f x³ trong khai triển S(x) = (1 + 2x)³ + (1 + 2x)4 + (1 + 2x)5 + + (1 + 2x)22
Bài 17 Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 6 chữ số đôi một khác nhau nhỏ hơn 600000
Bài 18 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5
Bài 19 Với các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và phải có chữ số 5
Bài 20 Với các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn 789
Bài 21 Một nhóm học sinh gồm 10 nam, 6 nữ Chọn ra một tổ gồm 8 người Hỏi có bao nhiêu cách chọn để
tổ có nhiều nhất là 5 nữ
Bài 22 Một lớp học có 40 học sinh, lớp cần cử ra một ban cán sự lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phó và 3
ủy viên Hỏi có mấy cách lập ra ban cán sự lớp
Bài 23 Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh A, B, C, D và E vào một băng ghế dài sao cho
a Bạn C ngồi chính giữa
b Hai bạn A và E ngồi hai đầu ghế
Bài 24 Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ ba màu
Bài 25 Trong một phòng có hai bàn dài, mỗi bàn có 5 ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 hoc sinh gồm 5 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi nếu:
a Các học sinh ngồi tùy ý
b Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi bàn còn lại
Trang 6TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
Bài 26 Có 5 nhà toán học nam, ba nhà toán học nữ và bốn nhà vật lý nam Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý Có bao nhiêu cách chọn
Bài 27 Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ Có bao nhiêu cách chọn ra năm người sao cho
a Có đúng hai nam
b Có ít nhất hai nam và ít nhất một nữ
Bài 28 Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 9 Tính xác suất để
a Số được chọn là số nguyên tố
b Số được chọn chia hết cho 3
Bài 29 Có 9 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 9 Chọn ngẫu nhiên ra 2 tấm thẻ Tính xác suất để tích của hai số trên hai tấm thẻ là một số chẵn
Bài 30 Tìm xác suất để khi gieo con xúc xắc 6 lần độc lập, không lần nào xuất hiện mặt có số chấm là một
Bài 34 Gieo ngẫu nhiên đồng thời 4 đồng xu Tính xác suất để ít nhất hai đồng xu lật ngửa
Bài 35 Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ khác nhau về màu sắc lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy tiếp một viên bi nữa Tính xác suất của biến cố: “lấy lần thứ hai được một viên bi xanh”
Bài 36 Hai hộp chứa các quả cầu Hộp thứ nhất chứa 5 quả đỏ và 5 quả xanh, hộp thứ 2 chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả Tính xác suất sao cho hai quả
Bài 37 Mọt hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10 và 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 20 Lấy ngẫu nhiên một quả Tìm xác suất sao cho quả được chọn
a có ghi số chẵn b màu đỏ c màu đỏ và ghi số chẵn d màu xanh hoặc ghi số lẻ
Bài 38 Một tổ có 7 nam và 3 nữ Chọn ngẫu nhiên ba người Tìm xác suất sao cho 3 người đó
a đều là nữ b không ai là nữ c ít nhất một người là nữ d có đúng một người nữ
CẤP SỐ CỘNG
1 Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai Gọi d là công sai, theo định nghĩa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2, )
Khi d = 0 thì cấp số cộng có các số hạng đều bằng nhau
Trang 7TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
Bài 4 Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165.
Bài 5 Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 1140.
Bài 6 Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai là
25
Bài 7 Cho cấp số cộng (un) Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 Tính u1 + u6 + u11 + u16
Bài 8 Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80 Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó
Bài 9 Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng của chúng là 176 Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30
Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó
Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, 0, 0, , 0,
Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, u1, , u1,
Nếu u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0,
4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân
Cho một cấp số nhân (un) với công bội q
Bài 2 Cho cấp số nhân có u3 = 18 và u6 = –486 Tìm số hạng đầu tiên u1 và công bội q của CSN đó
Bài 3 Tìm u1 và q của cấp số nhân biết: 4 2
Bài 4 Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có: u3 = 12, u5 = 48
Bài 5 Tìm u và q của cấp số nhân (un) biết: 1 2 3
Trang 8TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
GIỚI HẠN DÃY SỐ
A Lý thuyết:
+ Nếu |un| < vn với mọi n, lim vn = 0 thì lim un = 0
+ lim un = L → lim|un| = |L| + lim un = L → 3 3
nlim u = L+ lim un = L, un > 0 với mọi n → L > 0 và lim un = L
+ Với cấp số nhân mà |q| < 1 thì S = lim (u1 + u1q + u1q² + + u1qn–1) =
n
u (1 q ) ulim
n = với mọi k > 0+ lim nk = +∞ với mọi k > 0 + lim qn = +∞ nếu q > 1
+ lim un = L thì lim (k.un) = k.L + lim un = L, lim vn = M thì lim (un + vn) = L + M+ lim un = L, lim vn = M thì lim (un.vn) = L.M
+ lim un = L, lim vn = M ≠ 0 thì lim (un / vn) = L / M
lim5n n
++
+
n(n 1)lim
(n 4)
++
Bài 2 Tìm các giới hạn sau:
++
Bài 6 Tìm các giới hạn sau:
Trang 9TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
Bài 2 Tìm các giới hạn sau:
a x 2lim (2x→ 2−3x) b
x 1
5x 2lim
x 1
→
++
Bài 3 Tìm các giới hạn sau:
a xlim (x→+∞ 3+2x) b 3
xlim (x 2x)
2 x
3x 1lim
3x 1lim
2x 5
→−∞
++
a x 0lim f (x)→ b x 3lim f (x)→ c x 1lim f (x)→
Bài 7 Tìm các giới hạn sau
Trang 10TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
→
3 2
x 1
x 1lim
→−
++ −
f (x)
3 khi x 52
Trang 11TRUNG TAM GIA SU DUC TRI
Xét tính liện tục của hàm số trên tập xác định
Bài 5 Tìm a để hàm số liên tục tại xo
Bài 6 Chứng minh rằng phương trình x³+ 3x² + 5x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong (0; 1)
Bài 7 Chứng minh rằng phương trình x³ – 3x + 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 8 Chứng minh rằng phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt nằm trong khoảng (–2; 5)
Bài 9 Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
a ax² + bx + c = 0 với 2a + 3b + 6c = 0 b ax² + bx + c = 0 với a + 2b + 5c = 0
c a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0 d cos x + m cos 2x = 0
Bài 10 Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt
a x² – 3x + 1 = 0 b x³ + 6x² + 9x + 1 = 0
ĐẠO HÀM
1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
+ Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và xo thuộc (a; b)
+ Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo thì nó liên tục tại điểm đó
2 Ý nghĩa của đạo hàm
+ f′(xo) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M (xo; f(xo))
+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M (xo; f(xo)) là y = f′(xo)(x – xo) + yo
3 Qui tắc tính đạo hàm
+ (C)′ = 0; (x)′ = 1; (xn)′ = n.xn–1 với n thuộc Z, n ≠ 0; ( x ) ' 1
2 x
=
+ (u + v)′ = u′ + v′; (u.v)′ = u′.v + v′.u; (u / v)′ = (u′v – v′u) / v²; (ku)′ = ku′; (1/v)′ = – v′ / v² (v ≠ 0)
+ Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u′ (x) và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là f′(u) thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là y′ = f′(u).u′(x)
4 Đạo hàm của hàm số lượng giác
Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo bằng định nghĩa ta thực hiện các bước
Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại xo Tính ∆y = f(xo + ∆x) – f(xo)
Bước 2: Tính
o
x x
ylimx