CHUYÊN ĐỀ ĐỊNH THỨC

Định thức của các ma trận cấp cao Như đã trình bày trước đó, mong muốn của chúng ta là những tính chất của định thức đã đúng với ma trận cấp 2 vẫn còn đúng với một ma trận vuông tổng qu

Giới thiêu về định thức

Với một ma trận vuông cấp 2 bất kỳ, ta tìm thấy điều kiện cần và đủ để ma trận là khả nghịch Thật vậy, xét ma trận:

Ma trận A là khả nghịch khi và chỉ khi ad - bc ≠ 0 Ta gọi số này là định thức của A Từ điều này,

chúng ta muốn có một kết quả tương tự cho các ma trận lớn hơn (tức là ma trận có cấp cao hơn) Vì vậy,

ta có định nghĩa định thức tương tự cho một ma trận vuông bất kỳ, nó xác định một ma trận vuông là khả nghịch hay không?

Để tổng quát khái niệm cho các các cấp cao hơn, chúng ta cần phải nghiên cứu về khái niệm định thức và những tính chất nào của nó được thỏa mãn Trước hết, chúng ta sử dụng ký hiệu sau đây cho định thức

1 Định thức của ma trận A bất kỳ và chuyển vị của nó là bằng nhau, nghĩa là

Từ tính chất này ta suy ra sử dụng dòng hay cột để tính định thức đều được Đặc biệt ta sẽ thấy các phép biến đổi cơ bản trên hàng hữu hiệu thế nào trong việc tìm định thức Do đó, ta có những kết quả tương tự cho các phép biến đổi cơ bản trên cột

2 Định thức của ma trận tam giác là tích của các phần tử trên đường chéo, tức là

3 Nếu ta đổi chỗ hai dòng thì định thức đổi dấu, tức là

4 Nếu ta nhân vào một dòng với một số, định thức của ma trận mới bằng định thức của ma trận cũ nhân với số đó, tức là

Đặc biệt, nếu tất cả các phần tử trong một dòng là số 0 thì định thức bằng 0

5 Nếu ta cộng vào một dòng với dòng khác nhân một số thì định thức của ma trận mới sẽ bằng định thức của ma trận cũ, tức

6 Ta có

Đặc biệt, nếu A là khả nghịch (điều này xảy ra nếu và chỉ nếu det A ≠ 0), khi đó

Ta lấy ví dụ để hiểu rõ hơn về các tính chất trên

Sử dụng tính chất 2, ta được

Vì vậy, ta có

ta có thể dễ dàng kiểm tra lại kết quả

Định thức của các ma trận cấp cao hơn sẽ được trình bày ở mục

Định thức của các ma trận cấp cao

Như đã trình bày trước đó, mong muốn của chúng ta là những tính chất của định thức đã đúng với ma trận cấp 2 vẫn còn đúng với một ma trận vuông tổng quát Nói cách khác, chúng ta giả định:

1 Định thức của ma trận A bất kỳ và chuyển vị của nó là bằng nhau, tức là

2 Định thức ma trận tam giác là tích của các phần tử trên đường chéo

3 Nếu ta đổi chỗ hai dòng thì định thức đổi dấu

4 Nếu ta nhân vào một dòng với một số, định thức của ma trận mới bằng định thức của ma trận cũ nhân với số đó

5 Nếu ta cộng vào một dòng với dòng khác nhân một số thì định thức của ma trận mới sẽ bằng định thức của ma trận cũ

6 Ta có

Đặc biệt, nếu A là khả nghịch (điều này xảy ra nếu và chỉ nếu det A ≠ 0), khi đó

Vì vậy, chúng ta hãy xét một ma trận cấp 4

Ví dụ Tính

Ta có

Nếu ta lấy mỗi dòng trừ cho dòng đầu nhân với một số thích hợp, ta được

Ta giữ lại dòng đầu, biến đổi trên những dòng còn lại Đổi dòng 2 với dòng 3, ta được

Nếu ta lấy mỗi dòng trừ cho dòng thứ 2 nhân với một số thích hợp, ta được

Nếu ta nhân dòng thứ ba với 13 và cộng vào dòng thứ tư, ta được

định thức này bằng 3 Như vậy, định thức ban đầu là

Những tính toán dường như là khá dài Sau này ta sẽ thấy có một công thức dùng để tính định thức của

ma trận

Ví dụ Tính

Trong ví dụ này, những phép biến đổi cơ bản không được trình bày chi tiết Ta có

Ví dụ Tính

Ta có

Công thức chung để tính định thức Cho A là một ma trận vuông cấp n Ta viết A = (a ij ), trong đó a ij

là phần tử ở dòng i và cột j, với i = 1, …, n và j = 1, …, n Với mỗi i, j ta đặt A ij (gọi là phần bù đại số) là định thức cấp (n-1) có được từ A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j nhân với (-1)i+j Ta có

với i cố định, và

với k cố định Nói cách khác, chúng ta có hai công thức: công thức khai triển theo dòng (thứ i) hoặc khai triển theo cột (thứ j) Ta khai triển theo bất kỳ dòng nào hoặc cột nào đều được Bí quyết là sử dụng dòng nào hoặc cột nào có nhiều số không nhất

Đặc biệt, ta có công thức khai triển theo dòng

Hoặc

Như một bài tập, hãy viết các công thức khai triển theo cột

Ví dụ Tính

Ta sử dụng công thức khai triển theo dòng thứ ba Ta có

Có kỹ thuật để tính định thức dễ dàng hơn không? Câu trả lời là phụ thuộc vào định thức được yêu cầu tính Có những định thức nên dùng các phép biến đổi cơ bản, có những định thức nên dùng công thức khai triển Tất cả những vấn đề đó là để có được câu trả lời chính xác

Lưu ý: Tất cả các tính chất ở trên vẫn đúng trong trường hợp tổng quát Ngoài ra, ta nên nhớ rằng các

khái niệm của định thức chỉ tồn tại cho ma trận vuông

Định thức ma trận và ma trận khả nghịch

Tìm ma trận nghịch đảo là vẫn đề quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học ví dụ giải mã một tin nhắn

ta tìm ma trận nghịch đảo Xét ma trận vuông Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu và chỉ nếu

Ngoài ra nếu A có cấp n, khi đó A i,j được định nghĩa là ma trận cấp n-1 tạo thành từ ma trận A bằng cách bỏ đi phần tử nằm ở dòng I cột j Nhắc lại

với mọi I cố định và

với mọi j cố định Định nghĩa ma trận chuyển vị của A, kí hiệu adj(A)

Ví dụ Cho

Ta có

Lấy giá trị Ta có

Chú ý rằng Do đó ta có

Định nghĩa chuyển vị của ma trận A kí hiệu adj(A), là ma trận mà phần tử dòng i cột j là phần tử dòng j

cột i của ma trận ban đầu

Định lí Với mọi ma trận A cấp n, ta có

Đặc biệt, nếu , khi đó

Cho ma trận vuông cấp hai, ta có

điều này dẫn đến

Đây là công thức đã dùng ở trang trước

Trong trang tiếp theo, chúng ta thảo luận ứng dụng công thức trên vào hệ tuyến tính

Ứng dụng của định thức tới hệ phương trình: Qui tắc Cramer

Chúng ta thấy rằng định thức là hữu ích trong việc tìm ma trận nghịch đảo của ma trận khả nghịch Ta có thể sủ dụng sự tìm kiếm này trong việc giải hệ phương trình tuyến tính cho ma trận hể số khả nghịch Xét hệ tuyến tính( dưới dạng ma trận)

A X = B trong đó A là ma trận hệ số, B là ma trận hạn cột tự do, và X ma trận cột ẩn Ta có:

Dịnh lí Hệ tuyến tính AX = B có nghiệm duy nhất nếu và chỉ nếu A là ma trận khả nghịch Trong trường

hợp này, nghiệm được cho bởi quy tắc định thức Cramer:

trong đó x i là nghiệm của hệ hoặc là một phần tử của X, và ma trận A i được xác định từ A bằng cách thay thế cột thứ I bởi ma trận cột B Khi đó, ta có

với b i những phần tử của B

Đặc biệt, nếu hệ tuyến tính AX = B là thuần nhất, nghĩa là , khi đó nếu A khả nghịch, nghiệm

duy nhất của hệ là tầm thường , đó là Do đó nếu ta ta tìm nghiệm khác 0 của hệ, ma trận hệ số

và nghiệm là

Chú ý rằng, dễ thấy z=0 Thật vậy, sự xác định cho z có hai dòng giống nhau ( dòng 1 và dòng cuối) Ta

cố gắng kiểm tra giá trị tìm được của x, y, và z là nghiệm của hệ cho trước

Chú ý Quy tắc Cramer chỉ sử dụng cho hệ tuyến tính mà ma trận hệ số khả nghịch

Giá trị riêng và vectơ riêng: Giới thiệu

Bài toán giá trị riêng là vấn đề đáng quan tâm về lí thuyết và ứng dụng rộng rãi Ví dụ, vấn đề này là quan trọng trong việc giải hệ phương trình vi phân, phân tích mô hình tăng trưởng dân số và tính toán bậc của ma trận ( trong việc xác định lũy thừa ma trận) Các lĩnh vực khác như vật lí, xã hội học, sinh học, kinh tế và thống kê đã tập trung sự chú ý đáng kể vào giá trị riêng và vectơ riêng trong các ứng dụng

và tính toán của chúng Trước khi cung cấp khái niệm chính thức, chúng tôi giới thiệu khái niệm này trong một ví dụ

Ví dụ Xét ma trận

Xét ba cột của ma trận

Ta có

với Chú ý rằng không thể tìm A75 , một cách trực tiếp từ dạng ban đầu của A

Ví dụ này là phong phú để kết luận nhiều câu hỏi đặt ra một cách tự nhiên.Ví dụ , cho trước ma trận

vuông A, làm thế nào để tìm ma trận cột đồng dạng với những cái ở trên? Nói cách khác, làm thế nào để tìm ma trận cột giúp ta tìm ma trận khả nghịch P sao cho P-1AP là ma trận chéo?

Từ bây giờ, chúng tôi sẽ gọi ma trận cột vectơ Vì vậy các cột ma trận C1, C2, và C3 là các vectơ Chúng

ta có định nghĩa

Định nghĩa Cho A là ma trận vuông Một vectơ C khác 0 được gọi là vectơ riêng của A nếu và chỉ nếu

tồn tại một số ( thực hoặc phức) sao cho

mỗi giá trị là giá trị riêng của A Vectơ C được gọi là vectơ triêng của A tương ứng với giá trị riêng

Cho ma trận vuông A có cấp n, số là giá trị riêng nếu và chỉ nếu tồn tại một vectơ C khác 0 sao cho

Sử dụng tính chât của tích hai ma trận, ta thu được

Đây là hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số

Chúng ta cũng biết rằng hệ này có một nghiệm nếu và chỉ nếu ma trận hệ số khả nghịch, tức là

Bởi vì vectơ 0 là một nghiệm C không là vectơ 0, nên ta phải có

Ví dụ Xét ma trận

tương đương với phương trình bậc hai

Giải phương trình này dẫn đến

Nói cách khác, ma trận A chỉ có hai giá trị riêng

Tông quát, cho ma trận vuông A cấp n, phương trình

cho nghiệm là giá trị riêng của A Phương trình này được gọi là phương trình đặc trung hay đa thức đặc trưng của A Đó là hàm đa thức bậc n Ta biết rằng phương trình này có nhiều nhất n nghiệm Do đó ma trận vuông A cấp n sẽ có không quá n giá trị riêng

Ví dụ Xét ma trận đường chéo

Đa thức đặc trưng của nó là

Kết quả này là đúng cho mọi ma trận chéo có cấp tùy ý Nên tùy thuộc vào giá trị trên đường chéo, bạn

có thể có mọt, hai hay nhiều hơn các giá trị riêng

Nhận xét Thật là tuyệt vời khi thấy rằng ma trận A có cùng giá trị riêng với ma trận chuyển vị A T của

nó bởi vì

Cho bất kì ma trận cấp 2, A, trong đó

đa thức đặc trưng được cho bởi phương trình

Số (a+d) được gọi là vết A (denoted tr(A)), và rõ ràng số (ad-bc) là định thức của A Nên đa thức đặc trưng của A có thể được viết lại như sau

Cho giá trị của ma trận

B = A2 - tr(A) A + det(A) I2

Ta có

Ta dẫn đến

Phương trình này được gọi là định lí Cayley-Hamilton Nó đúng cho mọi ma trận vuông có cấp tùy ý

Ta có một số tính chất của các giá trị riêng của một ma trận

Định lí Cho A là ma trận vuông cấp n Nếu là một giá trị riêng của A, thì:

Tính vectơ riêng

Co ma trận A vuông cấp n và là một giá trị riêng của nó X là vectơ riêng của A ứng với Ta phải có

Đây là hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số là Bởi vì vectơ 0 alf một nghiệm, hệ này

có nghiệm Thật vậy, ta sẽ đề cập trong trang khác là ccấu trúc nghiệm của hệ là phong phú Trong phanà này ta thảo luận vần đề có bản là tìm nghiệme

Nhận xét Khá dễ dàng để thấy rằng nếu X là một vectơ thỏa mãn , thì vectơ Y = c X (cho mọi số c tùy ý) thỏa mãn cùng phương trình Nói cách khác, nếu ta biết X là một vectơ

riêng, thì cX cũng là một vectơ tương ứng với cũng vectơ riêng

Tiếp theo ta tìm các vectơ riêng

1

Trường hợp : Vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ phương trình tuyến tính

điều này có thể được viết lại bởi

Có nhiều cách để giải hệ phương trình này Phương trình thứ ba là đồng nhất với phương trình đầu

Vì vậy, từ phương trình thứ hai, ta có y = 6x, phương trình đầu dẫn đến 13x + z = 0 Nên hệ này

tương đương với

Do đó vectơ X được cho bởi

Vì vậy, bất kì giá trị riêng X của A tương ứng với giá trị riêng 0 được cho bởi

trong đó c là một số tùy ý

Trường hợp : Vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ

điều này có thể được viết lại

Trong trường hợp này, ta sử dụng phương pháp khử để giải Tước hết ta xét ma trận bổ sung

Tiếp, ta đặt z = c Từ dòng thứ hai, nhận được y = 2z = 2c dòng đầu nhạn được x = -2y+3z = -c

Do vậy

Vì thế, bất kì vectơ riêng X của A tương ứng với giá trị riêng -4 được cho bởi

trong đó c là một só bất kì

2

Trường hợp : Giải chi tiết dành cho bạn đọc Sử dụng mô tả tương tự trên, một vectơ

riêng X of A tương ứng với 3 được cho bởi

trong đó c là một số bất kì

Nhận xét Tổng quát, giá trị riêng của ma trận là tất cả các nghiệm phân biệt của phương trình đặc trưng

Ví dụ Xét ma trận

Phương trình đặc trưng của A cho bởi

Do đó giá trị riêng của A là -1 và 8 Với giá trị riêng 8, dễ thấy rằng bất kì vectơ riêng X được cho bởi

trong đó c là một số tùy ý Ta tập trung vào giá trị riêng -1 Vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ

điều này được viết lại

Rõ ràng, phương trình thứ ba và hai tương đương với phương trình đầu Nói cách khác hệ này, hệ này tương đương với mọt phương trình

2x+y + 2z= 0

ĐỂ giải nó, ta chọn hia số cố định trước và tìm số thứ ba Ví dụ, nếu ta ðặt và , ta được

Do đó, bất kì vectơ riêng X của A tương ứng với giá trị riêng -1 cho bởi

Ví dụ Xét ma trận

Phương trình đặc trưng cho bởi

Do đó ma trận A có một giá trị riêng -3 Ta tìm vectơ riêng tương ứng Chúng được cho bởi hệ phương

trình tuyến tính

được viết lại như sau

Hệ này tương đương với mọt phương trình duy nhất của hệ

x - y = 0

Nên nếu đặt x = c, thì bất kì vectơ riêng X của A tương ứng với giá trị riêng -3 được cho bởi

Viết lại vectơ X dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ đữ biết

Trong các ví dụ trên, giả sử rằng các giá trị riêng là số thực Tổng quát, this is not the case except for symmetric matrices.Chứng minh điều này là phức tập, chỉ dễ dàng với ma trận vuông cấp 2

Xét ma trận vuông đối xứng

Phương trình đặc trưng của nó

Đây là phương trình bậc hai Nghiệm phụ thuộc vào dấu của định thức

Biến đổi đại số ta được

Nhưng điều này chỉ có thể a=c và b=0 Nói cách khác, Ta có

A = a I2 Phần tiếp theo sẽ thảo luận về giá trị riêng phức

TRƯỜNG HỢP GIÁ TRỊ RIÊNG PHỨC

Trước tiên, ta chứng tỏ rằng tồn tại ma trận với các giá trị riêng phức

Ví dụ Hãy xét ma trận

Phương trình đặc trưng được cho bởi

Phương trình bậc hai này có nghiệm phức được cho bởi

Vì vậy ma trận chỉ có giá trị riêng phức

Bí quyết là chúng ta xem các giá trị riêng phức như là số thực Nghĩa là chúng ta xem nó như là một con

số và làm các tính toán bình thường cho các vectơ riêng Ta hãy xem nó được tính toán như thế nào

Với , các vectơ riêng tương ứng được cho bởi hệ phương trình tuyến tính tính

A X = (1+2i) X

Có thể viết lại như sau

Thực ra, hai phương trình trên là đồng nhất vì (2+2i)(2-2i) = 8 Vì vậy, hệ phương trình giảm xuống còn

một phương trình

(1-i)x - y = 0 Đặt x=c, khi đó y=(1-i)c Do đó, ta có

trong đó c là một số tùy ý

Nhận xét Rõ ràng là mong đợi có các phần tử phức trong các vectơ riêng

Chúng ta thấy rằng (1-2i) cũng là một giá trị riêng của ma trận trên Vì các phần tử của ma trận A là số thực, khi đó ta dễ dàng chỉ ra rằng nếu là một giá trị riêng phức thì liên hợp của nó cũng là một giá trị riêng Hơn nữa, nếu X là một vectơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng , khi đó vector ,

có được từ X bằng thay số phức liên hợp của các phần tử của X, là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng Vì vậy, các vectơ riêng các ma trận A ở trên ứng với giá trị riêng (1-2i) được cho bởi

trong đó c là một số tùy ý

Chúng ta tóm tắt lại những gì đã làm trong ví dụ trên

Tóm tắt: Cho A là một ma trận vuông Giả sử là một giá trị riêng phức của A Để tìm các vectơ riêng tương ứng, ta làm theo các bước sau đây:

1 Viết ra hệ phương trình tuyến tính tương ứng

2 Giải hệ phương trình Các phần tử của X sẽ là những số phức

3 Viết lại vectơ X là tổ hợp tuyến tính của các vectơ chưa biết với các phần tử là số phức

Nói chung, một ma trận vuông với các phần tử là những số thực vẫn có thể có giá trị riêng phức Điều này là bình thường Ta có thể đặt câu hỏi liệu có tồn tại lớp các ma trận chỉ có giá trị riêng thực Điều này chỉ đúng với ma trận đối xứng Chứng minh rất kỹ thuật và được trình bày trong một trang khác Nhưng đối với ma trận vuông cấp 2, chứng minh là khá dễ Chúng ta sẽ trình bày dưới đây

Xét ma trận vuông đối xứng

Phương trình đặc trưng của nó được cho bởi

Đây là một phương trình bậc hai Nghiệm của nó (là những giá trị riêng của A) phụ thuộc vào các dấu hiệu của biệt thức 

Sử dụng các thao tác đại số, ta có

Vì  là một số dương nên ta suy ra các giá trị riêng của A là các số thực

Nhận xét Lưu ý rằng ma trận A sẽ có một giá trị riêng, tức là phương trình đặc trưng có nghiệm kép,

nếu và chỉ nếu Nhưng điều này chỉ xảy ra nếu a = c và b = 0 Nói cách khác, ta có

A = a I2

Chéo hóa Ma trận

Khi giới thiệu về các giá trị riêng và các vectơ riêng , ta sẽ đặt câu hỏi khi nào thì ma trận vuông đồng dạng tương đương với ma trận chéo? Nói cách khác, cho trước một ma trận vuông A, có tồn tại một ma trận chéo D sao cho ? (tức là có tồn tại một ma trận P khả nghịch sao cho A = P-1DP)