GIÁO ÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG CHƯƠNG 6GIÁO ÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG CHƯƠNG 6GIÁO ÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG CHƯƠNG 6GIÁO ÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG CHƯƠNG 6GIÁO ÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG CHƯƠNG 6GIÁO ÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG CHƯƠNG 6GIÁO ÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG CHƯƠNG 6GIÁO ÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG CHƯƠNG 6GIÁO ÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG CHƯƠNG 6
Trang 1Chương 6 THẾ LƯU
I.ĐỊNH NGHĨA THẾ LƯU:
Trong một chuyển động chất lỏng lý tưởng đựợc gọi là dòng chảy thế (thế lưu) khi thoả mãn điều kiện :
ds u
B
A
∫ không phụ
thuộc vào đường đi từ
A đến B
Để điều kiện trên thỏa mãn, cần có một hàm ϕ(x,y) sao cho
ϕ
grad
ϕ : hàm thế vận tốc
Như vậy để là một chuyển động thế thì chuyện động khi có một hàm thế vận tốc ϕ Và từ (6.1) suy ra Rot u = 0 hay ϖ = 0
Chuyển động thế là một chuyển động không quay
A
B n
m
Trang 21 Hàm thế vận tốc (ϕ):
ϕ là hàm sao cho:
Trong tọa độ descarde
y
u x
u x y
∂
∂
=
∂
∂
Trong tọa độ cực
θ
ϕ
ϕ
∂
=
∂
∂
=
r
u r
+ Phương trình đường đẳng thế:
Khi cho ϕ = Const => đường đẳng thế
+ Phương trình Laplace : từ (6.1) có thể suy ra :
0
0
2
2 2
2
=
∆
⇒
=
∂
∂ +
∂
y
Hàm dòng (ψ) :
Trong dòng chảy lưu chất không nén thì các thành phần vận tốc của nó thoả mãn
phương trình liên tục = 0
∂
∂ +
∂
∂
y
u x
u x y
nên tồn tại một hàm ψ(x,y) sao cho
Trang 3u y
∂
∂
−
=
∂
∂
(6.5)
hay trong tọa độ cực
1
;
r
θ
ψ đựoc gọi là hàm dòng
Một số tính chất của hàm dòng:
• Trong chuyển động thế ψ thoả mãn phương trình Laplace
2 2
2
=
∂
∂ +
∂
∂
y x
ψ
ψ
(6.7)
Khi chuyển động thế Rot u = 0 do đó
=>
0 y
x
0 y
y x
x
0 y
u x
u
2
2 2
2 x
∂
ψ
∂ +
∂
ψ
∂
⇔
=
∂
ψ
∂
∂
∂
−
∂
ψ
∂
∂
∂
−
⇔
=
∂
∂
−
∂
∂
• Khi cho ψ = C thì đây chính là phương trình một đường dòng
ψ = C ⇒ dψ = 0 => = 0
∂
∂ +
∂
x
dy y
ψ ψ
hay u x dy −u y dx = 0 =>
y
dy u
dx
= ( phương trình đường dòng)
Trang 4• Lưu lượng đi qua giữa 2 đường dòng A,B bằng ψB - ψA
dy u dx u
dy y
dx
x
dq
∂
∂ +
∂
∂
= dψ
∫
= B
A
AB d
2 Mối quan hệ giữa hàm dòng và hàm thế:
y x
u x
∂
∂
=
∂
∂
và u y y x
∂
∂
−
=
∂
∂
y y x
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ +
∂
∂
∂
∂
y y x
x
ψ ϕ ψ
ϕ
Do đó họï các đường dòng và các đường đẳng thế trực giao với nhau tạo thành một
lưới được gọi là lưới thủy động
II.MỘT SỐ CÁC CHUYỂN ĐỘNG THẾ ĐƠN GIẢN
1 Chuyển động
thẳng đều vận tốc
U 0 song song với
trrục nằm ngang
dq
ux
uy
dy
dx
x
y
ψ1
ψ2
ψ3
ϕ1 ϕ2 ϕ
U0
U0
U0
Trang 5•Đây là một chuyển
động thế vì Rot u = 0
•Hàm thế : ϕ = U0x (6.8)
• Hàm dòng : ψ = U0y (6.9)
2 Điểm nguồn và điểm hút:
a) Điểm nguồn : đặt tại gốc toạ độ với lưu lượng q
• Đây là một chuyển động thế
• Hàm thế:
Trong tọa độ cực : ln( )
q
π
Trong tọa độ descarte: ln( )
4
2
2 y x
q
+
=
π
ϕ
(6.11)
• Hàm dòng :
Trong tọa độ cực : θ
π
ψ
2
q
Trong tọa độ descarte:
=
x
y arctg
q
π
ψ
b) Điểm hút: đặt tại gốc toạ độ với lưu lượng q Các hàm dòng hàm thế tương tự như đểm nguồn nhưng thay q bằng –q
Trang 63 Xoáy tự do: đặt tại gốc toạ độ và có lưu số vận tốc Γ = ∫ =
C
const ds
u
Ta có: ur = 0 và Const
r
π
θ
2
Tương tự :
O
ϕ
ψ3
ψ2
ψ1
ψ4
Trang 7• Hàm thế: ϕ = 2Γπ θ hay
=
x
y arctg
q
π
ϕ
2
(6.14)
2 π r
)
ln(
4
2
2 y
x + Γ
−
=
π
Ghi chú:
Γ>0: xoáy dương ngược chiều kim đồng hồ;
Γ<0: xoáy âm thuận chiều kim đồng hồ;
3 Lưỡng cực: là cặp điểm nguồn + hút có cùng lưu lượng q đặt cách nhau một đoạn ε
vôâ cùng nhỏ với điều kiện khi ε→0 thì
O
ψ
ϕ1
Γ>0: xoáy dương
ϕ2
ϕ3
ϕ4
x
y
ϕ3
ϕ2
ϕ1
Trang 8εq→m 0 ( m o được gọi là cường độ (moment) lưỡng cực)
Trường hợp điểm nguồn và hút nằm trên trục hoành:
• Hàm thế :
+
−
−
+
+
= +
2 2
2
2
ln 2
ln
q
h n
ε
ε π
ϕ ϕ
ϕ
=
+
−
+
+
2 2
2 2
2
2 ln
4
y x
y x
q
ε
ε π
=
+ +
−
+ + +
2
2 2
2
2 2
4
4 ln
4
y x
x
y x
x q
ε ε
ε ε
+
−
+ +
2 2
2 2
ln
4 x x y
y x x q
ε
ε π
+
− + 2 2 2
1
ln
x
q
ε
ε π
(Chú ý: ln(1+x) = x-x 2 /2 + x 3 /3 - )
+
−
x
q
ε
ε π
ϕ
Lưỡng cực
+
−
=
>
2 4
ε π
ϕ
2
0
2 x y
x m
Trang 9hay trong tọa độ cực : ϕ m πr θ
2
cos
0
=
(6.17)
• Hàm dòng : Tương tự có
2 2
0
2 x y
y
m
+
−
=
π
2
sin
0
−
III CHỒNG CHẬP CÁC CHUYỂN ĐỘNG THẾ
1 Chuyển động quanh nửa cố thểâ:
Chuyển động thẳng đều ngang (u 0 ) + nguồn (q) tại gốc toạ độ
ψ
Trang 10( 2
)
ln(
4
0
2
x
y arctg
q y
u
y x
q x
u
π ψ
π
ϕ
+
=
+ +
=
(6.19)
Điểm dừng (điểm có vận tốc bằng không):
(6 20)
2 Chuyển động quanh trụ tròn:
Chuyển động thẳng đều (u 0 ), nằm ngang + lưỡng cực (m 0 )
+
= +
0
0 0
2
1
m cos
r
u r
cos m
cos r
π θ
θ π
θ
−
=
−
0
0 0
2
1
m sin
r u r
sin m
sin
r
π θ
θ π
θ
Xét đường dòng ψ = 0 =>
+q A
u 0
0
; 0
u
0 2
2
2 2
0
2
0 0
2 4
0
2 4
u
q x
, y
y x
y
q y
y x
x q
u x
π π
ϕ
π
ϕ
−
=
=
→
= +
=
∂
∂
= +
+
=
∂
∂
Trang 110 2
0
−
r u
m sin
r
u o
π
Suy ra θ=0 : đường dòng là trục hoành
và
0
0
u 2
m r
π
= : đường dòng là vòng tròn tâm O bán kính r (6.24)
Vi lưu chất không thể di chuyển cắt ngang đường dòng, nên vào vị trí của đường dòng
0
0
u 2
m
r
π
= có thể thay bằng một trụ tròn bán
kính
0
0
u 2
m R
π
= thì bản chất dòng chảy vẫn không đổi
Như vậy để có hình ảnh của một dòng đều qua một trụ tròn với bán kính
0
0
u 2
m R
π
= ta có thể thay bằng một
dòng đều kết hợp
với một lưỡng cực
có cường độ m o = 2π A B
C
D
u C = -2u 0
p A = p B = ρu 0 2 /2
Trang 12u o R 2 Thay m o vào (6.22) và (6.23) các hàm thế và hàm dòng viết lại như sau:
+
r
R cos
r
−
r
R sin
r
− Phân bố vận tốc trên mặt trụ: ( r = R)
=
−
=
∂
∂
=
=
0
2
1
0
r
R r
u
sin u r
θ
ϕ
θ
(6.27)
− Điểm dừng trên mặt trụ:
⇒
= θ
⇔
=
A B trước và sau mặt trụ.
− Điểm có vận tốc cực đại trên mặt trụ:
0 D
0 C
max
u 2 u
; u 2
3
; 2
u
u
=
−
=
π
= θ
π
= θ
⇔
=
θ
⇒ C, D nằm trên và dưới mặt trụ
− Phân bố áp suất trên mặt trụ:
Trang 13Vì chuyển động không quay, áp dụng phương trình Bernoulli cho một điểm trên mặt trụ và một điểm từ ở vô cực:
2
u p
2
u
p 20 tr ρ 2tr
+
=
ρ +
∞
Giả sư û p∝=p a ta suy ra :
) sin 4 1
( 2
u )
u
sin u
4 1
( 2
u )
u
u 1
( 2
u
2 0
2 2
0
2 0 2
0
2 tr
2 0 dư
Tại A, B: p p u220
B
=
=
Tại C, D: p p 3 2u20
D
D = = − ρ
Do biểu đồ phân bố áp suất đối xứng qua cả
ox lẫn oy nên tổng lực tác dụng lên mặt trụ
trong trường hợp này = 0
3 Chuyển động quanh trụ tròn xoay:
Chuyển động quanh trụ tròn + xoáy tự do (Γ)
θ π
Γ θ
ϕ
2
2
−
+
=
r
R cos
r
r ln r
R sin
r
u o
π
Γ θ
ψ
2
2 +
−
Trang 14=> có 1 điểm dừng
2 2 2 2
2
2 2 1 4 2 o o 4 o o
o
p − ∞ = ρ − θ − Γ θ π − Γ π
0
=
r
1
2 0
R sin
u
− Điểm dừng trên mặt trụ
R
sin u
u
π
Γ θ
2
2
=
>
=
<
⇒
−
=
0 0 0
4
4 4
Ru Ru
Ru Ru
sin
π Γ
π Γ
π Γ
π
Γ θ
Phân bố áp suất trên mặt trụ:
Tương tự như trong trường hợp chảy đều qua một hình trụ không quay, áp dụng phương trình Bernoulli cho một điểm trên mặt trụ và một điểm từ ở vô cực:
2
u p
2
u
tr
2
+
=
ρ +
Thay u tr từ (6.30) vào ta có sự phân bố áp suất trên mặt trụ:
=> có 2 điểm dừng
=> không có điểm dừng
Γ = 0 Γ < 4 π Ruo Γ = 4 π Ruo Γ > 4 π Ruo
Trang 15∫ − ∞
−
0 ( p p ) R sin d
(6.32) Lực tác dụng lên mặt trụ theo phương đúng
(6.33)
Thay (6.32) vào (6.33) và tích phân
Γ
ρ o
Phương trình (6.34) chính là định luật lực nâng Kutta - Joukowsky
Sự phân bố áp suất trên mặt trụ khi Re lớn