CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Trang 1Giải hệ bằng các phương pháp tổng hợp Loại 1 Giải hệ bằng phương pháp thế
A Nội dung phương pháp
Ý tưởng chung:
+) Từ một trong hai phương trình, rút y theo x để được y f x
+) Thay y f x vào phương trình còn lại, ta được một phương trình đối với x Giải
phương trình này để tìm x
+) Với mỗi x tìm được, ta suy ra y tương ứng
B Một số ví dụ
Ví dụ 1 [ĐHA03] Giải hệ
3
y x
Giải
Điều kiện: x 0, y 0 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
x yyxy x xy x y xy0 xy1xy0 1
y x
+) Thế yx vào phương trình thứ hai của hệ ta có
2xx3 1 3
x x 2
x x x
1
2
x x
+) Thế y 1
x
vào phương trình thứ hai của hệ ta có
3
2
1
x x
x4 x 2 0 x
x x x x x x x x
Vậy hệ đã cho có ba nghiệm x y ; 1;1 , 1 5 1 5
2 ; 2
Nhận xét Ở Ví dụ 1, phương trình thứ nhất của hệ có dạng f x f y Phương trình dạng này bao giờ cũng đưa được về dạng xy g x y ; 0
Trang 22
Ví dụ 2 [ĐHB02] Giải hệ
3
2
Giải
Điều kiện: xy Mũ 6 hai vế phương trình thứ nhất của hệ ta được
xy2 xy3 xy 2 x y 1 0
1
Thế yx vào phương trình cịn lại của hệ ta được
2x 2x2 20
x
x 1, y (thỏa mãn) 1 Thế y vào phương trình cịn lại của hệ ta được x 1
2x 1 2x 1
1 2 2
x
2
x 1
2
y (thỏa mãn)
Vậy hệ đã cho cĩ hai nghiệm là x y ; 1;1 , 3 1
2 2
Ví dụ 3 [ĐHA04] Giải hệ 1
1 4
25
y
y x
Giải
Điều kiện: y 0
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
1 4
log yx log ylog 1 1
log yx log y yx 4y 3
4
x y
Thay 3
4
x y vào phương trình cịn lại của hệ ta đươc
2 2
3
25
4y y
4
4 loại
y y
x 3 (thỏa mãn)
Vậy hệ cĩ nghiệm duy nhất x y ; 3; 4
Ví dụ 4 Giải hệ [ĐHD08]
2
Giải
Điều kiện: y , 0 x 1
Coi phương trình thư nhất của hệ là phương trình bậc hai đối với x :
Trang 3 1 2 0
*
1 3 1 2
1 3 1
2 1 2
Ta thấy trường hợp x y khơng thỏa mãn điều kiện Thay x2y vào phương trình cịn lại 1 của hệ ta được
2y1 2yy 2y 2y 2 y1 2y 2y1 y1 2y2 0
2
(loại)
y
y
x 5 (thỏa mãn)
Nhận xét Ở ví dụ trên, phương trình thứ nhất của hệ cĩ dạng ax2bxycy2dx ey f 0
Ta thường xử lý phương trình này như sau: coi phương trình là phương trình bậc hai đối với x ,
từ đĩ ta cĩ thể giải x theo y Tương tự, nếu coi phương trình là phương trình bậc hai đối với y
thì ta cũng cĩ thể giải y theo x
Ví dụ 5 [ĐHB08] Giải hệ
2
Giải
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với
1
6 6 2
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
2 2
Thế 1 vào 2 ta cĩ
2
2
2 2
1
3 3 2 9
x412x348x264x 0 x x 43 0 0
4
x x
Ta thấy x 0 khơng thỏa mãn 1
Thay x 4 vào 1 suy ra 17
4
y
Trang 44
Vậy hệ cĩ nghiệm suy nhất là ; 4;17
4
x y
Nhận xét Trong ví dụ trên, phép thế được thực hiện cho cả cụm xy Để làm xuất hiện “cụm thế” ta cần thực hiện một vài phép biến đổi Các ví dụ tiếp theo sẽ làm rõ hơn điều này
Ví dụ 6 [ĐHD02] Giải hệ 1
4 2
2 2
x x x
x
y
Giải
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với
1
4 2
2 2
x x
222 22
x x
( y ) 0 Phương trình thứ nhát của hệ tương đương với
3 2
Thế 1 vào 2 ta được
y y y y35y24y 0
0
1 4
loại
y y y
Thay y vào 1 1 ta được x 0, y 4 vào 1 ta được x 2
Vậy hệ đã cho cĩ hai nghiệm là x y ; 0;1, x y ; 2; 4
Trang 5C Bài tập
Bài 1 [ĐHB05]
2 3
ĐS: 1;1 , 2; 2
Bài 2 [ĐHB10]
2
ĐS: 3;1
Bài 3 [ĐHB10] 2
2
log 3 1
4x 2x 3
y
2
1;
2
2
ĐS: 1;1 , 1; 1, 2 10 10
5 ; 5 , 2 10 10
5 ; 5
Bài 5
ĐS: 2; 1 , 2;1
Bài 6
1
ĐS: 1 ; 1
, 1 ; 1
, 0; 1 , 1;0
Bài 7
2
2 3 2
ĐS: 1; 1 , 1;1
Bài 8
26 5 24
ĐS: 5;1, 5; 1
Trang 66
Loại 2 Phương pháp ẩn phụ
A Một số ví dụ
Ví dụ 1 [ĐHD09] Giải hệ
1 3 0
1 0
x
x x y
x y
Giải
Điều kiện: x 0
Chia hai vế của phương trình thứ nhất của hệ cho x ta được
x y 3.1 1 0
x
v
x
v 0 và hệ đã cho trở thành
3 1 0
5 1 0
1 2
Từ 1 , ta rút được u theo v
3 1
Thế 3 vào 2 ta được
2 2
3v1 5v 1 0 4v26v 2 0
1 1 2
v v
+) v 1 1
2
x u
x y 1
+) 1
2
v
2 1 2
x u
2 3 2
x y
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là x y ; 1;1 và 3
2
; 2;
x y
Ví dụ 2 [ĐHB09] Giải hệ 2 2 1 7 2
1 13
Giải
Trang 7Thay y vào phương trình thứ hai của hệ ta được 0 10 x Chia hai vế của phương trình thứ nhất cho y và chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2
y , ta được hệ phương trình
tương đương
2
2
1 7 1 13
x x
x x
1
7
1
13
x x
x x
Đặt u x 1
y
, v x
y
, hệ nói trên trở thành
2
7 13
u v
2
7
3
u v
12
u v
3
u
v
1 4 3
x y x y
1
3
y y
3
1
x y
hoặc
1 1 3
x y
12
u
v
1 5 12
x y x y
1
12
y y
x y ;
(vì 12y 1 5
y
2
12y 5y vô nghiệm) 1 0
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm x y ; 3;1 và ; 1;1
3
x y
Ví dụ 3 [ĐHA08] Giải hệ
5 4 5
1 2
4
Giải
Hệ đã cho tương đương với
2 2
5 4 5
4
Trang 8
8
Đặt u x y
v xy
, hệ đã cho trở thành
2
5 4 5 4
2
5 4
2
5 4
2
1 0 4 5 4
0 5 4
u v
hoặc
1 2 3 2
u v
+)
0
5
4
u
v
2
0 5 4
xy
2
4
x
3 3
5 4
1 25
x
y
+)
1
2
3
2
u
v
2 3 2
xy
2 2
1 2
2 3
1 2
0
1 3 2
x y
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm 3 5 3 25
2
; 1;
x y
Trang 9B Bài tập
Bài 1
2
2
1
3 1
3
x x
x x
Bài 2
2
4
0
x
x y
y
,
, 2 3 2 32
,
Bài 3
2
x
y
3(3 3);
2 3
, 6 2 3 3
; 2 3 3
3 3
4 4
ĐS: 1;1
Bài 5
1 1
1 4
x x
ĐS: 1;1 , 1; 1
Bài 6
1 2
ĐS: 1;1 , 1; 1
Bài 7 [ĐHD11] Tìm m để HPT sau có nghiệm 3 2
2
1 2
ĐS: 2 3
2
Trang 1010
Loại 3 Phương pháp hàm số
A Một số ví dụ
Ví dụ 1 [ĐHD06] Chứng minh rằng với mọi a 0, hệ sau có nghiệm duy nhất
Giải
Từ phương trình thứ hai của hệ, rút y theo x và thay vào phương trình thứ nhất, ta được
ln 1 ln 1
e e x x a x a x ln 1 ln 1 0
e e x x a *
Dễ thấy hệ có nghiệm duy nhất * có nghiệm duy nhất
Xét x a x ln 1 ln 1
f x e e x x a , với x 1
x 1 (do a 0)
f đồng biến trên 1;
Lại có
1
lim
x
f x
, lim
đồ thị hàm số y f x có đúng một điểm chung với trục hoành * có nghiệm duy nhất hệ có nghiệm duy nhất (ĐPCM)
Ví dụ 2 [ĐHA10] Giải hệ 2
Giải
Điều kiện:
3 4 5 2
x
y
Đặt u 5 2 y
2
5 2
u
y
2
1 3
2
u
y , phương trình thứ nhất
của hệ trở thành
2 2 1
2
u
x x u 2 2
2x 2x 1u u 1
Nếu đặt 2
1
f t t t thì 1 trở thảnh f 2x f u Ta thấy 2
' 3 1 0
f t t t f
đồng biến trên Do đó
Trang 11 1 2xu 2x 5 2 y 2
0 5 2 2
x
Thay 5 2 2
2
y x vào phương trình còn lại của phương trình ta được
2
2
x x x
Xét
2
2
g x x x x
3 0
4
x
x
3 0;
4
g
nghịch biến trên 0;3
4
, mặt khác
1 7 2
g
2 có nghiệm duy nhất là 1
2
x hệ có
nghiệm duy nhất ; 1; 2
2
x y