TỔNG HỢP CÁC PP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]... Giải hệ phương trình 2.
Trang 1DẠNG 1 LIÊN HỢP + ẨN PHỤ
Bài 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2
2
2
1 5
2 1 2
−
y
Lời giải:
Điều kiện:
2
2
0 0
1
0 2
≤ −
≥
≥
x
x
xy
y
3 + + − + + ≥ ⇒ ≥ − ⇒ ≥
Nếu x=0⇒ y=1 không thỏa mãn hệ
2
1 (1)⇔ + − + + − = ⇔1 0 + − + + −1 =0
+ +
⇔ + − =x y (do x>0) thay vào (2) được
2
3 1
1
−
x
Với t= ⇔ =1 x 2 (do x>0)
2
2
≥
+
=
−
=
x
x
x
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) 3 3 5 3
+ +
Bài 2: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2
2
+ +
x
y
x
y
Lời giải:
Điều kiện:
0 0
2 0
≥
>
+ + ≥
x
y
x
x y
13 TỔNG HỢP CÁC PP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2(1) ( ) ( )
1
x xy
Thay vào (2) được x2 + + + =x 2 2 3 x2 + − ⇔x 8 x2+ + −x 2 3 x2 + − = −x 8 2
Đặt
2
3
2 8
= + + − =
⇒
− = −
a b
−
−
Vậy hệ có nghiệm ( ) 29 1 2
−
Bài 3: [ĐVH] Giải hệ phương trình
9
x
x y
+ + + + − + = +
− +
Lời giải:
Điều kiện 0
0
x
y
≥
≥
1
1
0
x y x y
x y
x y
−
+ + +
( )
2 2
9
8
4 4
5
x
x
x
+
Bài 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình
1
x
Lời giải:
Điều kiện căn thức xác định
1
1
x y
− +
Trang 3( ) 3 2 ( ) 2 2 ( ) 2
2
⇔ + − + + − + + + = ⇔ + − − + − + =
Bài 5: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2
19 6
y x
+
=
− + + − +
Lời giải:
3
x y
− +
+ + + +
+ + + +
2 2
2
19 6
x
x
+
+
Bài 6: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2
2
2 2 (1)
( , )
x y x
+ − − + =
∈
ℝ
Lời giải:
ĐK:
2
0
1
2
xy
y
≥
≥ −
+ − − ≥
(*)
Khi đó từ (1) ⇒ y≥0 Kết hợp với xy≥0⇒x≥0
2
2
2
2
+
x y
x
y
x y≥ ⇒ x+y = y+ + xy+ + ≥ +x ⇒x+ ≥ +
Trang 4Với , 0 2 2 2 2 5 2 2 2 0.
y
x y≥ ⇒x+ y≥ +x ⇒x+ y≥ + > ⇒x+ y− >
Do đó
2
0 1
+ + − − + với ∀x y, ≥0. Khi đó (3)⇔ − = ⇔ =x y 0 y x.
Đặt 2x+ =1 t t( ≥0 ) Phương trình mới 1 4 19 2 1
2t t 19 2 t 1 t 19 2 t t 1 t 19 4 t t 1
4 t 2t t 2t 1 t 19 0 3t 8t 4t 8t 15 0
3t t 3 t t 3 t t 3 5 t 3 0 t 3 3t t t 5 0
t= x+ ≥ ⇒ t + − + =t t t + +t t− >
Khi đó (5)⇔ − = ⇔ =t 3 0 t 3⇒ 2x+ = ⇔ =1 3 x 4⇒y=4
Thử lại x= =y 4 thỏa mãn hệ đã cho
Đ/s: Hệ có nghiệm là ( ) ( )x y; = 4; 4
3
( , )
3 3 2 4 2 2 5 5 2 3 (2)
x y
∈
Lời giải:
ĐK:
2
3
x
≥
+ ≥
(*)
(1)⇔ x+2y x− +y 2x +3xy+4y − +x 2y =0
x y x y
x x y
x y x y
−
x
5
⇒ + + − ≥ ⇒ + + ≥ > ⇒ + + >
Kết hợp với 2x+ ≥y 2⇒(x+5y+ +2) (2x+y)>2⇒3(x+2y)>0⇒x+2y>0
Trang 5Mặt khác
2
x
Do đó (3)⇔ − = ⇔ =x y 0 y x
3 3x− +2 4 3x− =2 5 6x+ − ⇔2 3 5 6x+ −2 7 3x− − =2 3 0
Đặt 3
2
3
5 3
6 2 ; 3 2
5 3
7
a b
a b
a
a
−
=
− − =
−
− − =
7
a
49a 50a 60a 312 0 a 2 49a 48a 156 0
3
x≥ ⇒a= x+ > ⇒ a + a+ > Khi đó (4)⇔ − = ⇔ =a 2 0 a 2
3
6x 2 2 x 1 y 1
⇒ + = ⇔ = ⇒ = Thử lại x= =y 1 đã thỏa mãn hệ đã cho
Đ/s: Hệ có nghiệm là ( ) ( )x y; = 1;1
Bài 8: [ĐVH] Giải hệ phương trình ( )2 2 2
3
1 2 1 (1)
( , )
x y
+ + − = − +
∈
+ − + + − = + −
ℝ
Lời giải:
ĐK:
0
x y
x y
+ + − ≥
+ − ≥
− ≥
(*)
Khi đó ( )2 2 2
Do x− ≥y 0⇒x− + ≥ >y 1 1 0 nên ( )2 2 2
1 0
x y x y
+ ≥
(4)
Từ (1) và (2) ta có
3
Trang 6Do đó (4) 1 1
0
Thế y=x vào (2) ta được 3
1 2 3+ x− =2 3 4x−3
2
3
3 1
3 2 0; 4 3
3 1
2
b a
a b
b
b
−
=
+ =
−
− =
Ta có
2
0
2
2
b b
b
=
−
=
Với 0 1
2
b= ⇒a= − ⇒ Loại vì a≥0
Với 3
b= ⇒ x− = ⇔ =x ⇒ y=
Thử lại ( ) ( ) 11 11
; 1;1 , ;
4 4
đều thỏa mãn hệ đã cho
Đ/s: Hệ có nghiệm là ( ) ( ) 11 11
; 1;1 , ;
4 4
Bài 9: [ĐVH] Giải hệ phương trình
3 2
2
x
+
Lời giải:
ĐK: 1; 2
5 1 0
xy x
− + ≥
0
Do x≥1;y≥2 : 1( )⇔ =x 2y thế vào PT (2) ta có: 2y− +1 y− = +2 1 2y2−5y+1
Đặt 2 1; 2 1 ( 1)( 1) 0 2 1 1 1 ( )
y
− = =
− =
Vậy x=6;y=3 là nghiệm của PT đã cho
Bài 10: [ĐVH] Giải hệ phương trình
+ + + =
Lời giải:
Trang 7Ta có: ( ) 2 2 2 2
2
4
3
y
⇒ + = + +
+ thế vào PT(1) ta có:
2
2
3
y
y y
+
0
y
≥
⇔ = ⇒ = là nghiệm của HPT đã cho