phương pháp tọa độ trong mp16

Nh¬m giúp các em håc sinh có thêm tư li»u gi£i toán THPT và chu©n bà cho các kì thi quèc gia (tèt nghi»p, tuyºn sinh CĐĐH) do Bë GDĐT tê chùc, chúng tôi biên so¤n và giîi thi»u đ¸n các b¤n tuyºn tªp Phương pháp tåa đë trong m°t ph¯ng và trong không gian theo chương trình c£i cách mîi cõa Bë GDĐT. Gçm hai ph¦n: Ph¦n 1: Phương pháp tåa đë trong m°t ph¯ng. Ph¦n 2: Phương pháp tåa đë trong không gian. Nëi dung ki¸n thùc trong tuyºn tªp này bám sát chương trình và ki¸n thùc THPT (chương trình chu©n– nâng cao), chuyên sâu vào các đ· thi trong các năm g¦n đây. Các bài toán đưñc gi£i mët cách t¿ b¬ng nhi·u cách khác nhau nh¬m giúp các em håc sinh có nhi·u hưîng ti¸p cªn ki¸n thùc, đçng thíi t¤o ra phương thùc gi£i quy¸t v§n đ· linh ho¤t hơn. Đ°c bi»t vîi nhúng nhªn xét sau méi ví dö, tác gi£ đưa các trưíng hñp riêng, các trưíng hñp chung và các hưîng gi£i quy¸t v§n đ· theo tøng trưíng hñp, nh¬m giúp các em håc sinh lüa chån cho mình phương pháp gi£i tôt nh§t, ng­n gån nh§t. M°c dù đã r§t nhi·u cè g­ng, song không tránh khäi sai sót. R§t mong nhªn đưñc sü góp ý chân thành cõa các em håc sinh và các th¦y cô giáo.

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG VÀ

TRONG KHÔNG GIAN

ÔN THI TỐT NGHIỆP 12 VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

NĂM 2010

Mục lục

1.1 Tọa độ của một điểm trong mặt phẳng 5

1.2 Tọa độ của một véctơ trong mặt phẳng 5

1.3 Các phép toán về véc tơ 5

1.3.1 Tổng và hiệu hai véc tơ 5

1.3.2 Tích của một số và một véc tơ 5

1.3.3 Tích vô hướng của hai véc tơ 6

1.4 Chia một đoạn thẳng theo tỉ số cho trước 6

1.5 Điều kiện để hai vectơ cùng phương 6

2 Đường thẳng 14 2.1 Phương trình đường thẳng 14

2.1.1 Véc tơ chỉ phương và véc tơ pháp tuyến 14

2.1.2 Phương trình của đường thẳng 14

2.2 Vị trí tương đối của điểm và đường thẳng 28

2.3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng 33

2.4 Góc giữa hai đường thẳng 41

2.4.1 Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng 41

2.4.2 Công thức tính góc giữa hai đường thẳng 41

2.5.1 Định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 47

2.5.2 Công thức tính 47

3 Đường tròn 54 3.1 Phương trình đường tròn 54

3.1.1 Định nghĩa đường tròn 54

3.1.2 Phươg trình tổng quát 54

3.1.3 Phương trình chính tắc 54

3.1.4 Phương trình tham số 55

3.2 Vị trí tương đối của điểm và đường tròn 62

3.2.1 Phương tích của điểm đối với đường tròn 62

3.2.2 Vị trí của điểm và đường tròn 62

3.3 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 64

3.4 Vị trí tương đối của hai đường tròn 69

3.5 Tiếp tuyến của đường tròn 73

3.6 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn 79

4 Đường Elip 82 4.1 Phương trình của elip 82

4.1.1 Phương trình chính tắc của elip 82

4.1.2 Phương trình tham số của elip 82

4.1.3 Hình dạng của elip 82

4.2 Các dạng elip 83

4.3 Tiếp tuyến của elip 84

Nhằm giúp các em học sinh có thêm tư liệu giải toán THPT và chuẩn bị cho các kì thi quốc gia (tốtnghiệp, tuyển sinh CĐ&ĐH) do Bộ GD&ĐT tổ chức, chúng tôi biên soạn và giới thiệu đến các bạn tuyển tậpPhương pháp tọa độ trong mặt phẳng và trong không gian theo chương trình cải cách mới của BộGD&ĐT Gồm hai phần:

Phần 1: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Phần 2: Phương pháp tọa độ trong không gian

Nội dung kiến thức trong tuyển tập này bám sát chương trình và kiến thức THPT (chương trình chuẩn–nâng cao), chuyên sâu vào các đề thi trong các năm gần đây

Các bài toán được giải một cách tỉ bằng nhiều cách khác nhau nhằm giúp các em học sinh có nhiềuhướng tiếp cận kiến thức, đồng thời tạo ra phương thức giải quyết vấn đề linh hoạt hơn Đặc biệt với nhữngnhận xét sau mỗi ví dụ, tác giả đưa các trường hợp riêng, các trường hợp chung và các hướng giải quyết vấn

đề theo từng trường hợp, nhằm giúp các em học sinh lựa chọn cho mình phương pháp giải tôt nhất, ngắn gọnnhất

Mặc dù đã rất nhiều cố gắng, song không tránh khỏi sai sót Rất mong nhận được sự góp ý chân thànhcủa các em học sinh và các thầy cô giáo

Mọi ý kiến đóng góp xin liên hệ: Cao Hồng Sơn

ĐT: 0975472725Email: caohongson@gmail.com

Tác giả

PHẦN 1: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

TRONG MẶT PHẲNG

Trong mặt phẳng Oxy, hai véc tơ −→a = (a1, a2) và −→b = (b1, b2), ta có

1.3.1 Tổng và hiệu hai véc tơ

−

→a ±−→b = (a1± b1, a2± b2, a3± b3)

1.3.2 Tích của một số và một véc tơ

k.−→a = (k.a1, k.a2), k ∈ R

1.3.3 Tích vô hướng của hai véc tơ

Định lí 1.1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai véc tơ −→a = (a1; a2) và−→b = (b1; b2), ta có

Hệ quả 1.3 Góc giữa hai véc tơ:

Hệ quả 1.4 Khoảng cách giữa hai điểm:

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(xA, yA), B(xB, yB), ta có

AB =p

(xB− xA)2+ (yB− yA)2

1.4 Chia một đoạn thẳng theo tỉ số cho trước

Định lí 1.2 Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 6= −1 nếu

1.5 Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Định lí 1.3 Trong mặt phẳng Oxy, cho vecctơ −→a = (a1, a2),−→b = (b1, b2) véc tơ −→a cùng phương với −→b khi

và chỉ khi

−

→a = k−→b , k 6= 0 ⇔ a1: b1= a2: b2

Hệ quả 1.6 3 điểm A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC) thẳng hàng khi và chỉ khi

(xA− xC)(yB− yC) = (xB− xC)(yA− yC)

B Bài toán

Bài toán 1.1 Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn điều kiện K

Phương pháp: Ta thực hiện các bước sau:

Ví dụ 1.2 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(1; 2), B(2; −2) và C(0; 3)

a) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành

b) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC

c) Tìm tọa độ trực tâm của tam giác ABC

d) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Ví dụ 1.3 (ĐH 2004 A) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(0; 2) và B(−√3; −1)

a) Tìm trực tâm H của tam giác OAB

b) Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB

Giải

a) Gọi H(x; y) là trực tâm của tam giác OAB

Ta có −−→OH = (x; y),−−→

OB = (−√3; −1),−−→AH = (x; y − 2)H(x; y) là trực tâm của tam giác OAB khi và chỉ khi

y = −1 ⇒ H(

√2; −1)Vậy trực tâm H(√

3; −1)b) Gọi I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB

Ta có −→OI = (x; y),−→

AI = (x; y − 2),−→BI = (x +√

3; y + 1)I(x; y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB khi và chỉ khi

2√3x + 2y = −4 ⇔

(

x = −√3

y = 1 ⇒ I(−√3; 1)Vậy I(−√3; 1)

Ví dụ 1.4 (ĐH 2007 A) Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2; 2) và hai đường thẳng (d1) : x + y − 2 = 0,(d2) : x + y − 8 = 0

Tìm B ∈ (d1), C ∈ (d2) sao cho tam giác ABC vuông cân tại A

b = 3

c = 5Vậy có hai cặp điểm thỏa mãn bài toán là B1(−1; 3), C1(3; 5) và B2(3; −1), C2(5; 3)

Ví dụ 1.5 Trong mặt phẳng Oxy, cho 3 điểm A(1; 1), B(0; −2) và C(2; −1)

a) Tìm tọa độ điểm M ∈ Ox để −−→M A.−−→

M B = −2b) Tìm tọa độ điểm N ∈ Oy để |−−→N A +−−→

N B| = |−−→N C|

Giải

a) Gọi M (x0; 0) ∈ Ox, ta có−−→M A = (1 − x0; 1),−−→

M B = (−x0; −2), và−−→M C = (2 − x0; −1)ycbt ⇔ −x0(1 − x0) − 2 = −2 ⇔



x0= 0

x0= 1Vậy có hai điểm thoat mãn bài toán là O(0; 0) và M (1; 0)

b) Gọi N (0; y0) ∈ Oy, ta có−−→N A = (1; 1 − y0),−−→

N B = (0; −2 − y0) và−−→

N C = (2; −1 − y0)ycbt ⇔ 1 + (1 + 2y0)2= 4 + (1 + y0)2

3 ) và N2(0;

−1 +√10

Bài toán 1.2 Tìm tọa độ của vectơ thỏa mãn điều kiện K

Phương pháp: Ta thực hiện các bước sau:

ycbt ⇔

(2a + 4b = −10

−3a + b = 1 ⇔

(

a = −1

b = −2Vậy −→m = (−1; −2)

Ví dụ 1.7 Trong mặt phẳng Oxy, cho −−→AB = (1; 2),−→

AC = (2; −4) và H là trực tâm tam giác ABC Tìm−−→AH.Giải

AC = 0 nên ∆ABC vuông tại A Suy ra A = 900

Hơn nữa cos B =

2 , suy ra B = 450

Do đó C = 1800− A − B = 450

Bài toán 1.4 Chứng minh hai véctơ cùng phương

Phương pháp: Hai vectơ −→a ,−→b cùng phương khi và chỉ khi

(−→

a = k−→b

k ∈ R, k 6= 0 ⇔ a1: b1= a2: b2

Ví dụ 1.10 Trong mặt phẳng Oxy, cho 4 điểm A(1; 5), B(3; 1), C(1; 2) và D(0; 4) Chứng minh −−→AB và−−→

CDcùng phương

Giải

Ta có −−→AB = (2, −4),−−→CD = (−1; 2) và−−→AB = −2.−−→CD

Do đó −−→AB cùng phương với−−→CD.

Ví dụ 1.11 Trong mặt phẳng Oxy, cho 3 điểm A(−3; −2), B(1; 2), C(0; 5) và D(−4; 1).

Nhận xét 1.1 Ta có thể giải bài toán trên như sau:

Giả sử A, B, C thẳng hàng Khi đó tồn tại k 6= 0 sao cho

−−→

AB = k−→

AC ⇔

(3k = 47k = 4 vô nghiệmĐiều này trái với giả thiết Do đó A, B, C không thẳng hàng

a (1; −1) b (−1; 1) c (1; 1) d (−1; −1)

1.6 Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC với A(2; 2), B(5; −1) và C(−3; −3) có tọa độ là

1.7 Trong mặt phẳng Oxy, cho 3 điểm A(0; −2), B(5; 3) và C(−1; 3)

a) Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác Tính chu vi và diện tích của tam giác đó.b) Xác đinh tọa độ trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của ∆ABC

c) Xác định số đo các góc của ∆ABC

d) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

M A,−−→

BC) = π

6

1.8 Câu hỏi tương tự như bài 1.7 cho tam giác ABC với A(2; 6), B(−3; −4), C(5; 0)

1.9 Trong mặt phẳng Oxy, cho 3 véc tơ −→a = (2; 5),−→b = (3; −7) và −→c = (1; 2)

a) CMR 3 véc tơ trên đôi một không cùng phương

Chương 2

Đường thẳng

Trong chương này, tác giả trình bày một số vấn đề cơ bản về đường thẳng như: Phương trình của đườngthẳng; vị trí tương đối của điểm, của đường thẳng với đường thẳng; khoảng cách từ một điểm đến đườngthẳng; góc giữa hai đường thẳng

2.1 Phương trình đường thẳng

A Tóm tắt lí thiết

2.1.1 Véc tơ chỉ phương và véc tơ pháp tuyến

Định nghĩa 2.1 Véc tơ −→a 6=−→0 được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) nếu nó có giá song songhoặc trùng với (d)

Định nghĩa 2.2 Véc tơ −→n 6=−→0 được gọi là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng (d) nếu nó có giá vuông gócvới (d)

Chú ý 2.2 Nếu đường thẳng (d) có véc tơ chỉ phương −→a = (a1, a2) thì véc tơ pháp tuyến của nó là

Bài toán 2.5 Chuyển đổi dạng phương trình của đường thẳng

Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác đinh điểm M0(x0y0) ∈ (d)

Bước 2: Xác định véc tơ chỉ phương −→a = (a1; a2) hay véc tơ pháp tuyến −→n = (A; B) của (d)

Bước 3: Phương trình tham số của (d) là

(

x = x0+ a1t

y = y0+ a2tPhương trình tồng quát của (d) là

Đường thẳng (d) đi qua điểm M0(2; −1) có véc tơ chỉ phương là −→a = (3; −2) Suy ra véc tơ pháp tuyến là

x − 2

y + 1

−2Nhận xét 2.2 Ta có thể giải bài toán trên như sau:

1 =y−2−2Nhận xét 2.3 Ta có thể giải bài toán trên như sau:

Từ phương trình của đường thẳng (d), ta suy ra phương trình tham số của (d) là

Bước 1: Xác định điểm M0(x0; y0) ∈ (d).

Bước 2: Xác định vectơ chỉ phương −→a = (a1, a2)

Bước 3: Đường thẳng (d) đi qua M0(x0; y0) nhận −→a = (a1, a2) làm vectơ chỉ phương có phương trìnhtham số dạng (2.1)

Ví dụ 2.14 Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2, 1) có véc tơ chỉ phương −→a = (−2, 3)



x = 2 + t

y = −1 + 2tBài toán 2.7 Lập phương trình tổng quát của đường thẳng (d) đi qua M0(x0, y0) và có véc tơ pháp

tuyến −→n = (A; B)

Phương pháp chung Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định điểm M0(x0; y0) ∈ (d)

Bước 2: Xác định vectơ pháp tuyến −→n = (A; B)

Bước 3: Đường thẳng (d) đi qua M0(x0; y0) nhận −→a = (a1, a2) làm vectơ pháp tuyến có phương trìnhtham số dạng (2.5)

Chú ý 2.4 Nếu A(a, 0), B(0, b), thì phương trình

x

a+

y

b = 1gọi là phương trình đoạn chắn của đường thẳng (AB)

Ví dụ 2.17 Trong mặt phẳng Oxy, cho A(2, 1), B(−1, 3), D(1, 3), E(−3, −1), F (5, −5), M(1, 0), N(0, 2)a) Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A(2, 1), B(−1, 3)

b) Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M (1, 0), N (0, 2)

x

1 +

y

2 = 1 ⇔ 2x + y − 2 = 0c) Ta có

(xE− xF)(yD− yF) = (−3 − 5)(3 − 7) = 32(xD− xF)(yE− yF) = (1 − 5)(−1 − 7) = 32Suy ra (xE− xF)(yD− yF) = (xD− xF)(yE− yF)

Do đó ba điểm D, E, F đã cho thẳng hàng

Nhận xét 2.4 Ta có thể giải câu c) như sau:

Phương trình đường thẳng đi qua D, E có dạng

x − 1

y − 3

4 ⇔ x − y + 2 = 0

Ta có F ∈ (DE) Do đó ba điểm D, E, F đã cho thẳng hàng

Bài toán 2.9 Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M0(x0, y0) có hệ số góc k cho trước

Phương pháp chung

Phương trình đường thẳng đi qua M0(x0, y0) có hệ số góc k, có dạng:

y = k(x − x0) + y0

Chú ý 2.5 1 Nếu α là góc định hướng dương hợp bởi trục Ox và đường thẳng (d) thì k = tanα.

2 Nếu α là góc hình hình học hợp bởi trục Ox và đường thẳng (d) thì |k| = tanα

3 Người ta qui ước đường thẳng vuông góc với trục Ox không có hệ số góc, đôi khi hệ

số góc là ±∞

Ví dụ 2.18 Lập phương trình đường thẳng (d) biết

a) đi qua A(2, 4) và có hệ số góc k = 2

b) đi qua M (−1; 1) và tạo với trục Ox theo hướng dương một góc bằng 600

c) đi qua B(−2, 1) và tạo với trục Ox một góc 300

"

k = −√33

k = √33Với k = −√3

3 , phương trình đường thẳng (d1) là y = −√3

3 (x + 2) + 1Với k = √3

3 , phương trình đường thẳng (d2) là y = √3

3 (x + 2) + 1

Vậy qua B(−2, 1) có hai đường thẳng (d1), (d2) thoả mãn đầu bài

Ví dụ 2.19 Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2; −1) và tạo với Oy một góc bẳng 450

Giải

Ta có \(d, Oy) = 450⇒

"

\(d, Ox) = 450

\(d, Ox) = 1350

Gọi k là hệ số góc của (d), ta có



k = tan 450= 1

k = tan 1350= −1Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán là

(d1) : y = x − 3

(d2) : y = −x + 1Bài toán 2.10 Lập phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng (∆) và thoả mãn điều kiệnK

Phương pháp chung: Ta chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Dùng cho trương hợp phương trình (∆) dạng tham số hoặc chính tắc, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Xác định véc tơ chỉ phương của (∆).

Bước 2: Vì (d)//(∆) nên véc tơ chỉ phương của (d) là −→ad= −a→∆.

Bước 3: Sử dụng điều kiện K, suy ra phương trình của (d)

Bước 4: Kết luận

Cách 2: Dùng cho trương hợp phương trình (∆) dạng tổng quát, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Vì (d)⊥(∆) : Ax + By + C = 0 nên phương trình (d) có dạng

Ax + By + C0= 0Bước 2: Sử dụng điều kiện K tìm được C0

b) Vì (d)//(∆) nên véc tơ chỉ phương của (d) là −→a = (−2, 3).

Do đó đường thẳng (d) đi qua M (2, 1) có phương trình là

(

x = 2 − 2t

y = 1 + 3t, t ∈ R

Ví dụ 2.21 Trong mặt phẳng Oxy, cho 3 điểm A(2; 1), B(0; 3) và C(1; 3)

a) CMR A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác

b) Lập phương trình các cạnh của tam giác

c) Lập phương trình các đường trung bình của tam giác

Giải

a) Giả sử A, B, C thẳng hàng Khi đó tồn tại k 6= 0 sao cho

c) Gọi M là trung điểm của AB, ta có M (1; 2)

Đường trung bình song song với BC có phương trình dạng

y = m

Đường thẳng này đi qua M, ta có m = 2

Vậy đường trung bình song song với BC là y = 2

Gọi N là trung điểm của AC, ta có N (3

2; 2)Đường trung bình song song với AB có phương trình dạng

x + y + m = 0

Đường thẳng này đi qua N, ta có m = −7

2

Vậy đường trung bình song song với BC là 2x + 2y − 7 = 0

Tương tự đường trung bình song song với AC là 2x + y − 4 = 0

Ví dụ 2.22 Cho biết 3 trung điểm của một tam giác là M(2; 1), N(5; 3) và P (3; −4) Hãy lập phương trìnhcác cạnh của tam giác đó

Phương pháp chung: Ta chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Dùng cho trương hợp phương trình (∆) dạng tham số hoặc chính tắc, ta thực hiện theo các bước sau:Bước 1: Xác định véc tơ chỉ phương −→a∆= (a1; a2) của (∆)

Bước 2: Vì (d)⊥(∆) nên −n→d= −a→∆

Do đó phương trình tổng quát của (d) có dạng

a1x + a2y + m = 0Bước 3: Sử dụng điều kiện K, ta tìm được m

Bước 4: Kết luận

Cách 2: Dùng cho trương hợp phương trình (∆) dạng tổng quát, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: (d)⊥(∆) : Ax + By + C = 0 nên phương trình tổng quát của (d) có dạng

−Bx + Ay + C0= 0Bước 2: Sử dụng điều kiện K tìm C0

a) Vì (d)⊥(∆) : x − y = 0 nên phương trình tổng quát của đường thẳng (d) có dạng

−x + y + C0= 0Hơn nữa (d) đi qua M (−2, 1) nên

−2 + 1 + C0= 0 ⇔ C0= 1Vậy phương trình của (d) là x + y + 1 = 0

b) Véc tơ chỉ phương của (∆) là −→a∆= (2, 3)

Vì (d)⊥(∆) nên véc tơ chỉ phương của (d) là −→a = (−3, 2) Do đó phương trình tham số của (d) đi qua M(3, −2)

Ví dụ 2.25 Tam giác ABC có phương trình cạnh AB : 5x − 3y + 2 = 0 và hai đường cao qua đỉnh A và B

có phương trình lần lượt là 4x − 3y + 1 = 0 và 7x + 2y − 22 = 0 Hãy lập phương trình hai cạnh AC, BC vàđường cao thứ ba

Giải

Tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ phương trình

(5x − 3y + 2 = 04x − 3y + 1 = 0 ⇔

(

x = −1

y = −1 hay A(−1; −1)Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ phương trình

(5x − 3y + 2 = 07x + 2y − 22 = 0 ⇔

(

x = 2

y = 4 hay B(2; 4)

Tọa độ đỉnh H là nghiệm của hệ phương trình

(4x − 3y + 1 = 07x + 2y − 22 = 0 ⇔







x = 6429

y = 9529

Vậy cạnh BC có phương trình 3x + 4y − 22 = 0

AC⊥BH nên phương trình của AC có dạng

2x − 7y + m = 0A(-1;-1)∈AC ⇔ m = −5

Bài toán 2.12 (Phương trình chùm đường thẳng) Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua giao điểmcủa hai đường thẳng (d1), (d2) và thoả mãn điều kiện K

Phương pháp chung: Ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Viết phương trình của (d1), (d2) về dạng tổng quát

(d1) : A1x + B1y + C1= 0; (d2) : A2x + B2y + C2= 0

Bước 2: Phương trình đường thẳng (d) đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1), (d2) có dạng

A1x + B1y + C1+ α(A2x + B2y + C2) = 0(A1+ αA2)x + (B1+ αB2)y + C1+ αC2= 0Bước 3: Sử dụng điều kiện K, ta tìm được α

Phương trình tổng quát của (d2) là x + y + 2 = 0

Phương trình đường thẳng (d) đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1), (d2) có dạng

Ví dụ 2.27 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết cạnh BC:3x − 4y − 5 = 0 và hai đường caoBH:2x + y − 6 = 0, CH:x + y = 0 Hãy lập phương trình đường cao AH

Ví dụ 2.28 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(1; 1), B(0; 2) và C(−2; 3)

a) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC

b) Lập phương trình các đường trung tuyến của tam giác ABC

c) Lập phương trình các đường cao của tam giác ABC

b) Trọng tâm của tam giác là G(−13; 2)

Trung tuyến AP đi qua giao điểm của AB và AC có phương trình dạng

x + y − 2 + α(2x + 3y − 5) = 0

⇔ (2α + 1)x + (3α + 1)y − 2 − 5α = 0G(−13; 2) ∈ AP ⇔ α = −15

Vậy AP : 3x − 2y − 5 = 0

Trung tuyến BN đi qua giao điểm của AB và BC có phương trình dạng

x + 2y − 4 + α(x + y − 2) = 0

⇔ (α + 1)x + (α + 2)y − 4 − 2α = 0G(−13; 2) ∈ BN ⇔ α = −73

Vậy BN : 4x + y − 2 = 0

Trung tuyến CM đi qua giao điểm của BC và AC có phương trình dạng

2x + 3y − 5 + α(x + 2y − 4) = 0

⇔ (α + 2)x + (2α + 3)y − 5 − 4α = 0G(−13; 2) ∈ CM ⇔ α = 1

Vậy CM : 3x + 5y − 9 = 0

c) Đường cao AH đi qua giao điểm của AB và AC có phương trình dạng

x + y − 2 + α(2x + 3y − 5) = 0

⇔ (2α + 1)x + (3α + 1)y − 2 − 5α = 0AH⊥BC, ta có −−→nAH.−−→nBC = 0 ⇔ α = −3

8Vậy AH : 14x − y + 11 = 0

Đường cao BH đi qua giao điểm của AB và BC có phương trình dạng

(α + 1)x + (α + 2)y − 4 − 2α = 0

⇔ (2α + 1)x + (3α + 1)y − 2 − 5α = 0BH⊥AC, ta có −−→nBH.−−→nAC= 0 ⇔ α = −135

2.14 Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua giao điểm của đường thẳng x + y = 0 và đường thẳng

x − 2y − 1 = 0 và song song với đường thẳng 2x + y − 5 = 0 là

2.2 Vị trí tương đối của điểm và đường thẳng

A Tóm tắt lí thiết

Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng

(d) : Ax + By + C = 0

(d1) : A1x + B1y + C1= 0

và ba điểm M0(x0, y0), M1(x1, y1), M2(x2, y2), ta có các kết quả sau:

1 Đường thẳng (d) chia mặt phẳng làm hai nửa Nửa mặt phẳng chứa M0(x0, y0) và nửa không chứa

b) Nếu h(M0, d) > 0 ⇔ Ax0+ By0+ C > 0 thì −→n và M0(x0, y0) cùng phía với (d).

c) Nếu h(M0, d) < 0 ⇔ Ax0+ By0+ C > 0 thì −→n và M0(x0, y0) khác phía với (d).

d) Nếu (Ax1+ By1+ C)(Ax2+ By2+ C) > 0 thì M1(x1, y1), M2(x2, y2) cùng phía với (d)

e) Nếu (Ax1+ By1+ C)(Ax2+ By2+ C) < 0 thì M1(x1, y1), M2(x2, y2) khác phía với (d)

3 Điều kiện cần và đủ để M0(x0, y0) nằm ở trong góc nhọn của hai đường thẳng (d), (d1) là

Bài toán 2.13 Lập phương trình đường phân giác trong của góc A của ∆ABC

Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Lập phương trình của hai đường thẳng AB và AC, giả sử phương trình có dạng

(AB) : ax + by + c = 0

(AC) : a0x + b0y + c0= 0

Bước 2: (d) là đường phân giác trong của góc A khi và chỉ khi

M (x, y) ∈ (d) ⇔







M, B cùng phía với (AC)

M, C cùng phía với (AB)

d(M,AB)= d(M,AC)

(I)

Bước 3: Từ (I) ta tìm suy ra phương trình của (d)

Chú ý 2.6 Vì hai đường phân giác trong và ngoài của đỉnh A vuông góc với nhau nên ta dễ dầng suy rađược phương trình đường phân giác ngoài của góc A Tuy nhiên ta cũng có thể lập được phương trình đườngphân giác ngoai của góc A theo các bước như sau:

Bước 1: Lập phương trình của hai đường thẳng AB và AC, giả sử phương trình có dạng

(AB) : ax + by + c = 0

(AC) : a0x + b0y + c0= 0Bước 2: (d) là đường phân giác ngoài của góc A khi và chỉ khi

Bước 3: Từ (II) ta tìm suy ra phương trình của (d)

Ví dụ 2.29 Trong mặt phẳng cho ∆ABC với A(−3, 1), B(3, −1), C(−2, 4)

a) Lập phương trình đường phân giác trong của góc A của ∆ABC

b) Lập phương trình đường phân giác ngoài của góc A của ∆ABC

Giải

a) Ta có phương trình của đường thẳng AB là: (AB) : x + 3y = 0

Phương trình của đường thẳng AB là: (AC) : 3x − y + 10 = 0

Gọi (d1) đường phân giác trong của góc A, khi đó ta có

M (x, y) ∈ (d1) ⇔







M, B cùng phía với (AC)

M, C cùng phía với (AB)

|x + 3y|√

10 =

|3x − y + 10|√10

Vậy phương trình đường phân giác trong của góc A là

x − 2y + 5 = 0b) Cách 1: Vì đường phân giác ngoài vuông góc với đường phân giác trong nên phương trình đường phângiác ngoài có dạng

(d2) : 2x + y + m = 0Hơn nữa (d2) đi qua A(−3; 1), nên m = 5

Vậy phương trình đường vuông góc ngoài của góc A là:

2x + y + 5 = 0Cách 2: (d2) là đường phân giác ngoài của góc A khi và chi khi

⇔

((x + 3y)(3x − y + 10) < 0

|x + 3y| = |3x − y + 10| ⇔ 2x + y + 5 = 0Vậy phương trình đường vuông góc ngoài của góc A là:

2x + y + 5 = 0

Bài toán 2.14 Lập phương trình đường phân giác của góc nhọn, góc tù của hai đường thẳng cắt nhau

và không vuông góc với nhau (d1) : A1x + B1y + C1= 0, (d2) : A2x + B2y + C2= 0

Phương pháp: Ta thức hiện theo các bước sau:

Bước 1: (d) là đường phân giác của góc nhọn của (d1), (d2) khi và chỉ khi

M (x, y) ∈ (d)

⇔

((A1A2+ B1B2)(A1x + B1y + C1)(A2x + B2y + C2) < 0

d(M,d 1 )= d(M,d 2 )

(III)Bước 2: Từ (III) ta suy ra được phương trình của (d)

Bước 3: Kết luận

Chú ý 2.7 Đường phân giác của góc nhọn và góc tù vuông góc với nhau, như vậy ta chỉ cần tìm được phươngtrình đường này thì có thể suy ra phương trình của đường kia Tuy nhiên ta có thể lập phương trình đườngphân giác của góc tù theo các bước sau:

Bước 1: (d) là đường phân giác của góc tù của (d1), (d2) khi và chỉ khi

M (x, y) ∈ (d)

((A1A2+ B1B2)(A1x + B1y + C1)(A2x + B2y + C2) > 0

d(M,d 1 )= d(M,d 2 )

(IV )Bước 2: Từ (IV ) ta suy ra được phương trình của (d)

|2x + y + 1| = |x + 2y − 1| ⇔ 3x + 3y + 1 = 0Vậy phương trình đường phân giác góc nhọn của (d1), (d2) là

3x + 3y + 1 = 0b) Cách 1: Gọi (d) là đường phân giác góc tù của (d1) và (d2)

Vì đường vuông góc tù vuông góc với đường phân giác góc nhọn nên phương trình của (d) có dạng

3x − 3y + m = 0Hơn nữa (d) đi qua giao điểm A(−53;4

3) của (d1) và (d2) nên3.(−5

3) − 3.4

3 + m = 0 ⇔ m = 9Vậy phương trình đường phân giác góc tù của (d1), (d2) là

(d) : x − y + 3 = 0Cách 2: (d) là đường phân giác góc tù của (d1), (d2) khi và chỉ khi

2.15 Lập phương trình đường phân giác trong của các góc của các tam giác ABC

2.3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

A Tóm tắt lí thiết

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng

(d1) : A1x + B1y + C1= 0

và (d2) : A2x + B2y + C2= 0Khi đó số giao điểm của (d1) và (d2) là số nghiệm của hệ

Dx=

−C1 B1

−C2 B2

= B1C2− B2C1

Dy =

A1 −C1

A2 −C2

... A2C1− A1C2

Chú ý 2.9 Ta giải hệ (I) phương pháp hay phương pháp cộng đại số (xem ví dụ 2.31a)

Bài tốn 2.15 Xét vị trí tương đối hai đường... (d2) : A2x + B2y + C2= 0Phương pháp chung: Ta thực bước sau:

Bước 1: Xét hệ phương trình (

A1x + B1y = −C1... (d1) cắt (d2) điểm A(−2; −4)

Cách 2: Phương trình tổng quát (d2) 3x + y − =

Tọa độ giao điểm (d1) (d2) nghiệm hệ