PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN LỚP 10

Bộ tài liệu đầy đủ và chi tiết các dạng bài tập Toán lớp 10. Một tài liệu rất bổ ích cho giáo viên và học sinh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TÂY NINH TRƯỜNG THPT NGUYỄN VĂN TRỖI

Lời nói đầu

Trong chương trình mơn Tốn lớp 10, khi giảng dạy chúng tơi nhận thấy rằng học sinh chưa tiếp cận tốt vấn đề, nhất là kĩ năng giải tốn ðiều đĩ dẫn đến học sinh chưa cĩ hứng thú trong học tốn, đặc biệt nĩ sẽ ảnh hưởng rất lớn cho những năm học tiếp theo Nhằm giúp các em lấy lại căn bản và nâng cao chất lượng học tập mơn Tốn theo chương

trình cải cách của Bộ giáo dục và đào tạo, chúng tơi biên soạn bộ tài liệu : “ Phân loại và phương pháp giải tốn lớp 10 ”

Bộ tài liệu gồm hai phần : Hình học và ðại số Nội dung tài liệu bám sát theo cấu trúc của sách giáo khoa Tốn 10 (chương trình chuẩn) và dựa trên chương trình Chuẩn kiến thức,

kĩ năng của Bộ giáo dục và đào tạo vừa ban hành

Mỗi bài học trong bộ tài liệu này được trình bày như sau :

Tây Ninh, tháng 3 năm 2011

Tổ Tốn, trường THPT Nguyễn Văn Trỗi

PH ẦN 1

ðẠI SỐ

-8 -6 -4 -2

2 4 6 8

x

y

y=x − x− 1

y= − −x

Mỗi mệnh ñề (lôgíc) phải ñúng hoặc sai Mỗi mệnh ñề không thể vừa ñúng vừa sai

Kí hiệu mệnh ñề bởi các chữ cái in hoa : P, Q, A, B…

1.2 Mệnh ñề chứa biến: “n chia hết cho 4” là mệnh ñề chứa biến

Chú ý : Với mỗi giá trị của biến x thuộc tập hợp nào ñó, mệnh ñề chứa biến P x trở ( )

Mệnh ñề “Nếu P thì Q ” ñược gọi là mệnh ñề kéo theo Kí hiệu: P⇒Q

Mệnh ñề P ⇒Q chỉ sai khi P ñúng và Q sai

(trong các trường hợp khác P⇒Q ñều ñúng)

Các ñịnh lí toán học là những mệnh ñúng và có dạng P⇒Q Khi ñó ta nói:

P là giả thiết, Q là kết luận của ñịnh lí, hoặc

P là ñiều kiện ñủ ñể có Q , hoặc

Q là ñiều kiện cần ñể có P

4 MỆNH ðỀ ðẢO-HAI MỆNH ðỀ TƯƠNG ðƯƠNG

Mệnh ñề Q⇒P ñược gọi là mệnh ñề ñảo của mệnh ñề P⇒Q

Nếu cả hai mệnh ñề P⇒Q và Q⇒P ñều ñúng thì ta nói P và Q tương ñương

Kí hiệu: P⇔Q ðọc là: P tương ñương Q , hoặc

P là ñiều kiện cần và ñủ ñể có Q , hoặc

P khi và chỉ khi Q

5 KÍ HIỆU ∀ VÀ ∃

Kí hiệu ∀ đọc là với mọi Kí hiệu ∃ đọc là tồn tại ít nhất một (hay cĩ ít nhất một)

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

Vấn đề 1 Cách xác định mệnh đề

Phương pháp : Cần nắm vững khái niệm mệnh đề ,mệnh đề chứa biến từ đĩ rút ra kết luận

Bài tập 1 Xét xem các câu sau , câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến và câu

c/ Là mệnh đề chứa biến.Với mỗi giá trị của x ta được một mệnh đề

d/ Khơng là mệnh đề.Vì khơng khẳng định được tính đúng hoặc sai

Bài tập 2 Với mỗi câu sau , hãy tìm giá trị thực của x để được mệnh đề đúng, mệnh đề sai ?

a/ 5x2-14x+9=0 b/ 5x-1>x+11 c/ | x+3|= 5 d/ x2+4=0

Giải

a/ Giải phương trình : 5x2 - 14x + 9 = 0 Ta được nghiệm x = 1 v x = 9/5

• Với x = 1 v x = 9/5 thì được mệnh đề đúng

• Với x≠ 1 và x≠ 9 / 5 thì được mệnh đề sai

b/Giải bất phương trình Ta được x > 3

• Với x=2 hoặc x = - 8 thì được mệnh đề đúng

• Với x≠ 2 và x≠ −8thì được mệnh đề sai

d/ Phương trình x2 + 4 = 0 vơ nghiệm Vậy với mọi giá trị của x đều được mệnh đề sai Khơng cĩ mệnh đề đúng

Vấn đề 2 Phát biểu thành lời của một mệnh đề Dùng kí hiệu ∀ ∃ , viết mệnh đề phủ định của nĩ

Phương pháp:

1 ∀ ∈" x P x; có tính chất T" cĩ mệnh đề phủ định là ∃ ∈" x P x; không có tính chất P"

2 ∃ ∈" x P x; có tính chất T" cĩ mệnh đề phủ định là "∀ ∈x P x; không có tính chất P"

Bài tập Phát biểu thành lời của một mệnh ñề Viết mệnh ñề phủ ñịnh của nó

d/ “Tồn tại một số nguyên mà có bình phương chia hết cho 5”

Mệnh ñề phủ ñịnh là: ∀ ∈x Z x: 2 khoâng chia heát cho 5

Vấn ñề 3 Lập mệnh ñề ñảo của ñịnh lý – ñịnh lý ñảo

Phương pháp :

Dùng kiến thức, các ñịnh nghĩa , ñịnh lý ñã học ñể nhận xét ñánh giá rồi kết luận

Bài tập Trong các trường hợp sau ñây, hãy phát biểu mệnh ñề ñảo của ñịnh lý và xét xem nó

có phải là ñịnh lý ñảo của ñịnh lý ấy hay không?

a/Trong tam giác vuông thì ñường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nữa cạnh ấy

b/Một số tự nhiên tận cùng bằng 0 thì chia hết cho 5

Giải

a/ Mệnh ñề ñảo : “Một tam giác có ñường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh ấy thì tam giác ñó bằng tam giác vuông”

ðể biết mệnh ñề trên có phải là ñịnh lý ñảo hay không thì ta phải chứng minh mệnh ñề

Do AM = MB, AM = MC nên tam giác MAB, MAC cân tại M suy ra : góc B = A1; góc C = A2

Mà tổng các góc B, A1, A2, C bằng 1800 nên góc

A1 + A2=900, suy ra tam giác ABC vuông tại A

Vậy mệnh ñề trên là ñịnh lý ñảo

b/Mệnh ñề ñảo là : “Một số tự nhiên chia hết cho 5 thì tận cùng bằng 0”

Mệnh ñề này sai vì 15 chia hết cho 5 mà tận cùng không bằng 0

Vậy mệnh ñề không là ñịnh lý ñảo

Chú ý : Không phải ñịnh lý nào cũng có ñịnh lý ñảo của nó

2 1

B

A

C M

Vấn ñề 4 ðiều kiện cần, ñiều kiện ñủ, ñiều kiện cần và ñủ

Phương pháp :

1/Dạng: P⇒Q Khi ñó :

P là ñiều kiện ñủ ñể có Q , hoặc

Q là ñiều kiện cần ñể có P

2/ Dạng: P ⇔Q : P là ñiều kiện cần và ñủ ñể có Q , hoặc P khi và chỉ khi Q

Bài tập 1 Phát biểu các ñịnh lý sau ,sử dụng khái niệm “ðiều kiên cần”, “ðiều kiện ñủ”:

a/ Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có ít nhất một cạnh bằng nhau

b/Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3

c/ Nếu a=b thì a2=b2

Giải

a/+ ðể hai tam giác bằng nhau, ñiều kiện cần là chúng có ít nhất một cạnh bằng nhau

+ ðể hai tam giác có ít nhất một cạnh bằng nhau, ñiều kiện ñủ là hai tam giác bằng nhau b/+ ðể một số tự nhiên chia hết cho 6, ñiều kiện cần là nó chia hết cho 3

+ ðể một số tự nhiên chia hết cho 3, ñiều kiện ñủ là nó chia hết cho 6

c/ + ðể a=b ,ñiều kiện cần là a2=b2

+ ðể a2=b2, ñiều kiện ñủ là a=b

Bài tập 2 Cho hai tam giác ABC và A B C′ ′ ′ Với hai mệnh ñề :

P : " Tam giác ABC và tam giác AB C′ ′ ′ bằng nhau"

Q : " Tam giác ABC và tam giác AB C′ ′ ′ có diện tích bằng nhau"

C BÀI TẬP ðỀ NGHỊ

Bài 1 Trong các câu sau ñây thì câu nào là mệnh ñề? Nếu là mệnh ñề thì nó ñúng hay sai?

a) “10 là số nguyên tố”

b) "123 là một số chia hết cho 3"

c) " Ngày mai trời sẽ nắng"

d) " Hãy ñi ra ngoài!"

Bài 2 Nêu mệnh ñề phủ ñịnh của các mệnh ñề sau và cho biết tính ñúng sai của mỗi mệnh ñề

b) Phát biểu mệnh ñề ñảo của mệnh ñề trên

c) Xem xét tính ñúng, sai của các mệnh ñề trên

in hoa: A B C, , , phần tử của tập hợp ñược kí hiệu là các chữ cái thường: a b c , ,

a là phần tử của tập hợp A, viết là ∈a A b không là phần tử của tập hợp B ,

viết là b B∉

1.2 Cách xác ñịnh tập hợp

Có 2 cách: a) Liệt kê các phần tử của nó

b) Chỉ rõ tính chất ñặc trưng cho các phần tử của tập hợp ñó

Người ta thường minh họa tập hợp bằng

một hình phẳng ñược bao quanh bởi một ñường kín

ñược gọi là biểu ñồ Ven

1.3 Tập hợp rỗng

Tập hợp rỗng là tập hợp không chứa phần tử nào Kí hiệu: ∅

2 TẬP HỢP CON

Nếu mọi phần tử của tập hợp Añều là phần tử của tập hợp B thì

ta nói Alà tập hợp con của B

Kí hiệu: A B⊂ (ñọc là A chứa trong B ) hay B⊃A (ñọc là B chứa A)

Tính chất: a) A A⊂ với mọi tập hợp A

b) A B⊂ và B C⊂ thì A C⊂c) ∅ ⊂A với mọi tập hợp A

3 HAI TẬP HỢP BẰNG NHAU

Khi A B⊂ và B⊂Ata nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A B=

B

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn ñề 1 Viết tập hợp dưới dạng liệt kê phần tử

Phương pháp: Kỹ năng giải phương trình, bất phương trình, tính toán, suy luận.

Bài tập 1 Viết các tập hợp sau dưới dạng liệt kê phần tử

a/ Viết tập hợp con gồm hai phần tử của A={1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6}

b/ Viết tập hợp con gồm ba phần tử và luôn có số 0 của B={0 ;1 ;2 ;3 ;4 }

Giải

a/ Tập con gồm hai phần tử của A là :

{1 ;2},{1 ;3},{1 ;4},{1 ;5},{1 ;6},{2 ;3},{2 ;4},{2 ;5},{2 ;6},{3 ;4},{3 ;5},{3 ;6},{4 ;5},{4 ;6},{5 ;6}

b/ Tập con gồm ba phần tử luôn chứa số 0 của B là :

{0 ;1 ;2},{0 ;1 ;3},{0 ;1 ;4},{0 ;2 ;3},{0 ;2 ;4},{0 ;3 ;4}

b) B={x N x∈ ≤ 30; là bội của 3 hoặc của 5x }

c) C ={m Z∈ / 2≤m≤15, và 15 không có ước chung khác 1m }

d)D={x x/ =2k2+3 với k N và ∈ x≤30}

e) ={ ∈ − 2− + =

/ (3 2)(3 5 2) 0}

Bài 2.Tìm tất cả các tập con của X={a ;b ;c ;d ;e ;f}

Bài 3 Tìm tất cả tập hợp X thỏa mãn {1 ;2 ;a ;b}⊂X⊂{1 ;2 ;a ;b ;c ;d ;e}

C B

c/A A\ = ∅f/ A\∅ =Ak/ CA∅ =A

Bài tập 3 Cho tập hợp A Có thể nói gì về tập B nếu :

Bài tập 4 Mỗi học sinh lớp 10C1 ñều chơi bóng ñá hoặc bóng chuyền Biết rằng có 30 bạn

chơi bóng ñá, 20 bạn chơi bóng chuyền và 10 bạn chơi cả hai môn thể thao này Hỏi lớp

10C1 có bao nhiêu học sinh ?

Giải

Gọi A là tập hợp số học sinh lớp 10C1 chơi bóng ñá

Gọi B là tập hợp số học sinh lớp 10C1 chơi bóng chuyền

Vì mỗi bạn ñều chơi bóng ñá hoặc bóng chuyền,

nên A B là tập các học sinh của lớp ∪

Số phần tử của A B là 30 + 20 – 10 = 40 ∪

Vậy lớp 10C1 có tất cả 40 học sinh

10

Nữa khoảng : [ ; )a b ={x R a x b∈ ≤ < }

= ∈ < ≤( ; ]a b x R a x b

+∞ = ∈ ≤[ ;a ) x R a x

∞ = ∈ ≤(- ; ]b x R x b

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn ñề Thực hiện các phép toán về tập hợp Xác ñịnh tập hợp

Phương pháp: Kỹ năng biểu diễn tập hợp số thực trên trục số

Bài tập 1 Cho các tập hợp A=[-3 ;1] ; B=[-2 ;2] ; C=[-2;+ ) ∞

a/ Trong các tập trên , tập nào là tập hợp con của tập hợp nào ?

Tìm phần bù của chúng

b/ Tìm : A B∩ ;A B∪ ;A C∪ ; \A B B C\

a/ Dùng ký hiệu ñoạn, khoảng ,nửa khoảng ñể viết lại các tập hợp trên

b/ Biểu diễn các tập hợp A, B, C, D trên trục số

a/ Dùng ký hiệu ñoạn,khoảng ,nữa khoảng ñể viết lại các tập hợp trên

b/ Biểu diễn các tập hợp A,B,C,D trên trục số

§5 SỐ GẦN ðÚNG - SAI SỐ

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Cho a là số gần ñúng của số ñúng a

1 ∆ = −a a a ñược gọi là sai số tuyệt ñối của số ñúng a

2 Nếu ∆ ≤a d thì d ñược gọi là ñộ chính xác của số gần ñúng a và quy ước viết gọn là

= ±

a a d

3 Cách quy tròn số gần ñúng căn cứ vào ñộ chính xác cho trước :

Cho số gần ñúng a với dộ chính xác d (tức là a = ±a d) Khi ñược yêu cầu quy tròn số a

mà không nói rõ là quy tròn ñến hàng nào thì ta quy tròn a ñến hàng cao nhất mà d nhỏ hơn một ñơn vị của hàng ñó

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn ñề 1 Tìm sai số tuyệt ñối của một số gần ñúng

Phương pháp :

Cho a là số gần ñúng của số ñúng a

∆ =a a a− ñược gọi là sai số tuyệt ñối của số ñúng a

Bài tập 1 Cho ba giá trị gần ñúng của 8/17 là 0,4 ; 0,47; 0,471 Hãy tính sai số tuyệt ñối của các số này

Vậy : Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 0.4 là 0.08

Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 0.47 là 0.001

Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 0.471 là 0.0005

Bài tập 2 Cho ba giá trị gần ñúng của 23/7 là 3,28 và 3,286 Hãy tính sai số tuyệt ñối của các số này

Giải

Ta có : 23−3.28 <0, 006

7 ; 23−3.286 <0, 0003

Vậy : Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 3.28 là 0.006

Sai số tuyệt ñối của số gần ñúng 3.286 là 0.0003

Bài tập 2 Biết số gần ñúng a=257,4593 có sai số tuyệt ñối không vượt quá 0,01

Viết số quy tròn cùa a

Giải

Vì sai số tuyệt ñối không vượt quá 1

100 nên số quy tròn của a là 257,5

C BÀI TẬP ðỀ NGHỊ

Bài 1 Cho biết 3 1.7320508 Viết số gần ñúng = 3 theo quy tắc làm tròn ñến

hai,ba,bốn chữ số thập phân có ước lượng sai số tuyệt ñối trong mỗi trường hợp

Bài 2 Dùng máy tính cầm tay tìm giá trị gần ñúng a của 313 (kết quả làm tròn ñến hàng phần nghìn) Ước lượng sai số tuyệt ñối của a

Bài 3 ðộ cao của một ngọn núi là h=1856, 7m±0,1m.Hãy viết số quy tròn của số 1856,7

Bài 4.Thực hiện các phép tính trên máy tính cầm tay

a/ 15.(0.13) làm tròn kết quả ñến 4 chữ số thập phân 3

b/ 35 : 7 làm tròn kết quả ñến 6 chữ số thập phân

Bài 5 Cho số a=13,6481

a) Viết số quy tròn của a ñến số hàng phần trăm

b) Viết số quy tròn của a ñến số hàng phần chục

CHƯƠNG II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

§1 HÀM SỐ

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Một hàm số có thể cho bằng: Bảng, Biểu ñồ, Công thức, ðồ thị

Khi cho hàm số bằng công thức mà không nói rõ tập xác ñịnh của nó thì ta qui ước tập xác ñịnh D của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa

2 Hàm số y = f(x) gọi là ñồng biến (hay tăng) trên khoảng (a; b nếu )

ðồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa ñộ làm tâm ñối xứng

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Giải

a) Hàm số xác ñịnh khi 3x 2 0 x 2

3+ ≠ ⇔ ≠ −

b) Hàm số xác ñịnh khi 2

x 22x 5x 2 0 1

x2

c) Hàm số xác ñịnh khi

14x 2 0 x

f ( x) 2( x) ( x)

2x x2x x

d) ( )2

f (x)= x 1−Tập xác ñịnh : D = ℝ Lấy x = 1 D∈

2 2

Vấn ñề 3 Tìm ñiều kiện ñể một ñiểm thuộc ñồ thị hàm số

Phương pháp : ðiểm M x ; y( 0 0) thuộc ñồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi y0 =f (x )0

Bài tập Những ñiểm sau ñây, ñiểm nào thuộc ñồ thị hàm số y = x 1+ ?

A −1;0 , B 4; 2 , C 0;0 , D − − 5; 2

Giải

+ ðiểm A( 1;0)− thuộc ñồ thị hàm số y = x 1+ vì 0 = − + 1 1

+ ðiểm B(4; 2) không thuộc ñồ thị hàm số y = x 1+ vì 2≠ 4 1+

+ ðiểm C (0; 0) không thuộc ñồ thị hàm số y = x 1+ vì 0≠ 0 1+

+ ðiểm D(− − không thuộc ñồ thị hàm số y = x 15; 2) + vì x0 = − không thuộc tập xác 5ñịnh của hàm số

12

1

x 1y

ðồ thị là một ñường thẳng không song song và không trùng với các trục tọa ñộ

ðể vẽ ñường thẳng y = ax + b ta chỉ cần xác ñiịnh hai ñiểm khác nhau của nó

Hàm số ñồng biến trên khoảng (0; +∞ và nghịch biến trên khoảng ) (−∞; 0)

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

−∞

x

y

1

y 3 x2

= −

c) y= 4 ðồ thị:

-6 -4 -2 2 4 6

-2

2 4 6

ðường thẳng ñi qua hai ñiểm

Thay tọa ñộ hai ñiểm ñó vào phương trình y = ax + b giải hệ phương trình tìm a, b và

thay vào phương trình y = ax + b

ðường thẳng qua một ñiểm và song song với ñường thẳng y = a’x + b’

Tương tự qua hai ñiểm ta lập ñược một phương trình

Do ñường thẳng y = ax + b song song với ñường thẳng y = a’x + b’ nên ta cóa=a', b≠b'

ðường thẳng qua một ñiểm và vuông góc với ñường thẳng y = a’x + b’

Tương tự qua hai ñiểm ta lập ñược một phương trình

Do ñường thẳng y = ax + b vuông góc với ñường thẳng y = a’x + b’ nên ta có a.a’ = 1−

Bài tập 2 Viết phương trình ñường thẳng (d): y = ax + b biết:

a) ðường thẳng (d) qua hai ñiểm A (2;3) và B ( 1; 3)− −

b) ðường thẳng (d) qua M (1; 1)− và song song ñường thẳng d’: y= −3x 4−

c) ðường thẳng (d) qua N (2;1) và vuơng gĩc đường thẳng d’: y 1x 3

b) Do đường thẳng (d) qua M (1; 1)− nên ta cĩ phương trình: 1 a.1 b− = + ⇔ + = − (1) a b 1

Do đường thẳng (d) song song đường thẳng d’: y= −3x− nên ta cĩ a4 = − 3

Thay vào (1) ta được b = 2

Vậy d : y= −3x+2

c) Do đường thẳng (d) qua N (2;1) nên ta cĩ phương trình: 1 a.2 b= + ⇔ 2a+ = (1) b 1

Do đường thẳng (d) vuơng gĩc đường thẳng d’: y 1x 3

2

= + nên ta cĩ a.1 1 a 2

2 = − ⇔ = − Thay vào (1) ta được b = 5

Vậy d: y= −2x 5+

Vấn đề 3 Vẽ đồ thị hàm số cho bằng nhiều biểu thức

Phương pháp : Ta vẽ đồ thị trên từng khoảng, đoạn hay nửa khoảng được chia

Bài tập 3 Vẽ đồ thị hàm số

a) y 3x, x 0

x 1, x 0

với với

1 2 3

x y

1 2 3 4 5

x

y

3

y= − +x y= −x 1

a) ði qua hai ñiểm A(0;1) và B 2; 3( − )

b) ði qua C(4; 3− )và song song ñường thẳng y 2x 1



=  + <

= − Parabol này quay bề lõm lên trên nếu a > 0, xuống dưới nếu a < 0

thuộc ñồ thị Chẳng hạn, ñiểm ñối xứng với giao ñiểm của ñồ thị với trục tung qua trục

ñối xứng của parabol

Dựa vào kết quả trên, vẽ parabol

Vấn ñề 1 Lập bảng biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số bậc hai y = ax + bx+ c, a 2 ( ≠0 )

+ Tìm ñiểm ñối xứng với giao ñiểm của ñồ thị với trục tung qua trục ñối xứng của

parabol

+ Từ các dữ liệu tìm ñược, lập bảng biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số

Bài tập 1. Lập bảng biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số :

Giao ñiểm của ñồ thị với trục Ox

1 2 3 4 5 6 7

x y

23

x =

2

y= x − x+

Giao ñiểm của ñồ thị với trục Ox là không

12

xy

2

y= −3x +2x 1−

13

Giao ñiểm của ñồ thị với trục Ox là

0

Vấn ñề 2 Xác ñịnh hàm số bậc hai

Phương pháp :

Biết ñồ thị qua một ñiểm.Thay tọa ñộ ñiểm vào phương trình hàm số ta ñược một phương trình

Biết ñồ thị có trục ñối xứng x=x0 Suy ra b x0

c) ði qua hai ñiểm A 0; 1 , B 4; 0( − ) ( )

d) Có hoành ñộ ñỉnh là 2 và ñi qua ñiểm M 1; 2( − )

c) Do ñồ thị ñi qua hai ñiểm A 0; 1 , B 4; 0( − ) ( ) nên ta có hệ phương trình:

b) Có ñỉnh là I(− −2; 1)

c) Có hoành ñộ ñỉnh là 3− và ñi qua ñiểm P( 2;1)−

d) Có trục ñối xứng là ñường thẳng x = 2 và cắt trục hoành tại ñiểm M(3;0)

CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§1 ðẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

2 ðiều kiện xác ñịnh của phương trình

ðiều kiện xác ñịnh của phương trình (gọi tắt là ñiều kiện của phương trình) là những ñiều kiện của ẩn x ñể các biểu thức của phương trình ñiều có nghĩa

3 Nghiệm của phương trình-giải phương trình

Nếu f x( )0 =g x( )0 thì x ñược gọi là nghiệm của phương trình 0 f x( )=g x( )

Giải phương trình là tìm tập hợp tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm)

4 Phương trình nhiều ẩn

Ngoài các phương trình một ẩn còn có các phương trình nhiều ẩn Nghiệm của phương hai

ẩn x y là cặp số thực , ( ; )x y thỏa mãn phương trình ñó, còn nghiệm của một phương trình ba ẩn 0 0, ,

x y z là một bộ ba số thực ( ; ; )x y z thỏa mãn phương ñó 0 0 0

II PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ðƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

1 Phương trình tương ñương:

Hai phương trình f x( )=g x( ) (1) và f x1( )=g x1( ) (2)ñược gọi là tương ñương nếu chúng có cùng tập nghiệm (có thể là tập rỗng) Kí hiệu: (1)⇔(2)

2 Phép biến ñổi tương ñương:

Nếu thực hiện các biến ñổi sau ñây trên một phương trình mà không làm thay ñổi ñiều kiện xác ñịnh của nó thì ta ñược một phương trình tương ñương

a) Cộng hay trừ hai vế của phương trình với một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác không

b) Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với một số khác 0 hoặc với cùng biểu thức luôn có giá trị khác 0

3 Phương trình hệ quả

Nếu mỗi nghiệm của phương trình (1) cũng là nghiệm của phương trình (2) thì ta nói

phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) Kí hiệu: (1)⇒(2)

Chẳng hạn, với số nguyên dương n tùy ý ta có: f x( )=g x( )⇒f x( )n=g x( )n

Phương trình hệ quả có thể có nghiệm ngoại lai, nghiệm ñó không phải là nghiệm của

phương trình ban ñầu ðể loại nghiệm ngoại lai ta phải thử lại nghiệm tìm ñược vào phương trình ban ñầu

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn ñề 1 Tìm ñiều kiện của ẩn ñể phương trình có nghĩa

Phương pháp : Tìm ñiều kiện của ẩn x ñể các biểu thức của phương trình ñiều có nghĩa

Bài tập 1 Tìm ñiều kiện của các phương trình sau:

a) 23

41

x

x x

x x

 Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn ñiều kiện của phương trình

Chú ý: Khi không có giá trị nào của x thỏa mãn ñiều kiện của phương trình thì phương trình ñã cho vô nghiệm

Bài tập 2 Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm

a) 2 1

43

x

x x

 Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm

b)  ðiều kiện của phương trình là: 5 0 5

 Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm

Vấn ñề 2 Biến ñổi tương ñương, biến ñổi hệ quả phương trình; Xác ñịnh quan hệ tương ñương, hệ quả của các phương trình

Phương trình hệ quả có thể có nghiệm ngoại lai, nghiệm ñó không phải là nghiệm của

phương trình ban ñầu ðể loại nghiệm ngoại lai ta phải thử lại nghiệm tìm ñược vào phương trình ban ñầu

ðể phép bình phương trở thành phép biến ñổi tương ñương ta phải thêm ñiều kiện hai vế cùng dấu và thỏa mãn ñiều kiện của phương trình

Bài tập 1 Giải các phương trình sau:

Vậy nghiệm của phương trình ñã cho là: x= 4

b) ðiều kiện của phương trình là: x− ≥ ⇔ ≥ Ta có: 4 0 x 4

Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm

Bài tập 2 Giải các phương trình sau:

a) ðiều kiện của phương trình là x> 3

Với ñiều kiện ñó, ta có

Giá trị x= không thỏa mãn ñiều kiện 2 x> nên bị loại 3

Vậy phương trình ñã cho vô nghiệm

b) ðiều kiện của phương trình là x> − 1

Với ñiều kiện ñó, ta có

x x x

x> − và nghiệm ñúng phương trình

Vậy phương trình ñã cho có nghiệm là x= 2

§2 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BẬC HAI

= −

0

a= b≠0 Phương trình (1) vô nghiệm

0

b= Phương trình (1) nghiệm ñúng với ∀ ∈ ℝx

Khi a≠0 phương trình (1) ñược gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

2 Giải và biện luận phương trình 2

a

− ± ∆

=0

∆ = Phương trình (2) có nghiệm kép

2

bxa

= −0

∆ < Phương trình (2) vô nghiệm

4 Phương trình trùng phương

Có dạng ax4+bx2+ =c 0 (a≠0)

Cách giải: ñặt t x= 2 (t≥0) và ñưa về phương trình bậc hai at2+bt c+ =0

5 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt ñối

Có thể khử dấu giá trị tuyệt ñối trong phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt ñối nhờ