Bài giảng số 7: BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH A.. Thay tọa độ A, B vào vế trái của * ta thu được hai giá trị trái dấu, vì vậy điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng.. Vậy vị trí của điểm M t
Trang 1Bài giảng số 7: BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Khoảng cách giữa hai điểm A x ( A; yA), ( B xB; yB)được cho bởi công thức:
AB x x y y
Khoảng cách từ điểm M x ( ;0 y0)đến đường thẳng : ax by c 0 được cho bởi công thức
( , ) ax by c
d M
Định lý viet của phương trình bậc hai
B CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Cho hàm s ố y x3 3 x2 2 (1)
Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) y 3 x 2sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ nhất
Lời giải
2
x
x
Với x 0 y 2 và x 2 y 2 Vậy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A (0, 2) và B (2, 2)
Ta viết đường thẳng y 3 x 2thành dạng: 3 x y 2 0 (*)
Thay tọa độ A, B vào vế trái của (*) ta thu được hai giá trị trái dấu, vì vậy điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng
Vậy vị trí của điểm M trên (d) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất là M là giao điểm của (d) với đường thẳng đi qua hai điểm A và B
Phương trình đường thẳng đi qua A và B có dạng: 0 2
x y
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình sau:
4
5
x
x y
x y
y
Vậy tọa độ điểm M cần tìm là 4 3
( ; )
5 5
Ví dụ 2: Cho hàm s ố 2x 3
x 2
Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất
Trang 2Lời giải:
Gọi M x y ( ,0 0)là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị (C) Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm M x y ( ,0 0)có dạng:
0 0 2
0 0
1
2 2
x
x
Giao điểm A của tiếp tuyến (d) với tiệm cận đứng x 2là nghiệm của hệ:
0
0
0
2
1
2
2
x A
x
Tọa độ điểm B của tiếp tuyến (d) với tiệm cận ngang y 2là nghiệm của hệ:
0
0 0
0 2
0 0
2
1
2 2
2
y
B x x
x x
2
0
0
0
x
2
0 0
3 1
1 2
x
x x
Vậy tiếp tuyến cần lập thỏa mãn điều kiện có dạng y x và y x 6
Ví dụ 3: Cho hàm s ố 2 4
1
x y x
(C)
Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1; -1)
Lời giải:
Phương trình đường thẳng đi qua M và N: 3 0
2 3 0
x y
Gọi A B, là hai điểm đối xứng nhau qua đoạn thẳng MN Khi đó phương trình đường thẳng đi qua A và B có dạng
2x y c 0 y2x c ( )d
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) có dạng
Trang 32 4
2 1
x
x c x
x cx c
Gọi A x ( ; 21 x1 c ), B x ( ; 22 x2 c ), với x x1, 2là nghiệm của phương trình (3) Khi đó trung điểm I của AB có tọa độ
Vì A, B đối xứng nhau qua (MN) nên ta có
4
c
2
x
x
Với x = 0 thì y = - 4, còn với x = 2 thì y= 0
Vậy có điểm A(0; - 4), B(2; 0) thuộc đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện bài toán
Ví dụ 4: Tìm trên đồ thị hàm sô (H): 1
1
x y x
hai điểm thuộc hai nhánh sao cho khoảng cách giữa 2 điểm là nhỏ
nhất
Lời giải
(1 ; a ); (1 ; b )
(a, b > 0) là hai điểm nằm về hai nhánh của đồ thị khi đó ta có
2
2
2
Vậy AB min khi và chỉ khi
2
2
a b
a b
a b
a b
Vậy tọa độ điểm A và B là A (1 2; 1 2); (1 B 2;1 2)
Nhận xét: Hai điểm nằm về hai nhánh của đồ thị có nghĩa là hai điểm nằm về hai phía tiệm cận đứng x = 1, vì vậy có
một điểm hoành độ là 1 + a và một điểm hoành độ 1 –b (a, b > 0)
Ví dụ 5: Cho hàm s ố y x3 2 mx2 ( m 3) x 4 ( Cm)
Trang 4Cho đường thẳng (d) có phương trình y x 4và điểm K(1; 3) Tìm m để (d) cắt (C m ) tại ba điểm phân biệt A(0; 4),
B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của Cmvà (d) là:
2
0
x
(d) cắt Cm tại 3 điểm phân biệt phương trình có 2 nghiệm phân biệt 0
Điều kiện
1
0
m
m
m
m
Gọi B x x ( B; B 4); ( C x xC; C 4)với xB,xC là nghiệm của phương trình
Theo định lý Viet ta có: 2
B C
B C
2( B C) 2 B C 4 B. C
BC x x x x x x
2 2(4 m 4 m 8)
Mặt khác
1 ( ; ).
2
1 2
2 2
KBC
Vậy 2(4 m2 4 m 8) 16 8 m2 8 m 16 256
2
8 m 8 m 272 0
2
C BÀI TẬP TỰ GIẢI
Trang 5Bài 1: Cho đồ thị hàm số y mx 1 (C m)
x
Tìm m để đồ thị hàm số (C m) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (C m)đến tiệm cận xiên của (C m) bằng 1
2
Bài 2: Cho hàm số 2 4
1
x y x
(1), có đồ thị (C) Chứng minh rằng đường thẳng ( ) :d y2xm luôn luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m Xác định m để đoạn AB ngắn nhất
Bài 3: Cho hàm số
1
1 2
x
x
Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) đến tiếp tuyến tại M là lớn nhất
Bài 4: Cho hàm số 2 4
1
x y
x
(C )
Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và
3 10
Bài 5: Tìm m để hai điểm cực trị của hàm số yx33mx23(2m1)x nằm về hai phía của đường thẳng 1
d: x – y = 0
Bài 6: Cho hàm số
1 2
2
x
x
y (C) Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2 , 0) và B(0 , 2)
Bài 7: Cho hàm số
1
x y
x (C)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất
Bài 8: Cho hàm số yx33mx24m3 (m là tham số) có đồ thị là (C m)
Xác định m để (Cm ) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x
Bài 9: Cho đường cong (C): y 2 x4 3 x2 2 x 1 và đường thẳng (d): y = 2x – 1
a CMR (d) không cắt (C)
b Tìm trên (C) điểm A có khoảng cách đến (d) là nhỏ nhất
Trang 6Bài 10: Tìm trên đồ thị hàm sô (H):
2
3 2
2 1
y
x
hai điểm thuộc hai nhánh sao cho khoảng cách giữa 2 điểm là
nhỏ nhất
Bài 11: Cho (Cm):
( 1) 4
y
x m
Tìm trên (Cm) điểm có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận (Cm) nhỏ nhất
Bài 12: Tìm khoảng cách giữa các đồ thị sau:
a) : y 2 x 5 và (P): y x2 1
b) : y 1 x và (P): y x2 x 5
c) : y x 3 và (P): y x2 x 1
Bài 13: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : 3x 4
y
x 2
Tìm điểm thuộc (C) cách đều 2 đường tiệm
cận
Bài 14: Cho hàm số 2 1
1
x y x
(C)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết rằng khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng 2
Bài 15: Cho hàm số 2 2
1
x y x
(C)
Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 5