Bài toán giao điểm của hai đồ thị hàm số

GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A.. Hàm số không có cực trị.. Tìm m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất... Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng.. Với

Bài giảng số 5 GIAO ĐIỂM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Cho hai đồ thị hàm số   C : y  f x   và   C ' : y  g x  

Hai đồ thị   C và   C ' cắt nhau tại điểm    

 

0 0

M x y



 





tức là  x y0; 0 là một nghiệm

của hệ phương trình  

 

 









Như vậy hoành độ giao điểm của   C và   C ' là nghiệm của phương trình f x    g x     1

Số nghiệm của phương trình   1 bằng số giao điểm của   C và   C '

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Ví dụ 1: Cho hàm s ố 1

1

x y x







a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị   C của hàm số

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

1

(1) 1

x

m x







Lời giải:

1

x y

x





 có tập xác định D  R \ 1  

Giới hạn:

Đạo hàm:

 2

2

1

x





Hàm số nghịch biến trên các khoảng   ;1  và  1;  

Hàm số không có cực trị

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1; tiệm cận ngang y  1.

Giao của hai tiệm cận I   1;1 là tâm đối xứng

Đồ thị

b Đồ thị hàm số 1

1

x y x





 được vẽ từ đồ thị hàm số

1 1

x y x





 theo quy tắc giữ nguyên phần đồ thị của

1

x

y

x





 ứng với x  0, phần đồ thị của hàm số ứng với x  0 lấy đối xứng qua trục tung

Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị 1

1

x y x





 và đường thẳng y  m .

Dựa vào đồ thị ta có

 Với m   1; m  1: phương trình (1) có 2 nghiệm

 Với m   1: phương trình (1) có 1 nghiệm

 Với   1 m  1: phương trình (1) vô nghiệm

x   1  

'

y  

y

1  

  1

Ví dụ 2: Cho hàm số 3   2    

y  x  m  x  m  x  C Tìm m để  Cm cắt trục hoành tại

ba điểm phân biệt lập thành một cấp số nhân

Lời giải:

Điều kiện cần: Giả sử  Cm cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x x x1, 2, 3 lập thành một cấp số nhân Khi đó phương trình:

có ba nghiệm phân biệt x x x1, 2, 3

1 2 3 8

x x x

Vì x x x1, 2, 3 lập thành một cấp số nhân nên x22  x x1 3 x23   8 x2  2.

Thay x  2 vào phương trình 3   2  

x  m  x  m  x   ta được4 2  m  0  m  2.

Điều kiện đủ:

Với m  2 thay vào phương trình (2) ta được:

x  x  x    x  x  x    x  x  x  lập thành một cấp số nhân Vậy m  2 là giá trị cần tìm

Ví dụ 3: Cho hàm số 2 1

2







x y

x có đồ thị   C Chứng minh đường thẳng   d : y    x m luôn cắt đồ thị   C tại hai điểm phân biệt A B , Tìm m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của đồ thị   C và đường thẳng   d là nghiệm của phương trình

2

2

2

x x

x

 



    

Do phương trình   1 có   m2  1 0 và    2 2  4  m    2   1 2 m    3 0,  m nên đường thẳng   d luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A B ,

AB ngắn nhất  AB2 nhỏ nhất  m   0 AB  12.

Ví dụ 4: Tìm m để đường thẳng   d : y  mx  1 cắt  

2 1 :

2

x

 



 tại hai điểm phân biệt thuộc

cùng một nhánh của đồ thị   C

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng   d và đồ thị   C là nghiệm của phương trình

2

2 1

2

x

 



Do   C có tiệm cận đứng là x   2 nên   d cắt   C tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của

  C khi và chỉ khi phương trình   4 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn

1 2

2

  

0 1

1 0 2.2 4 0

1

m m

m m

m m

m



 







Vậy với m  0 thì   d cắt   C tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị

Ví dụ 5: Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng y  m x (  3) cắt đồ thị hàm số 2

1

x y x





 tại hai

điểm phân biệt sao cho có ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1

Lời giải:

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số 2

1

x y x





 và y  m x (  3) là số nghiệm của phương trình

1

x

x





Để đường thẳng y  m x (  3) cắt đồ thị hàm số 2

1

x y x





 tại hai điểm phân biệt sao cho có ít nhất một

điểm có hoành độ lớn hơn 1 thì phương trình   5 có ít nhất 1 nghiệm lớn hơn 1

Nếu m = 0, thì phương trình có nghiệm x = 2 Vậy m = 0 không thỏa mãn

Nếu m  0, ta có các trường hợp sau:

TH1: Phương trình   1 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn x1  1 x2

2

m

TH2: Phương trình   1 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 1  x1 x2

2

1 2

2 0

2 0

m

m

m







Vậy m  0 thỏa mãn bài toán

C BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho hàm số y  x3 mx2  x m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Đáp số: m   0; 3  

Bài 2: Cho hàm số y  x3 3 x2 2 có đồ thị   C Gọi d là đường thẳng đi qua A    1; 2  và có hệ số

góc k

a Tìm k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, M, N Đáp số:    2 

  2

 





b Với điều kiện câu a, hãy tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi

Đáp số:  : x  2, 2   y  25.

Bài 3: Cho hàm số y  x3 6 x2 9 x Tìm m để đường thẳng d y :  mx (C) tại ba điểm phân biệt

, ,

O A B Chứng minh rằng khi m thay đổi, trung điểm I của AB luôn nằm trên một đường thẳng song song với trục Oy

Bài 4: Cho hàm số 1 3

3 3

y   x  x có đồ thị (C) và đường thẳng d y :  m x (  3) và A  3; 0  Tìm m

để d cắt (C) tại ba điểm A, B, C Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng BC Đáp số: 3

4

m

Bài 5: Cho đường cong 3   2  2   2   

y  x  m  x  m  m  x  m  C Tìm m để  Cm

cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3. Đáp số: 3 17 3 17

m m





 



Bài 6: Cho đường cong 3 2  

y  x  x  mx  m C Tìm m để  Cm cắt đường thẳng

  d : y   3 x  1 tại ba điểm phân biệt x x x1, 2, 3 sao cho x1   1 x2  2  x3. Đáp số: m  1.

Bài 7: Cho đường cong 3 2  

y  x  mx  x  m  C Tìm m để   Cm cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x x x1, 2, 3 sao cho x12 x22 x32 15. Đáp số: m   1.

Bài 8: Tìm m để hàm số y   x4 2 mx2 2 m  1 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt lập thành cấp

số cộng Xác định cấp số cộng ứng với mỗi m tìm được Đáp số: 1 5

2  m  m  m  9

Bài 9: Cho đường cong 4   2  

y  x  m  x  m C Tìm m để đường thẳng y   1 cắt   Cm

tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 Đáp số:

1

1 3

0.

m m

  



 



Bài 10: Cho hàm số 1 4 2 3

y  x  mx  có đồ thị  Cm

a) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị  Cm có ba điểm cực trị lập thành ba đỉnh của tam giác vuông cân

b) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị  Cm cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ thỏa mãn

x  x  x  x 

Bài 11: Cho đường cong 4   2  

y  x  m  x  m C Tìm m để đường thẳng y   1 cắt   Cm

tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 Đáp số: 1

1; 0.

Bài 12: Cho hàm số 3

1

x y x





 có đồ thị (C)

a Chứng minh rằng đường thẳng d y :  2 x  m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N Tìm tập hợp

trung điểm I của đoạn thẳng MN Đáp số: quỹ tích I là đường thẳng y   2 x  1.

b Xác định m để đoạn MN ngắn nhất Đáp số: MNmin  2 5  m  3.

Bài 13: Cho hàm số 2 2

1

x y x





 Tìm m để đường thẳng   d : y  2 x  m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A B , sao cho AB  5. Đáp số: m  10; m   2

Bài 14: Cho hàm số 2 4

1

x y

x





 Gọi   d là đường thẳng đi qua A   1;1 có hệ số góc k Tìm k sao cho đường thẳng   d cắt đồ thị hàm số tại hai điểm M N , và MN  3 10.

3;

16

Bài 15: Cho hàm số

2

1

y

x

 



 Tìm m để hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm

0.

Bài 16: Tìm m để đường thẳng   d : y  2 mx  m cắt đồ thị  

2

:

2

x





 tại hai điểm phân biệt

thuộc hai nhánh của đồ thị   C Đáp số: m  1.

Bài 17: Tìm m để đường thẳng   d : y  2 x  m cắt đồ thị hàm số   : 3 3

1

x

   

 tại hai

điểm phân biệt A B , sao cho AB có độ dài ngắn nhất Đáp số: m  0.