Các dạng toán câu hỏi phụ hàm số trọng tâm thường gặp trong đề thi đại học

Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cưc trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1.. Tìm m để hàm số   1 có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại

CHỦ ĐỀ 1: CHỦ ĐỀ CÂU HỎI PHỤ HÀM SỐ ÔN THI ĐẠI HỌC

Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số

(  ; x ] [ ;  x   ) Vậy để hàm số đồng biến trên khoảng   ; 2   

Thì [2;     ) ( ; x ] [ ;  x   )nghĩa là x  x  2 Điều kiện là

2 1

a a

b Đồng biến trên khoảng (2;  )

Bài 4: Cho hàm số y   x3 3 x2 mx  2 Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (0, 2)

m  thì hàm số đã cho đạt cực trị tại x x1, 2 sao cho x1   2 x2

Ví dụ 4: Cho hàm s ố y  x4 2 mx2 1 Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có ba điểm cưc trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1.

Hàm số có ba cực trị  y ' đổi dấu ba lần trên D  y '  0 có ba nghiệm phân biệt  m  0 m  0.

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là    2  2

A B   m  m C  m  m

Theo tính chất của đồ thị hàm bậc bốn trùng phương, ta có tam giác ABC cân tại A Gọi D là trung điểm của

cạnh BC thì Xét  ADC vuông tại D, ta có sin C AD

AC



Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,

Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABC, ta có: A

2

Ví dụ 6: Tìm m để đồ thị hàm số y  x3 3 x2 m x m2  có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng

2 2

y  x  mx  m  x  m  m Tìm m để hàm số   1 có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu

của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O Đáp số: m   3  2 2 ; m   3  2 2

Bài 7: Cho hàm sốy  x4 2( m  2) x2 m2 5 m  5 Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành

tam giác vuông cân Đáp số: 2

cực trị tạo với đường thẳng 1

5 4

x  x 

Đáp số: 3

7

m 

Bài 11: Tìm m để đồ thị hàm số y   x3 mx2 3 x  5 có hai điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua

hai điểm cực trị đó vuông góc với đường thẳng 9 x  14 y   1 0. Đáp số: m   4

Bài 12: Cho hàm số y  x4 2 1 (  m x2) 2 m  1 Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam giác có

y  x  x  C Gọi   d là đường thẳng đi qua điểm A  2; 0  có hệ số góc k Tìm

k để   d cắt   C tại ba điểm phân biệt A M N , , sao cho hai tiếp tuyến của   C tại M và N vuông góc với

nhau

Lời giải:

Phương trình đường thẳng   d đi qua A  2; 0  có dạng y  k x   2 

Hoành độ các điểm A M N , , là nghiệm của phương trình



 biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung

lần lượt tại hai điểm A B , phân biệt và tam giác OAB cân tại O

Lời giải:

Ta có

1 '

Do tam giác OAB vuông cân nên tiếp tuyến phải có hệ số góc k   1.

Gọi tọa độ tiếp điểm là  x yo, o khi đó  

1

2

o o o

x x x

Ví dụ 3: Cho hàm số 2

(C) 1

x y x





 Cho điểm A (0; ) a Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao

cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía của trục hoành

  là hai tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ A thỏa mãn yêu cầu bài toán

Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) thỏa mãn điều kiện bài ra thì hệ phương trình sau:

2

2 1 1

5 1

( '')

x x

k x

Thay k từ (5’’) vào (5’), ta có phương trình ( a  1 ) x2 2 ( a  2 ) x  ( a  2 )  0 (**)

Để (**) có hai nghiệm phân biệt thì 1 1

a Chứng minh rằng  Cm luôn đi qua hai điểm cố định A và B

b Tìm m để hai tiếp tuyến tại A B , vuông góc với nhau

Đáp số: 3 5

m  m 

Bài 7: Tìm điểm A trên trục tung, sao cho qua A có thể kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số

1.

y   x  x 

Đáp số: A  0; 1  

Bài 8: Cho hàm số y  x4 mx2 m  1. Gọi A là điểm cố định có hoành độ dương của đồ thị hàm số, tìm m

để tiếp tuyến tại A song song với đường thẳng y  2 x

Đáp số: m   1.

Bài 9: Cho hàm số 2 3

1

x y

x y x



 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt

Ox, Oy tại A B , và tam giác OAB có diện tích bằng 1

x y x

x y x

Bài 15: Cho hàm số 2 1

1

x y x

 



Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y   x m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B Gọi k1, k2

là hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại A và B Tìm m để k1 +k2 đạt giá trị lớn nhất

Dạng 4: Bài toán giao điểm của hai đồ thị

x có đồ thị   C Chứng minh đường thẳng   d : y    x m luôn cắt đồ thị   Ctại hai điểm phân biệt A B , Tìm m để đoạn AB có độ dài ngắn nhất

Do phương trình   1 có   m2  1 0 và   2 2  4  m   2    1 2 m    3 0,  m nên đường thẳng   d

luôn cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A B ,

Do   C có tiệm cận đứng là x   2 nên   d cắt   C tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của   C

khi và chỉ khi phương trình   4 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2thỏa mãn

  d : y   3 x  1 tại ba điểm phân biệt x x x1, 2, 3 sao cho x1   1 x2  2  x3. Đáp số: m  1.

0.

m m

a) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị  Cm có ba điểm cực trị lập thành ba đỉnh của tam giác vuông cân

b) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị  Cm cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ thỏa mãn





 có đồ thị (C)

a Chứng minh rằng đường thẳng d y :  2 x  m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N Tìm tập hợp trung

điểm I của đoạn thẳng MN Đáp số: quỹ tích I là đường thẳng y   2 x  1.

b Xác định m để đoạn MN ngắn nhất Đáp số: MNmin  2 5  m  3.

Bài 9: Cho hàm số 2 2

1

x y x





 Tìm m để đường thẳng   d : y  2 x  m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân

Bài 10: Cho hàm số 2 4

1

x y

Với x  0  y  2 và x  2  y   2 Vậy đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A (0, 2) và B (2,  2)

Ta viết đường thẳng y  3 x  2thành dạng 3 x  y   2 0 (*) Thay tọa độ A, B vào vế trái của (*) ta thu được hai giá trị trái dấu, vì vậy điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng

Vậy vị trí của điểm M trên (d) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất là M là giao điểm của (d) với đường thẳng đi qua hai điểm A và B

Phương trình đường thẳng đi qua A và B có dạng: 0 2

0 0

1

2 2

0 2

0 0

31

12

Vậy tiếp tuyến cần lập thỏa mãn điều kiện có dạng y   x và y    x 6

Ví dụ 3: Cho hàm s ố 2 4

1

x y x

x

x c x





x x

Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) đến tiếp tuyến tại

M là lớn nhất

Bài 4: Cho hàm số 2 4

1

x y

x





 (C ) Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và có hệ số góc k Tìm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và

x (C)

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến

là lớn nhất

Bài 8: Cho hàm số y  x3 3 mx2 4 m3 (m là tham số) có đồ thị là (C m)

Xác định m để (Cm ) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x

Bài 9: Cho đường cong (C): y  2 x4 3 x2 2 x  1 và đường thẳng (d): y = 2x – 1

a CMR (d) không cắt (C)

b Tìm trên (C) điểm A có khoảng cách đến (d) là nhỏ nhất

Bài 10: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : 3x 4





 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết rằng khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng 2

Bài 12: Cho hàm số 2 2

1

x y x

Ví dụ 1: Cho hàm số y  x4 2 mx2 3 m  1 ( Cm) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1

Vậy 3 điểm cực trị của  Cmlà A (0;3 m  1); ( B m ;  m2 3 m  1); ( C  m ;  m2 3 m  1)

Do tính đối xứng của đồ thị hàm số trùng phương nên  ABC cân tại A

Gọi H là trung điểm của BC H (0;  m2 3 m  1)  AH   m2  m2

21

m  sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và các đường x  0, x  2, y  0 có diện tích bằng 4

Lời giải

2 2

x 0 x2 2

y’ - 0 +

y

1 2

3

m

y m

a) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm chung với Ox

b) Chứng minh với mọi tham số m, đồ thị hàm số luôn có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân

Bài 2: Cho hàm số y  x4 2 a x2 2 b ( a  0) Tìm a, b để hàm số đạt cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm sô tạo thành một tam giác đều

Bài 3: Cho hàm số 3

( ) 1

a) Chứng minh rằng M0 là trung điểm của AB

b) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận Chứng minh diện tích của tam giác IAB không đổi và tìm tọa độ điểm M0 để đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất

a) Chứng minh rằng (Cm) có hai điểm cố định

b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm cố định và tìm m để d tiếp xúc với (Cm)

Lời giải:

a) Gọi M x y( ;0 0)là điểm cố định của đồ thị hàm số (Cm) khi đó ta có

Vậy đồ thị có hai điểm cố định là (-1; -4) và (2; 5)

b) Phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm cố định có dạng

+) Nếu x = 2, thay vào (1) suy ra m = 3

+) Nếu x = -1 thay vào (1) suy ra m = 0

m m m

Để tồn tại hai điểm A, B đối xứng nhau qua gốc tọa độ thì m > 0

Ví dụ 6: Chứng minh rằng đường thẳng (d) y  x  4 là trục đối xứng của đồ thị hàm số 2 1

( ) 2

Gọi A x ( ;1  x1 m B x ), ( 2;  x2 m ) trong đó x x1, 2 là nghiệm của (1)

Theo định lý viet ta có: x1 x2 m  4 Gọi I là trung điểm của AB thì ta có tọa độ của điểm I là

y    x  x  hai điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua trục tung

Kiểu 4: Bài toán min, max và góc

Ví dụ 7: Cho đường thẳng d: y = 4x + a và đồ thị hàm số (C): 3

1

x y x



 Chứng minh rằng (d) cắt ( C ) ở hai điểm phân biệt có hoành độ x x1, 2 với mọi a Tìm a để x1 x2 nhỏ nhất

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C)

23

Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là

có 3 nghiệm phân biệt

Điều kiện là m < 0 Khi đó tọa độ 3 điểm cực trị là A(0; m2 + m), B( m m C; ), ( m m; )

Do tính đối xứng của đồ thị hàm số trùng phương qua Oy nên dễ thấy tam giác ABC cân tại A

Bài tập tự luyện

Bài 13: Tìm những điểm trên đồ thị hàm số y  2 x4 3 x2 2 x  1 sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng 2 x  y   1 0 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 14: Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị hàm số 1

1

x y x

y  x  mx   x m  Tìm m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là nhỏ nhất

Bài 16: Cho hàm số y  x3 3 x2  m Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho góc

AOB = 1200