SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp

làm tốt hơn phần này nhưng bản thân nhiều em chưa tổng quát được phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài tập nên khi gặp các bài toán dạng này các em thường mất khá nhiều thời gian để

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình

học không gian tổng hợp

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán: Hình học lớp 11, 12 bậc THPT

3 Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ tháng 8 năm 2014 đến tháng 5 năm

Chức vụ công tác: Giáo viên

Nơi làm việc:Trường THPT Xuân Trường

Địa chỉ liên hệ: Xóm 4 - Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định

Điện thoại: 0944.347780

5 Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị: Trường THPT Xuân Trường

Địa chỉ: Xã Xuân Hồng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định

Điện thoại: 03503.886.167

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Trong chương trình hình học lớp 11, 12 bài toán về khoảng cách trong không gian là một nội dung quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đề thi đại học và đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh Các bài toán về khoảng cách khá phong phú và đa dạng, đòi hỏi người học phải có tư duy tốt, có trí tưởng tượng không gian phong phú và có kĩ năng tính toán tốt Do vậy đối với học sinh có lực học trung bình, trung bình khá thì các bài toán về khoảng cách thường là mảng kiến thức khó

và dễ mất điểm, còn đối với học sinh có lực học khá, giỏi thì các em có thể

làm tốt hơn phần này nhưng bản thân nhiều em chưa tổng quát được phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài tập nên khi gặp các bài toán dạng này các

em thường mất khá nhiều thời gian để giải

Với mong muốn giúp các em có cái nhìn tổng quát hơn, hệ thống hơn,

có phương pháp giải cho từng dạng bài tập về khoảng cách trong không gian tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp” Từ đó giúp học sinh đỡ e ngại hơn khi gặp các bài toán về khoảng cách trong không gian tổng

hợp

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1 Thực trạng trước khi tạo ra sáng kiến

Hình học không gian là một mảng khó trong toán học phổ thông và càng khó hơn khi học sang quan hệ vuông góc Đối với quan hệ song song trong không gian, các tính chất và hình vẽ không có nhiều khác biệt đối với hình học phẳng nên các em dễ nắm bắt các dạng toán và phương pháp giải Còn đối với quan hệ vuông góc, các tính chất có nhiều khác biệt, càng khó hơn khi hình vẽ về sự vuông góc trong không gian hoàn toàn không giống như trong hình học phẳng Do vậy qua quan sát và để ý tìm hiểu của tôi, tôi nhận thấy rằng học sinh còn những hạn chế sau:

+ Khả năng tưởng tượng không gian kém do vậy kĩ năng vẽ hình không gian không tốt, đặc biệt các bài toán liên quan đến quan hệ vuông góc

+ Chưa có kĩ năng vận dụng kiến thức linh hoạt trong giải bài tập

+ Chưa tự tổng quát được phương pháp giải bài tập sau mỗi dạng bài tập

Mà nguyên nhân của những hạn chế đó là:

+ Học sinh chưa quen với cách vẽ hình của hình học không gian, đặc biệt là đối với các bài toán trong quan hệ vuông góc

+ Giáo viên chưa phân loại và đưa ra cách giải cụ thể, dễ hiểu cho học sinh đối với từng dạng bài tập

+ Giáo viên chưa chú trọng rèn kĩ năng vẽ hình, kĩ năng tính toán, kĩ năng tổng hợp vấn đề cho học sinh

+ Giờ học hình học không gian chưa thực sự hấp dẫn và lôi cuốn, còn rời rạc

và tẻ nhạt

Từ đó tôi thiết nghĩ cần phải giúp đỡ hướng dẫn các em ngay từ những kiến thức đầu tiên Trên cơ sở đó nếu thấy học sinh yếu phần nào ta có thể bổ sung kịp thời cùng với sự hướng dẫn học sinh tham khảo tài liệu liên quan đến bài học

Trong đề tài này tôi cố gắng đưa ra một số phương pháp giải các dạng bài tập cụ thể hay gặp để từ đó giúp học sinh có một cái nhìn tổng quát và cụ thể nhất

2 Mô tả giải pháp sau khi áp dụng sáng kiến

A- CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

1 Các phương pháp chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng :

Cách 1: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng

Cách 2: Chứng minh d song song với đường thẳng mà

Cách 3 Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với

Cách 4 Chứng minh d là đường thẳng thuộc mặt phẳng trong đó d vuông góc với giao tuyến a của ( ) và

2 Các định nghĩa về khoảng cách

a Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến một đường thẳng là khoảng cách

giữa A với hình chiếu vuông góc H của A trên

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( ) Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( )là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng ( )

Kí hiệu: d(a,( ))

d Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

e Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

+ Đường thẳng cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b

+ Nếu đường vuông góc chung cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

3 Một số công thức cần nhớ

a/ Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Ta có:

b/ Định lí Cosin trong tam giác:

Trong tam giác ABC có 2 2 + 2 – 2 cos ̂

Trong một tam giác bất kì bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình

phương độ dài hai cạnh còn lại trừ 2 lần tích hai cạnh đó với cosin góc xen

c/ Các công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có đường cao AH = h, BC = a, AC = b, AB = a, nửa chu vi

là p, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, S là diện tích tam giác ABC Khi đó ta có:

S √ ( – )( – )( – ) Công thức Hê rông

* Đối với phương pháp tọa độ trong không gian còn có

S 1

2|[ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ]|

4 Công thức khoảng cách trong hình học không gian Oxyz

Trong không gian Oxyz cho điểm M ( 0; 0; 0), mp(P): a + b + c + d 0 Khoảng cách từ M đến mặt phẳng P) là:

d( ,( )) a 0 + b 0 + c 0 + d

√a2 + b2 + c2

B- BÀI TẬP

I- KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG

Phương pháp chung: Để tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ta

thực hiện như sau:

d , d , d , , + Nếu đường thẳng đi qua A và cắt tại I thì với mọi điểm B thuộc có:

d ,

d ,

Ví dụ 1.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O,

SA = a, và Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm của SC và AB a) Chứng minh rằng:

b) Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM Từ đó suy ra khoảng cách từ

tam giác ABC

Trong tam giác ABC có

Ví dụ 1.2 Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a và ( ), vuông tại

C với AB = 2a, ̂ 300 Gọi M là 1 điểm di động trên cạnh AC, H là hình chiếu vuông góc của S trên BM

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường

Trong tam giác vuông ABC có

Ví dụ 1.3 Cho hình lăng trụ trụ tam giác ’ ’ ’ có đáy ABC là tam giác

đều tâm O cạnh a Hình chiếu của ’ trên mặt phẳng ABC trùng với tâm của tam giác ABC Cạnh ’ hợp với mặt phẳng ABC một góc Gọi I là trung điểm của AB Tính các khoảng cách:

a) Từ O đến ’

b) Từ C đến ’

c) Từ C đến ’ ’

chiếu vuông góc của ’ trên mặt

phẳng (ABC suy ra góc tạo bởi ’

d( ) √87

6

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1.1 Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, AC 8cm Trên đường

thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC lấy S sao cho SA 4cm Tính khoảng cách từ S đến BC

Bài 1.2 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông đường cao AB = a,

II- KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

Phương pháp chung: Để tính khoảng cách từ một điểm A đến mặt phẳng

ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

Cách 1 Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H của A trên

+Bước 1 Chọn trong một đường thẳng d rồi dựng mặt phẳng A qua vuông góc với d nên chọn d sao cho dễ dựng

+Bước 2 Xác định giao tuyến

+Bước 3 Dựng {

d ,

Chú ý:

+ Trong bước 1 ta nên xem xét xem d và đã có sẵn trên hình vẽ chưa

+ Các trường hơp đặc biệt:

- Trong hình chóp đều thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm của đáy

- Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao hạ từ đỉnh của hình chóp thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó

- Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên đó

- Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc góc tạo bởi các cạnh bên với đáy bằng nhau thì chân đường cao thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

Cách 2 Tính gián tiếp Đi tìm khoảng cách từ một điểm B khác A nào đó

đến dễ tìm rồi từ đó mới tính khoảng cách từ A đến

Ta thường sử dụng các kết quả sau:

+ Nếu có đường thẳng đi qua A và song song với thì

d , (

d( ,( )) d( ,( ))

Lưu ý: Đối với các bài toán về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thì điểm

B thường xét là chân đường cao hạ từ đỉnh của hình chóp xuống mặt phẳng đáy

Lưu ý: Đối với phương pháp này ta sử dụng kĩ thuật đổi đỉnh của khối chóp

để việc tính thể tích khối chóp dễ dàng hơn và hay sử dụng với khối chóp có đáy là tam giác nhiều hơn

Cách 4 Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian Khi trong hình có

sẵn hoặc dựng được ba đường thẳng phân biệt đôi một vuông góc

ĐẶC BIỆT:

Đối với bài toán tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song

và bài toán tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ta đều quy về bài toán tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng

Ví dụ 2.1 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a,

, SA = a

a) Tính khoảng cách từ A đến mp SBC)

b) I là trung điểm của AB, tính khoảng cách từ I đến mp SBC)

c) G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC)

d( ,( )) 1

2d( , ( )) √2

4c) Gọi ( )

d( ,( ))

d( ,( ))

Ví dụ 2.2 Cho tam giác đều cạnh a, trên đường thẳng Ax (ABC lấy điểm S

sao cho √3, K là trung điểm của BC

d( ,( )) 1

3d( ,( )) √15

15

Ví dụ 2.3 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a

mặt phẳng SAC là tam giác cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABC), M và N lần lượt là trung điểm của của SA, BC, biết góc giữa MN và (ABC bằng Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC) theo a

Giải

Vì H, N lần lượt là trung điểm của AC, BC nên HN // AB mà AB BC nên

HN BC Lại có BC SH nên suy ra BC (SHN)

IN là hình chiếu vuông góc của MN trên (ABC) góc tạo bởi MN và

mp(ABC là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và IN bằng góc ̂ 600(gt)

Trong tam giác vuông ABC có AC = √2

IN là hình chiếu vuông góc của MN trên (ABC) góc tạo bởi MN và

mp(ABC là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và IN bằng góc ̂ 600(gt)

Trong tam giác vuông ABC có AC = √2

Vì H, N lần lượt là trung điểm của AC, BC nên HN // AB mà AB BC nên

HN BC Lại có BC SH nên suy ra BC SN

Trong tam giác vuông SHN có

Cách 3 Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian

Gọi H là trung điểm của AC SH AC

Gọi I là trung điểm của AH MI // SH MI (ABC)

IN là hình chiếu vuông góc của MN trên (ABC) góc tạo bởi MN và

mp(ABC là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và IN bằng góc ̂ 600(gt)

Trong tam giác vuông ABC có AC = √2

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm

H, tia Ox trùng với tia HB, tia Oy trùng với tia HC, tia Oz trùng với tia HS

Ví dụ 2.4 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 3a,

chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AB = 3AH, góc tạo bởi SC và (ABC bằng 600 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC)

32

Trong tam giác AHC có ̂ √

Trong tam giác vuông SHC có tan ̂ √21

Trong tam giác vuông có: 1

Cách 2 Dựa vào công thức thể tích

Vì SH (ABC) nên HC là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(ABC) suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABC là góc tạo bởi hai đường thẳng

SC và bằng HC góc ̂ bằng 600 (gt)

Trong tam giác AHC có ̂ √

Trong tam giác vuông SHC có tan ̂ √21

Cách 3 Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz và hình chóp sao cho gốc O trùng với điểm A, tia Ox trùng với AD, tia Oy trùng với AB, tia Oz trùng với AS hình vẽ

Khi đó ta có

(0; 0; 0), (a; 0; 0), (0; a; 0)

(0; 0; √3a), (a; a; a)

12

Ví dụ 2.6 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên

SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo A

Gọi I là trung điểm của CD HI CD , mà CD SH nên CD (SHI)

Trong tam giác SHI kẻ HJ SI, J SI HJ CD HJ (SCD)

Hay d(H,(SCD)) = HJ d(A,(SCD)) = HJ

Trong tam giác vuông có 1

Gọi I là trung điểm của CD HI CD mà CD SH nên CD SI

Diện tích tam giác là S 1

Cách 3 Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian

Gọi H là trung điểm của B SH B

Gọi I là trung điểm của CD {

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp sao cho gốc tọa độ O trùng với H, tia

Ox trùng với đoạn tia HB, tia Oy trùng với tia HI, tia OZ trùng với tia HS

Ví dụ 2.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,

AD = 2a, SA = a, và SA (ABCD Gọi M là trung điểm của CD Tính

khoảng cách từ:

a) A đến mặt phẳng SBD)

b) A đến mặt phẳng SBM)

Giải

Trong tam giác vuông có: 1

Cách 3 Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp S.ABCD sao cho gốc tọa độ trùng với điểm A, tia Ox trùng với AB, tia Oy trùng với AD, tia Oz trùng với AS như

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường

Ví dụ 2.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA vuông góc

với đáy, ̂ 1200, M là trung điểm của BC, ̂ 450 Tính khoảng cách

từ D đến mặt phẳng SBC) theo a

Giải

Trong tam giác vuông SAM gọi H là trung điểm của SM, vì ̂ 450 nên

SAM vuông cân tại A mà nên

Cách 2 Sử dụng công thức thể tích

Diện tích tam giác là S 1

2 sin ̂ √3 2

4

Tam giác SAM có {

̂ 450 nên là tam giác vuông cân tại A

Cách 3 Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian

Tam giác ABC có {

̂ 600 đều

M là trung điểm của BC nên ̂ ̂ 300 ̂ 900

Mà SA (ABCD) nên AS, AM, AD đôi một vuông góc

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp sao cho gốc tọa độ O trùng với A, tia

Ox trùng với tia AM, ta Oy trùng với tia AD, tia Oz trùng với tia AS

Ta có: ( √3

2 ; 0; 0) , (0; ; 0) Tam giác SAM có {

̂ 450 nên là tam giác vuông cân tại A

Ví dụ 2.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

B, AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng ABCD) và SA = 2a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD) theo a

Giải

Gọi E là trung điểm của AD

Vì ( ) d( ,( ))

d( ,( ))

2 ( ) 3

hay tam giác SCD vuông tại C

Diện tích tam giác SCD là:

Cách 3 Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm

A, tia Ox trùng với tia AB, tia Oy trùng với tia AD, tia Oz trùng với tia AS Khi

đó ta có: (0; 0; 0), ( ; 0; 0), ( ; ; 0), (0; 2 ; 0), (0; 0; 2 )