Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp

Tên sáng kiến: Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp 2.. Do vậy đối với học sinh có lực học trung bình,trung bình khá thì các bài toán về khoảng

Trang 1

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: Một số phương pháp giải bài toán khoảng cách trong hình

học không gian tổng hợp

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán: Hình học lớp 11, 12 bậc THPT

3 Thời gian áp dụng sáng kiến: Từ tháng 8 năm 2014 đến tháng 5 năm2015

Chức vụ công tác: Giáo viên

Nơi làm việc:Trường THPT Xuân Trường

Địa chỉ liên hệ: Xóm 4 - Xã Xuân Thượng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh NamĐịnh

Điện thoại: 0944.347780

5 Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị: Trường THPT Xuân Trường

Địa chỉ: Xã Xuân Hồng - Huyện Xuân Trường - Tỉnh Nam Định

Điện thoại: 03503.886.167

Tác giả: Nguyễn Thị Huyền GV trường THPT Xuân Trường

Trang 2

I ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN

Trong chương trình hình học lớp 11, 12 bài toán về khoảng cách trongkhông gian là một nội dung quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đềthi tốt nghiệp trung học phổ thông, đề thi đại học và đề thi chọn học sinh giỏicấp trường, cấp tỉnh Các bài toán về khoảng cách khá phong phú và đa dạng,đòi hỏi người học phải có tư duy tốt, có trí tưởng tượng không gian phongphú và có kĩ năng tính toán tốt Do vậy đối với học sinh có lực học trung bình,trung bình khá thì các bài toán về khoảng cách thường là mảng kiến thức khó

và dễ mất điểm, còn đối với học sinh có lực học khá, giỏi thì các em có thểlàm tốt hơn phần này nhưng bản thân nhiều em chưa tổng quát được phươngpháp giải cụ thể cho từng dạng bài tập nên khi gặp các bài toán dạng này các

em thường mất khá nhiều thời gian để giải

Với mong muốn giúp các em có cái nhìn tổng quát hơn, hệ thống hơn,

có phương pháp giải cho từng dạng bài tập về khoảng cách trong không giantôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Một số phương pháp giảibài toán khoảng cách trong hình học không gian tổng hợp” Từ đó giúp họcsinh đỡ e ngại hơn khi gặp các bài toán về khoảng cách trong không gian tổnghợp

II MÔ TẢ GIẢI PHÁP

1 Thực trạng trước khi tạo ra sáng kiến

Hình học không gian là một mảng khó trong toán học phổ thông và càngkhó hơn khi học sang quan hệ vuông góc Đối với quan hệ song song trongkhông gian, các tính chất và hình vẽ không có nhiều khác biệt đối với hìnhhọc phẳng nên các em dễ nắm bắt các dạng toán và phương pháp giải Cònđối với quan hệ vuông góc, các tính chất có nhiều khác biệt, càng khó hơn khihình vẽ về sự vuông góc trong không gian hoàn toàn không giống như tronghình học phẳng Do vậy qua quan sát và để ý tìm hiểu của tôi, tôi nhận thấyrằng học sinh còn những hạn chế sau:

+ Khả năng tưởng tượng không gian kém do vậy kĩ năng vẽ hình không giankhông tốt, đặc biệt các bài toán liên quan đến quan hệ vuông góc

+ Chưa có kĩ năng vận dụng kiến thức linh hoạt trong giải bài tập

+ Chưa tự tổng quát được phương pháp giải bài tập sau mỗi dạng bài tập

Mà nguyên nhân của những hạn chế đó là:

+ Học sinh chưa quen với cách vẽ hình của hình học không gian, đặc biệt làđối với các bài toán trong quan hệ vuông góc

+ Giáo viên chưa phân loại và đưa ra cách giải cụ thể, dễ hiểu cho học sinhđối với từng dạng bài tập

Trang 3

+ Giáo viên chưa chú trọng rèn kĩ năng vẽ hình, kĩ năng tính toán, kĩ năngtổng hợp vấn đề cho học sinh

+ Giờ học hình học không gian chưa thực sự hấp dẫn và lôi cuốn, còn rời rạc

và tẻ nhạt

Từ đó tôi thiết nghĩ cần phải giúp đỡ hướng dẫn các em ngay từ nhữngkiến thức đầu tiên Trên cơ sở đó nếu thấy học sinh yếu phần nào ta có thể bổsung kịp thời cùng với sự hướng dẫn học sinh tham khảo tài liệu liên quanđến bài học

Trong đề tài này tôi cố gắng đưa ra một số phương pháp giải các dạng bàitập cụ thể hay gặp để từ đó giúp học sinh có một cái nhìn tổng quát và cụ thểnhất

2 Mô tả giải pháp sau khi áp dụng sáng kiến

A- CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

1 Các phương pháp chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α):

Cách 1: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong

mặt phẳng (α )

Cách 2: Chứng minh d song song với đường thẳng Δ mà Δ ⊥ ( α)

Cách 3 Chứng minh d là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với

(α )

Cách 4 Chứng minh d là đường thẳng thuộc mặt phẳng (β ) trong đó d vuông góc với giao tuyến a của (α ) và ( β )

2 Các định nghĩa về khoảng cách

a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm A bất kì đến một đường thẳng Δ là khoảng cách

giữa A với hình chiếu vuông góc H của A trên Δ

Kí hiệu: d(A, Δ)

Như vậy d(A, Δ) = AH ⇔ {AH H ∈ Δ⊥ Δ

b) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm A và mặt phẳng (α ), gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (α ) Khi

đó khoảng cách giữa hai điểm A và H được gọi là khoảng cách từ điểm A đến

mặt phẳng (α )

Kí hiệu: d(A,(α ))

Như vậy d(A, (α )) = AH ⇔ {AH H ∈ (α)⊥ (α)

c) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Δ A

H

α

A

H

Trang 4

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α ) Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α )là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt

phẳng (α )

Kí hiệu: d(a,(α ))

d) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kìcủa mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

e) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

+ Đường thẳng Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy được gọi là đường vuông góc chung của a và b

+ Nếu đường vuông góc chung Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b

3 Một số công thức cần nhớ

a/ Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Ta có:

Trong tam giác ABC có BC2 = AB 2 + AC 2– 2 AB.AC.cos ^BAC

(Trong một tam giác bất kì bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh còn lại trừ 2 lần tích hai cạnh đó với cosin góc xen giữa)

c/ Các công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có đường cao AH = h, BC = a, AC = b, AB = a, nửa chu vi

là p, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, S là diện tích tam giác ABC Khi đó ta có:

S = √p (p – a ) (p – b) (p – c ) (Công thức Hê rông)

* Đối với phương pháp tọa độ trong không gian còn có

S = 1

2|[⃗ AB ,⃗ AC]|

4 Công thức khoảng cách trong hình học không gian Oxyz

Trong không gian Oxyz cho điểm M

(x0; y0; z0), mp(P) : a x + b y + c z + d = 0

Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là:

d(M , (P)) = a x0 + b y0 + c z0 + d

√a 2 + b 2 + c 2

Trang 5

B- BÀI TẬP

Phương pháp chung: Để tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ ta thực hiện như sau:

Ví dụ 1.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O,

SA = a, và SA ⊥ ( ABCD ) Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm của SC và AB.

tam giác ABC

Trong tam giác ABC có

Gọi H là hình chiếu của I trên CM ta có:

10 Vậy d(I, CM ) = IH = a√30

Trang 6

Ví dụ 1.2 Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a và SA ⊥ (ABC) , Δ ABC vuông tại

C với AB = 2a, BAC = 30 ^ 0 Gọi M là 1 điểm di động trên cạnh AC, H là hình chiếu vuông góc của S trên BM.

Ví dụ 1.3 Cho hình lăng trụ trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác

đều tâm O cạnh a Hình chiếu của C’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm của tam giác ABC Cạnh CC’ hợp với mặt phẳng (ABC) một góc 600 Gọi I là trung điểm của AB Tính các khoảng cách:

a) Từ O đến CC’

b) Từ C đến IC’

c) Từ C đến A’B’

Giải

a) Trong tam giác C’OC kẻ

Trang 7

OH ⊥ CC' (H ∈ CC' )

⇒ OH = d(O, CC')

Vì OC' ⊥ ( ABC) nên CO là hình

chiếu vuông góc của CC’ trên mặt

phẳng (ABC) suy ra góc tạo bởi CC’

2b) Trong tam giác vuông C'OC có C'O = CO tan ^ C'CO = a

SΔC'CI = 1

2C'O.CI =

√3 a24

c) Gọi I’ là trung điểm của A’B’ ⇒ I' ∈ (CIC')

Có CI ⊥ AB ⇒ CI ⊥ A'B'

C'O ⊥ A'B' (vì C'O ⊥ ( A'B'C')}⇒ A'B' ⊥ (CC'I) ⇒ A'B' ⊥ CI' ⇒ d (C,A'B') = CI'

Trong tam giác CI’I có IC2 = CI 2 + I'I 2 - 2CI.I'I cos ^ CII'

Vì CI = a√3

2 , II' = √OI2 + OC '2 = 2√3 a

3 , ^CII' = 120

0 nên CI' = 29 a

2 12

⇒ d (C,A'B') = CI' = a√87

6

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1.1 Cho tam giác ABC với AB = 7cm, BC = 5cm, AC = 8cm Trên đường

thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy S sao cho SA = 4cm Tính khoảng cách từ S đến BC

Bài 1.2 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông đường cao AB = a,

BC = 2a, SA = a và SA ⊥ (ABCD) , SC ⊥ BD

a) Chứng minh rằng tam giác SBC vuông

b) Tính độ dài AD

c) Gọi M thuộc đoạn thẳng SA sao cho AM = x, (0 ≤ x ≤ a) Tính khoảng cách

từ D đến BM theo a và x Tìm x để khoảng cách này lớn nhất, nhỏ nhất

Bài 1.3 Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, đáy ABCD là hình

thoi tâm O, SA = AC = 2 a , góc ^ABC = 600 Tính

a) Khoảng cách từ O đến SC

b) Khoảng cách từ D đến SB

Trang 8

Phương pháp chung: Để tính khoảng cách từ một điểm A đến mặt phẳng (α )

ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

Cách 1 (Tính trực tiếp) Xác định hình chiếu H của A trên (α )

+Bước 1 Chọn trong (α ) một đường thẳng d rồi dựng mặt phẳng (β ) A qua vuông góc với d (nên chọn d sao cho (β ) dễ dựng)

+Bước 2 Xác định giao tuyến b = (α ) ∩ (β )

+Bước 3 Dựng AH ⊥ b ( H ∈ b )⇒ {AH d( A , (α )) = AH⊥ ( α)

Chú ý:

+ Trong bước 1 ta nên xem xét xem d và (β ) đã có sẵn trên hình vẽ chưa+ Các trường hơp đặc biệt:

- Trong hình chóp đều thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm của đáy

- Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao hạ từ đỉnh của hình chóp thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng đó

- Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên đó

- Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc góc tạo bởi các cạnh bên với đáy bằng nhau) thì chân đường cao thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

Cách 2 (Tính gián tiếp) Đi tìm khoảng cách từ một điểm B khác A nào đó

đến (α ) (dễ tìm) rồi từ đó mới tính khoảng cách từ A đến (α )

Ta thường sử dụng các kết quả sau:

+ Nếu có đường thẳng Δ đi qua A và song song với (α ) thì

d( A , ( α)) = d( B, ( α)) ∀ B ∈ Δ+ Nếu Δ đi qua A và cắt (α ) tại I thì với mọi điểm B thuộc Δ ta có

d(A , (α))

d(B, (α)) =

AI

BI

Lưu ý: Đối với các bài toán về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thì điểm

B thường xét là chân đường cao hạ từ đỉnh của hình chóp xuống mặt phẳng đáy

Cách 3 Sử dụng công thức thể tích

Vkhối chóp = 1

3 d (đỉnh, đáy) Sđáy ⇔ d (đỉnh, đáy ) = 3 Vkhối chóp

Sđáy

Lưu ý: Đối với phương pháp này ta sử dụng kĩ thuật đổi đỉnh của khối chóp

để việc tính thể tích khối chóp dễ dàng hơn và hay sử dụng với khối chóp có đáy là tam giác nhiều hơn

Cách 4 Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian (Khi trong hình có

sẵn hoặc dựng được ba đường thẳng phân biệt đôi một vuông góc)

Trang 9

ĐẶC BIỆT:

Đối với bài toán tính khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song

và bài toán tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ta đều quy về bài toán tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng

Ví dụ 2.1 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a,

SA ⊥ ( ABC), SA = a.

a) Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC)

b) I là trung điểm của AB, tính khoảng cách từ I đến mp(SBC)

c) G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC)

d(A , (SBC)) =

IB

AB =

1 2

⇒ d(I, (SBC)) = 1

2 d(A , (SBC)) =

√2 a 4c) Gọi M = AG ∩ BC ⇒ AG ∩ (SBC) = M

Ví dụ 2.2 Cho tam giác đều cạnh a, trên đường thẳng Ax ⊥ (ABC) lấy điểm S sao cho SA = a√3, K là trung điểm của BC

G

H

M I

B S

Trang 10

Gọi K là trung điểm của BC, có

ΔSAB = ΔSAC(c-g-c ) ⇒ SB = SC ⇒ ΔSBC cân tại S ⇒ SK ⊥ BC

3 d(A , (SBC)).SΔ SBC ⇔ d(A , (SBC)) = 3 VS.ABC

SΔSBC = √

15 a 5

b) Vì M đối xứng với A qua C nên AM ∩ (SBC) = C

⇒ d(M , (SBC))

d(A , (SBC)) =

MC

AC = 1Gọi I = MG ∩ SC ⇒ MG ∩ (SBC) = I ⇒ d(G, (SBC))

d(M , (SBC)) =

IG

IM =

1 3

d(G, (SBC)) =1

3d(A , (SBC)) =

√15 a 15

Ví dụ 2.3 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a

mặt phẳng (SAC) là tam giác cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABC), M và N lần lượt là trung điểm của của SA, BC, biết góc giữa MN và (ABC) bằng 600 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a

Trang 11

Vì H, N lần lượt là trung điểm của AC, BC nên HN // AB mà AB ⊥ BC nên

HN ⊥ BC Lại có BC ⊥ SH nên suy ra BC ⊥ (SHN)

Gọi I là trung điểm của AH ⇒ MI // SH ⇒ MI ⊥ (ABC)

⇒ IN là hình chiếu vuông góc của MN trên (ABC) ⇒ góc tạo bởi MN và

mp(ABC) là góc tạo bởi hai đường thẳng MN và IN bằng góc MNI = 60 ^ 0(gt)

Trong tam giác vuông ABC có AC = √2 a

Trong tam giác INC có:

IN2 = IC2 + IN2– 2 IC.CN cos ^NCI = 9 a

+ 1

a24

Trang 12

Gọi I là trung điểm của AH ⇒ MI // SH ⇒ MI ⊥ (ABC)

Trong tam giác INC có:

Vì H, N lần lượt là trung điểm của AC, BC nên HN // AB mà AB ⊥ BC nên

HN ⊥ BC Lại có BC ⊥ SH nên suy ra BC ⊥ SN

Trong tam giác vuông SHN có

Cách 3 (Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian)

Gọi H là trung điểm của AC ⇒ SH ⊥ AC

Trang 13

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp sao cho gốc tọa độ O trùng với điểm

H, tia Ox trùng với tia HB, tia Oy trùng với tia HC, tia Oz trùng với tia HS

Ví dụ 2.4 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 3a,

chân đường cao hạ từ S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AB = 3AH, góc tạo bởi SC và (ABC) bằng 600 Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Trang 14

Trong tam giác SHE, kẻ HF ⊥ SE,

3 2

Trong tam giác vuông SHC có SH = HC tan ^SCH = √21 a

Trong tam giác vuông SHE có: 1

Cách 2 (Dựa vào công thức thể tích)

Vì SH ⊥ (ABC) nên HC là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(ABC) suy ra góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là góc tạo bởi hai đường thẳng

Có SB2 = SH 2 + HB 2 = 25 a 2 , SC 2 = SH 2 + HC 2 = 28 a 2

Trong tam giác SBC có cos ^ SBC = SB

2 + BC2− SC22SB.BC =

1 5

⇒ sin ^ SBC = √1 − cos 2 SBC = ^ 2√6

5 Diện tích tam giác SBC là SΔSBC = 1

3√6 a2 =

3√42 a 8

Ví dụ 2.5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm I, cạnh a,

SA ⊥ ( ABCD) , SA = a√3

Trang 15

3 d(A , (SBC)).SΔSBC ⇔ d(A , (SBC)) = 3 VS.ABC

S ΔSBC

= √3 a2

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz và hình chóp sao cho gốc O trùng với điểm A, tia Ox trùng với AD, tia Oy trùng với AB, tia Oz trùng với AS( hình vẽ)

Trang 16

d(A , (SBC)) =

IC

AC =

1 2

⇒ d(I, (SBC)) = 1

2 d(A , (SBC)) =

a√3 4 c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên giả sử BG cắt SA tại trung điểm

⇒ d(G, (SAC)) = a√2

6

Ví dụ 2.6 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên

SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo A khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

H

S z

I J

Trang 17

Trong tam giác vuông SHI có 1

Gọi I là trung điểm của CD ⇒ HI ⊥ CD mà CD ⊥ SH nên CD ⊥ SI

Diện tích tam giác SCD là SΔSCD = 1

2SI.CD =

1

2√SH2 + HI2 CD = √7 a

2 4 Mặt khác VS.ACD = 1

3 d( A ,( SCD )) SΔSCD ⇔ d( A ,(SCD )) = 3 VS.ACD

SΔSCD = √

21

a 7

Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB

Mà { (SAB) ⊥ (ABCD)

(SAB) ∩ ( ABCD) = AB

SH ⊂ (SAB)

⇒ SH ⊥ (ABCD)

Gọi I là trung điểm của CD ⇒ {HI HI ⊥ AB⊥ SH

Gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào hình chóp sao cho gốc tọa độ O trùng với H, tia

Ox trùng với đoạn tia HB, tia Oy trùng với tia HI, tia OZ trùng với tia HS

Ví dụ 2.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,

AD = 2a, SA = a, và SA ⊥ (ABCD) Gọi M là trung điểm của CD Tính

khoảng cách từ:

Định dạng
Số trang	35
Dung lượng	372,25 KB