Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.. Tính thể tích khối lăng trụ và diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.. Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng d1;d2 và ∆ vuô
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI
NĂM HỌC 2011 – 2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1: (2 điểm)
Cho hàm số y = x4 − 6 x2+ 5 có đồ thị (C)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2 Tìm m để đường thẳng y = mx – m tiếp xúc với đồ thị (C)
Câu 2: (2 điểm)
1 Giải phương trình
x x
2 2
sin
1 cos
2 Giải hệ phương trình
3 3
2 2
5 3
Câu 3: (1 điểm)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a Đường thẳng A’C lập với mặt phẳng chứa đáy một góc 300 và lập với mặt phẳng (ABB’A’) một góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ và diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ
Câu 4: (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):x2+ y2 − 2 x − 4 y = 0 và điểm M(6;2) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho
MA2 + MB2 = 50
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):7x+ y−4z= và 2 đường thẳng 0
− ; (d2):
1 2 1 3
z
= − +
= +
=
Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng (d1);(d2) và ∆ vuông góc với mặt phẳng (P)
Câu 5: (2 điểm)
1 Tính tích phân
1
( 1) ln
e
dx
− +
2 Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 2
Câu 6: (1 điểm)
Cho ba số x, y, z dương thỏa mãn xy+ yz+zx= Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: 3
P
-HẾT -
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên:………SBD:………
http://kinhhoa.violet.vn
Trang 2TRƯỜNG THPT
CHUYÊN
NGUYỄN HUỆ
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN THỨ HAI
NĂM HỌC 2011 – 2012 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN: TOÁN
1
(2điểm)
TXĐ: R
3
' 0
3
x y
x
=
= ⇔
= ±
0,25
Giới hạn: lim ; lim
= +∞ = +∞
bảng biến thiên
X -∞ − 3 0 3 +∞
y’ – 0 + 0 – 0 +
Y
0,25
Hàm số đồng biến trên khoảng ( − 3;0);( 3; +∞ ) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −∞ − ; 3);(0; 3) Điểm cực đại (0;5); điểm cực tiểu ( − 3; 4);( 3; 4) − −
0,25
Đồ thị
đồ thị hàm số có 2 điểm uốn là ( 1;0);(1;0) −
6
4
2
-2
-4
Nhận xét: đồ thị nhận trục oy là trục đối xứng
0,25
2 Đường thẳng y = mx – m tiếp xúc với đồ thị hàm số
4 2
3
⇔
0,25
3 2
3
1
x
=
3
( )
I
0,25
+∞
+∞
-4 4
−
5
y
x
O
Trang 3Giải hệ (I):
3 2
3
Ta có:
⇔
Vậy m= -8 ; m =40
27
0,25
0,25
2
(2điểm)
1
Điều kiện :
cosx 0
4 sin4x 0
k
≠
0,25
pt
x x x
x
x x
2 cos 2 sin
1 cos
2 sin
cos 2
⇔ sin2x.cos2x = cosx(1 – cos2x) ⇔ sin2xcos2x = 2cosxsin2x
0,25
⇔ sin2xcos2x −sin2xsinx = 0 ⇔ cos2x − sinx = 0 (vì sin2x ≠ 0) ⇔ 2sin2x + sinx − 1 = 0
2
s inx= 1
2 1
6
s inx=
2 6
π π π
π π π
= − +
0,25
Vậy nghiệm của phương trình là : ( )
2 6 5
2 6
Z k k x
k x
∈
+
=
+
=
π π
π π
2
Với x= 0 ta có
3
2 3
y
= −
hệ vô nghiệm Với x ≠ 0 đặt y = tx Ta có hệ :
⇔
0,5
Suy ra : 3(1 + t3) = (5 − t )(1 − t2) ⇔ 2 t3+ 5 t2 + − = t 2 0
1
2
Với t = − ⇒ 1 0 x2 = 3 pt vô nghiệm Với t = − ⇒ − 2 3 x2 = ⇒ 3 x2 = − 1 pt vô nghiệm
4
2
= ⇒ =
Trang 4A
B
C B'
C' A'
3
(1điểm)
Vì A là hình chiếu của A’ lên (ABC)
A CA
Vì BC ⊥ BA và BC⊥ BB ' Suy ra BC⊥ ( ABB A ' ')
( ' ,( ' ')) ( ' ; ' )
BA C
0,25
Đặt BC = x
Trong tam giác vuông BCA’ ta có : A’C = BC/sin300 = 2x Trong tam giác vuông ABC ta có : AC2 = AB2 +BC2 = a2 + x2 Trong tam giác vuông AA’C ta có : AC= A’C.cos300
a
' ' sin 30
2
a
Vậy
3
' ' ' ABC
1
ABC A B C
a
0,5
Gọi I =A C ' ∩ AC ' suy ra IA = IC = IC’ =IA’ =IB = IB’ = R
Ta có R = A’C/2 = 2
2
a
Vậy Smc = 4 π R2 = 2 π a2
0,25
4
(2điểm)
1 đường tròn (C) có tâm I(1;2) ,
bk R = 5
Ta có :
2
Mà
2 2
Suy ra AB2 =10
2
0,5
Đường thẳng ∆ đi qua M(6;2) có dạng : a(x – 6) + b(y – 2) = 0 ( với a2 +b2≠0)
2 2
2
a=0 ⇒b= 0 vô lý
Cho a =1 ⇒ = ± b 3 Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn đầu bài là : x+3y – 12 = 0 và x – 3y = 0
0,25
2 Gọi A, B là giao điểm của ∆ với 2 đường thẳng (d1) và (d2)
Suy ra A(2a;1-a;-2+a)∈(d1) ; B(-1+2b;1+b;3) ∈(d2)
H I
B A
M
I
I
Trang 5Vì ∆ ⊥ ( ) P ⇔ AB ⊥ ( ) P ⇔ AB n // P
0,5
Suy ra A(2;0;-1) ; B(-5;-1;3)
Vậy phương trình đường thẳng ∆ là: 2 1
1
5
(2điểm)
1
1
Đặt t = x ln x + ⇒ 1 dt = (ln x + 1) dx
Đổi cận : x=1 ⇒t =1 ; x = e ⇒ t = e+1
1
1 1
1
e
t
x
+
+ +
+
0,5
2
2
2
3
3
x
x
+
Xét
2
3
3
x
x
+
3 3 '( )
x
f x
x
−
=
+ f’(x) = 0 khi x =1
2
3
3
x
x x
→+∞
+
=
3
3
x
x x
→−∞
+
= − +
0,25
Bảng biến thiên
x -∞ 1 +∞
f’(x) + 0 –
f(x)
Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt ⇔pt (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 1< m < 2
0,5
6
3
P
3
Ta lại có (x+y y)( +z z)( +x)=(x+ +y z xy)( +yz+zx)−xyz =3(x+ +y z)−xyz
Mà (x+ +y z)2≥3(xy+yz+zx)= ⇒ + + ≥ 9 x y z 3
2 2 2 3
xy+yz+zx≥ x y z ⇒xyz≤ Suy ra (x+y y)( +z z)( +x)≥ 8
3
2 (1 ) (1 ) (1 )
P
Vậy min P =3 Dấu “= “ xảy ra khi x= y =z =1
0,25
0,25
0,25
0,25
Chú ý: Thí sinh làm theo cách khác đáp án nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
-1
1
2
