Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C, biết tiếp tuyến này đi qua gốc tọa độ O.. có tất cả các cạnh đều bằng a.. Tính theo a thể tích khối chóp .S ABCD và tính bán kính mặt cầu tiếp
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012.
Môn thi : TOÁN
I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2,0 điểm)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 1 3 2 2 3
3
y= x − x + x
2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến này đi qua gốc tọa độ O.
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình 2 sin 2 3sin cos 2
4
2 Giải hệ phương trình
2 2
3 3
y x
x y y x
Câu III: (2,0 điểm)
1 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình m x2−2x+ = +2 x 2 có 2 nghiệm phân biệt
2 Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện 2(x2+y2) =xy+1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 4
x y P
xy
+
= +
Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Tính theo a thể
tích khối chóp S ABCD và tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp đó.
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Tất cả thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: A hoặc B.
A Theo chương trình Chuẩn
Câu Va: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2;3− ) Viết phương trình
mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy
Câu VI.a: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình 2.27x +18x =4.12x+3.8x
2 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2
tan
1 cos
x
f x
x
=
B Theo chương trình Nâng cao
Câu Vb:(1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )C x: 2+y2+2x=0 Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30o
Câu VI.b: (2,0 điểm)
1 Giải bất phương trình x4 log3+ x >243
2 Tìm m để hàm số y mx2 1
x
−
= có 2 điểm cực trị A, B và đoạn AB ngắn nhất.
Trang 2
-Hết -ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012.
Môn thi : TOÁN
Ý 2
(1,0
đ)
Phương trình tiếp tuyến ∆ tại điểm M x y là0( 0; 0)
1
3
Câu II
(2,0đ)
Ý 1
(1,0
đ)
PT ⇔sin 2x+cos 2x=3sinx+cosx+2 ⇔2sin cosx x−3sinx+2cos2x−cosx− =3 0 0,25 đ
Khi: cos 3( )
2
π
= − +
2
x= − +π k π x= +π k π
0,25 đ
Ý 2
(1,0
đ)
Ta có: 2x3−y3=(2y2−x2) (2y x− ⇔) x3+2x y2 +2xy2−5y3 =0 0,25 đ
Khi y=0 thì hệ VN
Khi y≠0, chia 2 vế cho y3 ≠ ⇒0
+ + − =
0,25 đ
Đặt t x
y
= , ta có : t3+2t2+ − = ⇔ =2t 5 0 t 1 0,25 đ
1
y x
x y x y y
=
=
Câu III
(2,0đ)
Ý 1
(1,0
đ)
Ta có: x2−2x+ ≥2 1nên PT 2 2
x m
x x
+
⇔ =
Xét ( ) 2 2
x
f x
x x
+
=
4 3 '( )
x
f x
−
Ý 2
5
Trang 33
xy+ = x y− + xy ≥ xy⇒xy≤ ĐK: 1 1
− ≤ ≤
2
2 2 2 2 2 7 2 2 1
P
2 2
7 '
2 2 1
t t P
t
− −
=
+ , ' 0P = ⇔ =t 0( ),th t= −1(kth)
P− =P =
và ( )0 1
4
P =
0,25 đ
KL: GTLN là 1
4 và GTNN là
2
15( HSLT trên đoạn
1 1
;
5 3
−
Câu IV
(1,0đ) Gọi O là giao điểm AC và BD ⇒SO⊥(ABCD)
a a
.
1 2 6
ABCD S ABCD
Gọi M, N là trung điểm AB và CD và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác SMN Ta chứng minh I cách đều các mặt của hình chóp 0,25 đ
4
SMN
a a
a a
∆
−
Câu Va
(1,0đ) Gọi M là hình chiếu của I lên Oy, ta có: M(0; 2;0− )
0,25 đ
IM = − − ⇒ =R IM =
uuur
là bán kính mặt cầu cần tìm 0,25 đ
KL: PT mặt cầu cần tìm là ( ) (2 ) (2 )2
Câu
VIa
(2,0đ)
Ý 1
(1,0
đ)
Ta có : PT⇔2.33x+2 3x 2x =4.2 32x x+3.23x 0,25 đ
Chia 2 vế cho 23x >0: PT
⇔ ÷ + ÷ − ÷ − =
Đặt 3
2
x
t
= ÷ ĐK: t>0; 2 3 2 4 3 0 1( ); 3( )
2
t + − − = ⇔ = −t t t kth t = th 0,25 đ
Khi 3
2
t = , ta có: 3 3 1
x
x
= ⇔ =
÷
Ý 2
(1,0
đ)
cos sin cos 1 cos
x x
= =
+
Đặt t=cos2x⇒ = −dt 2cos sinx xdx
Suy ra : 12 ( 1) 12 11 1 12ln 1
+
ln
x
x
Trang 4Câu Vb
(1,0đ) Ta có: Hệ số góc của tiếp tuyến ( )∆ cần tìm là ± 3 0,25 đ
Do đó: ( )∆1 : 3x y b− + =0 tiếp xúc (C) ⇔d I( ,∆ =1) R
3
2
b
b
−
⇔ = ⇔ = ± + KL: ( )∆1 : 3x y− ± +2 3 0= 0,25 đ
Và : ( )∆2 : 3x y b+ + =0 tiếp xúc (C) ⇔d I( ,∆ =2) R
3
2
b
b
−
⇔ = ⇔ = ± + KL: ( )∆2 : 3x y+ ± +2 3 0= 0,25 đ
Câu
VIb
(2,0đ)
Ý 1
(1,0
đ)
ĐK: x > 0 BPT ⇔ +(4 log3x)log3x>5(HS ĐB) 0,25 đ
Đặt t=log3x Ta có: t2+ − > ⇔ < −4t 5 0 t 5hoặc 1 t< 0,25 đ
KL: Nghiệm BPT là 0 1
243
x
Ý 2
(1,0
đ)
Ta có: y' mx22 1
x
+
Hàm số có 2 cực trị ⇔ y' 0= có 2 nghiệm PB khác 0 ⇔ <m 0 0,25đ
2
m
( ) ( )
m
1 ( ) 2
…HẾT…