Đề luyện thi đại học môn Toán sô 119

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=4a, BC=3a, gọi I là trung điểm của AB , hai mặt phẳng SIC và SIB cùng vuông góc với mặt phẳng ABC, góc giữa hai mặt phẳng SAC

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 119

Ngày 30 tháng 5 năm 2014 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ĐIỂM) Câu I (2 điểm) Cho hàm số: y x= −3 3x2 +3 1( −m x) + +1 3m (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=1

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O

( O là gốc toạ độ)

Câu II (2 điểm) 1 Giải phương trình sau: cos 2 3.sin 2 3

sin 2 3.cos

−

2 Giải hệ phương trình sau: ( )3 ( )

2 2 1 2 2 1 1 1

4 2 2 2 2 2





 ( ,x y R∈ )

Câu III (1 điểm) Tính tích phân sau: 4 2014

2 0

1 2 tan cos

dx x

π

∫

Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=4a, BC=3a, gọi I là trung

điểm của AB , hai mặt phẳng (SIC) và (SIB) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) bẳng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a

Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực dương và thỏa mãn: 4x2+9y2 +16z2 =1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2

A

PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)

(Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần:phần A hoặc B) A.Theo chương trình chuẩn.

Câu VI.a (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của BC Biết AM có

phương trình là: 3x+y-7 = 0, đỉnh B(4;1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông, biết đỉnh A có

tung độ dương, điểm M có tung độ âm

2 Trong không gian Oxyz cho điểm M(4;3;2) , đường thẳng d:

1 1 2

z

= +



 = − −



 =



và mặt phẳng (P) có

phương trình: 2x+2y-z+11=0 Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng (d), đi qua điểm M và cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn có diện tích bẳng 16π

Câu VII.a (1 điểm) Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ Thầy giáo chủ nhiệm chọn ra 5 học

sinh để lập một tốp ca hát chào mừng ngày 30 tháng 4 Tính xác suất sao cho trong đó có ít nhất một học sinh nữ

B.Theo chương nâng cao.

Câu VI.b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1;3), trực tâm H( )9;7 , trọng tâm

11;1

3

  Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tìm toạ độ hai đỉnh B và C.

2 Trong không gian Oxyz cho 1 2

∆ = = ∆ = = và (P): x+ y-2z+5 = 0 Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với (P) và cắt ∆ ∆1, 2 lần lượt tại A, B sao cho độ

dài AB nhỏ nhất

Câu VII.b (1 điểm) Tính tổng: A C= 12014−C20143 +C20145 − + C20142013

Hết

-ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HOC SỐ 119

2 1 Cho hàm số: y x= −3 3x2+3 1( −m x) + +1 3m (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m=1

Khi m =1 ta có 3 2

3 4

y x= − x +

* Tập xác định D R=

* Sự biến thiên :

- Chiều biến thiên: ' ( ) ' 0

2

x

x

=



Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0) và(2;+∞), hàm số nghịch biến trên

khoảng( 0;2)

0,25

- Cực trị : Hàm số đạt cực đại tại x=0, yCĐ= 4

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, yct= 0

- Giới hạn : limx→+∞y= +∞; limx→−∞y= −∞ 0,25

- Bảng biến thiên:

x −∞ 0 2 +∞

y' + 0 - 0 +

y

4 +∞

−∞

0

0,25

* Đồ thị : Đồ thị cắt Ox tại (-1; 0) và (2;0) cắt Oy tại ( 0; 4)

f(x)=x^3-3x^2+4

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-5

5

x y

0,25

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác OAB vuông tại O ( O là

gốc toạ độ)

Ta có: 2

' 3 6 3(1 )

y = x − x+ −m

Hàm số có cđ, ct khi và chỉ khi y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 ⇔ ∆ =' 9m> ⇔ >0 m 0 0,25

Gọi ( )

;

;

A x y

B x y





 là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

Trong đó x1+ =x2 2, x x1 2 = −1 m

Lấy y chia cho y’, ta có: 1 1 ' 2 (2 2 )

3 3

y= x− y − mx+ + m

Ta có: y1 =y x( )1 = −2mx1+ +(2 2m)

y2 = y x( )2 = −2mx2+ +(2 2m) ( vì y’(x1)=y’(x2)=0 )

0, 25

Tam giác OAB vuông tại O ⇔OA OBuuuruuur = ⇔0 x x1 2+y y1 2 =0

2

3

4m m 5 0 m 1 ( / )t m

Câu

II: 1 Giải phương trình sau: cos 2 3.sin 2 3

sin 2 3.cos

−

+ ĐK: ( )

2 cos 0

3 sin

2 3

x

x

 ≠ +



≠

≠



 ≠ +



0,25

+ Với ĐK trên thì phương trình đã cho tương đương:

cos 2x− 3.sinx+ =2 3 sin 2x− 3.cosx

2

cos 2 3.sin 2 3 3.cos sin 2 0

cos 2 sin 2 3 cos sin 1 0

0,25

x

x

π



0,25

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình đã cho là

4

3

x= π +k π x= − +π k π

( Nếu học sinh mà ra nghiệm là: 2 2 ; 2

3

x= − π +k π x= +π k π

thì vẫn đúng)

0,25

2 Giải hệ pt: ( )3 ( )

2 2 1 2 2 1 1 1 (1)





1 2 1

x y

 ≥





 ≥



+ Phương trình (1) ( )3 ( )

2 2x 1 2x 1 2 y 1 1 y 1

( )3 ( )3 ( ) ( )

2 2x 1 2x 1 2 y 1 y 1 f 2x 1 f y 1

Xét hàm số: f t( ) 2= t3+t trên [0;+∞) f t'( ) 6= t2+ > ∀ ≥1 0 t 0

Suy ra hàm số đồng biến trên [0;+∞)

+ Thay y=4x2−4x+2 vào (2) ta có

x

2

2

x

Với x=1 ⇒ =y 2 (t/m) Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm (x;y) là (1;2)

1

g(x) đồng biến trên 1;

2

+∞÷

Câu

III: Tính tích phân: 4 2014

2 0

1 2 tan cos

dx x

π

∫

2

0,25

+

4

0

1

tan 4 1

x

=∫ = = + 4

0 cos

x

x

π

=∫

2

2

cos sin

.tan 4

cos

x

dv

x

=

2

ln cos 4 ln

π

+ 4 2014 4 2014 ( ) 2015

x

0,5

Vậy: 1 2 3

4 2 2015 2015 2 2

0,25

Câu

IV:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=4a, BC=3a, gọi I là trung

điểmcủa AB , hai mặt phẳng (SIC) và (SIB) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) bẳng 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a

Do hai mặt phẳng (SIC) và (SIB) cùng vuông góc với (ABCD) ⇒SI ⊥(ABC)

Dựng IH vuông góc với AC tại H⇒SH ⊥ AC ( Định lý 3 đường vuông góc)

SHI

⇒ ∠ là góc giữa (SAC) và (ABC), theo giả thiết ⇒ ∠SHI =600

0,25

Xét tam giác SHI có 0 0 6 3

tan 60 tan 60

5

SI HI HI

0,25

S

B O ≡

I

H

K x

z

y

E

1

2

ABC

.

.6

* Dựng đường thảng d đi qua B và song song với AC, gọi (P) là mặt phẳng tạo bởi 2 đường

thẳng SB và d Ta có AC song song với mp(P) chứa SB

( ; ) ( ;( ) ) ( ;( ) ) 2 ( ;( ) )

Dựng IK vuông góc với d tại K, dung IE vuông góc với SK tại E

Suy ra: IE⊥( )P ⇒IE d I P= ( ;( ) )

Xét tam giác SIE có 12 12 12 252 3 3

a IE

IE = IK +IS = a ⇒ = Vậy ( ; ) 6 3

5

a

d AC SB =

Chú ý: Bài này học sinh ghép toạ độ

0,25

Câu

V: Cho x, y, z là 3 số thực dương và thỏa mãn:

4x +9y +16z =1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 2 2 2

A

2

4

=





 =



Khi đó: A 2a 2 2b 2 2c 2

A

Xét hàm số: f(t)=t(1−t2) trên ( )0;1 ( ) 2 ( )0;1

3 3

2

2

2 1

3 3

a

−

Tương tự: ( ) ( )

2

2 2

3 3

0;1 2

1

b

− ( ) ( )

2

2 2

3 3

0;1 2

1

c

−

0,25

0,25

Dấu = xảy ra khi: a=b=c=

2

3

4

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3 3

2

0,25

Phần tự chọn A- Theo chương trình chuẩn:

Câu

VI.a

1 Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của BC Biết AM có

phương trình là: 3x+y-7 = 0, đỉnh B(4;1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông, biết đỉnh A có

tung độ dương, điểm M có tung độ âm

C D

H

x

2

x

Đặt cạnh hình vuông là x>0

Xét tam giác ABM có 1 2 12 1 2 10 12 42 3 2

A thuộc AM nên A t( ;7 3− t)

( )

1

17 16

17

5 5 5

t

t

=







0,25

Làm tương tự cho điểm B, với 3 2 5; 1

x

0,25

M là trung điểm của BC ⇒C(1; 2− ) Gọi I là tâm của hình vuông ⇒I( )1;1

Từ đó ⇒D(−2;1)

0,25

2.

2 Trong không gian Oxyz cho điểm M(4;3;2) , đường thẳng d:

1 1 2

z

= +



 = − −



 =



và mặt phẳng (P) có

phương trình: 2x+2y-z+11=0 Viết phương trình mặt cầu có tâm I thuộc đường thẳng (d), đi qua

điểm M và cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn có diện tích bẳng 16π

(1 ; 1 ;2)

I d∈ ⇒I + − −t t ( ) (2 )2

IM = −t + +t d I P( ;( ) ) =3 0,25 Đường tròn có diện tích bằng 16π suy ra bán kính đường tròn bằng r=4

Gọi R là bán kính mặt cầu (S)

Theo giả thiết ta có:

( )

0

3 4

1

;

IM

t

=



0,25

Với t=0 thì I(1; 1; 2 ,− ) R=5 t=-1 thì I(0;0; 2 ,) R=5 0,25

Vậy mặt cầu (S) có phương trình: ( ) (2 ) (2 )2 2

Hoặc: 2 2 ( )2 2

2 5

x +y + −z =

0,25

Câu

VII.

a

Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ Thầy giáo chủ nhiệm chọn ra 5 học sinh để lập

một tốp ca hát chào mừng ngày 30 tháng 4 Tính xác suất sao cho trong đó có ít nhất một học sinh nữ

Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong 35 học sinh của lớp có 5

35

Gọi A là biến cố: ‘‘ Chọn được 5 học sinh trong đó có ít nhất một em nữ’’

Suy ra A là biến cố: “Chọn được 5 học sinh trong đó không có hs nữ nào”

Ta có số kết quả thuận lợi cho A là C205

0,25

20 5 35

C

P A

C

20 5 35

2273

2387

C

C

B- Theo chương trình nâng cao

Câu

VI.b 1 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(1;3), trực tâm H( )9;7 , trọng tâm

11

;1 3

  Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và tìm toạ độ hai đỉnh B và

C

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

( )

2 1; 2

GHuuur= − GIuur⇒I − (không cần chứng minh) 0,25 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I, bán kính R=IA=5

nên có phương trình: ( ) (2 )2 2

Gọi M là trung điểm của BC , ta có uuurAG=2.GMuuuur⇒M( )5;0

Đường thảng BC đi qua M và có véc tơ pháp tuyến là uuurAH =( )8; 4 nên có phương trình

2x+y-10=0

0,25

Toạ độ điểm B và C thoả mãn hệ:

2x y 10 0

6; 2 , 4; 2

+ − =



Hoặc ngược lại

0,25

2

(P): x+ y-2z+5 = 0.Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với (P) và cắt ∆ ∆1, 2 lần lượt tại

A, B sao cho độ dài AB nhỏ nhất

1 1 ; 2 2 ; ; 2 2 2 ;1 ;1

3 2 ;3 2 ;1

Véc tơ pháp tuyến của (P) là nr =(1;1; 2− )

Do ∆/ /( )P ⇒n ABr uuur = ⇒ + − = ⇒ = +0 4 s t 0 t s 4 0,25

2

2 4 4 27 3 3

dấu ‘ =’ xảy ra khi s=-2 khi đó t=2

0,25

(1; 2; 2 ,) ( 2; 1; 1) 3 1;1;1( )

Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua hai điểm A,B nên có pt: 1 2 2

x− = y− = z−

0,25

Câu

VII.

b

Tính tổng: 1 3 5 2013

Ta có: ( )2014 1 0 1 1 2 2 3 3 4 4 2013 2013 2014 2014

( 1 2 2014) ( 1 3 2013)

( )

( )

1 1

2 2

2014 2014

0,25