Gọi H là trung điểm của AB.. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng CH và SB.. Tìm tọa độ của điểm D.. Viết phương trình mặt phẳng P đi qua điểm M, song 0
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 123
Ngày 7 tháng 6 năm 2014 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x= 3−3mx2 +3(m2−1)x m− 3+4m−1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=1
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị sao cho đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị cắt
(x 2)- + (y 1)- =9 tại 2 điểm A,B phân biệt thỏa mãn AB = 4
Câu II (2 điểm)
1) Giải phương trình: t anx 4cos 2cos 2 2
x
π
2) Giải hệ phương trình:
3 3
2 2
ïí
ïî
Câu III (1 điểm) Tính tích phân: 2
0
(1 ).sinx+x.sinx.cosx
1 cos
x
x
p
+
=
+
ò
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của AB Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng CH và SB
Câu V (1 điểm) Cho ; ;x y z là 3 số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 433
(x y z)
+ +
PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A) Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của AB, phương trình của MD
là 2x- y+ = và điểm (1; 1)1 0 C - Tìm tọa độ của điểm D.
2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆: 2 1 3
x+ = y− = z−
− và điểm M(1; 1; 2)− Mặt cầu (S) có phương trình : x2+ y2+ z2+ 2x+ 2y- 2z= Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song 0 song với đường thẳng ∆ và tiếp xúc với mặt cầu (S)
Câu VII.a (1 điểm) Cho z z1; 2 là hai nghiệm phức của phương trìnhz2 + 2z+ 4= Hãy tính giá trị của biểu 0
Theo chương trình nâng cao.
Câu VI.b (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elip biết elip có hai đỉnh thuộc trục Oy và hai tiêu điểm tạo thành hình vuông có chu vi bằng 8 2
2) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu 2 2 2
( ) :S x + y +z −2x+4y−6z− =2 0, và mặt phẳng (P) : 2 x y 2 z 3+ - + = Chứng minh rằng mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) cắt nhau theo giao tuyến là 0 một đường tròn, hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn đó
Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình
3 3
log (2 1) log ( 2 1) 0
………Hết………
Họ và tên thí sinh : ……… Số báo danh : ……….………
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ 123
Câu
I
1
1) Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số y x= 3−3mx2 +3(m2−1)x m− 3+4m−1 1,0
- Khi m =1 ta được hàm số y =x3 −3x2 +2
- TXĐ : R
2
x
x
=
= − = <=> =
- Hàm số đông biến trên mỗi khoảng (−∞;0);(2;+∞)
- Hàm số ngịch biến trên khoảng (0; 2)
0,25
- Cực trị : Hàm số đạt CĐ tại x1 =0;y CD =2, hàm số đạt CT tại x2 =2;y CT = −2
- Giới hạn : xlim (→−∞ x3 −3x2 +2)= −∞; lim (x→+∞ x3 −3x2 +2)= +∞;
- Đồ thị hàm số không có tiệm cận
0,25
- BBT :
y’ + 0 − 0 +
y
−∞
2
2
+∞
0,25
- Đồ thị
4
2
-2
-4
0,25
2 2) Tìm m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị cắt đường tròn tại A,B có AB = 4 1,0
y = x − mx+ m −
- Hàm số có CĐ, CT ⇔ y' 0= có hai nghiệm phân biệt
- ⇔ ∆ = >' 9 0 luôn đúng với mọi m
0,25
- y = có hai nghiệm ' 0 x1,2 =m± Thay 1 x vào hàm số ta có tọa độ 2 điểm cực trị là : 1,2
M(m+1;m−3); N m( −1;m+1)
- Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D:2x+ y- 3m+ =1 0
0,25
H
B A
I
- Đường tròn có tâm (2;1); RI = Kẻ IH vuông góc với AB thì H là trung điểm AB.3
- Þ HA=2Þ IH = IA2- HA2 = 5Þ d(I; )D =IH= 5
0,25
5
m
Trang 3Câu
II 1 1) Giải PT : t anx 4cos 2cos 2 2
x
π
- Điều kiện : cos 0
2
+
¹ Û ¹
- PT sinx 4cos2 2cos ( 3 os2 1sin 2 ) 2
- ⇔sinx 4cos+ 2 x= 3 cos os2xc x+cos sin 2x x+2
0,25
2 (sinx cos x sin 2 ) (4cos x 2)x 3 cos cos 2 xx
sinx(1 2cos x) 2(2cos x 1) 3 cos cos 2 xx
⇔ − + − = ⇔cos2 ( 3 cosx x+sinx 2) 0− = 0,25
4 2
k
x
= ⇔ = +
⇔
0,25
⇔ + = ⇔ = +
- Vậy phương trình có nghiệm là : ; ,
k
2 2) Giải hệ phương trình :
3 3
ïí
- Phương trình (1)Û 2(x3- y )3 =4(2 x y)+
- Từ phương trình (2) thay 4=x2 + 3y2 vào phương trình trên và rút gọn ta được:
0
5
y
é = ê ê
ê = -ë
0,25
- TH1 : y = thay vào hệ ta được 0
3 2
4
2 4
x x
ìï =
íï =
ïî Þ nghiệm (x; y)= ±( 2;0) 0,25
- TH2 : x= - yÛ y= - x thay vào hệ ta được :
3 2
1
x x
ìï =
íï = ïî
- Hệ có nghiệm (x; y)=(1; 1); ( 1;1)-
-0,25
- TH3 : x= - 5y thay vào hệ ta có nghiệm (x; y) ( 5 ; 1); ( 5 1; )
-=
- Vậy hệ đã cho có 6 nghiệm
0,25
Câu
III • Tính tích phân : 2
0
(1 ).sinx+x.sinx.cosx
1 cos
x
x
p
+
=
+
sinx
.sinx
1 cos
x
+
ln 1 cos ln 2 (1)
p
2 0 sinx
p
Câu • Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa CH và SB 1,0
Trang 4
E K
I
H
C B
D A
S
HS chỉ cần vẽ hình chóp và SH (Nếu vẽ sai một trong hai yếu tố này, không chấm điểm
- Có H là trung điểm AB, vì tam giác SAB đều nên SH ⊥ AB
- Mà (SAB)⊥(ABCD)⇒SH ⊥(ABCD)
Tam giác SAB đều cạnh bằng a nên 3
2
a
SH = Diện tích hình vuông 2
ABCD
S =a
0,25
-3 2
- Trong mp(ABCD) kẻ đường thẳng D đi qua B và song song với CH
- Kẻ HI ^ D , nối S với I và kẻ HK^ SI
- Ta có CH / /(SBI)Þ d(CH;SB)=d(CH;(SBI))=d(H;(SBI))
- Chứng minh được HK ^ (SBI)Þ d(CH;SB)=d(H;(SBI))=HK
0,25
- Kẻ BE^ HC ta có HIBE là hình bình hành nên .
5
BH BC a
HI BE
HC
- Tam giác SHI vuông tại H nên 2. 2 57
19
HK
SH HI
+
- Vậy khoảng cách giữa HC và SB là 57
19
a
0,25
Câu
V • Tìm giá trị nhỏ nhất của :
3
4 (x y z)
P= + +
- Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, ta chứng minh được :
- Áp dụng ta được
3
(x y) 16 4
(x y z)
z
P³ + +
+ + , đặt a= +x y+ z> 0
- Ta có
3
(a z) 16
a
a
- Ta có 4P³ (1 t)- 3+16t3 với tÎ (0;1)
0,25
f(t)=(1 t)- +16t trên khoảng (0;1)
- Có '(t) 3(1 t)2 48 2 0 1; t 1
f = - - + t = Û t= =
Lập bảng biến thiên của hàm số ta được
(0;1)
(t)
GTNN f = Û t=
0,25
- Từ đó ta tìm được giá trị nhỏ nhất của P bằng 4
Câu
VI.a
1
1) Phương trình của MD là 2x- y+ = và điểm (1; 1)1 0 C - Tìm tọa độ của điểm
1,0
- Gọi N là trung điểm của AD, ta chứng minh được CN ^ MD 0,25
C D
M
N H
Trang 5- Gọi cạnh hình vuông là a , DCND vuông tại D nên tính được 5
2
a
CN =
- Ta có
2
5
CN
- Mà (C; MD) 2.1 1.( 1) 12 2 4 (2)
5
2 ( 1)
+
Từ (1);(2) ta có cạnh hình vuông a = hay 2 CD = 2
0,25
- Vì phương trình của MD là 2x- y+ = nên gọi tọa độ của D là (t; 2 t 1)1 0 D +
1
5
t CD
t
é = -ê ê
-ê = ê
0,25
- Tìm được tọa độ của D là ( 1; 1); ( 1 3; )
5 5
2
2) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng ∆ và tiếp xúc
- Gọi pt của mp(P) là ax by+ + cz+ d = với ; ;0 a b c không đồng thời bằng 0
- Vì M thuộc mp(P) nên a b- + 2c+ d =0 (1)
- Mặt phẳng (P) có VTPT (a;b;c)nr , ∆có VTCP (2;1; 1)ur
- D/ /(P)Þ u nr r =0Û 2a+ -b c=0 (2)
0,25
- Mặt cầu (S) có tâm ( 1; 1;1); RI - - = 3
- Mp(P) tiếp xúc với (S) d(I;(P)) R a b c2 2 2d 3 (3)
- - + +
0,25
- Từ (1);(2) ta có 2
5
ïï
íï =
-ïî thay vào (3) ta được
5
é = -ê
ê =
- Với a= - bÞ c= - b d; =4b, chọn b=1Û a= - 1;c= - 1;d=4 Phương trình mặt phẳng (P) là - x+ y- z+ 4= 0
- Với a=5bÞ c=11 ;b d = - 26b, chọn b=1Þ a=5;c=11;d = - 26 Phương trình mặt phẳng (P) là 5x+ y+ 11z- 26= 0
- Vậy phương trình mp (P) là - x+ y- z+ 4= hoặc 50 x+ y+11z- 26= 0
0,25
Câu
VII.
a
• Cho z z1; 2 là hai nghiệm phức của phương trìnhz2+ 2z+ 4= Hãy tính giá trị của biểu 0
- Giải phương trình 2
1,2
- Ta có P= -( 1+ 3i+ +1 3)2014+ -( 1- 3i+ +1 3)2014 0,25
-Û
- 1007 2 1007 2 1007
3 [((1 i) ) ((1 i) ) ]
- Û P =31007[(2i)1007+ -( 2i)1007]=0
Câu
VI.b
1
- Gọi phương trình elip là
2 2
2 2 1
a + b = ( ;a b > )0
- Hai tiêu điểm và hai đỉnh thuộc trục Oy tạo thành hình vuông nên 2b=2cÛ b=c
0,25
- Chu vi hình vuông bằng 8 2 nên cạnh hình vuông bằng 2 2
- Phương trình elip là :
2 2
1
Trang 6- Mặt cầu (S) có tâm (1; 2;3); RI - = 4
- Khoảng cách từ I tới mp(P) là 2.1 1.( 2) 2.3 32 2 2 1
2 1 ( 2)
d= + - - + = < R
+ +
Vậy mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn
0,25
Kẻ IH ^ (P) thì H là tâm đường tròn
Và IH ^ (P)nên IH có phương trình là
1 2
3 2
ì = + ïï
ïï = - + íï
ï = -ïïî
- Thay ; ;x y z từ (* ) vào phương trình mp (P) ta được 1 ( ;5 5 7; )
t= Þ H
-0,5
- Bán kính đường tròn là r= R2- IH2 = 15
- Vậy tâm đường tròn là ( ;5 5 7; )
3 3 3
Câu
VII.
b
• Giải hệ phương trình
3 3
1,0
- ĐK : 2x y− + > − +1 0; x 2y+ >1 0; y+ >1 0 0,25
- Thay vào PT (2) ta được 3
3 ln( 1) 0
x + +x x+ =
0,25
- Xét hàm số 3
f = + +x x x+
- Có '( ) 3 2 3 1 0
1
f x x
x
= + + >
+ nên hàm số đồng biến trên khoảng ( 1;− +∞)
- Mặt khác (0) 0f = nên PT có nghiệm duy nhất x= ⇒ =0 y 0
0,25
- Kiểm tra điều kiện thấy nghiệm thỏa mãn đk
Học sinh làm cách khác, giáo viên chấm căn cứ vào bài làm, để cho điểm phù hợp