Theo chương trình chuẩn: Câu 6a2 điểm 1.. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H1;2;3.Viết phương trình mặt phẳng α đi qua điểm H và cắt ba trục tọa độ tại các điểm A,B,C khác
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 116
Ngày 28 tháng 5 năm 2014
A.PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ THÍ SINH:
Câu 1(2 điểm): Cho hàm số 3 2 ( )
6 9 , 1
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (1)
2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) của hàm số (1) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng ( )∆ :x y+ + =1 0 một góc α sao cho cos 4
41
α = và tiếp điểm có hoành độ nguyên.
Câu 2(2 điểm)
1 Giải phương trình: 2cos2x+2 3 sin cosx x+ =1 3 sin( x+ 3 cosx)
2
,
x y
− − + − − =
− + + = − + + + +
( ) ( )
1 2
Câu 3(1 điểm) Tính tích phân: 2 ( ) 3 2
2 0
9
9
x
x
= − +
+
∫
Câu 4(1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có SB=SC=SD=AB=BC=CD=DA=2, Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) bằng 900 Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Câu 5(1 điểm) Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn điều kiện: a+b+c=3
Tìm giá trị lớn nhất ( 2 2) ( 2 2) ( 2 2)
B.PHẦN RIÊNG: (Thí sinh chỉ làm một trong hai phần I hoặc II)
I Theo chương trình chuẩn:
Câu 6a(2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn ( ) 2 2
( ) 2 2
S x +y − x− y+ = cắt nhau tại hai điểm A(3;1) ,B.Viết phương trình đường thẳng
đi qua điểm A và cắt (S1) và (S2) tại các ddiemr thứ 2 tương ứng C,D sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng CD
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H(1;2;3).Viết phương trình mặt phẳng ( )α đi qua điểm H và cắt ba trục tọa độ tại các điểm A,B,C khác gốc tọa độ O sao cho H là trực tâm tam giác ABC
Câu 7a(1,0 điểm): Trong mặt phẳng phức ,Xác định tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: (1+i z) (+ −1 i z) =2 z+1
II.Theo chương trình nâng cao:
Câu 6b(2 điểm):
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.Lập phương trình chính tắc của Elip(E) biết rằng có một đỉnh và hai tiêu điểm của (E) tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) là 12 2( + 3)
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng :( ): 2 1 1
− − và mặt cầu
( ) ( ) (2 ) (2 )2
S x+ + y− + −z = Viết phương trình đường thẳng ( )∆ đi qua điểm M(-1;-1;-2)
và cắt đường thẳng (d) và mặt cầu (S) tại hai điểm A và B sao cho AB=8
log x +3x+ −1 log x≤2x x−
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 116
Câu 1: 1, Bạn đọc tự giải
2, Gọi ( 3 2 )
0; 0 6 0 9 0
M x x − x + x với x0∈¢ là tọa độ tiếp điểm với đồ thị (C) PTTT tại điểm M là:
y= x − x + x x− + −x x + x d VTPT của (∆): x+y+1=0 là nuur∆ =( )1;1 VTPT của (d) là ( ; 1)
d
nr = k − với 3 2
(k= −x 6x +9x ⇒ ∈k ¢ theo đề ra ta có)
9
d d
α ∆
∆
−
+
uur uur uur uur
Với k=9 2
3x 12x 9 9 x 0,x 4
⇔ − + = ⇔ = =
* Với x0 =0 ta có tiếp tuyến y=9x *Với x0=4 ta có tiếp tuyến y=9x-32
Câu 2: 1, Phương trình tương đương với
2
cos 2 3 sin 2 2 3 3 cos sin cos 2 sin 2 1 3 cos sin
3
⇔ − ÷+ = − ÷⇔ − ÷− − ÷= ⇔ − ÷= − ÷=
− = ⇔ = +
÷
2, ĐK:
− ≥ ≤
− + ≥ − + ≥
− + + ≥ − + + ≥
Từ PT(1) ta có 5 10( − +x) 3 10− =x 5 9( − +y) 3 9−y, 3( )
Xét hàm số f t( ) =(5t2+3)t trên khoảng t∈ +∞[0; ) có f t/( ) =15t2+ > ∀ ≥3 0, t 0 hàm số đồng biến .Từ (3) ta có f ( 10−x) (= f 9−y) ⇔ 10− =x 9− ⇔ = −y y x 1, 4( ) Thay (4) vào (2) ta được
2
x+ − − + −x x x− = (5) ĐK: x∈ −[ 7;10]
Giải (5) ta được
7 4 1 10
7 4 1 10
+ − + − − + − − = ⇔ + + − + =
+ + + −
+ + + −
Vậy Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x y; ) ( )= 9;8
Tính I1=2 ( )
0
2
∫ đặ 1-x=sint, dx==-costdt ;
2 2
∈ −
÷
Đổi cận: 0 , 2
x= ⇒ =t π x= ⇒ = −t π
Khi đó
1
2
π π
π
−
Trang 3Tính I2=
3
2 0
9 ln
9
x
x
− +
2
4 2
4 3
36 9
9
81 4
x
x
x
x v
dv x dx
= − =
+ ⇒ −
= =
Ta có:
2
2
0
x
− −
55 13
I = + =I I + −π
Câu 4: AC∩BD={ }O AB BC CD DA, = = = = ⇒2 ABCD là hình thoi nên
( )1 ,
BD⊥AC SB SD a= = ⇒ ∆SBD cân tại S suy ra BD⊥SO( )2 .Từ (1)&(2) ⇒BD⊥(SAC) và
.
1
3
S ABCD SAC
V = BD S Ta có ∆ABD= ∆CBD= ∆SBD c c c( )⇒AO CO SO= = nên ∆SACvuông tại S Gọi
M là trung điểm của SA⇒BM ⊥SA DM& ⊥SA⇒SA⊥(BDM) ⇔·BMD=(·(SAB) (, SAD) ) =900Vậy
∆BMD vuông tại M và 1
2
MO= BD.Mà MO là đường trung bình của ∆SAC 1
2
⇒ = từ đó BD=SC=2⇔ ∆BDC đều cạnh bằng 2⇒SA= AC2−SC2 =2 2.Vậy
.
S ABCD SAC
Câu 5: Không làm mất tính tổng quát ta giả sử ( )
0
0
a b c
− ≤
≤ ≤ ≤ ≤ ⇒ ⇔
− ≤ − + ≤
do đó 2 2( 2 2) 2 2 ( )2
3
Từ
3
a b c
a b c
+ + =
≤ ≤ ≤ ≤
4
Do đó 2 2( ) ( )2 ( )3
4
t
≤ ≤ Khi đí T≤9t2−3t3 Xét hàm số ( ) 2 3 9 /( ) 2 /( )
4
÷
Lập bảng biến thiên của hàm f(t) trên 0;9
4
ta được f t( ) ≤12⇒ ≤T 12 Dấu bằng xảy ra khi t=2.Kết luận MaxT=12 tại (a;b;c)=(0;1;2) và các hoán vị của (a;b;c)
Câu 6a: 1; ( ) 2 2
S x +y = tâm O(0;0) bán kính R1= 10
( ) 2 2
S x +y − x− y+ = Tâm I2(5;5) bán kính R= 2 5 Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của
AC và AD Gọi 5 5;
2 2
÷
là trung điểm đoạn thẳng nối tâm OI2 của hai đường tròn thì AI là đường trung
bình của hình thang vuông OMNI2 nên 1; 3
2 2
÷
uur
là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng
CD Đường thẳng CD qua A(3;1) nhận nr= −(1; 3) làm VTPT có PT:1(x− −3) (3 y− = ⇔1) 0 x-3y=0
⊥
⊥
OH ⊥ ABC .mp( )α ≡mp ABC( ) Nên mp( )α đi qua H(1;2;3) nhận OHuuur=(1; 2;3)làm VTPT có PT:
1 x− +1 2 y− +2 3 y− = ⇔ +3 0 x 2y+3y− =14 0
Trang 4Câu 7a: Gọi điểm M(a;b) biễu diễn số phức z=a+bi(a b, ∈¡ theo đề ra ta có)
( ) (2 )2 2
0 0
1
≥ >
− ≥
+ + = = − − = − −
− = + +
cong ( ): 1 1 ,( 0)
2
x
= − − >
Câu 6b:1, Phương trình chính tắc của E líp: x22 y22 1,(a b 0)
a +b = > > với hai tiêu điểm
1 ;0 , 2 ;0 ,
F −c F c c =a −b Hai đỉnh trên trục nhỏ là B1(0;−b B) ( ), 2 0;b Vì tam giác B1F1F2 đều và
chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) là 12 2( + 3)
( )
6 3
3
a
c
a b
+ = +
2, Gọi M1 =( ) ( )d ⊂ ∆ ⇒M1(2−t;1 2 ;1− y + ⇒t) MMuuuuur1= −(3 t; 2 2 ;3− t +t).Mặt cầu tâm I(-1;2;1).mặt phẳng (P): qua I(-1;2;1) vuông góc với ( )∆ nhânMMuuuuur1= −(3 t; 2 2 ;3− t +t) làm VTPT có PT:
( ) (P : 3−t x) ( + + −1) (2 2t y) ( − + +2) (3 t z) ( − =1) 0.Gọi H là trung điểm của A,B thì IH ⊥AB IH, =3
5
6 8 22
t
−
− +
*Với t=-1 ⇒ ∆( ) :x= − +1 2 ,t y= − +1 2 ,t z = − +1 t
*Với 3 ( ) : 1 6 , 1 2 , 2 9
5
t= ⇒ ∆ x= − + t y= − + t z= − + t
Câu 7b: Điều kiện:
0 0
x x
+ + ⇔ >
>
Với điều kiện trên ta có ( 2 ) 2 ( ) ( )
log x +3x+ + +1 x 3x+ ≤1 log 5x + 5x (*) Xét hàm số ( ) ( ) /( )
5
1
ln 5
t
= + ∀ > ⇒ = + > hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞).Từ
f x + x+ ≤ f x ⇔x + x+ ≤ x⇔ x− ≤ ⇔ =x
Vậy bất phương trình có nghiệm x=1
Chú ý: ta có thể sử dung bất đẳng thức cô si cho VTVT ≥1 và đánh giá VP